滬教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步練習(xí) 27.1圓的確定（分層練習(xí)）（原卷版+解析）

27.1圓的確定（分層練習(xí)）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知點(diǎn)在線段上（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），過(guò)點(diǎn)的圓記為圓，過(guò)點(diǎn)的圓記為圓，過(guò)點(diǎn)的圓記為圓，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．圓可以經(jīng)過(guò)點(diǎn) B．點(diǎn)可以在圓的內(nèi)部C．點(diǎn)可以在圓的內(nèi)部 D．點(diǎn)可以在圓內(nèi)部2．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）在△中，，，，、分別是上的高和中線，如果圓是以點(diǎn)為圓心，半徑長(zhǎng)為2的圓，那么下列判斷正確的是（

）A．點(diǎn)、均在圓內(nèi)； B．點(diǎn)、均在圓外；C．點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外； D．點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓內(nèi)．3．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)，那么這條圓弧所在圓的圓心是（

）A．點(diǎn)P B．點(diǎn)Q C．點(diǎn)R D．點(diǎn)M4．(2023·上海市民辦新北郊初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期末）如圖，在中，，，，是它的中線，以C為圓心，為半徑作，則點(diǎn)M與的位置關(guān)系為（

）A．點(diǎn)M在上 B．點(diǎn)M在內(nèi)C．點(diǎn)M在外 D．點(diǎn)M不在內(nèi)5．(2023·上海民辦建平遠(yuǎn)翔學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．半圓是弧 B．過(guò)圓心的線段是直徑C．弦是直徑 D．長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧6．(2023··九年級(jí)專題練習(xí)）下列命題是真命題的是(

)A．經(jīng)過(guò)平面內(nèi)任意三點(diǎn)可作一個(gè)圓B．相等的圓心角所對(duì)的弧一定相等C．相交兩圓的公共弦一定垂直于兩圓的連心線D．內(nèi)切兩圓的圓心距等于兩圓的半徑的和7．(2023·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）2011年，國(guó)際數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)正式宣布，將每年的3月14日設(shè)為國(guó)際數(shù)學(xué)節(jié)，這與圓周率π有關(guān)．下列表述中，不正確的是（）A．π=； B．π是無(wú)理數(shù)；C．半徑為1cm的圓的面積等于πcm2； D．圓周率是圓的周長(zhǎng)與直徑的比值．8．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）若⊙A的半徑為5，圓心A的坐標(biāo)是（1，2），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（5，2），那么點(diǎn)P的位置為（）A．在⊙A內(nèi) B．在⊙A上 C．在⊙A外 D．不能確定9．(2023·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）在研究圓的有關(guān)性質(zhì)時(shí)，我們?cè)鲞^(guò)這樣的一個(gè)操作“將一張圓形紙片沿著它的任意一條直徑翻折，可以看到直徑兩側(cè)的兩個(gè)半圓互相重合”．由此說(shuō)明（）A．圓是中心對(duì)稱圖形，圓心是它的對(duì)稱中心B．圓是軸對(duì)稱圖形，任意一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸C．圓的直徑互相平分D．垂直弦的直徑平分弦及弦所對(duì)的弧10．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知兩個(gè)同心圓的圓心為O，半徑分別是2和3，且2＜OP＜3，那么點(diǎn)P在（

）A．小圓內(nèi) B．大圓內(nèi) C．小圓外大圓內(nèi) D．大圓外二、填空題11．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知⊙O的半徑為6，A為線段OP的中點(diǎn)，當(dāng)OP的長(zhǎng)度為10時(shí)，點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系為_(kāi)____．12．(2023·上海市楊浦民辦凱慧初級(jí)中學(xué)一模）已知圓O的半徑為5，點(diǎn)A在圓O外，如果線段OA的長(zhǎng)為d，那么d的取值范圍是____．13．(2023·上海虹口·二模）如果正三角形的邊心距是2，那么它的外接圓半徑是______．14．(2023·上海靜安·二模）如圖，已知矩形的邊，，現(xiàn)以點(diǎn)A為圓心作圓，如果B、C、D至少有一點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一點(diǎn)在圓外，那么半徑r的取值范圍是_________．15．(2023·上海浦東新·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)C在線段AB上，且0＜AC＜AB．如果⊙C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，那么點(diǎn)B與⊙C的位置關(guān)系是_____．16．(2023··九年級(jí)專題練習(xí)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且半徑為3的圓的圓心的軌跡___________________________________17．(2023·上海民辦建平遠(yuǎn)翔學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，CD是圓的直徑，O是圓心，E是圓上一點(diǎn)且∠EOD=45°，A是DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE交圓于B，如果AB=OC，則∠EAD=____________三、解答題18．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知：如圖，圓O是△ABC的外接圓，AO平分∠BAC．（1）求證：△ABC是等腰三角形；（2）當(dāng)OA＝4，AB＝6，求邊BC的長(zhǎng)．

