遼寧省大連渤海高級中學2017-2018學年高二下學期期末考試數(shù)學(理)試題(解析版)

渤海高中2017-2018學年度第二學期期末高二數(shù)學理科試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分?？疾榉秶哼x修2-2第二章、第三章、選修2-3全冊、選修4-4、集合、邏輯、函數(shù)與導數(shù)、定積分考生注意：1.答題前，考生務必將自己的考號、姓名填寫在試題、答題紙和答題卡上，考生要認真核對涂準答題卡上的相關信息。2.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。第Ⅱ卷用黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答。在試題卷上作答，答案無效。3.考試結(jié)束，監(jiān)考員將答題紙和答題卡按對應次序排好收回。第Ⅰ卷選擇題（共60分）一、選擇題（60分）1.若集合，，則等于（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：先解絕對值不等式得集合A，再解分式不等式得集合B，最后根據(jù)交集定義求結(jié)果.詳解：因為，所以因為，所以或x>3,因此，選D.點睛：集合的基本運算的關注點(1)看元素組成．集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運算問題的前提．(2)有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關系并進行運算，可使問題簡單明了，易于解決．(3)注意數(shù)形結(jié)合思想的應用，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標系和Venn圖．2.設則=（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：先根據(jù)復數(shù)除法法則求，再根據(jù)共軛復數(shù)定義得詳解：因為所以選D.點睛：首先對于復數(shù)的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如.其次要熟悉復數(shù)相關基本概念，如復數(shù)的實部為、虛部為、模為、對應點為、共軛為3.用數(shù)學歸納法證明（N*,）時，第一步應驗證不等式（）A.B.C.D.【答案】B【解析】試題分析：由題設可知該題運用數(shù)學歸納法時是從開始的,因此第一步應驗證不等式中,故應選B.考點：數(shù)學歸納法及運用．【易錯點晴】數(shù)學歸納法是證明和解決與正整數(shù)有關的數(shù)學問題是重要而有效的工具之一.運用數(shù)學歸納法的三個步驟中第一步是驗證初值,這一步一定要依據(jù)題設中的問題實際,結(jié)合實際意義,并不一定都是驗證,這要根據(jù)題設條件,有時候還要驗證兩個數(shù)值.所以運用數(shù)學歸納法時要依據(jù)題意靈活運用,不可死板教條的照搬,本題就是一個較為典型的實際例子.4.下列函數(shù)中奇函數(shù)為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；和是偶函數(shù)；是奇函數(shù)，故選D．考點：函數(shù)的奇偶性．視頻5.函數(shù)的圖象大致為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：通過研究函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，確定函數(shù)圖像.詳解：為奇函數(shù)，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此選B.點睛：有關函數(shù)圖象識別問題的常見題型及解題思路（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；③由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；④由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復．6.某地區(qū)氣象臺統(tǒng)計，該地區(qū)下雨的概率是，刮風的概率為，既刮風又下雨的概率為，則在下雨天里，刮風的概率為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：根據(jù)條件概率求結(jié)果.詳解：因為在下雨天里，刮風的概率為既刮風又下雨的概率除以下雨的概率，所以在下雨天里，刮風的概率為，選D.點睛：本題考查條件概率，考查基本求解能力.7.某校教學大樓共有5層，每層均有2個樓梯，則由一樓至五樓的不同走法共有（）A.24種B.52種C.10種D.7種【答案】A【解析】因為每層均有2個樓梯，所以每層有兩種不同的走法，由分步計數(shù)原理可知：從一樓至五樓共有24種不同走法．故選A.8.下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后在生產(chǎn)A產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應的生產(chǎn)能耗y(噸)的幾組對應數(shù)據(jù)：x3456y2.5t44.5根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程為＝0.7x＋0.35，那么表中t的值為（）A.3B.3.15C.3.5D.4.5【答案】A【解析】線性回歸方程過點,由題目所給數(shù)據(jù)知:,代入方程,得:,解得,故選A.