考研數(shù)學(xué)二(微分方程)模擬試卷2(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)二（微分方程）模擬試卷2(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。1．設(shè)線性無關(guān)的函數(shù)y1(x)，y2(x)，y3(x)均是方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常數(shù)，則該方程的通解是()A．C1y1+C2y2+y3B．C1y1+C2y2一(C1+C2)y3C．C1y1+C2y2一(1一C1一C2)y3D．C1y1+C2y2+(1一C1一C2)y3正確答案：D解析：由于C1y1+C2y2+(1一C1一C2)y3=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)+y3，其中y1一y3和y2一y3是原方程對應(yīng)的齊次方程的兩個線性無關(guān)的解，又y3是原方程的一個特解，所以(D)是原方程的通解．知識模塊：微分方程2．設(shè)二階線性常系數(shù)齊次微分方程y”+by’+y=0的每一個解y(x)都在區(qū)間(0，+∞)上有界，則實數(shù)b的取值范圍是()A．[0，+∞)B．(一∞，0]C．(-∞，4]D．(一∞，+∞)正確答案：A解析：因為當(dāng)b≠±2時，y(x)=，所以，當(dāng)b2—4＞0時，要想使y(x)在區(qū)間(0，+∞)上有界，只需要即b＞2．當(dāng)b2—4＜0時，要想使y(x)在區(qū)間(0，+∞)上有界，只需要的實部大于等于零，即0≤b＜2．當(dāng)b=2時，y(x)=C1e-x+C2xe-x在區(qū)間(0，+∞)上有界．當(dāng)b=一2時，y(x)=C1ex+C2xex(C12+C22≠0)在區(qū)間(0，+∞)上無界．綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)b≥0時，方程y”+by’+y=0的每一個解y(x)都在區(qū)間(0，+∞)上有界，故選(A)．知識模塊：微分方程3．具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的三階線性常系數(shù)齊次微分方程是()A．y”‘一y”一y’+y=0B．y”‘+y”一y’一y=0C．y”‘一6y”+11y’一6y=0D．y”‘一2y”一y’+2y=0正確答案：B解析：根據(jù)題設(shè)條件，1，一1是特征方程的兩個根，且一1是重根，所以特征方程為(λ一1)(λ+1)2=λ3+λ2一λ一1=0，故所求微分方程為y”‘+y”一y’一y=0，故選(B)．或使用待定系數(shù)法，具體為：設(shè)所求的三階線性常系數(shù)齊次微分方程是y”‘+ay”+by’+cy=0．由于y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex是上述方程的解，所以將它們代入方程后得解得a=1，b=一1，c=一1．故所求方程為y”‘+y”一y’一y=0，即選項(B)正確．知識模塊：微分方程4．函數(shù)(其中C是任意常數(shù))對微分方程而言，()A．是通解B．是特解C．是解，但既非通解也非特解D．不是解正確答案：C解析：(1)因原方程階數(shù)為二，通解中應(yīng)包含兩個任意常數(shù)(可求出通解為C1+(2)特解中不含有任意常數(shù)滿足原方程，故選項(A)，(B)，(D)都不對，應(yīng)選(C)．知識模塊：微分方程5．微分方程y”一6y’+8y=ex+e2x的一個特解應(yīng)具有形式(其中a，b為常數(shù))()A．a(chǎn)ex+be2xB．a(chǎn)ex+bxe2xC．a(chǎn)xex+be2xD．a(chǎn)xex+bxe2x正確答案：B解析：由原方程對應(yīng)齊次方程的特征方程r2-6r+8=0得特征根r1=2，r2=4．