【能力提升】一、單選題1．(2023·上海市徐匯中學(xué)九年級(jí)期中）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，圓A的半徑為2．下列說(shuō)法中不正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B在圓A上 B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B在圓A內(nèi)C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B在圓A外 D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B在圓A內(nèi)二、填空題2．(2023·上海黃浦·二模）已知在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，，如果頂點(diǎn)C在⊙B內(nèi)，頂點(diǎn)A在⊙B外，那么⊙B的半徑r的取值范圍是________．3．(2023·上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校九年級(jí)期中）正三角形的邊長(zhǎng)為a，那么它的外接圓半徑是______.三、解答題4．(2023·上海靜安·二模）如圖，已知外接圓的圓心O在高AD上，點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上，．(1)求證：；(2)當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．5．(2023·上海市婁山中學(xué)九年級(jí)期中）已知：如圖，E是菱形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)F，且，聯(lián)結(jié)AE．(1)求證：菱形ABCD是正方形；(2)當(dāng)F是線段CE的中點(diǎn)時(shí)，求證：點(diǎn)F在以AB為半徑的上．6．(2023·上?！とA東師范大學(xué)松江實(shí)驗(yàn)中學(xué)三模）如圖，在梯形中，動(dòng)點(diǎn)在邊上，過(guò)點(diǎn)作，與邊交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，與邊交于點(diǎn)，設(shè)線段．(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出定義域；(2)當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，求的值；(3)如圖，作的外接圓，當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，外接圓的圓心落在的內(nèi)部不包括邊上時(shí)，求出的取值范圍．7．(2023·上海閔行·九年級(jí)期末）已知四邊形是菱形，，點(diǎn)在射線上，點(diǎn)在射線上，且．(1)如圖，如果，求證：；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如果，設(shè)，試建立與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍(3)聯(lián)結(jié)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．27.1圓的確定（分層練習(xí)）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．(2023·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）已知點(diǎn)在線段上（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），過(guò)點(diǎn)的圓記為圓，過(guò)點(diǎn)的圓記為圓，過(guò)點(diǎn)的圓記為圓，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．圓可以經(jīng)過(guò)點(diǎn) B．點(diǎn)可以在圓的內(nèi)部C．點(diǎn)可以在圓的內(nèi)部 D．點(diǎn)可以在圓內(nèi)部答案:B分析：根據(jù)題意，畫出符合題意的示意圖，然后求解．【詳解】解：∵點(diǎn)在線段上（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），過(guò)點(diǎn)的圓記為圓，∴點(diǎn)可以在圓的內(nèi)部，故A錯(cuò)誤，B正確；∵過(guò)點(diǎn)的圓記為圓，∴點(diǎn)可以在圓的外部，故C錯(cuò)誤；∵過(guò)點(diǎn)的圓記為圓，∴點(diǎn)可以在圓的外部，故D錯(cuò)誤．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，畫出適當(dāng)?shù)妮o助圖形，采用數(shù)形結(jié)合的方法，更有助于解題.2．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）在△中，，，，、分別是上的高和中線，如果圓是以點(diǎn)為圓心，半徑長(zhǎng)為2的圓，那么下列判斷正確的是（

）A．點(diǎn)、均在圓內(nèi)； B．點(diǎn)、均在圓外；C．點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外； D．點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓內(nèi)．答案:C分析：先利用勾股定理求得AB的長(zhǎng)，再根據(jù)面積公式求出CP的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出AP的長(zhǎng)，根據(jù)中線的定義求出AM的長(zhǎng)，然后由點(diǎn)P、M到A點(diǎn)的距離判斷點(diǎn)P、M與圓A的位置關(guān)系即可．【詳解】解：如圖，∵在Rt△ABC中，

∴∵分別是AB上的高和中線，∴∵AP=1.8＜2，AM=2.5＞2，∴點(diǎn)P在圓A內(nèi)、點(diǎn)M在圓A外．所以都不符合題意，符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定，掌握根據(jù)點(diǎn)與圓心之間的距離和圓的半徑的大小關(guān)系作出判斷是解題的關(guān)鍵．3．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)，那么這條圓弧所在圓的圓心是（

