2015-2016學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教a版必修2講義：第2章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

THESECONDCHAPTER—

第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的

位置關(guān)系

2.1.1平面

彳預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)挑戰(zhàn)自我，點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］

1.了解平面的概念及表示方法.

2.理解平面的公理1,公理2,公理3.

3.會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言準(zhǔn)確表述幾何對(duì)象的位置關(guān)系.

［知識(shí)鏈接］

1.在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有平行、相交、重合.

2.點(diǎn)和直線的位置關(guān)系有點(diǎn)在直線上和點(diǎn)在直線外.

［預(yù)習(xí)導(dǎo)引］

1.平面的概念

(1)兒何里所說(shuō)的“平面”，是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中

抽象出來(lái)的.幾何里的平面是無(wú)限延展的.

(2)平面的畫法

①水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形,它的銳角通常畫成45。，且橫

邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)的之僵，如圖①.

②如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住，為了增強(qiáng)它的立體感，把被遮擋部分

用虛線畫出來(lái).如圖②.

(3)平面的表示法

圖①的平面可表示為平面a,平面Z6CD,平面ZC或平面

2.點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系

(1)直線在平面內(nèi)的概念：

如果直線/上的所直點(diǎn)都在平面a內(nèi)，就說(shuō)直線/在平面a內(nèi)，或者說(shuō)平面

a經(jīng)過(guò)直線I.

(2)一些文字語(yǔ)言與數(shù)學(xué)符號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系:

文字語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)符號(hào)表示文字語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)符號(hào)表示

點(diǎn)Z在直線/上A&1點(diǎn)A在直線1外世

點(diǎn)A在平面a內(nèi)點(diǎn)4在平面a外。建a

直線/在平面a直線/在平面a

lUa&

內(nèi)外

直線/,加相交平面a、B相交

lC\m=AaCp=l

于點(diǎn)A于直線/

3.平面的基本性質(zhì)及作用

公理內(nèi)容圖形符號(hào)作用

如果,條直線

上的兩點(diǎn)在一AC/,B3,且既可判定直線和點(diǎn)是否

公理1個(gè)平面內(nèi)，那在平面內(nèi)，又能說(shuō)明平

么這條直線在U-面是無(wú)限延展的

此平面內(nèi)

過(guò)不在一條直A,B,C三點(diǎn)一是確定平面；二是證

線上的三點(diǎn)，不共線今存在明點(diǎn)、線共面問(wèn)題；三

公理2

有目.只有.個(gè)ZI7唯一的平面a是判斷兩個(gè)平面重合的

平面使4,B,CGa依據(jù)

如果兩個(gè)不重

一是判斷兩個(gè)平面相交

合的平面有一

PGa,且P"的依據(jù)；二是證明點(diǎn)共

個(gè)公共點(diǎn)，那

公理3笆>aCp=l,且線問(wèn)題的依據(jù)；

么它們有且只

P0⑶證明線共點(diǎn)問(wèn)題的依

有一條過(guò)該點(diǎn)

據(jù)

的公共直線

尹課堂講義J重點(diǎn)難點(diǎn)，個(gè)個(gè)擊破

要點(diǎn)一三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換

例1用符號(hào)語(yǔ)言表示下列語(yǔ)句，并畫出圖形.

(1)三個(gè)平面a,B，了相交于一點(diǎn)P,且平面a與平面夕相交于玄，平面a

與平面y相交于尸8，平面夕與平面y相交于PC；

(2)平面48。與平面BDC相交于BD,平面N8C與平面NOC相交于AC.

解(1)符號(hào)語(yǔ)言表示：aC￡Cy=P,aC°=PA,aCy=PB,6cLpC,圖

形表示如圖(1).

(2)符號(hào)語(yǔ)言表示：平面〃BOA平面平面/8CA平面ZZ)C=ZC,

圖形表示如圖(2).

規(guī)律方法(1)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形

有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語(yǔ)言表示，再用

符號(hào)語(yǔ)言表示.

(2)根據(jù)符號(hào)語(yǔ)言或文字語(yǔ)言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別.

跟蹤演練1根據(jù)下列符號(hào)表示的語(yǔ)句，說(shuō)明點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，

并畫出相應(yīng)的圖形：(l)/ea,8qa；(2)/Ca,m^a=A,4&；(3)Pe/,P住a,Q

€/,Q&a.

解(1)點(diǎn)/在平面a內(nèi)，點(diǎn)3不在平面a內(nèi)，如圖(1).

(2)直線/在平面a內(nèi)，直線機(jī)與平面a相交于點(diǎn)4且點(diǎn)/不在直線/上，

如圖(2).

(3)直線/經(jīng)過(guò)平面a外一點(diǎn)P和平面a內(nèi)一點(diǎn)。，如圖(3).

要點(diǎn)二點(diǎn)線共面問(wèn)題

例2證明：兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi).

證明法一

(納入法)

,?*/]C，2=/，

/1和，2確定一個(gè)平面a.

,：12門h=B,；.B￡12.又.：l?Ua,

?''B€a.

同理可證C￡a.

又,；BWI3,Cei3,.,.Z3Ca.