點睛:求線性回歸方程的步驟:(1)先把數(shù)據(jù)制成表，從表中計算出的值;(2)計算回歸系數(shù);(3)寫出線性回歸方程.進行線性回歸分析時，要先畫出散點圖確定兩變量具有線性相關關系，然后利用公式求回歸系數(shù),得到回歸直線方程，最后再進行有關的線性分析．9.下面幾種推理過程是演繹推理的是（）．A.某校高三有8個班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推測各班人數(shù)都超過50人B.由三角形的性質(zhì)，推測空間四面體的性質(zhì)C.平行四邊形的對角線互相平分,菱形是平行四邊形,所以菱形的對角線互相平分D.在數(shù)列{an}中，a1＝1,,,，由此歸納出{an}的通項公式【答案】C【解析】分析：根據(jù)歸納推理、類比推理、演繹推理得概念判斷選擇.詳解：某校高三有8個班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推測各班人數(shù)都超過50人,這個是歸納推理；由三角形的性質(zhì)，推測空間四面體的性質(zhì)，是類比推理；平行四邊形的對角線互相平分,菱形是平行四邊形,所以菱形的對角線互相平分，是演繹推理；在數(shù)列{an}中，a1＝1,,,，由此歸納出{an}的通項公式，是歸納推理，因此選C.點睛：本題考查歸納推理、類比推理、演繹推理，考查識別能力.10.某校1000名學生的某次數(shù)學考試成績X服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)曲線如圖所示，正態(tài)變量X在區(qū)間，，內(nèi)取值的概率分別是，，，則成績X位于區(qū)間(52,68]的人數(shù)大約是（）A.997B.954C.683D.341【答案】C【解析】分析：先由圖得，再根據(jù)成績X位于區(qū)間(52,68]的概率確定人數(shù).詳解：由圖得因為，所以成績X位于區(qū)間(52,68]的概率是，對應人數(shù)為選C.點睛：利用3σ原則求概率問題時，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進行對比聯(lián)系，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一個.11.曲線在點處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：先求切線斜率，再根據(jù)點斜式得切線方程，最后根據(jù)切線與坐標軸交點坐標，求三角形面積.詳解：因為，所以,所以切線方程為，因此與坐標軸交點為，圍三角形的面積為選A.點睛：利用導數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導數(shù)、切點坐標、切線斜率之間的關系來進行轉(zhuǎn)化.12.已知函數(shù)且，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：先確定函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，再利用奇偶性與單調(diào)性解不等式.詳解：因為，所以,為偶函數(shù)，因為當時，單調(diào)遞增，所以等價于，即，或，選A.點睛：解函數(shù)不等式：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時要注意與的取值應在外層函數(shù)的定義域內(nèi).第Ⅱ卷（非選擇題滿分90分)二、填空題（20分）13.函數(shù)的定義域為________________．【答案】【解析】要使函數(shù)有意義，則，解得，故的定義域為，故答案為.14.二項式的展開式中的常數(shù)項是__________.【答案】15【解析】試題分析：由題意得，二項式的展開式，當時，常數(shù)項為.考點：二項式展開式的通項的應用.15.曲線所圍成圖形的面積為_____________【答案】【解析】畫出曲線如下圖，所以，填。16.若函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)取值范圍為___________.【答案】【解析】試題分析：要使函數(shù)的定義域為，需滿足恒成立．當時，顯然成立；當時，即．綜合以上兩種情況得．考點：不等式恒成立問題．三、解答題（70分）17.為了解少年兒童的肥胖是否與常喝碳酸飲料有關，現(xiàn)對30名六年級學生進行了問卷調(diào)查，得到數(shù)據(jù)如表所示（平均每天喝500ml以上為常喝，體重超過50kg為肥胖）：常喝不常喝合計肥胖28不肥胖18合計30(Ⅰ)請將上面的列聯(lián)表補充完整；(Ⅱ)是否有99％的把握認為肥胖與常喝碳酸飲料有關?說明你的理由.0.0500.0103.8416.635參考數(shù)據(jù)：附：【答案】(1)見解析;(2)有99％的把握認為肥胖與常喝碳酸飲料有關．【解析】分析：（1）先根據(jù)條件計算常喝碳酸飲料肥胖的學生人數(shù)，再根據(jù)表格關系填表，（2）根據(jù)卡方公式求，再與參考數(shù)據(jù)比較作判斷.詳解：（1）設常喝碳酸飲料肥胖的學生有人，.常喝不常喝合計肥胖628不胖41822合計102030（2）由已知數(shù)據(jù)可求得：因此有99％的把握認為肥胖與常喝碳酸飲料有關．