甘肅省2018-2019年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)(文)試題

PAGE1-高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（文）試題第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由題意得，,故選B.2.在復(fù)平面，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】B3.我國南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著《數(shù)學(xué)九章》中有“米谷粒分”問題：糧倉開倉收糧，糧農(nóng)送來米1512石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得216粒內(nèi)夾谷27粒，則這批米內(nèi)夾谷約（）A.164石B.178石C.189石D.196石【答案】C【解析】試題分析：由已知，抽得樣本中含谷27粒，占樣本的比例為，則由此估計(jì)總體中谷的含量約為石.故選C.考點(diǎn)：抽樣中的用樣本去估計(jì)總體.4.下列選項(xiàng)中說法正確的是（）A.命題“為真”是命題“為真”的必要條件B.若向量滿足，則與的夾角為銳角C.若，則D.“”的否定是“”【答案】A【解析】對于，若為真命題，則至少有一個(gè)為真命題，若為真命題，則為命題，則為真命題，是“p∧q為真命題”的必要不充分條件，正確；對于，根據(jù)向量積的定義，向量滿足，則與的夾角為銳角或同向，故錯(cuò)誤；對于，如果時(shí)，成立，不一定成立，故錯(cuò)誤；對于“，”的否定是“，”故錯(cuò)誤，故選A.5.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（）A.B.C.D.2【答案】A【解析】試題分析：由已知得解得．故選A．考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式．6.已知雙曲線的離心率為，且拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在此拋物線上，為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)到該拋物線的準(zhǔn)線的距離為（）A.B.2C.D.1【答案】A【解析】試題分析：因?yàn)殡p曲線的離心率，所以，所以中點(diǎn)到該拋物線的準(zhǔn)線的距離為.考點(diǎn)：雙曲線及拋物線.7.某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用與銷售額的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：根據(jù)上表可得線性回歸方程中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為（）A.63.6萬元B.65.5萬元C.67.7萬元D.72.0萬元【答案】B【解析】∵，∵數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)在線性回歸直線上，

回歸方程中的為9.4∴線性回歸方程是y=9.4x+9.1，

∴廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為9.4×6+9.1=65.5，

故選：B．8.按照如圖的程序框圖執(zhí)行，若輸出結(jié)果為31，則處條件可以是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】試題分析：由已知，，，，，，，符合條件輸出，故選C.考點(diǎn)：直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖運(yùn)算.【名師點(diǎn)睛】算法與流程圖的考查，側(cè)重于對流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點(diǎn)條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問題，是求和還是求項(xiàng).9.曲線在點(diǎn)處得切線與直線和圍成的三角形的面積為（）A.B.C.D.1【答案】B【解析】由題意可得，曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，則切線方程與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線和圍成的三角形的面積為，故選B10.—個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，其中正方形的邊都是1，則該三棱錐的體積為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由三棱錐的三視圖可知，該三棱錐是一個(gè)直三棱錐，底面為邊長為1的等腰直角三角形，高為2的直三棱錐，故,故選B.11.已知雙曲線的一條漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率等于（）A.B.C.D.【答案】D則圓心為M(3,1)，半徑R=1，由得，則雙曲線的焦點(diǎn)在x軸,則對應(yīng)的漸近線為，設(shè)雙曲線的一條漸近線為，即ax?by=0，∵一條漸近線與圓相切，∴即圓心到直線的距離|3a?b|=c，平方得9a2?6ab+b2=c2=a2+b2，則離心率e=，故選：D.12.如圖，在邊長為2的正六邊形中，動圓的半徑為1，圓心在線段(含端點(diǎn)）上運(yùn)動，是圓上及內(nèi)部的動點(diǎn)，設(shè)向量(為實(shí)數(shù)），則的最大值是（）A.2B.3C.5D.6【答案】C【解析】如圖所示,①設(shè)點(diǎn)O為正六邊形的中心,則當(dāng)動圓Q的圓心經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，與邊BC交于點(diǎn)P，點(diǎn)P為邊BC的中點(diǎn)。連接OP，則，∵與共線,∴存在實(shí)數(shù)t,使得∴此時(shí)m+n=1+t+1?t=2，取得最小值②當(dāng)動圓Q的圓心經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，取AD的延長線與Q的交點(diǎn)P時(shí),此時(shí)m+n=5取得最大值。故選：C.第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知點(diǎn)的坐標(biāo)滿足條件，則的最大值為__________．【答案】10【解析】滿足約束條件的平面區(qū)域如下圖所示：因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)所表示的幾何意義是動點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，由圖得當(dāng)為A點(diǎn)時(shí)取得目標(biāo)函數(shù)的最大值，可知A點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,3)，代入目標(biāo)函數(shù)中,可得zmax=32+12=10.故答案為：10.14.已知數(shù)列滿足，則__________．【答案】255【解析】因?yàn)閿?shù)列滿足，（）

an=(an?an?1)+(an?1?an?2)+…+(a2?a1)+a1=2n?1+2n?2+…+2+1=2n?1.∴an=2n?1，即=25515.已知四面體的每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，底面，,則球的表面積為__________．【答案】【解析】取的中點(diǎn)，連結(jié),，在四面體中，平面，

