考研數(shù)學(xué)二(矩陣的特征值和特征向量)模擬試卷13(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)二（矩陣的特征值和特征向量）模擬試卷13(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。1．設(shè)A是n階矩陣，下列結(jié)論正確的是()．A．A，B都不可逆的充分必要條件是AB不可逆B．r(A)＜n，r(B)＜n的充分必要條件是r(AB)＜nC．AX＝0與BX＝0同解的充分必要條件是r(A)＝r(B)D．A～B的充分必要條件是λE－A～λE－B正確答案：D解析：若A～B，則存在可逆矩陣P，使得P-1AP＝B，于是P-1(λE－A)P＝λE－P-1AP＝λE－B，即λE－A～λE－B；反之，若λE－A～λE－B，即存在可逆矩陣P，使得P-1(λE－A)P＝λE－B，整理得λE－P-1AP＝λE－B，即P-1AP＝B，即A～B，應(yīng)選D．知識模塊：矩陣的特征值和特征向量2．設(shè)A為n階可逆矩陣，λ為A的特征值，則A*的一個特征值為()．A．B．C．λ｜A｜D．λ｜A｜n-1正確答案：B解析：因為A可逆，所以λ≠0，令A(yù)X＝λX，則A*AX＝λA*X，從而有A*X＝，選B．知識模塊：矩陣的特征值和特征向量3．設(shè)三階矩陣A的特征值為λ1＝－1，λ2＝0，λ3＝1，則下列結(jié)論不正確的是()．A．矩陣A不可逆B．矩陣A的跡為零C．特征值－1，1對應(yīng)的特征向量正交D．方程組AX＝0的基礎(chǔ)解系含有一個線性無關(guān)的解向量正確答案：C解析：由λ1＝－1，λ2＝0，λ3＝1得｜A｜＝0，則r(A)＜3，即A不可逆，A正確；又λ1＋λ2＋λ3＝tr(A)＝0，所以B正確；因為A的三個特征值都為單值，所以A的非零特征值的個數(shù)與矩陣A的秩相等，即r(A)＝2，從而AX＝0的基礎(chǔ)解系僅含有一個線性無關(guān)的解向量，D是正確的；C不對，因為只有實對稱矩陣的不同特征值對應(yīng)的特征向量正交，一般矩陣不一定有此性質(zhì)，選C．知識模塊：矩陣的特征值和特征向量4．設(shè)A為三階矩陣，方程組AX＝0的基礎(chǔ)解系為α1，α2，又λ＝－2為A的一個特征值，其對應(yīng)的特征向量為α3，下列向量中是A的特征向量的是()．A．α1＋α3B．3α3－α1C．α1＋2α2＋3α3D．2α1－3α2正確答案：D解析：因為AX＝0有非零解，所以r(A)＜n，故0為矩陣A的特征值，α1，α2為特征值0所對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量，顯然特征值0為二重特征值，若α1＋α3為屬于特征值λ0的特征向量，則有A(α1＋α3)＝λ(α1＋α3)，注意到A(α1＋α3)＝0α1－2α3＝－2α3，故－2α3＝λ0(α1＋α3)或λ0α1＋(λ0＋2)α3＝0，因為α1，α3線性無關(guān)，所以有λ0＝0，λ0＋2＝0，矛盾，故α1＋α3不是特征向量，同理可證3α3－α1及α1＋2α2＋3α3也不是特征向量，顯然2α1－3α2為特征值0對應(yīng)的特征向量，選D．知識模塊：矩陣的特征值和特征向量填空題5．設(shè)A是三階矩陣，其三個特征值為，1，則｜4A*＋3E｜＝_______．正確答案：10解析：｜A｜＝－，A*的特征值為，4A*＋3E的特征值為5，1，2，于是｜4A*＋3E｜＝10．知識模塊：矩陣的特征值和特征向量6．