）A．點(diǎn)P B．點(diǎn)Q C．點(diǎn)R D．點(diǎn)M答案:B分析：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過(guò)圓心，分別作AB，BC的垂直平分線即可得到答案．【詳解】解：作AB的垂直平分線，作BC的垂直平分線，如圖，它們都經(jīng)過(guò)Q，所以點(diǎn)Q為這條圓弧所在圓的圓心．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過(guò)圓心．這也常用來(lái)確定圓心的方法．4．(2023·上海市民辦新北郊初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期末）如圖，在中，，，，是它的中線，以C為圓心，為半徑作，則點(diǎn)M與的位置關(guān)系為（

）A．點(diǎn)M在上 B．點(diǎn)M在內(nèi)C．點(diǎn)M在外 D．點(diǎn)M不在內(nèi)答案:A分析：根據(jù)題意可求得CM的長(zhǎng)，再根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系判斷即可．【詳解】∵由勾股定理得∵CM是AB的中線，∴CM=5cm，∴d=r所以點(diǎn)M在OC上，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，解決的根據(jù)是點(diǎn)在圓上圓心到點(diǎn)的距離=圓的半徑．5．(2023·上海民辦建平遠(yuǎn)翔學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．半圓是弧 B．過(guò)圓心的線段是直徑C．弦是直徑 D．長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧答案:A分析：利用圓的有關(guān)定義分別判斷即可．【詳解】解：A、半圓是弧，正確，符合題意；B、過(guò)圓心的弦是直徑，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；C、直徑是弦，但弦不一定是直徑，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；D、在同圓或等圓中，長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解圓的有關(guān)定義及性質(zhì)．6．(2023··九年級(jí)專題練習(xí)）下列命題是真命題的是(

)A．經(jīng)過(guò)平面內(nèi)任意三點(diǎn)可作一個(gè)圓B．相等的圓心角所對(duì)的弧一定相等C．相交兩圓的公共弦一定垂直于兩圓的連心線D．內(nèi)切兩圓的圓心距等于兩圓的半徑的和答案:C分析：利用經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)才可以確定一個(gè)圓；在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧一定相等；相交圓的公共線垂直于連心線；內(nèi)切兩圓的圓心距等于兩圓半徑的和或差判斷求解.【詳解】A選項(xiàng)，經(jīng)過(guò)平面上在同一直線上的三點(diǎn)不能確定一個(gè)圓，錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，需在同圓中才成立，錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，正確；D選項(xiàng)，不對(duì)，應(yīng)為兩圓半徑之差；故答案為C.【點(diǎn)睛】此題主要考查了與圓有關(guān)的定理和推論，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確記憶有關(guān)定理和推論.7．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）2011年，國(guó)際數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)正式宣布，將每年的3月14日設(shè)為國(guó)際數(shù)學(xué)節(jié)，這與圓周率π有關(guān)．下列表述中，不正確的是（）A．π=； B．π是無(wú)理數(shù)；C．半徑為1cm的圓的面積等于πcm2； D．圓周率是圓的周長(zhǎng)與直徑的比值．答案:A分析：根據(jù)圓周率的定義即可求出答案．【詳解】解：（A）π≈3.14，故A錯(cuò)誤；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查無(wú)理數(shù)，解題的關(guān)鍵是正確理解π，本題屬于基礎(chǔ)題型．8．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）若⊙A的半徑為5，圓心A的坐標(biāo)是（1，2），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（5，2），那么點(diǎn)P的位置為（）A．在⊙A內(nèi) B．在⊙A上 C．在⊙A外 D．不能確定答案:A分析：先根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出PA的長(zhǎng)，然后比較PA與半徑的大小，再根據(jù)點(diǎn)與圓的關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷．【詳解】∵圓心A的坐標(biāo)是（1，2），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（5，2），∴AP==4＜5，∴點(diǎn)P在⊙A內(nèi)，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷．關(guān)鍵要記住若半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則有：當(dāng)d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上，當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．也考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．9．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）在研究圓的有關(guān)性質(zhì)時(shí)，我們?cè)鲞^(guò)這樣的一個(gè)操作“將一張圓形紙片沿著它的任意一條直徑翻折，可以看到直徑兩側(cè)的兩個(gè)半圓互相重合”．由此說(shuō)明（）A．圓是中心對(duì)稱圖形，圓心是它的對(duì)稱中心B．圓是軸對(duì)稱圖形，任意一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸C．圓的直徑互相平分D．垂直弦的直徑平分弦及弦所對(duì)的弧答案:B【詳解】將一張圓形紙片沿著它的任意一條直徑翻折，可以看到直徑兩側(cè)的兩個(gè)半圓互相重合，由此說(shuō)明圓是軸對(duì)稱圖形，任意一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸，故選：B．10．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知兩個(gè)同心圓的圓心為O，半徑分別是2和3，且2＜OP＜3，那么點(diǎn)P在（