直線，1、，2、，3在同一平面內(nèi).

法二(重合法)

八C，2=4，

」./1、，2確定一個(gè)平面a.

'''12ch=B,

：」2、，3確定一個(gè)平面A

'-A￡A，l[Ua、-A￡a.

,:AWk，hU%.①夕.

同理可證86a,Bep,C6a,C6/7.

.??不共線的三個(gè)點(diǎn)Z、B、。既在平面a內(nèi)，又在平面夕內(nèi).

平面a和4重合，即直線小小6在同一平面內(nèi).

規(guī)律方法在證明多線共面時(shí)，可用下面的兩種方法來(lái)證明：

(1)納入法：先由部分直線確定一個(gè)平面，再證明其他直線在這個(gè)平面內(nèi).

(2)同一法：即先證明一些元素在一個(gè)平面內(nèi)，再證明另一些元素在另一個(gè)

平面內(nèi)，然后證明這兩個(gè)平面重合，即證得所有元素在同一個(gè)平面內(nèi).

跟蹤演練2已知直線a〃4直線/與。，人都相交，求證：過(guò)a,小/有且

只有一個(gè)平面.

證明如圖所示.由已知a"3所以過(guò)a,6有且只有一個(gè)平面a.設(shè)“C/

=A,bCI=B,-'-A€a,B￡a,且N￡/,B￡I,即過(guò)a,b,/有且只有

一個(gè)平面.

要點(diǎn)三點(diǎn)共線與線共點(diǎn)問(wèn)題

例3如圖，在正方體NBC。-48G"中，點(diǎn)加、N、E、E分別是棱C。、

AB.DDi、上的點(diǎn)，若朋N與交于點(diǎn)°,求證：D、4、0三點(diǎn)共線.

3____c,

Q

證明,：MNCEF=Q,

直線?！曛本€EE

又直線CD,N￡直線Z8,

CDU平面4BCD,45U平面Z8CD

；.M、N6平面/8C。，

.■.9(=平面/8。0..?.?！昶矫鍭BCD.

同理，可得E尸U平面

???0￡平面ADD\AX.

又?.?平面/BCDA平面ADD\A\^AD,

，?！曛本€40,即。、A,。三點(diǎn)共線.

規(guī)律方法點(diǎn)共線與線共點(diǎn)的證明方法：

(1)點(diǎn)共線：證明多點(diǎn)共線通常利用公理3,即兩相交平面交線的唯一性，通

過(guò)證明點(diǎn)分別在兩個(gè)平面內(nèi)，證明點(diǎn)在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點(diǎn)確

定一條直線，然后證明其他點(diǎn)也在其上.

(2)三線共點(diǎn)：證明三線共點(diǎn)問(wèn)題可把其中一條作為分別過(guò)其余兩條直線的

兩個(gè)平面的交線，然后再證兩條直線的交點(diǎn)在此直線上，此外還可先將其中一條

直線看作某兩個(gè)平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點(diǎn)，再證點(diǎn)重

合，從而得三線共點(diǎn).

跟蹤演練3如圖所示，已知四面體Z—8C。中，E,尸分別是48,的

r)i-f

中點(diǎn)，G,〃分別是上的點(diǎn)，旦斤="=.求證：直線FH,AC

8C,CDCrCriC2EG,

相交于同一點(diǎn).

A

證明--,E,E分別是的中點(diǎn),

???EEMBD且EEQBD.

rBGDH>

又，?,沅=近=2,

???GHIIBDSLGH=

.--EFIIGH且EF>GH,

.??四邊形EF"G是梯形，其兩腰所在直線必相交，

設(shè)兩腰EG,口的延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)P,

；EGU平面/8C,WU平面〃8,

??.尸￡平面/8C,尸￡平面/8,

又,「平面ABCCl平面ACD=AC,

.-.PeAC,故直線EG,FH,NC相交于同一點(diǎn).

事當(dāng)堂檢測(cè)?當(dāng)堂訓(xùn)練，體驗(yàn)成功

1.下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（）

①一個(gè)平面長(zhǎng)4米，寬2米；

②2個(gè)平面重疊在一起比一個(gè)平面厚；

③一個(gè)平面的面積是25平方米；

④將一個(gè)平面內(nèi)的一條直線延長(zhǎng)，它就會(huì)伸出這個(gè)平面.

A.0B.1

C.2D.3

答案A

解析幾何中的平面是無(wú)限延展的，不可進(jìn)行所有類型的度量，容易判斷所

有命題都不對(duì).

2.下列四個(gè)選項(xiàng)中的圖形表示兩個(gè)相交平面，其中畫法正確的是（）

答案D

解析畫兩個(gè)相交平面時(shí)，被遮住的部分用虛線表示.

3.若點(diǎn)。在直線6上，6在平面￡內(nèi)，則0,b,4之間的關(guān)系可記作（）

A.QGbGQB.QRbUB

C.QUbu（3D.QUb"

答案B

解析..?點(diǎn)。（元素）在直線/集合）上，64又???直線6（集合）在平面尸（集

合）內(nèi)，:.QWbup.

