專題06 特殊四邊形性質(zhì)判定、旋轉(zhuǎn)、新定義之四大題型2024年中考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)名校模擬題重要考點(diǎn)分類匯編（江西專用）(解析版)

第第頁專題06特殊四邊形性質(zhì)判定、旋轉(zhuǎn)、新定義之四大題型目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一特殊平行四邊形的性質(zhì)和判定綜合問題】 1【題型二三角形、四邊形中的中位線綜合問題】 11【題型三特殊平行四邊形中的旋轉(zhuǎn)綜合問題】 21【題型四幾何圖形中的新定義型的綜合問題】 33【典型例題】【題型一特殊平行四邊形的性質(zhì)和判定綜合問題】例題：（2023·江西·中考真題）課本再現(xiàn)思考我們知道，菱形的對(duì)角線互相垂直．反過來，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？可以發(fā)現(xiàn)并證明菱形的一個(gè)判定定理；對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．(1)定理證明：為了證明該定理，小明同學(xué)畫出了圖形（如圖1），并寫出了“已知”和“求證”，請(qǐng)你完成證明過程．已知：在中，對(duì)角線，垂足為．求證：是菱形．

(2)知識(shí)應(yīng)用：如圖，在中，對(duì)角線和相交于點(diǎn)，．

①求證：是菱形；②延長(zhǎng)至點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，求的值．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明得出，同理可得，則，，進(jìn)而根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形，即可得證；（2）①勾股定理的逆定理證明是直角三角形，且，得出，即可得證；②根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合已知條件得出，則，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)平行線分線段成比例求得，然后根據(jù)平行線分線段成比例即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵∴，在中，∴∴，同理可得，則，又∵∴∴四邊形是菱形；（2）①證明：∵四邊形是平行四邊形，．∴在中，，，∴，∴是直角三角形，且，∴，∴四邊形是菱形；②∵四邊形是菱形；∴∵，∴，∵，∴，∴，如圖所示，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，

∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理以及勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例，熟練掌握菱形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江西贛州·三模）某數(shù)學(xué)小組在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)過程中，經(jīng)歷了如下過程：?jiǎn)栴}提出：如圖，正方形中，，為對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為直角頂點(diǎn)，向右作等腰直角．(1)操作發(fā)現(xiàn)：的最小值為_______，最大值為_______；(2)數(shù)學(xué)思考：求證：點(diǎn)在射線上；(3)拓展應(yīng)用：當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)8，(2)見解析(3)當(dāng)時(shí)，【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到對(duì)角線的中點(diǎn)時(shí)，值最小；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A或點(diǎn)C時(shí)，最大．（2）分點(diǎn)P在線段與兩種情況討論，連接，只需證明，利用三點(diǎn)構(gòu)成的平角為時(shí)處在同一條直線上即可證明．（3），利用即可求解．【詳解】（1）如圖2，由于點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與垂直時(shí)，根據(jù)“垂線段最短”可知最短，則最短，此時(shí)與對(duì)角線重合，與重合，∴．由于點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A或點(diǎn)C時(shí)，斜線段最長(zhǎng)，因此最長(zhǎng)，此時(shí)：，則；（2）連接，連接交于點(diǎn)，則是等腰直角三角形．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，

∵，∴．∵，∴，∴．∴．∴點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上．②如圖3，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，

同理．∴．∴．∵點(diǎn)在線段上．綜上所述，點(diǎn)在射線上上．（3）如圖2，設(shè)，∵正方形邊長(zhǎng)為8，∴，∵，∴，即，解得，∴當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵靈活運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)．2．（2023·江西鷹潭·一模）某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，對(duì)多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如下探究：【觀察與猜想】(1)如圖①，在正方形中，點(diǎn)，分別是、上的兩點(diǎn)，連接，，，求證．【類比探究】(2)如圖②，在矩形中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接，，且，求的值．【拓展延伸】(3)如圖③，在中，，點(diǎn)在邊上，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交邊于點(diǎn)若，，，求的值．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等，利用證明即可；（2）根據(jù)同角的余角的相等，得，證明∽，則；（3）過點(diǎn)作，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，首先根據(jù)，可得，則，再由同理得，得，進(jìn)而解決問題．【詳解】（1）證明：如圖，設(shè)與的交點(diǎn)為，四邊形是正方形，，，，，，，，在和中，，；（2）解：如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，