又f1(x)=ex，λ=1非特征根，對應(yīng)特解為y1*=aex；f2(x)=e2x，λ=2為特征單根，對應(yīng)特解為y2*=bxe2x．故原方程特解的形式為aex+bxe2x，即選(B)．知識模塊：微分方程6．微分方程y”+2y’+2y=e-xsinx的特解形式為()A．e-x(Acosx+Bsinx)B．e-x(Acosx+Bxsinx)C．xe-x(Acosx+Bsinx)D．e-x(Axcosx+Bsinx)正確答案：C解析：特征方程r2+2r+2=0即(r+1)2=一1，特征根為r1.2=一1±i，而λ±iω=一1±i是特征根，特解y*=xe-x(Acosx+Bsinx)．知識模塊：微分方程7．微分方程的通解是()A．2e3x+3ey2=CB．2e3x+=CC．2e3x一=CD．e3x—=C正確答案：C解析：原方程寫成，分離變量有．積分得知識模塊：微分方程8．微分方程y”一4y’+4y=x2+8e2x的一個特解應(yīng)具有形式(其中a，b，C，d為常數(shù))()A．a(chǎn)x2+bx+ce2xB．a(chǎn)x3+bx+C+dx2e2xC．a(chǎn)x2+bx+cxe2xD．a(chǎn)x2+(bx2+cx)e2x正確答案：B解析：對應(yīng)特征方程為r2一4r+4=0，特征根是r1,2=2而f1=x2，λ1=0非特征根，故y1*=ax2+bx+c：又f2=8e2x，λ2=2是二重特征根，所以y2*=dx2e2x．y1*與y2*合起來就是特解，選(B)．知識模塊：微分方程填空題9．設(shè)y1=ex，y2=x2為某二階線性齊次微分方程的兩個特解，則該微分方程為__________．正確答案：解析：由于方程形狀已知，故只要將兩個特解分別代入并求出系數(shù)即可．設(shè)所求的二階線性齊次微分方程為y”+p(x)y’+q(x)y=0分別以y1=ex，y2=x2代入，得知識模塊：微分方程10．設(shè)p(x)，q(x)與f(x)均為連續(xù)函數(shù)，f(x)≠0．設(shè)y1(x)，y2(x)與y3(x)是二階線性非齊次方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)①的3個解，且則式①的通解為_______正確答案：y=C1(y1—y2)+C2(y2一y3)+y1，其中C1，C2為任意常數(shù)解析：由線性非齊次方程的兩個解，可構(gòu)造出對應(yīng)的齊次方程的解，再證明這樣所得到的解線性無關(guān)便可．y1一y2與y2一y3均是式①對應(yīng)的線性齊次方程y”+p(x)y’+q(x)y=0②的兩個解．今證它們線性無關(guān)．事實上，若它們線性相關(guān)，則存在兩個不全為零的常數(shù)k1與k2使k1(y1一y2)+k2(y2一y3)=0．③設(shè)k1≠0，又由題設(shè)知y2-y3≠0，于是式③可改寫為矛盾．若k1=0，由y2一y3≠0，故由式③推知k2=0矛盾．這些矛盾證得y1一y2與y2-y3線性無關(guān)．于是Y=C1(y1一y2)+C2(y2一y3)④為式②的通解，其中C1，C2為任意常數(shù)，從而知y=C1(y1一y2)+C2(y2-y3)+y1⑤為式①的通解．知識模塊：微分方程11．微分方程滿足初值條件y(0)=0，y’(0)=的特解是______．正確答案：x=ey一e-y一解析：熟悉反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的讀者知道，原方程可化為x關(guān)于y的二階常系數(shù)線性方程．將式①代入原方程，原方程化為解得x關(guān)于y的通解為x=C1ey+C2e-y一②以x=0時，y=0代入上式，得0=C1+C2．再將式②兩邊對y求導(dǎo)，有解得C1=1，C2=一1，于是得特解x=ey—e-y一知識模塊：微分方程12．