4.1 比例線段（4大題型）（分層練習）（解析版）

第4章相似三角形4.1比例線段（4大題型）分層練習考查題型一比例的性質(zhì)1．（2023秋·福建泉州·九年級?？茧A段練習）若，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知等式可得，再代入所求代數(shù)式計算可得答案．【詳解】解：∵，∴，∴故選C．【點睛】此題考查的是比例的性質(zhì)，能夠?qū)λo等式進行正確變形是解決此題的關鍵．2．（2023秋·全國·九年級專題練習）已知，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)比的性質(zhì)化簡，得，進而得到．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，故選：B．【點睛】此題考查了比例的性質(zhì)，正確掌握比例的性質(zhì)是解題的關鍵．3．（2023秋·福建泉州·九年級?？茧A段練習）已知，那么的值為．【答案】1【分析】利用比例的性質(zhì)，進行計算即可解答．【詳解】解：∵，∴設，，∴，故答案為：1．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關鍵．4．（2023秋·河北石家莊·九年級?？茧A段練習）在創(chuàng)建全國文明城市的過程中，某市要對新華南路的路面進行維修改造若從的圖紙上量得該路的圖上距離為，則這條路的實際距離是．【答案】2【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)得出這條道路的實際長度為，再轉(zhuǎn)化單位即可求解．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查了比例線段，掌握比例的性質(zhì)是解題的關鍵．5．（2023秋·全國·九年級專題練習）（1）若，則___________；（2）若，則___________；（3）若，則___________．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）對化簡得，再把代入，即可；（2）根據(jù)，得，把的值代入，即可；（3）對化簡，得，把的值代入，即可【詳解】（1）∵，∴；故答案為：．（2）∵，∴，∴，故答案為：．（3）∵，∴，∴．故答案為：．【點睛】考查比例性質(zhì)運用中的基本計算，關鍵是掌握比例的基本性質(zhì)．考查題型二線段的比1．（2023秋·全國·九年級專題練習）一個機器零件的長度是8毫米，畫在比例尺是的圖紙上的長度是（

）A．8分米 B．8毫米 C．8厘米 D．8米【答案】C【分析】根據(jù)比例尺圖上距離：實際距離進行求解即可．【詳解】解：由題意得：圖上距離：實際距離，∴圖上距離：8毫米，∴圖上距離為80毫米，即為8厘米，故選：C．【點睛】本題主要考查了比例尺，熟知比例尺圖上距離：實際距離是解題的關鍵．2．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，以為斜邊作等腰直角三角形，再以為圓心，長為半徑作弧，交線段于點，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可知是等腰直角三角形，設，可用含的式子表示的長，再根據(jù)以為圓心，長為半徑作弧，可知的長，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，是等腰直角三角形，設，∴，∵以為圓心，長為半徑作弧，交線段于點，∴，∴，故選：．【點睛】本題主要考查作圖求線段的比值，理解題意，找出線段之間的大小關系是解題的關鍵．3．（2023秋·云南楚雄·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，D、E分別是AB、AC的中點，則．【答案】/0.5【分析】根據(jù)點D是AB中點直接得出的值即可【詳解】解：∵點D是AB中點，∴AB=2AD，∴故答案為：【點睛】本題考查了線段的中點及線段的比，解決本題的關鍵是熟練掌握線段中點的定義．4．（2023秋·安徽六安·九年級?？茧A段練習）已知三條線段cm，m，b為a，c的比例中項，則cm．【答案】【分析】根據(jù)比例中項的概念求解即可，b為a，c的比例中項，則．【詳解】解：由題意可得，b為a，c的比例中項，則，∵cm，m∴則，解得，負值舍去，故答案為．【點睛】此題考查了比例中項的概念，掌握比例中項的概念是解題的關鍵，注意求解時單位的換算．5．（2023秋·全國·九年級專題練習）已知線段、、，且.（1）求的值；（2）若線段、、滿足，求、、的值.【答案】（1）；（2），，【分析】（1）設，則，，，代入即可化簡；（2）根據(jù)得到，解出k即可求解.【詳解】解；（1）設則，，∴（2）∵∴解得∴，，【點睛】此題主要考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)已知得出，，進而得出k的值是解題關鍵．考查題型三成比例線段1．（2023秋·廣東佛山·九年級校考階段練習）已知，，，成比例線段，其中，，，則（