四邊形是矩形，，，，，，，，，；（3）解：如圖3，過點(diǎn)作，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，在中，，，，，，，，，，，，，，又，，，，．【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握矩形中十字架模型是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江西吉安·一模）某數(shù)學(xué)小組在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)過程中，經(jīng)歷了如下過程：?jiǎn)栴}提出如圖，在正方形中，P為對(duì)角線上一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．(1)操作發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為；(2)數(shù)學(xué)思考當(dāng)時(shí)，連接，求證：為直角三角形；(3)拓展應(yīng)用若正方形的邊長(zhǎng)為4，直接寫出的最大值．【答案】(1)(2)見解析(3)4【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得出，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出，根據(jù)，得出即可；（2）根據(jù)正方形性質(zhì)得出，，證明，得出，求出，得出，求出，即可得出為直角三角形；（3）過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，過點(diǎn)M作，證明，得出，根據(jù)點(diǎn)P在上移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，最大，此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，最大，且最大值為4．【詳解】（1）解：∵四邊形為正方形，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：．（2）解：∵四邊形是正方形，為對(duì)角線，∴，，∵，∴，∴，∵繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，∵，∴，∴為直角三角形．

（3）解：過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，過點(diǎn)M作，如圖所示：

則，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵點(diǎn)P在上移動(dòng)，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，最大，最大，此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，，最大，且最大值為4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握正方形的性質(zhì)．【題型二三角形、四邊形中的中位線綜合問題】例題：（2023·江西撫州·三模）（1）課本再現(xiàn)：我們研究平行四邊形時(shí)，常常把它分成幾個(gè)三角形，利用三角形全等的性質(zhì)研究平行四邊形的有關(guān)問題，同時(shí)也可以利用平行四邊形研究三角形的有關(guān)問題，如探究三角形中位線的性質(zhì)．如圖（1），在中，點(diǎn)D，E分別是，的中點(diǎn)，連接．則與的關(guān)系是______．

（2）定理證明：請(qǐng)根據(jù)（1）中內(nèi)容結(jié)合圖（1），寫出（1）中結(jié)論的證明過程．（3）定理應(yīng)用：如圖（2），在四邊形中，點(diǎn)M，N，P分別為，，的中點(diǎn)，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．若，則的度數(shù)是______．

（4）如圖（3），在矩形中，，，點(diǎn)E在邊上，且．將線段繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定的角度（），得到線段，點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，求旋轉(zhuǎn)過程中線段長(zhǎng)的最大值和最小值．

【答案】（1）且；（2）證明過程見解析；（3）；（4）旋轉(zhuǎn)過程中線段長(zhǎng)的最大值為4，最小值為1．【分析】（1）根據(jù)三角形中位線可直接進(jìn)行求解；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使，連接，由題意可證，然后可得，進(jìn)而可證四邊形是平行四邊形，最后問題可求證；（3）由題意易得，，然后問題可求解；（4）延長(zhǎng)至點(diǎn)H，使，連接，，由題意易得，然后可得點(diǎn)F在以點(diǎn)A為圓心，3為半徑的圓上，進(jìn)而根據(jù)圓的最值問題可求解．【詳解】（1）且，故答案為：，；（2）證明：如圖（1）延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使，連接．

又，，∴∵，，∴，∵，，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，，∴，；（3）解：∵點(diǎn)M，P分別為，的中點(diǎn)，∴，∴，∵點(diǎn)N，P分別為，的中點(diǎn)，∴，∴，∴故答案為：；（4）如圖（2），延長(zhǎng)至點(diǎn)H，使，連接，．

