考研數(shù)學三(線性代數(shù))模擬試卷18(題后含答案及解析)

考研數(shù)學三（線性代數(shù)）模擬試卷18(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。1．若向量組α1，α2，α3，α4線性相關，且向量α4不可由向量組α1，α2，α3線性表示，則下列結論正確的是()．A．α1，α2，α3線性無關B．α1，α2，α3線性相關C．α1，α2，α4線性無關D．α1，α2，α4線性相關正確答案：B解析：若α1，α2，α3線性無關，因為α4不可由α1，α2，α3線性表示，所以口1，口z，口s，at線性無關，矛盾，故α1，α2，α3線性相關，選B．知識模塊：線性代數(shù)2．設矩陣A=(α1，α2，α3，α4)經行初等變換為矩陣B=(β1，β2，β3，β4)，且α1，α2，α3線性無關，α1，α2，α3，α4線性相關，則()．A．β4不能由β1，β2，β3線性表示B．β4能由β1，β2，β3線性表示，但表示法不唯一C．β4能由β1，β2，β3線性表示，且表示法唯一D．β4能否由β1，β2，β3線性表示不能確定正確答案：C解析：因為α1，α2，α3線性無關，而α1，α2，α3，α4線性相關，所以口。可由α1，α2，α3唯一線性表示，又A=(α1，α2，α3，α4)經過有限次初等行變換化為B=(β1，β2，β3，β4)，所以方程組x1α1+x2α2+x3α3=α4與x1β1+x2β2+x3β3=β4是同解方程組，因為方程組x1α1+x2α2+x3α3=α4有唯一解，所以方程組x1β1+x2β2+x3β3=β4有唯一解，即β4可由β1，β2，β3唯一線性表示，選C．知識模塊：線性代數(shù)3．設A=(α1，α2，…，αm)，若對于任意不全為零的常數(shù)k1，k2，…，km，皆有k1α1+k2α2+…+kmαm≠0，則()．A．m＞nB．m=nC．存在m階可逆陣P，使得AP=D．若AB=O，則B=O正確答案：D解析：因為對任意不全為零的常數(shù)k1，k2，…，km，有k1α1+k2α2+…+kmαm≠0，所以向量組α1，α2，…，αm線性無關，即方程組Ax=0只有零解，故若AB=O，則B=O選D．知識模塊：線性代數(shù)4．下列命題正確的是()．A．若向量α1，α2，…，αn線性無關，A為n階非零矩陣，則Aα1，Aα2，…，Aαn線性無關B．若向量α1，α2，…，αn線性相關，則α1，α2，…，αn中任一向量都可由其余向量線性表示C．若向量α1，α2，…，αn線性無關，則α1+α2，α2+α3，…，αn+α1一定線性無關D．設α1，α2，…，αn是n個n維向量且線性無關，A為n階非零矩陣，且Aα1，Aα2，…，Aαn線性無關，則A一定可逆正確答案：D解析：(Aα1，Aα2，…，Aαn)=A(α1，α2，…，αn)，因為α1，α2，…，αn線性無關，所以矩陣(α1，α2，…，αn)可逆，于是r(Aα1，Aα2，…，Aαn)=r(A)，而Aα1，Aα2，…，Aαn線性無關，所以r(A)=n，即A一定可逆，選D．知識模塊：線性代數(shù)5．向量組α1，α2，…，αm線性無關的充分必要條件是()．A．α1，α2，…，αm中任意兩個向量不成比例B．α1，α2，…，αm是兩兩正交的非零向量組C．設A=(α1，α2，…，αm)，方程組AX=0只有零解D．α1，α2，…，αm中向量的個數(shù)小于向量的維數(shù)正確答案：C解析：向量組α1，α2，…，αm線性無關，則α1，α2，…，αm中任意兩個向量不成比例，反之不對，故A不對；若α1，α2，…，αm是兩兩正交的非零向量組，則α1，α2，…，αm一定線性無關．但α1，α2，…，αm線性無關不一定兩兩正交．B不對；α1，α2，…，αm中向量個數(shù)小于向量的維數(shù)不一定線性無關，D不對，選C．知識模塊：線性代數(shù)6．設A是m×n矩陣，且m＞n，下列命題正確的是()．A．A的行向量組一定線性無關B．非齊次線性方程組Ax=b一定有無窮多組解C．ATA一定可逆D．ATA可逆的充分必要條件是r(A)=n正確答案：D解析：若ATA可逆，則r(ATA)=n，因為r(ATA)=r(A)，所以r(A)=n；反之，若r(A)=n，因為r(ATA)=r(A)，所以ATA可逆，選D．知識模塊：線性代數(shù)7．設A，B是滿足AB=O的任意兩個非零陣，則必有()．A．A的列向量組線性相關，B的行向量組線性相關B．A的列向量組線性相關，B的列向量組線性相關C．A的行向量組線性相關，B的行向量組線性相關D．A的行向量組線性相關，B的列向量組線性相關正確答案：A解析：設A，B分別為m×n及n×s矩陣，因為AB=O，所以r(A)+r(B)≤n，因為A，B為非零矩陣，所以r(A)≥1，r(B)≥1，從而r(A)＜n．r(B)＜n，故A的列向量組線性相關，B的行向量組線性相關，選A．