）A．8cm B．9.5cm C．4cm D．4.5cm【答案】A【分析】根據(jù)成比例線段列式計算即可．【詳解】解：∵，∴，故選A．【點睛】此題考查了成比例線段，熟練掌握成比例線段的定義是解題的關鍵．2．（2023秋·湖南永州·九年級校考期末）下列各組中的四條線段成比例的是（

）A．1cm，2cm，3cm，6cm B．4cm，5cm，6cm，10cmC．1cm，2cm，5cm，6cm D．3cm，4cm，5cm，6cm【答案】A【分析】四條線段成比例，根據(jù)線段的長短關系，從小到大排列，判斷中間兩項的積是否等于兩邊兩項的積，相等即成比例．【詳解】解：A、，四條線段成比例，符合題意；B、，四條線段不成比例，不符合題意；C、，四條線段不成比例，不符合題意；D、，四條線段不成比例，不符合題意；故選A．【點睛】本題考查比例線段，理解成比例線段的概念，注意在線段兩兩相乘的時候，要讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進行判斷．3．（2023春·安徽合肥·九年級?？茧A段練習）若線段、、、成比例，其中，，，則．【答案】4cm【分析】根據(jù)成比例線段的概念，得．再根據(jù)比例的基本性質(zhì)，求得的值．【詳解】解：∵四條線段成比例，，，，解得：．故答案為：．【點睛】本題考查了比例線段的定義，注意根據(jù)已知條件寫比例式的時候，一定要注意順序．然后根據(jù)比例的基本性質(zhì)進行求解．4．（2023秋·甘肅白銀·九年級統(tǒng)考期末）如果線段a，b，c，d是成比例線段，且，那么為．【答案】24【分析】由題意可得出，代入數(shù)據(jù)，即可求出的值．【詳解】解：∵是成比例線段，，即，解得：，故答案為：24【點睛】本題考查比例線段的定義．注意各個字母的順序是解題關鍵．5．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖所示，有矩形ABCD和矩形，AB＝8cm，BC＝12cm，＝4cm，＝6cm．(1)求和；(2)線段，AB，，BC是成比例線段嗎？【答案】(1)，(2)線段，AB，，BC是成比例線段．【分析】（1）根據(jù)已知條件，代入和，即可求得結果；（2）根據(jù)和的值相等，即可判斷線段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例線段．【詳解】（1）∵AB＝8cm，BC＝12cm，A′B′＝4cm，B′C′＝6cm．∴＝＝，＝＝（2）由（1）知＝＝，＝＝；∴＝，∴線段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例線段．【點睛】本題考查了比例線段，知道成比例線段的條件是解題的關鍵．考查題型四黃金分割1．（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖，點C為線段的黃金分割點，，若，則的長為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)黃金分割點的定義，線段上一點將線段分成兩部分，兩部分中較短的線段與較長線段的比值等于較長的線段與整條線段的比值等于，這個點就叫做這條線段的黃金分割點，進行求解即可．【詳解】解：由題意，得：，∴；故選A【點睛】本題考查黃金分割點．熟記定義，是解題的關鍵．2．（2023秋·河北石家莊·九年級?？茧A段練習）我們把頂角為的等腰三角形稱為“黃金三角形”，它的底與腰的比值為.如圖，在中，，，平分交于點D，若，則的長為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得，再利用角平分線的定義可得，從而利用三角形內(nèi)角和定理可得，進而可得，然后利用等角對等邊可得，從而可得是“黃金三角形”，最后進行計算即可解答．【詳解】解：，，平分，，，，，是“黃金三角形”，，，，故選：A．【點睛】本題考查了黃金分割，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握黃金分割，以及等腰三角形的判定是解題的關鍵．3．（2023秋·陜西西安·九年級?？茧A段練習）某品牌汽車為了打造更加精美的外觀，特將汽車倒車鏡設計為整個車身黃金分割點的位置（如圖，即車尾到倒車鏡的距離與車長之比為），若車頭與倒車鏡的水平距離為，則該車車身總長為m．【答案】5【分析】設該車車身總長為，利用黃金分割點的定義得到汽車倒車鏡到車尾的水平距離為，則根據(jù)題意列方程，然后解方程即可．【詳解】解：設該車車身總長為，∵汽車倒車鏡設計為整個車身黃金分割點的位置，∴汽車倒車鏡到車尾的水平距離為，∴，解得，即該車車身總長為5米．故答案為：5．【點睛】本題考查了黃金分割：把線段分成兩條線段和，且使是和的比例中項（即），叫做把線段黃金分割，點C叫做線段的黃金分割點．4．（2023秋·陜西西安·九年級校考階段練習）黃金分割大量應用于藝術、大自然中，樹葉的葉脈也蘊含著黃金分割，如圖，為的黃金分割點（），如果的長度為，則的長度為．