∵，．∴．由勾股定理得，∵，．∴，∴點(diǎn)F在以點(diǎn)A為圓心，3為半徑的圓上（不與點(diǎn)E重合）．∴當(dāng)點(diǎn)F在線段上時(shí)，最小，最小值為；當(dāng)點(diǎn)F在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，最大，最大值為．故長(zhǎng)的最大值為4，最小值為1．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形中位線、平行四邊形的判定與性質(zhì)及圓的基本性質(zhì)，熟練掌握三角形中位線及圓的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江西贛州·一模）綜合與實(shí)踐老師讓同學(xué)們以“兩個(gè)大小不等的等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)重合，并讓一個(gè)三角板固定，另一個(gè)繞直角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．如圖1，和都是等腰直角三角形，，點(diǎn)D，E分別在邊，上，連接，點(diǎn)M，P，N分別為，，的中點(diǎn)．試判斷線段與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．甲小組發(fā)現(xiàn)：．并進(jìn)行了證明，下面的兩個(gè)片段是截取的部分證明過程（片段前后證明過程已省略）：

【片段1】∵點(diǎn)P，M分別是，的中點(diǎn)，∴．（理由1）【片段2】∵，∴．（理由2）反思交流(1)①填空：理由1：；理由2：；②圖1中，與的位置關(guān)系是．(2)乙小組受到甲小組的啟發(fā)，繼續(xù)進(jìn)行探究，把繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，請(qǐng)判斷的形狀并證明；(3)丙小組的同學(xué)繼續(xù)探究：把繞點(diǎn)C在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，直接寫出線段長(zhǎng)度的最大值．【答案】(1)①三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半；直角三角形的兩銳角互余；②或垂直平分(2)等腰直角三角形，證明見解析(3)【分析】（1）①利用三角形中位線定理，直角三角形的性質(zhì)解決問題即可；②結(jié)論：或垂直平分．利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)證明即可；（2）根據(jù)證明．推出，，再利用三角形的中位線定理，平行線的性質(zhì)證明即可；（3）由（2）知，是等腰直角三角形，，，推出點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上時(shí)，有最大值．此時(shí)，由此即可解決問題．【詳解】（1）①片段1：∵點(diǎn)P，M分別是，的中點(diǎn)，∴．（三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半）片段2：∵，∴．（直角三角形的兩銳角互余）故答案為：三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半；直角三角形的兩銳角互余．②∵，，∴，∵，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，故答案為：或垂直平分；（2）是等腰直角三角形．如圖2中，連接AE，BD，由旋轉(zhuǎn)知，