4.設(shè)平面a與平面夕交于直線/,A^a,BGa,且直線N8C/=C,則直線

ABC8=.

答案C

解析,?,aC”I,ABCl=C,C￡4B,，ABCp=C.

5.空間不共線的四點(diǎn)，可以確定平面的個(gè)數(shù)是.

答案1或4

解析對(duì)于不共線四點(diǎn)：當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)確定一個(gè)平面；當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，可

確定一個(gè)平面或四個(gè)平面.

課堂小結(jié)

1.解決立體幾何問(wèn)題首先應(yīng)過(guò)好三大語(yǔ)言關(guān)，即實(shí)現(xiàn)這三種語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)

換，正確理解集合符號(hào)所表示的幾何圖形的實(shí)際意義，恰當(dāng)?shù)赜梅?hào)語(yǔ)言描述圖

形語(yǔ)言，將圖形語(yǔ)言用文字語(yǔ)言描述出來(lái)，再轉(zhuǎn)換為符號(hào)語(yǔ)言.文字語(yǔ)言和符號(hào)

語(yǔ)言在轉(zhuǎn)換的時(shí)候，要注意符號(hào)語(yǔ)言所代表的含義，由符號(hào)語(yǔ)言作出直觀圖時(shí)，

要注意實(shí)虛線的標(biāo)注.

2.在處理點(diǎn)線共面、三點(diǎn)共線及三線共點(diǎn)問(wèn)題時(shí)初步體會(huì)三個(gè)公理的作用,

突出先部分再整體的思想.

亨分層訓(xùn)練解疑糾偏，訓(xùn)練檢測(cè)

一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.已知點(diǎn)4,直線。，平面a,以下命題表述正確的個(gè)數(shù)是（）

①ZWa,a（la②a&a^A&a；③49a,a^a^A^a；④Z?。，

aUa=MUa.

A.0B.1

C.2D.3

答案A

解析

①不正確，如aCla=/；②不正確，："a￡a"表述錯(cuò)誤；③不正確，如圖

所示，A^a,aUa,但4Ea；④不正確，"NUa"表述錯(cuò)誤.

2.（2013?安徽高考）在下列命題中，不是公理的是（）

A.平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行

B.過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面

C.如果一-條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此

平面內(nèi)

D.如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的

公共直線

答案A

解析A.不是公理，是個(gè)常用的結(jié)論，需經(jīng)過(guò)推理論證；B.是平面的基本

性質(zhì)公理；

C.是平面的基本性質(zhì)公理；D.是平面的基本性質(zhì)公理.

3.已知a、夕為平面，4、B、M、N為點(diǎn)、，a為直線,下列推理錯(cuò)誤的是（）

A.A&a,AG0,BGa,BR歸aU§

B.MRa,M^/3,NRa,NG歸aCp=MN

C./da,AG/30aCp=A

D.A、B、MGa,A.B、MJ[3,且/、B、M不共線臺(tái)a、夕重合

答案C

解析A€a,A￡p,-'-A€a

由公理可知an尸為經(jīng)過(guò)N的一條直線而不是A.

故aC￡=/的寫法錯(cuò)誤.

4.空間四點(diǎn)4、B、C、。共面而不共線，那么這四點(diǎn)中()

A.必有三點(diǎn)共線B.必有三點(diǎn)不共線

C.至少有三點(diǎn)共線D.不可能有三點(diǎn)共

線

答案B

解析如圖(1)(2)所示，A、C、D均不正確，只有B正確，如圖(1)中/、B、

。不共線.

(1)(2)

5.設(shè)平面a與平面夕相交于/,直線aUa,直線6U/,aHb=M,則MI.

答案e

解析因?yàn)?aUa,bU0,所以MEa,ME夕.又因?yàn)閍A/?=/,所

以MEL

6.平面an平面a=/,點(diǎn)、MGa,N^a,點(diǎn)、PG。,且Pq/,又MN(V=R,

過(guò)A/,N,尸三點(diǎn)所確定的平面記為力則用"=.

答案直線P/?

解析如圖，MNUy,RSMN,

?''R￡y.

又RWl,:.R￡0.

又PWy,PS5,；/Cy=PR.

7.已知△ABC在平面a外，直線N8na=P,直線/CCa=R,直線BCAa

=0,如圖所示.求證：P,Q,R三點(diǎn)共線.

證明,??直線N8Aa=P,

，P￡AB,P￡平面a.

又；Z8U平面ABC,r.P￡平面ABC.

則由公理3可知，點(diǎn)尸在平面N8C與平面a的交線上.

同理可證0,火也在平面/8C與平面a的交線上.

故P,Q,H三點(diǎn)共線于平面Z8C與平面a的交線.

二、能力提升

8.如圖所示，在正方體ZBC0一小巴G2中，。為。8的中點(diǎn)，直線小C

交平面于點(diǎn)M,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.Ci，M,。三點(diǎn)共線B.C\,M,O,C

四點(diǎn)共面

C.G，O,A,M四點(diǎn)共面D.Di，D,O,M

四點(diǎn)共面

答案D

解析在題圖中，連接小G，AC,則=

4CC平面C、BD=M.