【答案】/【分析】根據(jù)黃金分割的定義可知：，由此求解即可；【詳解】解：∵為的黃金分割點，∴∴（）故答案為：【點睛】本題考查了黃金分割的定義；熟記黃金比是解題的關鍵．5．（2023秋·全國·九年級專題練習）美是一種感覺，當人體下半身長與身高的比值越接近時，越給人一種美感．如圖，某女士身高，下半身長與身高的比值是．(1)求該女士下半身長；(2)為盡可能達到美的效果，求她應穿的高跟鞋的高度．（結果精確到）【答案】(1)該女士下半身x為；(2)她應穿的高跟鞋的高度為．【分析】（1）列式計算即可求解；（2）設需要穿的高跟鞋是，列方程求解即可．【詳解】（1）解：；答：該女士下半身x為；（2）解：設需要穿的高跟鞋是，則，解得：，答：她應穿的高跟鞋的高度為．【點睛】本題主要考查了黃金分割的應用．明確黃金分割所涉及的線段的比是解題關鍵．1．（2023秋·黑龍江大慶·九年級?？奸_學考試）下面四組線段中，不能成比例的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)成比例線段的定義，對各選項進行計算判斷即可．【詳解】解：，即，A成比例，故不符合要求；，即，B成比例，故不符合要求；，C不成比例，故符合要求；，即，D成比例，故不符合要求；故選：A．【點睛】本題考查了成比例線段．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與正確運算．2．（2023春·江蘇淮安·八年級?？茧A段練習）若，則下列各式中不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設，．代入選項計算結果，即可得到答案．【詳解】解：設，，A．，正確，故A選項不符合題意；B．，原式錯誤，故B選項符合題意；C．，正確，故C選項不符合題意；D．，正確，故D選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查比例的基本性質(zhì)，解題的關鍵是利用換元法進行約分消元求值．3．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，點是線段的黃金分割點，且，下列選項錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)黃金分割的定義得，即可解決問題．【詳解】解：點是線段的黃金分割點，且，，，，A、C、D選項不符合題意，故選：B．【點睛】本題考查了黃金分割，解題的關鍵是掌握黃金分割的定義：把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大的比值，這個比值為，近似值為，即為黃金分割．4．（2023秋·全國·九年級專題練習）若，則的值為（