設(shè)A為n階可逆矩陣，若A有特征值λ0，則(A*)2＋3A*＋2E有特征值_______．正確答案：解析：因為A可逆，所以λ0≠0，A*對應(yīng)的特征值為，于是(A*)2＋3A*＋2E對應(yīng)的特征值為．知識模塊：矩陣的特征值和特征向量7．設(shè)A為三階矩陣，A的各行元素之和為4，則A有特征值_______，對應(yīng)的特征向量為_______．正確答案：4；．解析：因為A的各行元素之和為4，所以，于是A有特征值4，對應(yīng)的特征向量為．知識模塊：矩陣的特征值和特征向量8．設(shè)A為三階實對稱矩陣，且為A的不同特征值對應(yīng)的特征向量，則a＝_______．正確答案：3解析：因為實對稱矩陣不同特征值對應(yīng)的特征向量正交，所以有6＋3a＋3－6a＝0，a＝3．知識模塊：矩陣的特征值和特征向量解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。9．求矩陣A＝的特征值與特征向量．正確答案：由｜λE＝A｜＝(λ－1)2(λ－4)＝0得λ1＝λ2＝1，λ3＝4．當(dāng)λ＝1時，由(E—A)X＝0得屬于特征值λ＝1的線性無關(guān)的特征向量為α1＝，α2＝，全部特征向量為k1α1＋k2α2(k1，k2不同時為0)；當(dāng)λ＝4時，(4E－A)X＝0得屬于特征值λ＝4的線性無關(guān)的特征向量為α3＝，全部特征向量為kα3(k≠0)．涉及知識點：矩陣的特征值和特征向量10．設(shè)為A的特征向量．(1)求a，b及A的所有特征值與特征向量．(2)A可否對角化?若可對角化，求可逆矩陣P，使得P-1AP為對角矩陣．正確答案：(1)由Aα＝λα得解得a＝1，b＝1，λ＝3．由｜λE－A｜＝＝λ(λ－2)(λ－3)＝0得λ1＝0，λ2＝2，λ3＝3．(2)因為A的特征值都是單值，所以A可相似對角化．將λ1＝0代入(λE－A)X＝0得λ1＝0對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量為α1＝將λ2＝2代入(λE－A)X＝0得λ2＝2對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量為α2＝將λ3＝3代入(λE－A)X＝0得λ3＝3對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量為α3＝令P＝，則P-1AP＝涉及知識點：矩陣的特征值和特征向量11．設(shè)A＝，求A的特征值，并證明A不可以對角化．正確答案：由｜λE－A｜＝＝(λ－2)3＝0得λ＝2(三重)，因為r(2E－A)＝1，所以λ＝2只有兩個線性無關(guān)的特征向量，故A不可以對角化．涉及知識點：矩陣的特征值和特征向量12．設(shè)A＝，B～A*，求B＋2E的特征值．正確答案：｜A｜＝＝7，由｜λE－A｜＝＝(λ－7)(λ－1)2＝0得λ1＝7，λ2＝λ3＝1，A*對應(yīng)的特征值為，即μ1＝1，μ2＝μ3＝7．因為B～A*，所以B的特征值也為μ1＝1，μ2＝μ3＝7，從而B＋2E的特征值為3，9，9．涉及知識點：矩陣的特征值和特征向量13．設(shè)ATA＝E，證明：A的實特征值的絕對值為1．正確答案：設(shè)AX＝λX，則XTAT＝λXT，從而有XTATAX＝λXTAX＝λ2XTX，因為ATA＝E，所以(λ2－1)XTX＝0，而XTX＝｜X｜2≠0，所以λ2＝1，于是｜λ｜＝1．涉及知識點：矩陣的特征值和特征向量14．設(shè)λ0為A的特征值．(1)證明：AT與A特征值相等；(2)求A2，A2＋2A＋3E的特征值；(3)若｜A｜≠0，求A-1，A*，E－A-1的特征值．