，三點(diǎn)Ci，M,O在平面與平面NCG小的交線上，

即G，M,。三點(diǎn)共線，

二?選項(xiàng)A,B,C均正確，D不正確.

9.若直線/與平面a相交于點(diǎn)O,A,BB,C,D^a,^.AC//BD,貝O,

C,。三點(diǎn)的位置關(guān)系是.

答案共線

解析---ACIIBD,

與8。確定一個(gè)平面，記作平面6，則anp=直線CD

lC\a=O,Oa.

又,?,()￡ABUp,

，。￡直線CO,..O,C,。三點(diǎn)共線.

10.如果一-條直線與一個(gè)平面垂直，那么，稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交

線面對(duì)”.在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成

的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是.

答案36

解析正方體的一條棱長(zhǎng)對(duì)應(yīng)著2個(gè)“正交線面對(duì)”，12條棱長(zhǎng)共對(duì)應(yīng)著

24個(gè)“正交線面對(duì)”；正方體的一條面對(duì)角線對(duì)應(yīng)著1個(gè)“正交線面對(duì)”，12

條面對(duì)角線對(duì)應(yīng)著12個(gè)“正交線面對(duì)”，共有36個(gè).

11.如圖所示，在正方體Z8C。一小與CN1中，E為Z8的中點(diǎn)，/為小/的

中點(diǎn)，求證：(1)E,F,5，。四點(diǎn)共面；

(2)CE,DRD4三線共點(diǎn).

證明(1)分別連接EEAiB,D\C.

???￡,。分別是48和44i的中點(diǎn),

統(tǒng)；小8.又小。統(tǒng)BiCi統(tǒng)BC,

四邊形4D0為平行四邊形.

：.A\BIICDi，.-.EFIICD\.

，EF與CA確定一個(gè)平面，

F,Di，。四點(diǎn)共面.

⑵

-.-EF^CDi，直線。/和CE必相交.設(shè)DiFCCE=P,如圖.

??,O/U平面Z小。Q,PSDR

???PE平面4401D

又CEU平面/BCD,PWEC,

??.PS平面ABCD.

??.P是平面N6CD與平面AA\D\D的公共點(diǎn).

又平面NBCDC平面AA\D\D=AD,

.-.peAD,.--CE,DRD4三線共點(diǎn).

三、探究與創(chuàng)新

12.如圖，直角梯形Z80C中，AB//CD,AB>CD,S是直角梯形N80C所在

平面外一點(diǎn)，畫出平面SBD和平面SAC的交線.

解很明顯，點(diǎn)S是平面S8。和平面￡4。的一個(gè)公共點(diǎn)，即點(diǎn)S在交線上.由

于AB>CD,則分別延長(zhǎng)ZC和8。交于點(diǎn)￡,如圖所示，

?；E"C,NCU平面SZC,

E€平面SAC.

同理，可證E6平面SBD

???點(diǎn)E在平面SBD和平面SAC的交線上,則連接SE,直線SE就是平面SBD

和平面SAC的交線.

13.如圖所示，在正方體ABCD—ABCiDi中，試畫出平面AB\D\與平面

ACC\A\的交線.

解

AB

如圖，設(shè)小=

...。1￡小。1，4?u平面ZCG4，

O\￡平面ACC\A\.

又.?.Q￡囪。1，

BQiU平面ABQi，

.t'O\￡平面AB\D\.

??.Q是平面ZCG4與平面AB\D\的公共點(diǎn).

而點(diǎn)A顯然也是平面ACC\A\與平面AB\D\的公共點(diǎn).

連接AO\,根據(jù)公理3知AO\是平面ABD與平面ACC\A\的交線.

2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

h預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)挑戰(zhàn)自我，點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］

1.會(huì)判斷空間兩直線的位置關(guān)系.

2.理解兩異面直線的定義，會(huì)求兩異面直線所成的角.

3.能用公理4解決一些簡(jiǎn)單的相關(guān)問(wèn)題.

［知識(shí)鏈接］

公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).

公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)有且只有？個(gè)平面.

公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該

點(diǎn)的公共直線.

［預(yù)習(xí)導(dǎo)引］

1.空間兩條直線的位置關(guān)系

空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種.

(1)若從公共點(diǎn)的數(shù)目分，可以分為

①只有一個(gè)公共點(diǎn)一相交.

②沒(méi)有公共點(diǎn)1異面.

(2)若從平面的基本性質(zhì)分，可以分為

①在同一平面內(nèi)］言.

②不同在任何■■個(gè)平面內(nèi)---異面.

2.異面直線

(1)定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線.

(2)異面直線的畫法

3.平行公理(公理4)

文字表述：平行于同一條直線的兩條直線壬紅，這一性質(zhì)叫做空間平行線的

傳遞性.

a//b

符號(hào)表述：\^a//c.

bHc.

4.等角定理

空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別壬狂，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

5.異面直線所成的角

(1)定義：已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a'//a,b'

〃從我們把/與b'所成的銳角（或直角）叫做異而直線a與6所成的角（或夾角）.

（2）異面直線所成的角3的取值范圍：（0°,90°1.

（3）當(dāng)。=維時(shí)，a與6互相垂直，記作”.

