數(shù)學(xué)（新高考新題型專用）2024年高考第三次模擬考試（全解全析）

第第頁2024年高考第三次模擬考試數(shù)學(xué)全解全析一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，，則集合P的子集共有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．8個(gè)【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以，所以，則集合P的子集共有個(gè)．故選C.2.古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分隔率，黃金分割率的值也可以用2sin18°表示，即,設(shè),則（）A. B. C. D.2.【答案】A【解析】故選A.3.若的展開式中的的系數(shù)為,則實(shí)數(shù)（）A.8. B.7 C.9 D.103.【答案】B.【解析】由題意知，的系數(shù)為,解得,故選B.4.甲、乙、丙、丁、戊5位同學(xué)報(bào)名參加學(xué)校舉辦的三項(xiàng)不同活動(dòng)，每人只能報(bào)其中一項(xiàng)活動(dòng)，每項(xiàng)活動(dòng)至少有一個(gè)人參加，則甲、乙、丙三位同學(xué)所報(bào)活動(dòng)各不相同的概率為（）A． B． C． D．4．【答案】C【解析】先將5名志愿者分成3組，第一類分法是3，1，1，第二類分法是2，2，1，再分配到三項(xiàng)活動(dòng)中，總安排數(shù)為，甲、乙、丙三位同學(xué)所報(bào)活動(dòng)各不相同排列數(shù)為，設(shè)過件為甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)所報(bào)活動(dòng)各不相同，．故選C.5.設(shè)為正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的最小值為（）A. B. C. D.5.【答案】D【解析】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，可得，可得，又由且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：D.6.已知函數(shù)，若沿軸方向平移的圖象，總能保證平移后的曲線與直線在區(qū)間上至少有2個(gè)交點(diǎn)，至多有3個(gè)交點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.6.【答案】A【解析】由題知，，若沿軸方向平移，考點(diǎn)其任意性，不妨設(shè)得到的函數(shù)，令，即，由正弦曲線性質(zhì)知，至少有2解，至多有3解，則自變量的區(qū)間長度在到之間，耶，那，選A.7.已知,則（）A. B. C. D.7.【答案】A【解析】設(shè)則在上單調(diào)遞減,所以,所以所以,故選A.8.已知正方體的棱長為為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐外接球半徑的取值范圍為（）A． B． C． D．8.【答案】C【解析】如圖，連接，交于點(diǎn)，易多為的外心。進(jìn)接．交于點(diǎn)，易知平而三棱錐的外接球球心在上。設(shè)的外接四四心為平面，且。設(shè)的外接圓半徑為．三棱錐的外接球半徑為。設(shè)．又．．設(shè)，設(shè)．則．又易知．故選C.選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9．已知復(fù)數(shù),下列說法正確的有（）A.若,則B.若,則C.若,則或D.若,則9.【答案】AC【解析】,則,A對(duì).,則i滿足條件，,B錯(cuò).,或,C對(duì).令，則不一定為0，D錯(cuò)，選AC.10.已知拋物線y的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,過F的直線與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，為線段AB中點(diǎn)，分別為A,B,M在上的射影，且,則下列結(jié)論中正確的是A.F的坐標(biāo)為(1,0)B.C.四點(diǎn)共圓D.直線AB的方程為10.【答案】BCD.【解析】F的坐標(biāo)為(0,1),故A錯(cuò).過點(diǎn)B作BN垂直于AA',N為垂足，如圖所示(點(diǎn)A在第一象限時(shí))設(shè)則所以,直線AB的方程為同理(點(diǎn)在第二象限時(shí)):直線AB的方程為故D正確.由題意可知所以.故B正確.因?yàn)樗杂忠驗(yàn)樗?即所以四點(diǎn)共圓，故C正確.所以選BCD.11.對(duì)于滿足，且對(duì)于．恒有．則（）A． B． C． D．11．【答案】ABD【解析】令代入及，得，所以，令代入，得，答案A正確；由，得，進(jìn)而得，，所以，BD正確，C錯(cuò)誤．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布．質(zhì)量指標(biāo)介于99至101之間的產(chǎn)品為良品，為使這種產(chǎn)品的良品率達(dá)到，則需調(diào)整生產(chǎn)工藝，使得至多為（若，則12.【答案】【解析】因?yàn)?，且，所以，又質(zhì)量指標(biāo)介于99至101之間的產(chǎn)品為良品，且該產(chǎn)品的良品率達(dá)到，所以，，，即，解得，所以至多為．故答案為：．13.中，,分別為角的對(duì)邊，若，，則的面積S的最小值為13.【答案】【解析】已知;且由余弦定理得,整理得3,解得12或.(當(dāng)時(shí)，,故舍去),(當(dāng)時(shí)取等號(hào)).從而S,即面積S的最小值為.14.函數(shù)在范圍內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為14.【答案】2【解析】.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，和均為單調(diào)減函數(shù)，又在上是單調(diào)增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知為減函數(shù)，又，故函數(shù)在該區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，該零點(diǎn)為函數(shù)的極值點(diǎn)；從而函數(shù)在內(nèi)一共有2個(gè)極值點(diǎn).