正確答案：(1)因為｜λE－AT｜＝｜(2E－A)T｜＝｜λE－A｜，所以AT與A的特征值相等．(2)因為Aα＝λ0α(α≠0)，所以A2α＝λ0Aα＝λ02α，(A2＋2A＋3E)α＝(λ02＋2λ0＋3)α，于是A2，A2＋2A＋3E的特征值分別為λ02，λ02＋2λ0＋3．(3)因為｜A｜＝λ1λ2…λn≠0，所以λ0＝≠0，由Aα＝λ0α得A-1α＝α，由A*Aα＝｜A｜α得A*α＝，又(E－A-1)α＝(1－)α，于是A-1，A*，E－A-1的特征值分別為涉及知識點：矩陣的特征值和特征向量15．設(shè)X1，X2分別為A的屬于不同特征值λ1，λ2的特征向量．證明：X1＋X2不是A的特征向量．正確答案：不妨設(shè)X1＋X2是A的屬于特征值λ的特征向量，則有A(X1＋X2)＝λ(X1＋X2)，因為AX1＝λ1X1，AX2＝λ2X2，所以(λ1－λ)X1＋(λ2－λ)X2＝0，而X1，X2線性無關(guān)，于是λ1＝λ2＝λ，矛盾，故X1＋X2不是A的特征向量．涉及知識點：矩陣的特征值和特征向量16．，αTβ＝aibi≠0，求A的全部特征值，并證明A可以對角化．正確答案：令αTβ＝k，則A2＝kA，設(shè)AX＝λX，則A2X＝λ2X＝kX，即λ(λ－k)X＝0，因為X≠0，所以矩陣A的特征值為λ＝或λ＝k．由λ1＋…＋λn＝tr(A)且tr(A)＝k得λ1＝…＝λn-1＝0，λn＝k．因為r(A)＝1，所以方程組(0E－A)X＝0的基礎(chǔ)解系含有n－1個線性無關(guān)的解向量，即λ＝0有n－1個線性無關(guān)的特征向量，故A可以對角化．涉及知識點：矩陣的特征值和特征向量17．設(shè)向量α＝(a1，a2，…，an)T，其中a1≠0，A＝ααT．(1)求方程組AX＝0的通解；(2)求A的非零特征值及其對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量．正確答案：因為r(A)＝1，所以AX＝0的基礎(chǔ)解系含有n－1個線性無關(guān)的特征向量，其基礎(chǔ)解系為α1＝(－，1，0，…，0)T，α2＝(－，0，1，…，0)T，…，αn-1＝(－，0，0，…，1)T，則方程組AX＝0的通解為k1α2＋k2α2＋…＋kn-1αn-1(k1，k2，…，kn-1為任意常數(shù))．(2)因為A2＝kA，其中k＝(α，α)＝＞0，所以A的非零特征值為k，因為Aα＝ααTα＝kα，所以非零特征值k對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為α．涉及知識點：矩陣的特征值和特征向量18．設(shè)α＝，A＝ααT，求｜6E－An｜．正確答案：A＝ααT，由｜λE－A｜＝λ2(λ－2)＝0得λ1＝λ2＝0，λ3＝2，因為6E－An的特征值為6，6，6－2n，所以｜6E－An｜＝62(6－2n)．涉及知識點：矩陣的特征值和特征向量19．設(shè)A為三階矩陣，A的特征值為λ1＝1，λ2＝2，λ3＝3，其對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量分別為，向量β＝，求Anβ．正確答案：令β＝χ1ξ1＋χ2ξ2＋χ3ξ3，解得χ1＝2，χ2＝－2，χ3＝1，則Anβ＝2Anξ1－2Anξ2＋Anξ3＝涉及知識點：矩陣的特征值和特征向量20．設(shè)A是n階矩陣，λ是A的特征值，其對應(yīng)的特征向量為X，證明：λ2是A2的特征值，X為特征向量．