歹課堂講義重點(diǎn)難點(diǎn)，個(gè)個(gè)擊破

要點(diǎn)一空間兩條直線位置關(guān)系的判斷

例1如圖，正方體N8C。一小8G2中，判斷下列直線的位置關(guān)系:

①直線AiB與直線DXC的位置關(guān)系是；

②直線AiB與直線8c的位置關(guān)系是；

③直線DQ與直線DXC的位置關(guān)系是；

④直線AB與直線B】C的位置關(guān)系是.

答案①平行②異面③相交④異面

解析直線。Q與直線。C顯然相交于2點(diǎn)，所以③應(yīng)該填“相交”；直

線48與直線DC在平面小8C■中，且沒(méi)有交點(diǎn)，則兩直線“平行”，所以①

應(yīng)該填"平行"；點(diǎn)小、8、81在一個(gè)平面418sl內(nèi)，而。不在平面小8囪內(nèi)，

則直線小8與直線囪C“異面”.同理，直線Z8與直線囪C“異面”.所以②

④都應(yīng)該填“異面”.

規(guī)律方法1.判定兩條直線平行與相交可用平面幾何的方法去判斷，而兩條

直線平行也可以用公理4判斷.

2.判定兩條直線是異面直線有定義法和排除法，由于使用定義判斷不方便,

故常用排除法，即說(shuō)明這兩條直線不平行、不相交，則它們異面.

跟蹤演練1(1)若小6是異面直線，b、c是異面直線，則()

A.a//cB.a>c是異面直

線

C.<7、C相交D.4、C平行或相

交或異面

(2)若直線a、b、。滿足a、c異面，則力與。()

A.一定是異面直線B.一定是相交直線

C.不可能是平行直線D.不可能是相交直

線

答案(1)D(2)C

解析(1)若a、6是異面直線，b、c是異面直線，那么「、c可以平行，可

以相交，可以異面.

(2)若aIIb,a、c是異面直線，那么6與c不可能平行,否則由公理4知a

IIc.

要點(diǎn)二公理4、等角定理的應(yīng)用

例2在如圖所示的正方體ABCD-A\B\C\D\中，E、、Ei、R分別是棱

AB、AD、8iG、GA的中點(diǎn),

求證：(1)E尸統(tǒng)E因;

⑵NE4F=NEiCFi.

證明(1)連接8。，BQi，

在△28。中，因?yàn)椤?、E分別為28、的中點(diǎn),

所以EE破8D

同理，?F|戰(zhàn)隊(duì)

在正方體4BCD-451cl。中,BB傣DD「

所以四邊形BBQiD為平行四邊形，

因此，BD&秀BiDi，

又EF號(hào)8。，E\F\號(hào),

所以EF統(tǒng)EiFi.

(2)取43的中點(diǎn)M,

連接PM,BM,則統(tǒng)囪G，

又BiCi^BC,

所以MFi統(tǒng)BC.

所以四邊形8MBe為平行四邊形，

因此，BMIICFi.

因?yàn)樾?=；小囪，BE=；AB,

且統(tǒng)ZB,

所以小加統(tǒng)BE,

所以四邊形BMA出為平行四邊形，

則BMWA\E.

因此，CF\IIAiE,

同理可證小尸"CE\.

因?yàn)镹E4尸與NECB的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，且方向都相反，所以NE4尸

=NEiCFi.

規(guī)律方法(1)空間兩條直線平行的證明：一是定義法：即證明兩條直線在

同一個(gè)平面內(nèi)且兩直線沒(méi)有公共點(diǎn)；二是利用平面圖形的有關(guān)平行的性質(zhì)，如三

角形，梯形中位線，平行四邊形等關(guān)于平行的性質(zhì)；三是利用公理4:找到一條

直線，使所證的直線都與這條直線平行.

(2)求證角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似.

跟蹤演練2如圖，已知E,F,G,H分別是空間四邊形N8C。的邊

BC,CD,DA的中點(diǎn).

A

(1)求證：E,F,G,"四點(diǎn)共面;

(2)若四邊形EEG"是矩形，求證：ACLBD.

證明(1)在中，

,:E,"分別是的中點(diǎn)，

.'.EHIIBD.

同理尸G//8。，則EHIIFG.

故E,F,G,”四點(diǎn)共面.

(2)由⑴知EH"BD,同理4CI/G”.

又???四邊形是矩形，

?^?EH^LGH.故AC^LBD.

要點(diǎn)三求異面直線所成的角

例3(2014?達(dá)州高一檢測(cè))如圖，在空間四邊形/BCD中，AD=BC=2,E、

產(chǎn)分別是48、C。的中點(diǎn)，若EF=中,求異面直線8C所成角的大小.

解

如圖，取8。的中點(diǎn)連接EM、FM.

因?yàn)镋、E分別是ZB、8的中點(diǎn)，

所以E"女秀》Z),堿BC,

則或其補(bǔ)角就是異面直線8c所成的角.

AD=BC=2,所以EM=MF=1,

在等腰△MEF中，過(guò)點(diǎn)M,作MHLEF于H,

在RtaMWE中，EM=1,EH=*F=S，

則sinNEW”=4，

于是NEAff/=60。，則NEA^F=2NEMH=120。.