）A．小圓內(nèi) B．大圓內(nèi) C．小圓外大圓內(nèi) D．大圓外答案:C【詳解】∵兩個(gè)同心圓的圓心為O，半徑分別是2和3，且2＜OP＜3，∴r＜OP＜R，∴點(diǎn)P在小圓外大圓內(nèi)，故選：C．二、填空題11．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知⊙O的半徑為6，A為線段OP的中點(diǎn)，當(dāng)OP的長(zhǎng)度為10時(shí)，點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系為_(kāi)____．答案:點(diǎn)A在圓內(nèi)．分析：知道OP的長(zhǎng)，由點(diǎn)A是OP的中點(diǎn)，可得到OA的長(zhǎng)與半徑的關(guān)系，即可判斷點(diǎn)A與圓的位置關(guān)系．【詳解】解：∵OP＝10，A是線段OP的中點(diǎn)，∴OA＝5，小于圓的半徑6，∴點(diǎn)A在圓內(nèi)．故答案為點(diǎn)A在圓內(nèi)．【點(diǎn)睛】本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟知判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的方法是解題關(guān)鍵．12．(2023·上海市楊浦民辦凱慧初級(jí)中學(xué)一模）已知圓O的半徑為5，點(diǎn)A在圓O外，如果線段OA的長(zhǎng)為d，那么d的取值范圍是____．答案:d＞5分析：設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d，圓的半徑為r，則d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．【詳解】解：點(diǎn)A在圓O外，則點(diǎn)到圓心的距離大于圓的半徑，d＞5．故答案為d＞5．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷．熟記點(diǎn)與圓位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的對(duì)應(yīng)是解題的關(guān)鍵，由位置關(guān)系可推得數(shù)量關(guān)系，同樣由數(shù)量關(guān)系也可推得位置關(guān)系．13．(2023·上海虹口·二模）如果正三角形的邊心距是2，那么它的外接圓半徑是______．答案:4分析：利用解直角三角形的知識(shí)即可求解．【詳解】根據(jù)題意作圖如下，根據(jù)題意有：在正△ABC中，邊心距OD=2，OB為正△ABC外接圓半徑，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知∠OBD=∠ABD=，且∠ODB=90°，∴在Rt△ABC中，，即其外接圓半徑r為4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了邊心距的含義、解直角三角形、正三角形的性質(zhì)等知識(shí)，理解邊心距的含義是解答本題的關(guān)鍵．14．(2023·上海靜安·二模）如圖，已知矩形的邊，，現(xiàn)以點(diǎn)A為圓心作圓，如果B、C、D至少有一點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一點(diǎn)在圓外，那么半徑r的取值范圍是_________．答案:6<r<10分析：先求出矩形對(duì)角線的長(zhǎng)，然后由B、C、D至少有一點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一點(diǎn)在圓外，即可確定半徑r的取值范圍．【詳解】解：連接AC，如圖，∵，，由勾股定理可得：，∵，，AC=10，又∵B、C、D至少有一點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一點(diǎn)在圓外，∴點(diǎn)B在內(nèi)，點(diǎn)C在外，∴6<r<10．故答案為：6<r<10．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是勾股定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．15．(2023·上海浦東新·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)C在線段AB上，且0＜AC＜AB．如果⊙C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，那么點(diǎn)B與⊙C的位置關(guān)系是_____．答案:點(diǎn)B在⊙C外分析：直接根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，∵點(diǎn)C在線段AB上，且0＜AC＜AB，∴BC＞AC，∴點(diǎn)B在⊙C外，故答案為：點(diǎn)B在⊙C外．【點(diǎn)睛】本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟知設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，當(dāng)d＞r時(shí)點(diǎn)P在圓外；當(dāng)d＜r時(shí)點(diǎn)P在圓內(nèi)是解答此題的關(guān)鍵．16．(2023··九年級(jí)專題練習(xí)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且半徑為3的圓的圓心的軌跡___________________________________答案:以A為圓心3為半徑的圓分析：求圓心的軌跡實(shí)際上是求距A點(diǎn)3能畫一個(gè)什么圖形．【詳解】所求圓心的軌跡，就是到A點(diǎn)的距離等于3厘米的點(diǎn)的集合，因此是一個(gè)以A為圓心，半徑為3的圓．故答案為：以A為圓心3為半徑的圓．【點(diǎn)睛】此題所求圓心的軌跡，就是到頂點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合，因此應(yīng)該是一個(gè)圓．17．