2024年中考數(shù)學第一次模擬試卷（南京卷）全解全析

年中考第一次模擬考試(南京卷)數(shù)學（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分．在每小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的）1．下列運算正確的是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)合并同類項法則，同底數(shù)冪相除法則，冪的乘方法則，完全平方公式計算即可．【詳解】解：A．與不是同類項，不可以合并，故錯誤；B．，故原計算錯誤；C．，原計算正確；D．，故原計算錯誤；故選：C．2．下列各式中計算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了算術平方根及立方根．根據(jù)算術平方根及立方根進行求解即可．【詳解】解：A、，故該選項不符合題意；B、，故該選項不符合題意；C、，故該選項不符合題意；D、，故該選項符合題意；故選：D．3．若關于x的一元一次不等式的解為，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查不等式的解集，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題關鍵．根據(jù)不等式的性質(zhì)可知，兩邊同時除以，不等式的符號發(fā)生改變，可知，求解即可．【詳解】解：關于x的一元一次不等式的解為，，．故選：A．4．若，這兩個不同點在y關于x的一次函數(shù)圖象上，當（）時，．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)知，當時，判斷出y隨x的增大而減小．此題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，要根據(jù)函數(shù)的增減性進行推理是關鍵．【詳解】解：∵，是一次函數(shù)圖象上的兩個不同點，且，∴與是異號，∴該函數(shù)y隨x的增大而減小，∴，解得．故選：C．5．手影游戲利用的物理原理是：光是沿直線傳播的．圖中小狗手影就是我們小時候常玩的游戲．在一次游戲中，小明距離墻壁1米，爸爸拿著的光源與小明的距離為2米．在小明不動的情況下，要使小狗手影的高度增加一倍，則光源與小明的距離應（

）A．減少米 B．增加米 C．減少米 D．增加米【答案】A【分析】根據(jù)題意作出圖形，然后利用相似三角形的性質(zhì)構建方程求解即可．【詳解】解：如圖，點為光源，表示小明的手，表示小狗手影，則，過點作，延長交于，則，

∵，∴，則，∵米，米，則米，∴，設，∵在小明不動的情況下，要使小狗手影的高度增加一倍，如圖，

即，，米，∴，則，∴米，∴光源與小明的距離變化為：米，故選：A．6．如圖，在中，．分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點D，E，作直線分別交于點．以G為圓心，長為半徑畫弧，交于點H，連結(jié)．則下列說法錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)基本作圖得到垂直平分，，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，，于是可對選項進行判斷；通過證明為的中位線得到，所以，則可計算出，則，于是可對選項進行判斷；通過證明，利用相似比得到，然后利用，設，，得，解之得，再計算出，可對C、D選項進行判斷．【詳解】由作法得垂直平分，，，，，所以選項正確，不符合題意；，，為的中位線，，，，，，，，，所以選項正確，不符合題意；∵，∴，∴，∴，∴，∴．，，，，，設，，得，解之得（負舍），∴∴，，故C選項不正確，符合題意；，∴．所以D選項正確，不符合題意．故選：C．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．）7．分式有意義，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查的是分式有意義的條件，掌握分式分母不為是解題的關鍵．【詳解】解：∵分式有意義，∴，解得：，故答案為：．8．年月日時分，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射第五十六顆北斗導航衛(wèi)星，北斗系統(tǒng)作為國家重要基礎設施，深刻改變著人們的生產(chǎn)生活方式．目前，某地圖軟件調(diào)用的北斗衛(wèi)星日定位量超次，將數(shù)據(jù)用科學記數(shù)法表示為．【答案】【分析】此題考查了科學記數(shù)法的表示方法，根據(jù)科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)即可求解，解題的關鍵要正確確定的值以及的值．【詳解】解：，故答案為：．9．因式分解：．【答案】【分析】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，先提公因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可解答．【詳解】解：，故答案為：．10．已知，代數(shù)式．【答案】【分析】本題考查配方法的應用，解題的關鍵是掌握，把變形為：，再代入代數(shù)式，即可．【詳解】∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：．11．如圖，在中，平分，交于點F，平分，交于點E，，，則長為.【答案】3【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等角對等邊；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，得出是解題的關鍵．根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等可得，，；根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得；根據(jù)從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線可得；推得，根據(jù)等角對等邊可得，，即可列出等式，求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∵，∴，∵平分，∴，則，∴，同理可證：，∵，即，解得：；故答案為：3．12．如圖，在平面直角坐標系中，點，都在反比例函數(shù)的圖象上，延長交軸于點，過點作軸于點，連接．若，的面積是2，則的值為．【答案】4【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，過點B作于E，設，先求出，證明，得到，即，由此可得；由的面積是2，，得到，求出，則，即可得到．【詳解】解：如圖所示，過點B作于E，設，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴；∵的面積是2，，∴，∵，∴，∴，故答案為：4．13．如圖，四邊形是正方形，頂點B在拋物線的圖象上，若正方形的邊長為，且邊與y軸的負半軸的夾角為，則a的值是．【答案】【分析】本題主要考查二次函數(shù)、特殊三角函數(shù)、正方形的性質(zhì)，正確做出輔助線，利用特殊角，應用特殊三角函數(shù)值進行求解是解題的關鍵．連接，過B作軸于D，則，可得，再由直角三角形的性質(zhì)可得的長，進而得到點，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，過B作軸于D，則，由題意得：，∵，∴，∵正方形的邊長為，∴，∴在中，∴，∴，∴點，代入中，得：，∴故答案為：．14．如圖，在中，，將繞點旋轉(zhuǎn)到的位置，其中點與點對應，點與點對應．如果圖中陰影部分的面積為4.5，那么的正切值是．【答案】【分析】本題考查了正切函數(shù)的定義，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理．作于點，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及面積法和勾股定理求得，，解得，再利用由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得，據(jù)此求解即可．【詳解】解：作于點，∵，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，，由題意得，解得，∴，∵，解得，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，則，∴的正切值，故答案為：．15．如圖，在平面直角坐標系中，與y軸相切于點A，與x軸交于點B、C，連接并延長交于點D，交y軸于點E，連接并延長交x軸于點F，已知點D的坐標為，則點B的坐標為．【答案】【分析】作于點G，連接，，利用切線性質(zhì)推出，推出得出為的中位線，進而推出，得到，，根據(jù)D的坐標得到，，利用圓周角定理的推論，推出，得到，即可求出B坐標．【詳解】解：如圖，作于點G，連接，，與y軸相切于點A，，，，，，，即，為的中位線，，，，，，，點D的坐標為，，，，，是直徑，，，，，，，，，的坐標為，故答案為：．16．如圖，把置于平面直角坐標系中，點的坐標為，點的坐標為，點是內(nèi)切圓的圓心．將沿軸的正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與軸重合，第一次滾動后圓心為，第二次滾動后圓心為，…，依此規(guī)律，第2023次滾動后，內(nèi)切圓的圓心的坐標是．