所以異面直線N。、8c所成的角為的補(bǔ)角，即異面直線BC所

成的角為60°.

規(guī)律方法1.異面直線一般依附于某幾何體，所以在求異面直線所成的角

時(shí)，首先將異面直線平移成相交直線，而定義中的點(diǎn)。常選取兩異面直線中其

中一個(gè)線段的端點(diǎn)或中點(diǎn)或幾何體中的某個(gè)特殊點(diǎn).

2.求異面直線所成的角的一般步驟為：(1)作角：平移成相交直線.(2)證明：

用定義證明前一步的角為所求.(3)計(jì)算：在三角形中求角的大小，但要注意異

面直線所成的角的范圍.

跟蹤演練3

如圖，在正方體Z88一小囪GA中，

(1MC和DD\所成的角是；

(2)AC和D\C\所成的角是；

(3)JC和BQi所成的角是；

(4)AC和AXB所成的角是.

答案(1)90。(2)45°(3)90°(4)60°

解析(1)根據(jù)正方體的性質(zhì)可得NC和。。所成的角是90。.

(2),.?￡)!qIIDC,所以NZC。即為/。和。Ci所成的角，由正方體的性質(zhì)

得N〃C0=45。.

(3\.-BDIIBiDi，BDLAC,.-.BXD\LAC,即ZC和囪口所成的角是90。.

(4)；4山"DC是等邊三角形，所以NC和所成的角是60。.

■當(dāng)堂檢測(cè)i當(dāng)堂訓(xùn)練，體驗(yàn)成功

1.(2014?臨沂高一檢測(cè))若空間兩條直線a和6沒(méi)有公共點(diǎn)，則a與b的位

置關(guān)系是()

A.共面B.平行

C.異面D.平行或異面

答案D

解析若直線。和6共面，則由題意可知a"6；若。和6不共面，則由題

意可知。與b是異面直線.

2.一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是

()

A.平行或異面B.相交或異面

C.異面D.相交

答案B

如圖，在正方體中，441與8C是異面直線，又AAiIIBBi，

A4IIDDi，顯然=&。。與BC是異面直線，故選B.

3.設(shè)尸是直線/外一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸且與/成30。角的異面直線()

A.有無(wú)數(shù)條B.有兩條

C.至多有兩條D.有一條

答案A

我們現(xiàn)在研究的平臺(tái)是錐空間.如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作直線以/'為

軸，與/'成30。角的圓錐面的所有母線都與/成30。角.

4.已知角a的兩邊和角夕的兩邊分別平行且a=80。，則夕=.

答案80。或100°

解析由等角定理可知，a"或a+夕=180。，

??./?=100?；?0°.

5.在正方體中，￡為CQi的中點(diǎn)，則異面直線ZE與

所成的角的余弦值為.

答案|

解析設(shè)棱長(zhǎng)為1,

因?yàn)樾v〃C\DX,

所以NNE。就是異面直線ZE與所成的角.

在△工皿中，

…cDiE21

cos//EG==§=丁

2

課堂小結(jié)

1.判定兩直線的位置關(guān)系的依據(jù)就在于兩直線平行、相交、異面的定義.很

多情況下，定義就是一種常用的判定方法.

2.在研究異面直線所成角的大小時(shí)，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為

兩條相交直線所成的角.將空間問(wèn)題向平面問(wèn)題轉(zhuǎn)化，這是我們學(xué)習(xí)立體幾何的

一條重要的思維途徑.需要強(qiáng)調(diào)的是，兩條異面直線所成角為仇且0。<。或90。,

解題時(shí)經(jīng)常結(jié)合這一點(diǎn)去求異面直線所成的角的大小.

營(yíng)分層訓(xùn)練i解解糾偏，訓(xùn)練檢測(cè)

一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關(guān)系是（）

A.一定平行B.一定相交

C.一定異面D.相交或異面

答案D

解析可能相交也可能異面，但一定不平行（否則與條件矛盾）.

2.6為異面直線是指

①4門/>=0,且a不平行于6；②aU平面a,用平面a,且aCZ>=0；③aU

平面a,6U平面B，且an尸=0；④不存在平面a能使aUa,且bUa成立.（）

A.①②③B.①③④

C.②③D.①④

答案D

解析②③中的a,b有可能平行，①④符合異面直線的定義.

3.（2014?鄭州高一檢測(cè)）下列選項(xiàng)中，點(diǎn)尸，Q,R,S分別在正方體的四條

棱上，并且是所在棱的中點(diǎn)，則直線P0與是異面直線的一個(gè)圖是（）

答案C

解析易知選項(xiàng)A,B中P0//RS,選項(xiàng)D中RS與P。相交，只有選項(xiàng)C

中與尸0是異面直線.