點睛：本題考查卡方公式以及列聯(lián)表，考查基本求解能力.18.某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關系，他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如下資料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日晝夜溫差1011131286就診人數(shù)(個)222529261612該興趣小組確定的研究方案是：先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用被選取的2組數(shù)據(jù)進行檢驗．（Ⅰ）若選取的是1月與6月的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)2月至5月份的數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程＝x＋；（Ⅱ）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2人，則認為得到的線性回歸方程是理想的，試問該小組所得線性回歸方程是否理想．附：（參考數(shù)據(jù)）【答案】(1);(2)該小組所得線性回歸方程是理想的．【解析】分析：（1）先求均值，代入公式求，根據(jù)求，（2）根據(jù)線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)，再與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的作差，與2比較，根據(jù)結(jié)果作判斷.詳解：(1)由數(shù)據(jù)求得＝11，＝24，由公式求得b＝，再由a＝－b＝－，得y關于x的線性回歸方程為＝x－．(2)當x＝10時，＝，|－22|<2；同樣，當x＝6時，＝，|－12|<2，所以，該小組所得線性回歸方程是理想的．點睛：函數(shù)關系是一種確定的關系，相關關系是一種非確定的關系.事實上，函數(shù)關系是兩個非隨機變量的關系，而相關關系是非隨機變量與隨機變量的關系.如果線性相關，則直接根據(jù)用公式求，寫出回歸方程，回歸直線方程恒過點.19.從裝有2只紅球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同.(Ⅰ)若抽取后又放回，抽3次.(ⅰ)分別求恰2次為紅球的概率及抽全三種顏色球的概率；(ⅱ)求抽到紅球次數(shù)的數(shù)學期望及方差.(Ⅱ)若抽取后不放回，寫出抽完紅球所需次數(shù)的分布列.【答案】(1)①;②見解析;(2)見解析.【解析】分析：（1）(ⅰ)放回事件是獨立重復試驗，根據(jù)獨立重復試驗概率公式求結(jié)果，(ⅱ)抽到紅球次數(shù)服從二項分布，根據(jù)二項分布期望與方差公式求結(jié)果，（2）先確定隨機變量取法，再根據(jù)組合數(shù)求對應概率，列表可得分布列.詳解：（1）抽1次得到紅球的概率為，得白球的概率為得黑球的概率為①所以恰2次為紅色球的概率為抽全三種顏色的概率②～B(3,),則，（2）的可能取值為2，3，4，5,,，即分布列為：2345P點睛：求解離散型隨機變量的數(shù)學期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積公式，以及對立事件的概率公式等)，求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項分布)，則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得.因此，應熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度.20.已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】(1);(2)k<-.【解析】試題分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)得解得b，再根據(jù)求a（2）先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)得，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得，最后根據(jù)一元二次不等式恒成立得，解得的取值范圍．試題解析：（）∵是奇函數(shù)，∴，計算得出．從而有，又由知，計算得出．（）由（）知，由上式易知在上為減函數(shù)，又因是奇函數(shù)，從而不等式等價于，因是減函數(shù)，由上式推得，即對一切有，從而判別式，計算得出．21.設函數(shù)．（Ⅰ）若曲線在點（1，）處的切線與軸平行，求；（Ⅱ）若在處取得極小值，求的取值范圍．【答案】(1)1;(2)（，+∞）【解析】分析：（1）先求導數(shù)，再根據(jù)得a；（2）先求導數(shù)的零點：，2；再分類討論，根據(jù)是否滿足在x=2處取得極小值，進行取舍，最后可得a的取值范圍．詳解：解：（Ⅰ）因為=[]，所以f′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）=［ax2–（2a+1）x+2］ex．f′(1)=(1–a)e．由題設知f′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a