∵，，∴，∴，．∵點(diǎn)P，M，N分別是，，的中點(diǎn)，∴，，∴．又∵，，∴，∵，，∴，∴，∴是等腰直角三角形．（3）由（2）知，是等腰直角三角形，，，∴點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上時(shí)，有最大值，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．2．（2023·江西景德鎮(zhèn)·二模）課本再現(xiàn)（1）如圖1，在證明“三角形兩邊中點(diǎn)的連線與第三邊的關(guān)系”時(shí)，小明將沿中位線裁剪后，把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到四邊形，則四邊形的形狀是______．類比遷移（2）在四邊形中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別在、上，連接、、，且．①如圖2，若四邊形是正方形，、、之間的數(shù)量關(guān)系為________；②如圖3，若四邊形是平行四邊形，①中的結(jié)論是否成立，請(qǐng)說明理由；方法運(yùn)用（3）圖4，在四邊形中，，，為的中點(diǎn)，、分別為、邊上的點(diǎn)，若，，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）平行四邊形；（2）①，理由見解析；②成立，理由見解析；（3）【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，則，再證明，即可證明四邊形是平行四邊形；（2）①如圖2，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，證明，得到，，再證明垂直平分，得到，即可證明；②如圖2延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，證明，得到，，再證明垂直平分，得到，即可證明；（3）如圖2，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證明，得到，，求出，則，繼而證明為等腰直角三角形，得到，則，利用勾股定理求出，同理可得．【詳解】解：（1）是平行四邊形，理由如下：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴，∵D是的中點(diǎn)，∴，∴，又∵，四邊形是平行四邊形，故答案為：平行四邊形；（2）①，理由如下：如圖2，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，為中點(diǎn)，，∵四邊形是正方形，∴，在和中，，，，，，垂直平分，，即；②（2）①中結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖2延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，∵為中點(diǎn)，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，在和中∴，∴，，∵，∴垂直平分，，即；（3）如圖2，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，為中點(diǎn)，，在和中∴，∴，，∵，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∴，∵，，∴垂直平分，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等等，熟知全等三角形的“倍長(zhǎng)中線”模型是解題的關(guān)鍵．【題型三特殊平行四邊形中的旋轉(zhuǎn)綜合問題】例題：（2023·江西南昌·一模）【課本再現(xiàn)】（1）如圖1，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)又是正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都為1，四邊形為兩個(gè)正方形重疊部分．正方形可繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)．則下列結(jié)論正確的是________________（填序號(hào)即可）．①；②；③四邊形的面積總等于；④連接，總有．【類比遷移】（2）如圖2，矩形的中心是矩形的一個(gè)頂點(diǎn)，與邊相交于點(diǎn)，與邊相交于點(diǎn)，連接，矩形可繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，猜想之間的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明；【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在中，，，直角的頂點(diǎn)在邊的中點(diǎn)處，它的兩條邊和分別與直線，相交于點(diǎn)，可繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)度．【答案】（1）①②③④；（2），理由見解析；（3）或【分析】（1）先證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，逐項(xiàng)判斷即可求解；（2）連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得點(diǎn)是的中點(diǎn)，再證明，可得，再由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，在中，根據(jù)勾股定理，即可求解；（3）設(shè)．分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)合勾股定理，即可求解．【詳解】解：（1）在正方形和正方形中，，∴，∴，故①正確；∴，，故②正確；∴四邊形的面積，四邊形的面積總等于，故③正確；如圖，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故④正確；故答案為：①②③④（2），理由如下：連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，∵是矩形的中心，∴點(diǎn)是的中點(diǎn)．∴，∵在矩形中，，，∴，∴，∴，在矩形中，，∴，在中，∴；（3）設(shè)．①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，∵，∴∵在中，，∴，∴，又由（2）得：，∴∴，解得．∴．②當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，同理可證∴，又在中，．∴解得．