高中一輪復習理數板塊命題點專練（十）立體幾何

板塊命題點專練(十)立體幾何命題點一空間幾何體的表面積與體積1.(2015·江蘇高考)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為4的圓錐和底面半徑為2，高為8的圓柱各一個，若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個，則新的底面半徑為________．解析：設新的底面半徑為r，由題意得eq\f(1,3)×π×52×4＋π×22×8＝eq\f(1,3)×π×r2×4＋π×r2×8，解得r2＝7，所以r＝eq\r(7).答案：eq\r(7)2．(2014·江蘇高考)設甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2，若它們的側面積相等，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，則eq\f(V1,V2)的值是________．解析：設甲、乙兩個圓柱的底面半徑分別是r1，r2，母線長分別是l1，l2.則由eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)可得eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).又兩個圓柱的側面積相等，即2πr1l1＝2πr2l2，則eq\f(l1,l2)＝eq\f(r2,r1)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(S1l1,S2l2)＝eq\f(9,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)3．(2013·江蘇高考)如圖，在三棱柱A1B1C1-ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA1的中點，設三棱錐F-ADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1-ABC的體積為V2，則V1∶V2＝________.解析：設三棱柱A1B1C1-ABC的高為h，底面三角形ABC的面積為S，則V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)S×eq\f(1,2)h＝eq\f(1,24)Sh＝eq\f(1,24)V2，即V1∶V2＝1∶24.答案：1∶244．(2017·全國卷Ⅱ)長方體的長，寬，高分別為3,2,1，其頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為________．解析：由題意知，長方體的體對角線長為eq\r(32＋22＋12)＝eq\r(14)，記長方體的外接球的半徑為R，則有2R＝eq\r(14)，R＝eq\f(\r(14),2)，因此球O的表面積為S＝4πR2＝14π.答案：14π5．(2017·全國卷Ⅱ)如圖，四棱錐P-ABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)證明：直線BC∥平面PAD；(2)若△PCD的面積為2eq\r(7)，求四棱錐P-ABCD的體積．解：(1)證明：在平面ABCD內，因為∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD.又BC?平面PAD，AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD.(2)如圖，取AD的中點M，連接PM，CM.由AB＝BC＝eq\f(1,2)AD及BC∥AD，∠ABC＝90°，得四邊形ABCM為正方形，則CM⊥AD.因為側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.因為CM?底面ABCD，所以PM⊥CM.設BC＝x，則CM＝x，CD＝eq\r(2)x，PM＝eq\r(3)x，PC＝PD＝2x.取CD的中點N，連接PN，則PN⊥CD，所以PN＝eq\f(\r(14),2)x.因為△PCD的面積為2eq\r(7)，所以eq\f(1,2)×eq\r(2)x×eq\f(\r(14),2)x＝2eq\r(7)，解得x＝－2(舍去)或x＝2.于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2eq\r(3).所以四棱錐P-ABCD的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(22＋4,2)×2eq\r(3)＝4eq\r(3).6．(2017·北京高考)如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D為線段AC的中點，E為線段PC上一點．(1)求證：PA⊥BD；(2)求證：平面BDE⊥平面PAC；(3)當PA∥平面BDE時，求三棱錐E-BCD的體積．解：(1)證明：因為PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，所以PA⊥平面ABC.又因為BD?平面ABC，所以PA⊥BD.(2)證明：因為AB＝BC，D為AC的中點，所以BD⊥AC.由(1)知，PA⊥BD，又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.因為BD?平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC.(3)因為PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，所以PA∥DE.因為D為AC的中點，所以DE＝eq\f(1,2)PA＝1，BD＝DC＝eq\r(2).由(1)知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC.所以三棱錐E-BCD的體積V＝eq\f(1,6)BD·DC·DE＝eq\f(1,3).7．(2017·全國卷Ⅰ)如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)證明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱錐P-ABCD的體積為eq\f(8,3)，求該四棱錐的側面積．解：(1)證明：由∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.因為AB∥CD，所以AB⊥PD.又AP∩PD＝P，所以AB⊥平面PAD.又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.(2)如圖所示，在平面PAD內作PE⊥AD，垂足為E.由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，可得PE⊥平面ABCD.設AB＝x，則由已知可得AD＝eq\r(2)x，PE＝eq\f(\r(2),2)x.故四棱錐P-ABCD的體積VP-ABCD＝eq\f(1,3)AB·AD·PE＝eq\f(1,3)x3.由題設得eq\f(1,3)x3＝eq\f(8,3)，故x＝2.從而PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2eq\r(2)，PB＝PC＝2eq\r(2).可得四棱錐P-ABCD的側面積為eq\f(1,2)PA·PD＋eq\f(1,2)PA·AB＋eq\f(1,2)PD·DC＋eq\f(1,2)BC2sin60°＝6＋2eq\r(3).命題點二直線、平面平行與垂直的判定與性質1.(2017·江蘇高考)如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求證：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.證明：(1)在平面ABD內，因為AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因為EF?平面ABC，AB?平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因為平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC?平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因為AD?平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC，BC?平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因為AC?平面ABC，所以AD⊥AC.2．(2016·江蘇高考)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求證：(1)直線DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.證明：(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因為D，E分別為AB，BC的中點，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.又因為DE?平面A1C1F，A1C1?平面A1C1F，所以直線DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因為A1C1?平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.又因為A1C1⊥A1B1，A1A?平面ABB1A1，A1B1?平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.因為B1D?平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.又因為B1D⊥A1F，A1C1?平面A1C1F，A1F?平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因為直線B1D?平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.3.(2014·江蘇高考)如圖，在三棱錐P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求證：(1)直線PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.證明：(1)因為D，E分別為棱PC，AC的中點，所以DE∥PA.又因為PA?平面DEF，DE?平面DEF，所以直線PA∥平面DEF.(2)因為D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝eq\f(1,2)PA＝3，EF∥BC，EF＝eq\f(1,2)BC＝4.又因為DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.因為AC∩EF＝E，AC?平面ABC，EF?平面ABC，所以DE⊥平面ABC.又DE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.4．(2017·山東高考)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱錐C1-B1CD1后得到的幾何體如圖所示．四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD的交點，E為AD的中點，A1E⊥平面ABCD.(1)證明：A1O∥平面B1CD1；(2)設M是OD的中點，證明：平面A1EM⊥平面B1CD1.證明：(1)取B1D1的中點O1，連接CO1，A1O1，因為ABCD-A1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，因此四邊形A1OCO1為平行四邊形，所以A1O∥O1C，因為O1C?平面