【答案】【分析】作交于，交于，交于，連接、、，由、的坐標得出，，由勾股定理可得，再由內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，設，根據(jù)三角形的面積計算出，從而得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得出的坐標為：，即，設的橫坐標為，根據(jù)切線長定理可得：，即可得到的坐標，從而得到每滾動3次為一個循環(huán)，最后根據(jù)，進行計算即可得到答案．【詳解】解：如圖，作交于，交于，交于，連接、、，

，

點的坐標為，點的坐標為，，，，點是內(nèi)切圓的圓心，，，，，設，，，，解得：，，將沿軸的正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與軸重合，第一次滾動后圓心為，第二次滾動后圓心為，由圖可得的坐標為：，即，設的橫坐標為，根據(jù)切線長定理可得：，解得：，，的坐標為，即，每滾動3次為一個循環(huán)，，第2023次滾動后內(nèi)切圓的圓心的橫坐標是：，即的橫坐標是8093，，故答案為：．三、解答題（本大題共11小題，共88分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（7分）已知，求代數(shù)式的值．【詳解】解：，∵，∴，∴原式．18．（7分）已知實數(shù)x，y滿足，求的值．【詳解】解：，①②得：，解得，將代入①式，解得，．19．（8分）2023春節(jié)檔電影《滿江紅》熱映，進一步激發(fā)觀眾愛國之情．帝都南陽與名將岳飛有著一段傳頌至今的歷史——公元1138年，岳飛統(tǒng)軍過南陽到武侯祠敬拜諸葛亮，雨夜含淚手書前后《出師表》，為南陽留下了千古絕唱“三絕碑”．某超市采購了兩批同樣的《出師表》紀念品掛件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批每個掛件的進價是第二批的倍，且第二批比第一批多購進25個．(1)求第二批每個掛件的進價；(2)兩批掛件售完后，該超市以第二批每個掛件的進價又采購一批同樣的掛件，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當售價為每個60元時，每周能賣出40個，若每降價1元，每周多賣10個，由于貨源緊缺，每周最多能賣90個，求每個掛件售價定為多少元時，每周可獲得最大利潤，最大利潤是多少？【詳解】（1）解答：解：(1）設第二批每個掛件進價是每個x元，根據(jù)題意得解得，經(jīng)檢驗，是原方程的解，也符合題意，∴，答：第二批每個掛件進價是每個40元；（2）設每個掛件售價定為m元，每周可獲得利潤W元，∵每周最多能賣90個，∴，解得，根據(jù)題意得，∵，∴當時，y隨x的增大而減小，∵，∴當時，W取最大，此時．∴當每個掛件售價定為55元時，每周可獲得最大利潤，最大利潤是1350元．20．（8分）北京時間年月3日，瑞典皇家科學院宣布，將諾貝爾物理學獎授予皮埃爾·阿戈斯蒂尼、費倫茨·克勞什、安妮·盧利耶．這3位獲得者所做的實驗，為人類探索原子和分子內(nèi)部的電子世界提供了新的工具．在諾貝爾獎歷史上，諾貝爾物理學獎是華人獲獎最多的領域，共有6位華人科學家獲獎，分別是楊振寧、李政道、丁肇中、朱棣文、崔琦、高錕．小軒家剛好有《楊振寧傳》《李政道傳》《丁肇中傳》《高錕傳》四本傳記書，小軒閱讀完后任選一本寫讀后感．(1)小軒選到《朱棣文傳》是________事件．（填“隨機”“必然”或“不可能”）(2)小軒的妹妹也從這四本傳記書中任選一本寫讀后感，請用列表或畫樹狀圖的方法，求他們恰好選到同一本書寫讀后感的概率．【詳解】（1）解：∵小軒家有《楊振寧傳》《李政道傳》《丁肇中傳》《高錕傳》四本傳記書，∴小軒選到《朱棣文傳》是不可能事件，故答案為：不可能；（2）解：由題意可得，樹狀圖如圖所示，總共有種情況，他們恰好選到同一本書的有4種，∴．21．（8分）2023年，教育部等八部門聯(lián)合印發(fā)了《全國青少年學生讀書先去實施方案》，某校為落實該方案，成立了四個主題閱讀社團：A．民俗文化，B．節(jié)日文化，C．古曲詩詞，D．紅色經(jīng)典．學校規(guī)定：每名學生必須參加且只能一個社團．學校隨機對部分學生選擇社團的情況進了調(diào)查．下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．