(2023·上海民辦建平遠(yuǎn)翔學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，CD是圓的直徑，O是圓心，E是圓上一點(diǎn)且∠EOD=45°，A是DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE交圓于B，如果AB=OC，則∠EAD=____________答案:15°##15度【詳解】解：如圖，連接∵AB=OC，OB=OC，∴AB=BO，∴∠EAD=，∴∠1=∠EAD+∠2=2∠EAD，又∵OE=OB，∴∠1=∠E，∴∠E=2∠EAD，∴∠EOD=3∠EAD=45°，所以∠A=15°.故答案為：三、解答題18．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知：如圖，圓O是△ABC的外接圓，AO平分∠BAC．（1）求證：△ABC是等腰三角形；（2）當(dāng)OA＝4，AB＝6，求邊BC的長(zhǎng)．答案:（1）見(jiàn)解析；（2）3分析：（1）連接OB、OC，先證明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，再證明△OAB≌△OAC得AB＝AC，問(wèn)題得證；（2）延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)H，先證明AH⊥BC，BH＝CH，設(shè)OH＝b，BH＝CH＝a，根據(jù)OA＝4，AB＝6，由勾股定理列出a、b的方程組，解得a、b，便可得BC．【詳解】解：（1）連接OB、OC，∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC，∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，在△OAB和△OAC中，，∴△OAB≌△OAC（AAS），∴AB＝AC即△ABC是等腰三角形；（2）延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)H，∵AH平分∠BAC，AB＝AC，∴AH⊥BC，BH＝CH，設(shè)OH＝b，BH＝CH＝a，∵BH2+OH2＝OB2，OA＝4，AB＝6，則①BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6，則②②－①得：把代入①得：（舍）∴BC＝2a＝3．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的全等，等腰三角形的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，勾股定理，方程組的思想，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【能力提升】一、單選題1．(2023·上海市徐匯中學(xué)九年級(jí)期中）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，圓A的半徑為2．下列說(shuō)法中不正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B在圓A上 B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B在圓A內(nèi)C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B在圓A外 D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B在圓A內(nèi)答案:B分析：畫出圖形，根據(jù)A的坐標(biāo)和圓A的半徑求出圓與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)已知和交點(diǎn)坐標(biāo)即可求出答案．【詳解】如圖：∵A(1,0)，A的半徑是2，∴AC=AE=2，∴OE=1，OC=3，A.當(dāng)a=?1時(shí)，點(diǎn)B在E上，即B在圓A上，正確，故本選項(xiàng)不合題意；B.當(dāng)a=?3時(shí)，B在A外，即說(shuō)當(dāng)a<1時(shí)，點(diǎn)B在圓A內(nèi)錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)符合題意；C.當(dāng)a<?1時(shí)，AB>2，即說(shuō)點(diǎn)B在圓A外正確，故本選項(xiàng)不合題意；D.當(dāng)?1<a<3時(shí)，B在A內(nèi)正確，故本選項(xiàng)不合題意；故選:B.【點(diǎn)睛】考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.二、填空題2．(2023·上海黃浦·二模）已知在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，，如果頂點(diǎn)C在⊙B內(nèi)，頂點(diǎn)A在⊙B外，那么⊙B的半徑r的取值范圍是________．答案:##分析：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D，則BD=BC==5，解Rt△ABD，求出AD長(zhǎng)，從而求出AB長(zhǎng)，再根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=BC==5，∠ADB=90°，∵cotB=，即∴AD=12，由勾股定理，得AB==13，∵頂點(diǎn)C在⊙B內(nèi)，頂點(diǎn)A在⊙B外，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．3．(2023·上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校九年級(jí)期中）正三角形的邊長(zhǎng)為a，那么它的外接圓半徑是______.答案:分析：根據(jù)題意做出相應(yīng)的圖形，利用正三角形的外接圓的圓心是正三角形各邊垂直平分線的交點(diǎn)也是角平分線的交點(diǎn)，繼而即可求解．【詳解】由題意，得：，，∵⊙O是等邊△ABC的外接圓，∴，，AD⊥BC，∴在Rt△BOD中，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)．三、解答題4．