設(shè)f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)有定義，且對任意x∈(一∞，+∞)，y∈(一∞，+∞)，成立f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，且f’(0)存在等于a，a≠0，則f(x)=________．正確答案：axex解析：由f’(0)存在，設(shè)法去證對一切x，f’(x)存在，并求出f(x)．將y=0代入f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，得f(x)=f(x)+f(0)ex，所以f(0)=0．令△x→0，得f’(x)=f(x)+exf’(0)=f(x)+aex，所以f’(x)存在．解此一階微分方程，得f(x)=ex[∫aex．e-xdx+C]=ex(sx+C)．因f(0)=0，所以C=0，從而得f(x)=axex，如上所填.知識模塊：微分方程13．設(shè)f(x)在(一∞，+∞)上可導(dǎo)，且其反函數(shù)存在為g(x)．若∫0f(x)g(t)dt+∫0xf(t)dt=xex-ex+1，則當(dāng)一∞＜x＜+∞時．f(x)=______．正確答案：解析：未知函數(shù)含于積分之中的方程稱積分方程．現(xiàn)在此積分的上限為變量，求此方程的解的辦法是將方程兩邊對x求導(dǎo)數(shù)化成微分方程解之．注意，積分方程的初值條件蘊(yùn)含于所給式子之中，讀者應(yīng)自行設(shè)法挖掘之．將所給方程兩邊對x求導(dǎo)，有g(shù)(f(x))f’(x)+f(x)=xex．因g(f(x))≡x，所以上式成為xf’(x)+f(x)=xex．以x=0代入上式，由于f’(0)存在，所以由上式得f(0)=0．當(dāng)x≠0時，上式成為解得由于f(x)在x=0處可導(dǎo)，所以連續(xù)．令x→0，得從而知C=1．于是得知識模塊：微分方程14．微分方程y’+ytanx=cosx的通解為y=_______．正確答案：(x+C)cosx，其中C為任意常數(shù)解析：屬于一階線性非齊次方程，直接根據(jù)一階線性非齊次方程的方法即可得出答案．知識模塊：微分方程15．微分方程y”一4y=e2x的通解為y=______．正確答案：-其中C1，C2為任意常數(shù)解析：y”一4y=0的特征根λ=±2，則其通解為y=C1e-2x+C2e2x．設(shè)其特解y*=Axe2x代入y”*4y=e2x，可解得所以y”-4y=e2x的通解為C1e-2x+，其中C1，C2為任意常數(shù)．知識模塊：微分方程16．微分方程3extanydx+(1一ex)sec2ydy=0的通解是__________．正確答案：tany=C(ex一1)3，其中C為任意常數(shù)解析：方程分離變量得．積分得ln(tany)=3ln(ex一1)+lnC．所以方程有通解為tany=C(ex一1)3，其中C為任意常數(shù)．知識模塊：微分方程17．微分方程y’tanx=ylny的通解是_________．正確答案：y=eCsinx，其中C為任意常數(shù)解析：原方程分離變量，有．積分得ln(lny)=ln(sinx)+lnC，通解為lny=Csinx，或y=eCsinx，其中C為任意常數(shù)．知識模塊：微分方程18．微分方程(6x+y)dx+xdy=0的通解是_________．正確答案：3x2+xy=C，其中C為任意常數(shù)解析：原方程兼屬一階線性方程、齊次方程、全微分方程．原方程化為①由一階線性方程的通解公式得，其中C為任意常數(shù)，即3x2+xy=C，其中C為任意常數(shù)．知識模塊：微分方程19．微分方程的通解是_________．正確答案：y=C1e3x+C2e2x，其中C1，C2為任意常數(shù)解析：原方程是二階常系數(shù)線性齊次微分方程．其特征方程為r2—5r+6=0，即(r一3)(r一2)=0．解出特征根r1=3，r2=2，即得上述通解．知識模塊：微分方程20．微分方程的通解是_______．