若A2有特征值λ，其對應(yīng)的特征向量為X，X是否一定為A的特征向量?說明理由．正確答案：由AX＝λX得A2X＝A(AX)＝A(λX)＝λAX＝λ2X可知λ2是A2的特征值，X為特征向量．若A2X＝λX，其中A＝，A2＝O，A2的特征值為λ＝0，取X＝，顯然A2X＝0X，但AX＝≠0X，即X不是A的特征向量，因此結(jié)論未必成立．涉及知識點：矩陣的特征值和特征向量21．設(shè)A，B為n階矩陣．(1)是否有AB～BA；(2)若A有特征值1，2，…，n，證明：AB～BA．正確答案：(1)一般情況下，AB與BA不相似，如因為r(AB)≠r(BA)，所以AB與BA不相似．(2)因為｜A｜＝n!≠0，所以A為可逆矩陣，取P＝A，則有P-1ABP＝BA，故AB～BA．涉及知識點：矩陣的特征值和特征向量22．設(shè)α為n維非零列向量，A＝E－ααT．(1)證明：A可逆并求A-1；(2)證明：α為矩陣A的特征向量．正確答案：(1)因為A2＝所以A可逆且A-1＝A．(2)因為Aα＝(E－)α＝α－2α＝－α，所以α是矩陣A的特征向量，其對應(yīng)的特征值為－1．涉及知識點：矩陣的特征值和特征向量23．設(shè)矩陣A＝有一個特征值為3．(1)求y；(2)求可逆矩陣P，使得(AP)T(AP)為對角矩陣．正確答案：(1)因為3為A的特征值，所以｜3E－A｜＝0，解得y＝2．(2)(AP)T(AP)＝PTATAP＝PTA2P，A2＝，令A(yù)1＝，｜λE－A1｜＝0得λ1＝1，λ2＝9，當(dāng)λ＝1時，由(E－A1)X＝0得α1＝；λ＝9時，(9E－A1)X＝0得α2＝，涉及知識點：矩陣的特征值和特征向量24．設(shè)A是三階實對稱矩陣，r(A)＝1，A2－3A＝O，設(shè)(1，1，－1)T為A的非零特征值對應(yīng)的特征向量．(1)求A的特征值；(2)求矩陣A．正確答案：(1)A2－3A＝O｜A｜｜3E－A｜＝0λ＝0，3，因為r(A)＝1，所以λ1＝3，λ2＝λ3＝0．(2)設(shè)特征值0對應(yīng)的特征向量為(χ1，χ2，χ3)T，則χ1＋χ2－χ3＝0，則0對應(yīng)的特征向量為α2＝(－1，1，0)T，α3＝(1，0，1)T，令涉及知識點：矩陣的特征值和特征向量25．設(shè)三階實對稱矩陣A的特征值為λ1＝8，λ2＝λ3＝2，矩陣A的屬于特征值λ1＝8的特征向量為ξ1＝．屬于特征值λ2＝λ3＝2的特征向量為ξ2＝，求屬于λ2＝λ3＝2的另一個特征向量．正確答案：因為實對稱矩陣不同的特征值對應(yīng)的特征向量正交，所以有ξ1Tξ2＝－1＋k＝0＝1λ1＝8對應(yīng)的特征向量為ξ1＝令λ2＝λ3＝2對應(yīng)的另一個特征向量為ξ3＝，由不同特征值對應(yīng)的特征向量正交，得χ1＋χ2＋χ3＝0涉及知識點：矩陣的特征值和特征向量26．設(shè)n階矩陣A滿足(aE－A)(bE－A)＝O且a≠b．證明：A可對角化．正確答案：由(aE－A)(bE－A)＝O，得｜aE－A｜.｜bE－A｜＝0，則｜aE－A｜＝0或者｜bE－A｜＝0．又由(aE－A)(bE－A)＝O，得r(aE－A)＋r(bE－A)≤n．同時r(aE－A)＋r(bE－A)≥r[(aE－A)－(bE－A)]＝r[(a－b)E]＝n．所以r(aE－A)＋r(bE－A)＝n．(1)若｜aE－A｜≠0，則r(aE－A)＝n，所以r(bE－A)＝0，故A＝bE．(2)若｜bE－A｜≠0，則r(bE－A)＝n，所以r(aE－A)＝0，故A＝aE．(3)若｜aE－A｜＝0且｜bE－A｜＝0，則a，b都是矩陣A的特征值．方程組(aE－A)X＝0的基礎(chǔ)解系含有n－r