4.下面四種說(shuō)法：

①若直線a、6異面，6、c異面，則a、c異面；

②若直線a、6相交，b、c相交，則a、c相交；

③若?！?,則“、6與c所成的角相等；

④若。_L6,bLc,則。〃c.其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.3

C.2D.1

答案D

解析若a、6異面，b、c異面，則a、c相交、平行、異面均有可能，故

①不對(duì).若a、b相交，6、c相交，則a、c相交、平行、異面均有可能，故②

不對(duì).若hlc,則a、c平行、相交、異面均有可能，故④不對(duì).③正確.

5.（2014?威海高一檢測(cè)）如圖,三棱柱ABC—AiB?中,底面三角形481G

是正三角形，E是的中點(diǎn)，則下列敘述正確的是（）

A,

A.CG與8E是異面直線

B.CC與NE共面

C.AE,囪G是異面直線

D.ZE與囪G所成的角為60。

答案C

解析由于CCt與囪E都在平面G88C內(nèi)，故GC與SE是共面的，所以

A錯(cuò)誤；由于CC在平面C/iBC內(nèi)，而ZE與平面G58C相交于E點(diǎn)，點(diǎn)E

不在CC上，故CC與ZE是異面直線，B錯(cuò)誤；同理/E與8iG是異面直線，

C正確；而ZE與&G所成的角就是/E與8C所成的角，E為6c中點(diǎn)，AABC

為正三角形，所以ZEJL8C,D錯(cuò)誤.綜上所述，故選C.

6.^AB//A'B',AC//A'C,則下列結(jié)論：

①NBAC=NB，A'C；

@ZABC+ZA'B'C'=180°；

?ZACB=ZA'CB'或NNC8+"C'B'=180°.

一定成立的是.

答案③

解析ABIIA'B',ACIIA'C',

NACB=NA'C'B'或N/CB+N/'CB'=180°.

7.在正方體力BCD—4B|CQi中，求小8與囪口所成的角.

解

如圖，連接8。、A}D,

??288-小歷。。1是正方體,

?..加）燃即,

四邊形DBBQ1為平行四邊形，

.--BDIIB\D\.

???48、BD、小。是全等的正方形的對(duì)角線,

??A\B-BD=A\Dy

△48。是正三角形，

???ZAiBD=60°.

??,N48。是銳角，

，/小8。是異面直線與所成的角，

與用人所成的角為60°.

二、能力提升

8.（2014?信陽(yáng)高一檢測(cè)）如圖所示，正方體中，異面直線48

與ZA所成角為（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

答案C

解析連接8C1、4G，???8G”4）1，.??異面直線48與4）1所成的角即

為直線小8與8G所成的角.

在△48G中，A\B=BC\—A\C\i

N4BG=60。.故異面直線A\B與ADX所成角為60°.

9.在空間四邊形N8S中,/8=8,且異面直線AB與CD所成的角為30°,

E、E分別是邊8c和/。的中點(diǎn)，則異面直線EE和所成的角等于（）

A.15°B.30°

C.75°D.15?；?5。

答案D

解析

A

C

如圖，設(shè)G是/。中點(diǎn)，分別連接EG、GR由已知得EG統(tǒng)FG號(hào)CD,

，NEGF是AB和CD所成角或是其補(bǔ)角.

■■■AB=CD,:.EG=GF.

當(dāng)NEG/7=30。時(shí)，48和￡尸所成角NGM=75。，

當(dāng)NEGE=150。時(shí)，Z8和EE所成角NGEE=15。.

10.一個(gè)正方體紙盒展開(kāi)后如圖，在原正方體紙盒中有下列結(jié)論：

?ABLEF；②28與CM所成的角為60。；③良'與MN是異面直線；④）MN

//CD.

以上結(jié)論中正確的是（填序號(hào)）.

IE

答案①③

解析把正方體平面展開(kāi)圖還原為原來(lái)的正方體，如圖所示，ABLEF,EF

與肱V是異面直線，ABIICM,MNLCD,只有①③正確.

BD

;F0C

11.如圖所示，在正四棱柱/8C。一小囪GA中，

AAi=2AB,求異面直線48與/2所成角的余弦值.

解連接4G，BCi，

由小得N8統(tǒng)。C1，四邊形Z8G，是平行四邊

形，.-.BCi^ADi，

N4BG是異面直線48與AD\所成的角或其補(bǔ)角.

如右圖所示，過(guò)8,G分別作8A/J-aG，垂足為A/,

CiNlAiB,垂足為N.

由已知可設(shè)小囪=1,

則AA\=BB\=2,

?''A\B=BC\=\[5,

4G=啦.，點(diǎn)M是4G中點(diǎn),

啦

，…cA\M2遮

???cosN54G=9=存=10.

?.,在Rt△小NG中，

A\N=A\C\CQS/-BA\C\=^-,

-'-BN=A\B-A\N=\[5-曰=

織一嫗乂工4

-9-cosZA\BC\=

BC15*小5,

三、探究與創(chuàng)新

12.如圖，四邊形'和/8C。都是直角梯形，NBAD=NE4B=90。,BC

//AD,BC=^AD,BE//FA,BE=*4,G,H分別為E4,ED的中點(diǎn).

(1)證明：四邊形BC”G是平行四邊形；

(2)C,D,F,E四點(diǎn)是否共面?為什么?