正確答案：y=(C1+C2x)ex+1，其中C1，C2為任意常數(shù)解析：原方程為二階常系數(shù)線性非齊次微分方程．其通解為y=y齊+y*，其中y齊是對應(yīng)齊次方程的通解，y*是非齊次方程的一個特解．因原方程對應(yīng)齊次方程的特征方程為r2一2r+1=0，即(r一1)2=0，特征根為r1,2=1．故y齊=(C1+C2x)ex，其中C1，C2為任意常數(shù)．又據(jù)觀察，顯然y*=1與y齊合并即得原方程通解．知識模塊：微分方程21．微分方程的通解_________包含了所有的解．正確答案：不一定解析：例如方程(y2一1)dx=(x一1)ydy，經(jīng)分離變量有積分得通解y2-1=C(x一1)2，但顯然方程的全部解還應(yīng)包括y=±1和x=1(實際上在分離變量時假定了y2一1≠0，x一1≠0)．知識模塊：微分方程22．微分方程(y2+1)dx=y(y一2x)dy的通解是________．正確答案：．其中C為任意常數(shù)解析：知識模塊：微分方程解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。23．已知y=y(x)是微分方程(x2+y2)dy=dx一dy的任意解，并在y=y(x)的定義域內(nèi)取x0，記y0=y(x0)．(1)證明：y(x)＜y0+一arctanx0；正確答案：(1)將微分方程(x2+y2)dy=dx一dy變形為，則y=y(x)為嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)，根據(jù)單調(diào)有界準(zhǔn)則，只要證明y(x)有界即可．對兩邊從x0到x積分，得涉及知識點：微分方程24．設(shè)a＞0，函數(shù)f(x)在[0，+∞)上連續(xù)有界，證明：微分方程y’+ay=f(x)的解在[0，+∞)上有界．正確答案：原方程的通解為y(x)=e-ax(C+∫0xf(t)eatdt)，設(shè)f(x)在[0，+∞)上的上界為M，即|f(x)|≤M，則當(dāng)x≥0時，有|y(x)|=|e-ax(C+∫0xf(t)eatdt)|≤|Ce-ax|+e-ax|∫0xf(t)eatdt|≤|C|+Me-ax∫0xeatdt即y(x)在[0，+∞)上有界．涉及知識點：微分方程25．已知曲線y=y(x)經(jīng)過點(1，e-1)，且在點(x，y)處的切線方程在y軸上的截距為xy，求該曲線方程的表達(dá)式．正確答案：本題以幾何問題為載體，讓考生根據(jù)問題描述建立微分方程，然后求解，是一道簡單的綜合題，是考研的重要出題形式．曲線y=f(x)在點(x，y)處的切線方程為Y—y=y’(X—x)，令X=0，得到截距為xy=y—xy’，即xy’=y(1一x)．此為一階可分離變量的方程，于是，又y(1)=e-1，故C=1，于是曲線方程為y=涉及知識點：微分方程26．求解ydx+(y—x)dy=0．正確答案：方程化為此為齊次方程，故令，代入上述方程得積分得ln(u+eu)=一ln|y|+C1，(u+eu)y=C，，故原方程的通解為，其中C為任意常數(shù)．涉及知識點：微分方程27．設(shè)ψ(x)是以2π為周期的連續(xù)函數(shù)，且φ’(x)=ψ(x)，φ(0)=0．(1)求方程y’+ysinx=ψ(x)ecosx的通解；(2)方程是否有以2π為周期的解?若有，請寫出所需條件，若沒有，請說明理由．正確答案：(1)該方程為一階線性微分方程，通解為y=e-∫sinxdx(∫ψ(x)ecosxe∫sinxdxdx+C)=ecosx(∫ψ(x)ecosx．e-cosxdx+C)=ecosx(∫ψ(x)dx+C)=ecosx[φ(x)+C](其中C為任意常數(shù))．(2)因為φ’(x)=ψ(x)，所以φ(x)=∫0xψ(t)dt+C1，又φ(0)=0，于是，φ(x)=∫0xψ(t)dt而φ(x+2π)=∫0x+2πψ(t)dt=∫0xψ(t)dt+∫xx+2πψ(t)dt=φ(x)+∫02πψ(t)dt，所以，當(dāng)∫02πψ(t)dt=0時，φ(x+2π)=φ(x)，即φ(x)以2π為周期．