解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(本小題滿分13分)己知函數(shù),其中.(I)若曲線在處的切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,求的值;(II)是否存在實(shí)數(shù),使得在上的最大值是-3?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.15.【答案】（1）（2）存在符合題意,此時(shí)【解析】(I),則,故曲線在處的切線為,即,當(dāng)時(shí),此時(shí)切線為,不符合要求當(dāng)時(shí),令,有,令,有,故,即,故6分(II),①當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,的最大值是,解得,舍去;8分②當(dāng)時(shí),由,得,當(dāng),即時(shí),時(shí),時(shí),,的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是,又在上的最大值為;10分當(dāng),即時(shí),在上單調(diào)遞增,,解得,舍去.綜上,存在符合題意,此時(shí)13分16.(本小題滿分15分)某景區(qū)的索道共有三種購票類型，分別為單程上山票、單程下山票、雙程上下山票．為提高服務(wù)水平，現(xiàn)對(duì)當(dāng)日購票的120人征集意見，當(dāng)日購買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)分別為36、60和24．（1）若按購票類型采用分層隨機(jī)抽樣的方法從這120人中隨機(jī)抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽取4人，求隨機(jī)抽取的4人中恰有2人購買單程上山票的概率．（2）記單程下山票和雙程票為回程票，若在征集意見時(shí)要求把購買單程上山票的2人和購買回程票的m（且）人組成一組，負(fù)責(zé)人從某組中任選2人進(jìn)行詢問，若選出的2人的購票類型相同，則該組標(biāo)為A，否則該組標(biāo)為B，記詢問的某組被標(biāo)為B的概率為p．（i）試用含m的代數(shù)式表示p；（ii）若一共詢問了5組，用表示恰有3組被標(biāo)為B的概率，試求的最大值及此時(shí)m的值．16．【答案】（1）（2）（i）（ii）【解析】（1）因?yàn)橘徺I單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)之比為，所以這10人中，購買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)分別為：，，，故隨機(jī)抽取的4人中恰有2人購買單程上山票的概率．…………6分（2）（i）從人中任選2人，有種選法，其中購票類型相同的有種選法，則詢問的某組被標(biāo)為B的概率．…………8分（ii）由題意，5組中恰有3組被標(biāo)為B的概率，所以，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為．由，且，得．當(dāng)時(shí)，5組中恰有3組被標(biāo)為B的概率最大，且的最大值為．…………15分17.(本小題滿分15分)如圖，在平行六面體中，，，，，點(diǎn)P滿足．(1)證明：O，P，三點(diǎn)共線；(2)求直線與平面PAB所成角的正弦值．17．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：，所以，而，所以，即O，P，三點(diǎn)共線．………………6分（2）連接，，，所以，，，，，由余弦定理得，同理可得，．又為BD的中點(diǎn)，，．，，即．如圖，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，………………10分由（1）可得，P為線段三等分點(diǎn)，所以，，，，設(shè)平面PAB的法向量為，則令，則，．………………12分設(shè)直線與平面PAB所成角為，則，直線與平面PAB所成角的正弦值為．………………15分18.(本小題滿分17分)已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)在橢圓上，且在第一象限內(nèi)，滿足(1)求的平分線所在的直線的方程；(2)在橢圓上是否存在關(guān)于直線對(duì)稱的相異的兩點(diǎn)，若存在，請(qǐng)找出這兩點(diǎn)；若不存在請(qǐng)說明理由；(3)已知雙曲線與橢圓有共同的焦點(diǎn)，且雙曲線與橢圓相交于,若四邊形的面積最大時(shí)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。18．【答案】（1）（2）不存在（3）【解析】(1)設(shè)的平分線與軸交于點(diǎn)，由題意知，，，A所以，所以，所以，所以，所以直線的方程為………5分(2)假設(shè)存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則，所以，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，則，即,，.所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)在直線：所以，所以，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，與點(diǎn)A重合，矛盾，所以不存在滿足題設(shè)條件相異的兩點(diǎn)………………12分由題意知，，設(shè)與橢圓共焦點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)它們的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，它們的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積記，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.………………17分19.(本小題滿分17分)已知數(shù)列，記集合.（1）若數(shù)列為，寫出集合；（2）若，是否存在，使得？若存在，求出一組符合條件的；若不存在，說明理由；（3）若，把集合中的元素從小到大排列，得到的新數(shù)列為，若，求的最大值．19【答案】（1）（2）不存在，使得成立（3）【解析】（1）由題意可得，，，所以.……5分（2）假設(shè)存在，使得，則有，由于與的奇偶性相同，與奇偶性不同，又，，所以中必有大于等于的奇數(shù)因子，這與無以外的奇數(shù)因子矛盾，故不存在，使得.…………