）A． B．1 C．1.5 D．3【答案】A【分析】先用b、d、f分別表示出a、c、e，再代入要求的式子即可．【詳解】解：由，，，故選：A．【點睛】此題考查比例的性質(zhì)，解題關鍵在于掌握其性質(zhì)定義．5．（2023春·河北承德·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，將矩形紙片按照以下方法裁剪：剪去矩形邊長的，邊長的（稱為第一次裁剪）；剪去剩下的矩形（陰影部分）邊長的，長的（稱為第二次裁剪）；如此操作下去，若第五次裁剪后，剩下的圖形恰好是正方形，則原矩形的長寬比為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設原矩形的長為x，寬為y，則第一次裁剪所得矩形的長為，寬為，以此類推得出第五次剪所得矩形有，即可求出答案．【詳解】設原矩形的長為x，寬為y，則第一次裁剪所得矩形的長為，寬為，第二次裁剪所得矩形的長為，寬為，第三次裁剪所得矩形的長為，寬為，第四次裁剪所得矩形的長為，寬為，第五次裁剪所得剩下的圖形恰好是正方形，，．故選：A．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟悉掌握該知識點是解題關鍵．6．（2023秋·遼寧沈陽·九年級沈陽市實驗學校校考階段練習）已知點C是線段的黃金分割點，，若，則的長為．【答案】【分析】根據(jù)黃金分割點的定義解答，把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項．【詳解】解：點C是線段的黃金分割點，，設，，，，，，（舍去），，故答案為：．【點睛】本題考查黃金分割點的定義，牢記比例關系和黃金分割比是關鍵．7．（2023秋·遼寧沈陽·九年級沈陽市實驗學校校考階段練習）若，則.【答案】3【分析】根據(jù)比例設，則，然后代入比例式進行計算即可．【詳解】解：，設，則，，．故答案為：3．【點睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)，掌握比的基本性質(zhì)是解題的關鍵．8．（2023春·山東威?！ぐ四昙壭Ｂ?lián)考期末）在學習畫線段的黃金分割點時，小明過點作的垂線，取的中點，以點為圓心，為半徑畫弧交射線于點，連接，再以點為圓心，為半徑畫弧，前后所畫的兩弧分別與交于，兩點，最后，以為圓心，“■■”的長度為半徑畫弧交于點，點即為的其中一個黃金分割點，這里的“■■”指的是線段．

【答案】【分析】根據(jù)作圖可知，，，設，則，根據(jù)勾股定理得，，求出，得出，即可得出結論．【詳解】解：根據(jù)作圖可知，，，設，則，根據(jù)勾股定理得，，，，以為圓心，“”的長度為半徑畫弧交于點，點即為的其中一個黃金分割點．故答案為：．【點睛】本題主要考查了勾股定理，黃金分割，解的關鍵是求出．9．（2023·河北衡水·?？寄M預測）已知A，B兩地相距，甲、乙兩人分別從A，B兩地同時勻速出發(fā)．若相向而行，則經(jīng)過后兩人相遇；若同向而行，則經(jīng)過后甲追上乙（1）甲、乙兩人的速度，；（用含a，b的代數(shù)式表示）（2）若，則．【答案】【分析】（1）根據(jù)題意可得，相向而行時，甲乙兩人的路程和等于A，B兩地距離，同向而行時，甲乙兩人路程差等于A，B兩地距離，列出方程組求解即可；（2）由（1）可得，整理可得，即可得出．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得：，整理得：，解得：，故答案為：，．（2）由（1）可得，∴，，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了列代數(shù)式，解二元一次方程組，比例的性質(zhì)，解題的關鍵是正確理解題意，找出等量關系，掌握解二元一次方程組的方法和步驟．10．（2023秋·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點為上的黃金分割點（），，作如下操作：步驟1：以點為圓心，小于1為半徑作圓弧，分別與，交于點，；步驟2：作的中垂線；步驟3：以點為圓心，為半徑為圓弧交于點，連接．則線段，，圓弧圍成的幾何圖形面積為．【答案】【分析】根據(jù)為上的黃金分割點得到，根據(jù)得到的長度，于是線段，，