因此，當(dāng)∫02πψ(t)dt=0時，方程有以2π為周期的解．涉及知識點：微分方程28．設(shè)有方程y’+P(x)y=x2，其中P(x)=試求在(一∞，+∞)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)y=y(x)，使之在(一∞，1)和(1，+∞)內(nèi)都滿足方程，且滿足初值條件y(0)=2．正確答案：當(dāng)x≤1時，方程及其初值條件為求解得y=e-∫ldx(∫x2e∫1dx+C)=e-x(∫x2exdx+C)=x2-2x+2+Ce-x．由y(0)=2得C=0，故y=x2一2x+2．綜上，得又y(x)在(一∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，有f(1-)=f(1+)=f(1)，即1—2+2=所以涉及知識點：微分方程29．設(shè)(1)用變限積分表示滿足上述初值條件的特解y(x)；(2)討論是否存在，若存在，給出條件，若不存在，說明理由．正確答案：一般認(rèn)為，一階線性微分方程y’+p(x)y=q(x)的計算公式為y=e-∫p(x)dx(∫e∫p(x)dx.q(x)dx+C)，而本題是要求寫成變限積分形式(1)初值問題可寫成由上述變限積分形式的通解公式，有：涉及知識點：微分方程30．求微分方程xy’+y=xex滿足y(1)=1的特解．正確答案：由通解公式得當(dāng)x=1，y=1時，得C=1，所以特解為涉及知識點：微分方程31．求(4一x+y)dx一(2一x—y)dy=0的通解．正確答案：方程化為設(shè)x=X+h，y=Y+k，代入方程，并令解得h=3，k=一1，此時原方程化為積分得X2-2XY—Y2=C將X=x一3，Y=y+1代入上式，得到所求通解為x2—2xy—y2一8x+4y=C，其中C為任意常數(shù)．涉及知識點：微分方程32．求xy”一y’lny’+y’lnx=0滿足y(1)=2和y’(1)=e2的特解．正確答案：設(shè)y’=p，則y”=P’，代入原方程中，xp’一plnP+plnx=0，即由原方程知x＞0，y’＞0，從而u＞0，積分后，得lnu一1=C1x，即lnu=C1x+1，代入初值條件y’(1)=e2，解得C1=1，得到方程積分得y=(x一1)ex+1+C2．代入初值條件y(1)=2，解得C2=2，故所求特解為y=(x一1)ex+1+2．涉及知識點：微分方程33．求y’2一yy”=1的通解．正確答案：涉及知識點：微分方程34．求(x+2)y”+xy’2=y’的通解．正確答案：兩邊同除以p2，化為涉及知識點：微分方程35．求微分方程的通解．正確答案：此為齊次方程，只要作代換u=解之即可．方程變形為涉及知識點：微分方程36．求微分方程的通解．正確答案：變形和作適當(dāng)代換后變?yōu)榭煞蛛x變量的方程．方程兩邊同除以x，得涉及知識點：微分方程37．求微分方程y”一2y’一e2x=0滿足條件y(0)=1，y’(0)=1的特解．正確答案：齊次方程y”一2y’=0的特征方程為λ2一2λ=0，由此求得特征根λ1=0，λ2=2．對應(yīng)齊次方程的通解為=C1+C2e2x，設(shè)非齊次方程的特解為y*=Axe2x，則(y*)’=(A+2Ax)e2x，(y*)”=4A(1+x)e2x，涉及知識點：微分方程38．求微分方程y”+2y’+y=xex的通解．正確答案：特征方程r2+2r+1=0的兩個根為r1=r2=-1．對應(yīng)齊次方程之通解為Y=(C1+C2x)e-x．設(shè)所求方程的特解為y-=(ax+b)ex，則y*=(ax+a+b)ex，y*”=(ax+2a+b)ex，代入所給方程，有(4ax+4a+4b)ex=xex．解得而最后得所求之通解為y=(C1+C2x)e-x+，C1，C2為任意常數(shù)．涉及知識點：微分方程39．求微分方程y”+4y’+4y=e-2x的通解．正確答案：特征方程r2+4r+4=0的根為r1=r2=一2．對應(yīng)齊次方程的通解為Y=(C1+C2x)e-2x．設(shè)原方程的特解