∴故的長(zhǎng)度為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用類比思想解答是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江西南昌·一模）如圖，兩個(gè)全等的四邊形和，其中四邊形的頂點(diǎn)O位于四邊形的對(duì)角線交點(diǎn)O．(1)如圖1，若四邊形和都是正方形，則下列說法正確的有_______．（填序號(hào)）①；②重疊部分的面積始終等于四邊形的；③．(2)應(yīng)用提升:如圖2，若四邊形和都是矩形，，寫出與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．(3)類比拓展:如圖3，若四邊形和都是菱形，，判斷（1）中的結(jié)論是否依然成立；如不成立，請(qǐng)寫出你認(rèn)為正確的結(jié)論（可用表示），并選取你所寫結(jié)論中的一個(gè)說明理由．【答案】(1)①②③(2)關(guān)系為，證明見解析(3)①成立，②③不成立，正確結(jié)論②重疊部分的面積始終等于四邊形的；③．證明①的過程見解析【詳解】（1）如圖，在圖1中，過點(diǎn)O作于點(diǎn)H,于點(diǎn)G∵于點(diǎn)H,于點(diǎn)G∴∵四邊形和都是正方形∴∴∵,∴在和中∴∴故①正確∵∴∴故②正確∵四邊形是正方形∴∴故③正確（2）關(guān)系為，證明如下：如圖，在圖2中，過點(diǎn)O作于點(diǎn)H,于點(diǎn)G∵于點(diǎn)H,于點(diǎn)G∴∵四邊形和都是矩形∴∵,∴在和中∴∴（3）（1）中結(jié)論，①成立，②③不成立，正確結(jié)論②重疊部分的面積始終等于四邊形的；③．現(xiàn)證明①如下：如圖，在圖3中，過點(diǎn)O作于點(diǎn)H,于點(diǎn)G∵于點(diǎn)H,于點(diǎn)G∴∵四邊形和都是菱形∴∴∵,∴在和中∴∴2．（2022·江西·中考真題）問題提出：某興趣小組在一次綜合與實(shí)踐活動(dòng)中提出這樣一個(gè)問題：將足夠大的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)放在正方形中心O處，并繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，探究直角三角板與正方形重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長(zhǎng)為2）．(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖1，若將三角板的頂點(diǎn)P放在點(diǎn)O處，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)與重合時(shí)，重疊部分的面積為__________；當(dāng)與垂直時(shí)，重疊部分的面積為__________；一般地，若正方形面積為S，在旋轉(zhuǎn)過程中，重疊部分的面積與S的關(guān)系為__________；(2)類比探究：若將三角板的頂點(diǎn)F放在點(diǎn)O處，在旋轉(zhuǎn)過程中，分別與正方形的邊相交于點(diǎn)M，N．①如圖2，當(dāng)時(shí)，試判斷重疊部分的形狀，并說明理由；②如圖3，當(dāng)時(shí)，求重疊部分四邊形的面積（結(jié)果保留根號(hào)）；(3)拓展應(yīng)用：若將任意一個(gè)銳角的頂點(diǎn)放在正方形中心O處，該銳角記為（設(shè)），將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，的兩邊與正方形的邊所圍成的圖形的面積為，請(qǐng)直接寫出的最小值與最大值（分別用含的式子表示），（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)1,1，(2)①是等邊三角形，理由見解析；②(3)【分析】（1）如圖1，若將三角板的頂點(diǎn)P放在點(diǎn)O處，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)OF與OB重合時(shí)，OE與OC重合，此時(shí)重疊部分的面積=△OBC的面積=正方形ABCD的面積=1；當(dāng)OF與BC垂直時(shí)，OE⊥BC，重疊部分的面積=正方形ABCD的面積=1；一般地，若正方形面積為S，在旋轉(zhuǎn)過程中，重疊部分的面積S1與S的關(guān)系為S1=S．利用全等三角形的性質(zhì)證明即可；（2）①結(jié)論：△OMN是等邊三角形．證明OM=ON，可得結(jié)論；②如圖3中，連接OC，過點(diǎn)O作OJ⊥BC于點(diǎn)J．證明△OCM≌△OCN（SAS），推出∠COM=∠CON=30°，解直角三角形求出OJ，即可解決問題；（3）如圖4-1中，過點(diǎn)O作OQ⊥BC于點(diǎn)Q，當(dāng)BM=CN時(shí)，△OMN的面積最小，即S2最?。鐖D4-2中，當(dāng)CM=CN時(shí)，S2最大．分別求解即可．【詳解】（1）如圖1，若將三角板的頂點(diǎn)P放在點(diǎn)O處，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)OF與OB重合時(shí)，OE與OC重合，此時(shí)重疊部分的面積=△OBC的面積=正方形ABCD的面積=1；當(dāng)OF與BC垂直時(shí)，OE⊥BC，重疊部分的面積=正方形ABCD的面積=1；一般地，若正方形面積為S，在旋轉(zhuǎn)過程中，重疊部分的面積S1與S的關(guān)系為S1=S．理由：如圖1中，設(shè)OF交AB于點(diǎn)J，OE交BC于點(diǎn)K，過點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M，ON⊥BC于點(diǎn)N．∵O是正方形ABCD的中心，∴OM=ON，∵∠OMB=∠ONB=∠B=90°，∴四邊形OMBN是矩形，∵OM=ON，∴四邊形OMBN是正方形，∴∠MON=∠EOF=90°，∴∠MOJ=∠NOK，∵∠OMJ=∠ONK=90°，∴△OMJ≌△ONK（AAS），∴S△PMJ=S△ONK，∴S四邊形OKBJ=S正方形OMBN=S正方形ABCD，∴S1=S．故答案為：1，1，S1=S．（2）①如圖2中，結(jié)論：△OMN是等邊三角形．理由：過點(diǎn)O作OT⊥BC，∵O是正方形ABCD的中心，∴BT=CT，∵BM=CN，∴MT=TN，∵OT⊥MN，∴OM=ON，∵∠MON=60°，∴△MON是等邊三角形；②如圖3中，連接OC，過點(diǎn)O作OJ⊥BC于點(diǎn)J．∵CM=CN，∠OCM=∠OCN，OC=OC，∴△OCM≌△OCN（SAS），∴∠COM=∠CON=30°，∴∠OMJ=∠COM+∠OCM=75°，∵OJ⊥CB，∴∠JOM=90°-75°=15°，∵BJ=JC=OJ=1，∴JM=OJ?tan15°=2-，∴CM=CJ-MJ=1-（2-）=-1，∴S四邊形OMCN=2××CM×OJ=-1．（3）如圖4，將沿翻折得到，則，此時(shí)則當(dāng)在上時(shí)，比四邊形的面積小，