是邊長為3的等邊三角形．,是等腰三角形，

的中心為，作交的中垂線于，為外接球的中心，,則四面體外接球的表面積為：．綜上所述，16.已知函數(shù)，且是函數(shù)的極值點(diǎn).給出以下幾個(gè)命題：①；②；③；④.其中正確的命題是__________.(填寫所有正確命題的序號）.【答案】①③【解析】試題分析：因?yàn)楹瘮?shù)，所以，所以．因?yàn)?，，所以，即①正確，②不正確；，即③正確，④不正確．故應(yīng)填①③．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知，其中.（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在中，角所對的邊分別為，，且向量與共線，求邊長和的值.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）化簡得，代入，求得增區(qū)間為；（2）由求得，余弦定理得.因?yàn)橄蛄颗c共線,所以,由正弦定理得，解得.試題解析：（1）由題意知,,在上單調(diào)遞增,令,得,的單調(diào)遞增區(qū)間.（2）,又,即.,由余弦定理得.因?yàn)橄蛄颗c共線,所以,由正弦定理得.考點(diǎn)：三角函數(shù)恒等變形、解三角形．18.經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出該產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每虧損300元.根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直圖，如圖所示.經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購進(jìn)了該農(nóng)產(chǎn)品.以表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場需求量，(單位:元)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤.（1）將表示為的函數(shù)；（2）根據(jù)直方圖估計(jì)利潤不少于57000元的概率.【答案】（1）（2）0.7【解析】試題分析：（I）由題意先分段寫出，當(dāng)X∈[100，130）時(shí)，當(dāng)X∈[130，150）時(shí)，和利潤值，最后利用分段函數(shù)的形式進(jìn)行綜合即可．（II）由（I）知，利潤T不少于57000元，當(dāng)且僅當(dāng)120≤X≤150．再由直方圖知需求量X∈[120，150]的頻率為0.7，利用樣本估計(jì)總體的方法得出下一個(gè)銷售季度的利潤T不少于57000元的概率的估計(jì)值．解：（I）由題意得，當(dāng)X∈[100，130）時(shí)，T=500X﹣300（130﹣X）=800X﹣39000，當(dāng)X∈[130，150]時(shí)，T=500×130=65000，∴T=．（II）由（I）知，利潤T不少于57000元，當(dāng)且僅當(dāng)120≤X≤150．由直方圖知需求量X∈[120，150]的頻率為0.7，所以下一個(gè)銷售季度的利潤T不少于57000元的概率的估計(jì)值為0.7．考點(diǎn)：頻率分布直方圖．19.如圖，四邊形是菱形，，平面，，，為中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使平面？若有，請找出具體位置，并進(jìn)行證明；若無，請分析說明理由.【答案】（1）見解析（2）當(dāng)點(diǎn)位于三分之一點(diǎn)（靠近點(diǎn)）時(shí)，平面【解析】試題分析：（1）證明平面垂直于平面，需要證明一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，根據(jù)題意，只需證明；平面即可，只需證明和即可，顯然易證；（2）若平面，需要只需要連結(jié)交于點(diǎn)，根據(jù)題意,所以相似于，所以又因?yàn)椋?，從而在?，而，當(dāng)點(diǎn)位于三分之一分點(diǎn)（靠近點(diǎn)）時(shí),平面．試題解析：（1）連結(jié)所以為中點(diǎn)所以又因?yàn)槠矫?所以……………4分所以平面因?yàn)槠矫?所以平面平面（2）當(dāng)點(diǎn)位于三分之一分點(diǎn)（靠近點(diǎn)）時(shí),平面連結(jié)交于點(diǎn),所以相似于又因?yàn)椋詮亩谥?而所以而平面平面所以平面考點(diǎn)：1．面面垂直的判定定理；2．動點(diǎn)問題．20.已知拋物線，過定點(diǎn)（常數(shù)）的直線與曲線相交于兩點(diǎn).（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求證：；（2）若，以為直徑的圓的位置是否恒過一定點(diǎn)？若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)，若不存在，請說明理由.【答案】（1）見解析（2）以為直徑的圓恒過定點(diǎn)【解析】試題分析：（1）要證明∠AED=∠BED，根據(jù)直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，只要證KAE=-KBE即可，討論直線AB的斜率是否存在，設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，即可得證；（2）設(shè)動直線l方程為x=ty+b，表示出B坐標(biāo)，聯(lián)立l與拋物線解析式，消去x得到關(guān)于y的方程，根據(jù)根的判別式等于0得出t與b的關(guān)系式，進(jìn)而設(shè)出A與O的坐標(biāo)，表示出向量AO與向量BO根據(jù)圓周角定理得到兩向量垂直，即數(shù)量積為0，列出關(guān)系式，確定出當(dāng)m=1，n=0時(shí)，上式對任意x∈R恒成立，即可得出使得以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)O，以及此時(shí)O的坐標(biāo).試題解析：（1）（a）當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，根據(jù)拋物線的對稱性有，；當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，依題意，可設(shè)直線的方程為（，），，則、兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組消去并整理，得，設(shè)直線和的斜率分別為，，則，.綜合（a）（b）可知.（2）以為直徑的圓恒過定點(diǎn).提示：證明21.已知函數(shù).（1）設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：.【答案】（1）（2）見解析【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，求出m的范圍即可；（2）設(shè)g(x)=f2(x)-f3(x)-2f1′(x)=ex-lnx-2，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，求出g（x）的最小值，從而證出結(jié)論．試題解析:（1）由題意得，所以，因?yàn)椋匀艉瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，所以若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則在上恒成立，即在上恒成立，所以綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）設(shè)則，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，由，得，存在唯一的使得，所以在上有，在上有所以在上單調(diào)遞減，在遞增.所以，故，.22.已知曲線的極坐標(biāo)方程是，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系