請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：(1)本次隨機調(diào)查的學生有名，在扇形統(tǒng)計圖中“A”部分圓心角的度數(shù)為；(2)通過計算補全條形統(tǒng)計圖；(3)若該校共有1800名學生，請根據(jù)以上調(diào)查結(jié)果，估計全校參加“D”社團的人數(shù)．【詳解】（1）本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)（名），扇形統(tǒng)計圖中，C所對應的扇形的圓心角度數(shù)是，故答案為：60，；（2）（人）；補全條形統(tǒng)計圖如答案圖所示．

（3）（名）．答：全校1800名學生中，參加“D”活動小組的學生約有540名．22．（8分）如圖，在矩形中，E是的中點，，垂足為F．(1)求證：；(2)若，求的長．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵四邊形四邊形是矩形，，∴，∵E是的中點，∴，∵，∴，∵，∴，即，∴．23．（8分）隨著人民生活水平的日益提高，許多農(nóng)村的房屋普遍進行了改造，小明家改造時在門前安裝了一個遮陽棚，如圖，在側(cè)面示意圖中，遮陽篷長為4米，與墻面的夾角，靠墻端A離地高為3米，當太陽光線與地面的夾角為時，求陰影的長．（結(jié)果精確到米；參考數(shù)據(jù)：）【詳解】解：如圖所示，過點作于點，于點，則四邊形是矩形，∴，在中，，∴，，∴，在中，，∴，∴陰影的長為．24．（8分）如圖，是的直徑，點是的中點，過作弦，連接，．

(1)求證：是等邊三角形；(2)若點是的中點，連接，過點作，垂足為，若的半徑為2，求線段的長．【詳解】（1）證明：如圖，連接、,

∵是的直徑，，∴,∴,∵點是的中點，，∴是的中垂線，∴，∵,∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴是等邊三角形；（2）解：如圖，連接，

∵的半徑為，點是的中點，∴，∵是等邊三角形，，∴，在中，，由勾股定理得：，即，則，∵點是的中點，∴，∴，∴，∵，∴，∴.25．（8分）某龍舟隊進行500米直道訓練，全程分為啟航，途中和沖刺三個階段．圖1，圖2分別表示啟航階段和途中階段龍舟劃行總路程與時間的近似函數(shù)圖象．啟航階段的函數(shù)表達式為；途中階段勻速劃行，函數(shù)圖象為線段；在沖刺階段，龍舟先加速后勻速劃行，加速期龍舟劃行總路程與時間的函數(shù)表達式為．(1)求出啟航階段關于的函數(shù)表達式（寫出自變量的取值范圍），(2)已知途中階段龍舟速度為5m/s．①當時，求出此時龍舟劃行的總路程，②在距離終點125米處設置計時點，龍舟到達時，視為達標，請說明該龍舟隊能否達標；(3)沖刺階段，加速期龍舟用時1s將速度從5m/s提高到5.25m/s，之后保持勻速劃行至終點.求該龍舟隊完成訓練所需時間（精確到0.01s）．【詳解】（1）把代入得，解得，啟航階段總路程關于時間的函數(shù)表達式為；（2）①設，把代入，得，解得，．當時，．當時，龍舟劃行的總路程為．②，把代入，得．，該龍舟隊能達標．（3）加速期：由（1）可知，把代入，得．函數(shù)表達式為，把代入，解得．，．答：該龍舟隊完成訓練所需時間為．26．（9分）如圖，在中，，，，點D是斜邊的中點，點是邊的中點，連接，點P為線段上一點，作點關于直線對稱點，連接，設長為．(1)的長為．(2)求長度（用含x的代數(shù)式表示）．(3)當點F落在直線上時，求x的值．(4)當直線與的