設(shè)，則當(dāng)最大時(shí)，最小，，即時(shí)，最大，此時(shí)垂直平分，即，則如圖5中，過點(diǎn)O作OQ⊥BC于點(diǎn)Q，，BM=CN當(dāng)BM=CN時(shí)，△OMN的面積最小，即S2最?。赗t△MOQ中，MQ=OQ?tan=tan，∴MN=2MQ=2tan，∴S2=S△OMN=×MN×OQ=tan．如圖6中，同理可得，當(dāng)CM=CN時(shí)，S2最大．則△COM≌△CON，∴∠COM=，∵∠COQ=45°，∴∠MOQ=45°-，QM=OQ?tan（45°-）=tan（45°-），∴MC=CQ-MQ=1-tan（45°-），∴S2=2S△CMO=2××CM×OQ=1-tan（45°-）．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，四邊形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．【題型四幾何圖形中的新定義型的綜合問題】例題：（2023·江西·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于一個(gè)四邊形給出如下定義：一組對(duì)角為，一組鄰邊相等的四邊形稱為“六零”四邊形．(1)圖1是一個(gè)“六零”四邊形，其中，．①猜想與的數(shù)量關(guān)系是______；②證明你的猜想．(2)圖2是一個(gè)“六零”四邊形，其中，，連接，．①是______三角形；②若，，則______（用含m，n的代數(shù)式表示）．(3)在（2）的條件下，如圖3，延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得，連接DF．求證：．【答案】(1)①，②見解析(2)①等邊三角形，②(3)見解析【分析】(1)連接，利用等腰三角形的性質(zhì)與判定求解即可．(2)①根據(jù)，可得出結(jié)論；②將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，連接，過點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，先根據(jù)是等邊三角形，得到，從而證得A、B、D、N四點(diǎn)在同一圓上，則，，即可得到點(diǎn)N在的延長(zhǎng)線上，再證明是等邊三角形，得，繼而求得，，，從而由求解即可．(3)將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，連接，由（2）得：，，，再證明，，然后證明，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解∶①猜想，②證明∶連接，∵，∴，∵，∴，即，∴；（2）解：①∵，，∴是等邊三角形；②如圖2，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，連接，過點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，則，，，，，∵是等邊三角形，∴，∴A、B、D、N四點(diǎn)在同一圓上，∴，，∴，，∴點(diǎn)N在的延長(zhǎng)線上，又∵，，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，∴；（3）證明：將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，連接，如圖3，由（2）得：，，，∵，∴，∵，則，在和中，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，本題屬四邊形綜合題目，有一定難度，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江西上饒·一模）我們給出如下定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”．例如：如圖，，則四邊形為等鄰角四邊形．(1)定義理解：以下平面圖形中，是等鄰角四邊形的是．①平行四邊形