(1)證明由已知RG=GN,切=〃。，

可得GHIIAD,GH=又BCIIAD,

BC=%D,???GHIIBC,GH=BC,

???四邊形BCHG為平行四邊形.

(2)解C,D,F,E四點(diǎn)共面.證明如下:

由BEIIE4,BE=54,G為Al中點(diǎn)知，

BEIIFG,BE=FG,

，四邊形BEFG為平行四邊形，

.--EFWBG,EF=BG.

由(1)知8GliC",BG=CH,

.'.EFWCH,EF=CH,

四邊形EFHC是平行四邊形，

；.CE與HF共面,又DSFH,

..C,D,F,E四點(diǎn)共面.

13.如圖所示，△/BC和△HB'C'的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線44'、88'、CC'

大千0-—04BOCO2

父于同一人、°，\\.OA>-OB，-oc'-3-

⑴求證：A'B'//AB,A'C//AC,B'C//BC；

⑵求4-

的值.

B'C

(1)證明---AA'CBB'=O,

40_BO_2

且0=B'O=?

.--ABIIA'B',

同理NC"/'C,BCIIB'C'.

(2)解':A'B'IIAB,A'C1/NC且和Z'B'、NC和C方向

相反，

???NBAC=NB'A'C',

同理NZ8C=NA'B'C,

'△ABCs"B'C且擊=景/

.S△-8C_02__4

S^A,B'C⑴夕

2.1.3空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

2.1.4平面與平面之間的位置關(guān)系

彳預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)挑戰(zhàn)自我，點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］

1.了解直線與平面之間的三種位置關(guān)系，會(huì)用圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言表示.

2.了解平面與平面之間的兩種位置關(guān)系，會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言表示.

［知識(shí)鏈接］

1.空間中兩條直線的位置關(guān)系有平行、相交、異^面.

2.異面直線所成角的范圍為（0。，90。］.

［預(yù)習(xí)導(dǎo)引］

1.直線與平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系定義圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

直線在平

有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)aUa

面內(nèi)

直線與平有且只有一個(gè)公共

言7

面相交點(diǎn).

直線與平a

沒(méi)有公共點(diǎn)alla

面平行

2.兩個(gè)平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)

平面a與平

//a〃￡沒(méi)有公共點(diǎn)

面B平行%/

平面a與平

上am有一條公共直線

面夕相交

F課堂講義1重點(diǎn)難點(diǎn)，個(gè)個(gè)擊破

要點(diǎn)一直線與平面的位置關(guān)系

例1以下命題（其中6表示直線，a表示平面），①若a〃6,bUa,則a

//a；②若a〃a,h//a,則a〃8；③若a〃人，h//a,則a〃a；④若。〃。，bUa,

則a〃6.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0個(gè)B.1個(gè)

C.2個(gè)D.3個(gè)

答案A

如圖所示在長(zhǎng)方體Z8C。-

Z'8'C'中，ABIICD,A5U平面A5C。，但C0U平面A8C。，故①

錯(cuò)誤；

A'B'II平面4BCD,B'CII平面4BCD,但，B'與B'C'相交，

故②錯(cuò)誤；

ABWA'B',A'B'II平面4BCD,但/8U平面488,故③錯(cuò)誤；

A'B'IIABCD,8CU平面Z8CZ）,但HB'與8c異面，故④錯(cuò)誤.

規(guī)律方法1.本題在求解時(shí)，常受思維定勢(shì)影響，誤以為直線在平面外就是

直線與平面平行.

2.判斷直線與平面位置關(guān)系的問(wèn)題，其解決方式除了定義法外，還可以借

助模型（如長(zhǎng)方體）和舉反例兩種行之有效的方法.

跟蹤演練1（2014?宜昌高一檢測(cè)）下列命題：

①若直線/平行于平面a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則/〃a

②若直線a在平面a外，則a〃a

③若直線?！ǚ剑本€6Ua,貝Ua〃a

④若直線?！ㄉ现本€力Ua,那么直線a就平行于平面a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線

其中假命題的序號(hào)是.

答案①②③

解析對(duì)于①，???直線/雖與平面a內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行，但/有可能在平面

a內(nèi)，不一定平行于a,??.①是假命題.對(duì)于②，???直線a在平面a外包括兩

種情況：a//a和a與a相交，和a不一定平行，②是假命題.對(duì)于③，

,??直線。”6,bUa,則只能說(shuō)明。和，無(wú)公共點(diǎn)，但a可能在平面a內(nèi)，

r?a不一定平行于a,.,.③是假命題.對(duì)于④，TaIIb,bUa,那么aUa或a"

a,所以?？梢耘c平面a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線平行，，④是真命題.

要點(diǎn)二平面與平面的位置關(guān)系

例2給出的下列四個(gè)命題中，其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

①平面a內(nèi)有兩條直線和平面夕平行，那么這兩個(gè)平面平行；②平面a內(nèi)有

無(wú)數(shù)條直線和平面夕平行，則a與尸平行；③平面a內(nèi)△N8C的三個(gè)頂點(diǎn)到平

面夕的距離相等，則a與夕平行；④若兩個(gè)平面有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面

的位置關(guān)系是相交或重合.