(2023·上海靜安·二模）如圖，已知外接圓的圓心O在高AD上，點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上，．(1)求證：；(2)當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．答案:(1)見(jiàn)解析(2)分析：（1）先根據(jù)題意得到AD垂直平分BC，得到AB=AC，則∠B=∠ACB，再證明EC=AC，得到∠AEC=∠CAE，即可利用三角形外角的性質(zhì)證明結(jié)論；（2）先求出∠BAO=30°，從而求出∠BOD=60°，然后解直角三角形求出BD，AB的長(zhǎng)即可得到答案．(1)解：∵△ABC的外接圓圓心在高AD上，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵EC=AB，∴EC=AC，∴∠AEC=∠CAE，∵∠ACB=∠AEC+∠CAE，∴∠B=∠AEC+∠CAE=2∠AEC；(2)解：連接OB，∵，∴∠BAO=30°，∵OB=OA，∴∠OAB=∠OAB=30°，∴∠BOD=∠OBA+∠OAB=60°，∴，∴，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求度數(shù)，解直角三角形，三角形外角的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)等等，確定AB=AC是解題的關(guān)鍵．5．(2023·上海市婁山中學(xué)九年級(jí)期中）已知：如圖，E是菱形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)F，且，聯(lián)結(jié)AE．(1)求證：菱形ABCD是正方形；(2)當(dāng)F是線段CE的中點(diǎn)時(shí)，求證：點(diǎn)F在以AB為半徑的上．答案:(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析分析：（1）由菱形的性質(zhì)得到BC=CD，根據(jù)HL定理證明Rt△BEC≌Rt△CFD得到∠BCE=∠CDF，進(jìn)而證明∠BCD=90°即可得證；（2）連結(jié)AF、DE，先利用線段垂直平分線的性質(zhì)證得CD=DE=DA，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證得∠AEB=∠AEF=135°，證明△AEB≌△AEF（SAS）得到AB=AF即可．（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA，∵，∴∠BEC=∠CFD=90°，在Rt△BEC和Rt△CFD中，，∴Rt△BEC≌Rt△CFD（HL），∴∠BCE=∠CDF，∵∠CDF+∠DCF=90°，∴∠BCE+∠DCF=90°，即∠BCD=90°，∵四邊形ABCD是菱形，∴四邊形ABCD是正方形；（2）證明：連結(jié)AF、DE，∵F為CE的中點(diǎn)，DF⊥CE，∴DF垂直平分CE，∴CD=DE=DA，∴∠AED=（180°-∠ADE）=90°-∠ADE，∠DEC=（180°-∠EDC）=90°-∠EDC，∴∠AEF=∠AED+∠DEC=90°-∠ADE+90°-∠EDC=180°-（∠ADE+∠EDC）=180°-×90°=135°，∵∠BEC=90°，∴∠AEB=360°-90°-135°=135°，∴∠AEB=∠AEF，∵Rt△BEC≌Rt△CFD，∴BE=CF=EF，在△AEB和△AEF中，，∴△AEB≌△AEF（SAS），∴AB=AF，∴點(diǎn)F在以AB為半徑的上．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、正方形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、圓的定義等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度適中，解答的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用．6．(2023·上?！とA東師范大學(xué)松江實(shí)驗(yàn)中學(xué)三模）如圖，在梯形中，動(dòng)點(diǎn)在邊上，過(guò)點(diǎn)作，與邊交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，與邊交于點(diǎn)，設(shè)線段．(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出定義域；(2)當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，求的值；(3)如圖，作的外接圓，當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，外接圓的圓心落在的內(nèi)部不包括邊上時(shí)，求出的取值范圍．答案:(1)，(2)或(3)分析：（1）由題中條件、可知四邊形是平行四邊形，故CE；過(guò)點(diǎn)作垂線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，可得相似的和，用含、的表達(dá)式表示它們的邊長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得關(guān)于的解析式；下一步即為求得和的各自邊長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作垂線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由且可得四邊形為矩形，則；在中，由勾股定理可算得的長(zhǎng)度；在中，，則可由勾股定理求得的長(zhǎng)度，，至此已求得所有所需邊長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形邊長(zhǎng)比例關(guān)系：，代入各邊長(zhǎng)表達(dá)式即可得關(guān)于的解析式，再根據(jù)題中要求寫出定義域即可；（2）因?yàn)槭且詾檠牡妊切?，，由勾股定理知，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則四邊形是矩形，；在直角三角形中，運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可得解；（