②矩形

③菱形

④等腰梯形(2)如圖，在四邊形中，，的垂直平分線恰好交于邊上一點(diǎn)P，連結(jié)，，且，求證：四邊形為等鄰角四邊形．(3)如圖，在等鄰角四邊形中，，，點(diǎn)P為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作，，垂足分別為M，N．在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系？并請(qǐng)說明理由．【答案】(1)②④(2)證明見解析；(3)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)等鄰角四邊形的定義即可直接得出答案；（2）連接，證明，得出，從而得到，，即可證明四邊形為等鄰角四邊形；（3）過點(diǎn)P作，證明得到，再由矩形得到，即可得出．【詳解】（1）∵矩形和等腰梯形都有一組鄰角相等，∴矩形和等腰梯形是等鄰角四邊形，故答案是：②④（2）證明：連接，∵垂直平分，∴，∵垂直平分，∴，在和中，∴，∴，∴，∴，∴四邊形為等鄰角四邊形．（3），理由如下：過點(diǎn)P作，垂足為F，∵，∴，∴，∵四邊形為等鄰角四邊形，，∴，∵，∴，∴在和中，∴，∴，∵，，，∴四邊形為矩形，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義“等鄰角四邊形”，涉及線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，正確理解“等鄰角四邊形”的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江西撫州·二模）定義：在平行四邊形中，若有一條對(duì)角線長(zhǎng)是一邊長(zhǎng)的兩倍，則稱這個(gè)平行四邊形叫做和諧四邊形，其中這條對(duì)角線叫做和諧對(duì)角線，這條邊叫做和諧邊．【概念理解】(1)如圖1，四邊形是和諧四邊形，對(duì)角線與交于點(diǎn)，是和諧對(duì)角線，是和諧邊．①是________三角形．②若，則________．【問題探究】(2)如圖2，四邊形是矩形，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，，，是否存在實(shí)數(shù)，使得四邊形是和諧四邊形，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．【應(yīng)用拓展】(3)如圖3，四邊形與四邊形都是和諧四邊形，其中與分別是和諧對(duì)角線，與分別是和諧邊，，，請(qǐng)求出的值．【答案】(1)①等腰；②8(2)存在，(3)【分析】（1）①根據(jù)和諧四邊形的定義，得到，即可得到結(jié)論；②根據(jù)即可得出結(jié)論．（2）分，，，四種情況，分類討論，進(jìn)行判斷即可；（3）根據(jù)和諧四邊形的定義，推出，作于，設(shè)，則，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，根據(jù)，求出的值，即可得解．【詳解】（1）解：①∵四邊形是和諧四邊形，是和諧對(duì)角線，是和諧邊，∴，∴與的形狀是等腰三角形；②∵，∴，故答案為：等腰；8；（2）存在，理由如下：∵，∴四邊形是平行四邊形；當(dāng)時(shí)，四邊形是和諧四邊形，∵，，∴，∴；當(dāng)時(shí)，不滿足直角三角形的斜邊大于直角邊．當(dāng)時(shí)，∵，無解．當(dāng)時(shí)，∵，無解．∴；∴的值為2時(shí)，四邊形是和諧四邊形；（3）∵四邊形是和諧四邊形，為和諧對(duì)角線，為和諧邊，∴，∴，∵四邊形是和諧四邊形，為和諧對(duì)角線，為和諧邊，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴相似比為1，∴，∴，作于，如圖所示：∵，∴，設(shè)，則，∴，∴，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．本題的綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是理解并掌握和諧四邊形的定義．3．（2022·江西萍鄉(xiāng)·一模）定義：有一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做“對(duì)補(bǔ)四邊形”，例如：在四邊形中，，或，則四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”．(1)【概念理解】如圖（1），四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”．①若，則∠D的度數(shù)是_________；②若，且，則_______．(2)【拓展延伸】如圖（2），四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”，當(dāng)，且時(shí)，猜測(cè)，，之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．(3)【類比運(yùn)用】如圖（3），如圖（4），在四邊形中，，平分．①如圖（3），求證：四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”；②如圖（4），設(shè)，連接，當(dāng)，且時(shí)，求的值．【答案】(1)①；②4(2)，證明見解析(3)①見解析；②的值是2或【分析】（1）①根據(jù)“對(duì)補(bǔ)四邊形”的定義，結(jié)合，即可求出答案；②根據(jù)“對(duì)補(bǔ)四邊形”的定義，可由，得出∠，再運(yùn)用勾股定理即可得出答案；（2）延長(zhǎng)EA至點(diǎn)K，使得，連接BK，依據(jù)“對(duì)補(bǔ)四邊形”的定義，可證明，再證明，從而可證得結(jié)論；（3）①過點(diǎn)B作BM⊥AD于點(diǎn)M，BN