知識模塊：線性代數(shù)8．設α1，α2，…，αm與β1，β2，…，βs為兩個n維向量組，且r(α1，α2，…，αm)=r(β1，β2，…，βs)=r，則()．A．兩個向量組等價B．r(α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βs)=rC．若向量組α1，α2，…，αm可由向量組β1，β2，…，βs線性表示，則兩向量組等價D．兩向量組構成的矩陣等價正確答案：C解析：不妨設向量組α1，α2，…，αm的極大線性無關組為α1，α2，…，αr，向量組β1，β2，…，βs的極大線性無關組為β1，β2，…，βs，若α1，α2，…，αm可由β1，β2，…，βs線性表示，則α1，α2，…，αr也可由β1，β2，…，βr線性表示，若β1，β2，…，βr不可由α1，α2，…，αr線性表示，則β1，β2，…，βs也不可由α1，α2，…，αm線性表示，所以兩向量組秩不等，矛盾，選C．知識模塊：線性代數(shù)9．設A是m×s矩陣，B為s×n矩陣，則方程組BX=0與ABX=0同解的充分條件是()．A．r(A)=sB．r(A)=mC．r(B)=sD．r(B)=n正確答案：A解析：設r(A)=s，顯然方程組BX=0的解一定為方程組ABX=0的解，反之，若ABX=0，因為r(A)=s，所以方程組AY=0只有零解，故BX=0，即方程組BX=0與方程組ABX=0同解，選A．知識模塊：線性代數(shù)10．設n階矩陣A的伴隨矩陣A*≠O，且非齊次線性方程組AX=b有兩個不同解η1，η2，則下列命題正確的是()．A．AX=b的通解為k1η1+k2η2B．η1+η2為AX=b的解C．方程組AX=0的通解為k(η1一η2)D．AX=b的通解為k1η1+k2η2+(η1+η2)正確答案：C解析：因為非齊次線性方程組AX=b的解不唯一，所以r(A)＜n，又因為A*≠O，所以r(A)=n一1，l，η2一η1為齊次線性方程組AX=0的基礎解系，選C．知識模塊：線性代數(shù)11．設有方程組AX=0與BX=0，其中A，B都是m×n矩陣，下列四個命題：(1)若AX=0的解都是BX=0的解，則r(A)≥r(B)(2)若r(A)≥r(B)，則AX=0的解都是BX=0的解(3)若AX=0與BX=0同解，則r(A)=r(B)(4)若r(A)=r(B)，則AX=0與BX=0同解以上命題正確的是()．A．(1)(2)B．(1)(3)C．(2)(4)D．(3)(4)正確答案：B解析：若方程組AX=0的解都是方程組BX=0的解，則n一r(A)≤n一r(B)，從而r(A)≥r(B)，(1)為正確的命題；顯然(2)不正確；因為同解方程組系數(shù)矩陣的秩相等，但反之不對，所以(3)是正確的，(4)是錯誤的，選B．知識模塊：線性代數(shù)12．設A是m×n矩陣，B是n×m矩陣，則()．A．當m＞n時，線性齊次方程組ABX=0有非零解B．當m＞n時，線性齊次方程組ABX=0只有零解C．當n＞m時，線性齊次方程組ABX=0有非零解D．當n＞m時，線性齊次方程組ABX=0只有零解正確答案：A解析：仙為m階方陣，當m＞n時，因為r(A)≤n，r(B)≤n且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，所以r(AB)＜m，于是方程組ABX=0有非零解，選A．知識模塊：線性代數(shù)13．設A為m×n階矩陣，則方程組AX=b有唯一解的充分必要條件是()．A．r(A)=mB．r(A)=nC．A為可逆矩陣D．r(A)=n且b可由A的列向量組線性表示正確答案：D解析：方程組AX=b有解的充分必要條件是b可由矩陣A的列向量組線性表示，在方程組AX=b有解的情形下，其有唯一解的充分必要條件是r(A)=n，故選D．知識模塊：線性代數(shù)填空題14．設，則α1，α2，α3，α4的一個極大線性無關組為________，其余的向量用極大線性無關組表示為________．正確答案：解析：(α1，α2，α3，α4)=則向量組α1，α2，α3，α4的一個極大線性無關組為α1，α2，且知識模塊：線性代數(shù)15．設A=，且存在三階非零矩陣B，使得AB=0，則a=________，b=________．正確答案：2，1解析：A→，因為AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，又B≠O，于是r(B)≥1，故r(A)≤2，從而a=2，b=1．知識模塊：線性代數(shù)16．設η為非零向量，A=，為方程組AX=0的解，則a=________，方程組的通解為________．正確答案：3，k(一3，1，2)T解析：AX=0有非零解，所以｜A｜=0，解得a=3，于是A=方程組AX=0的通解為k(一3，1，2)T．知識模塊：線性代數(shù)解答題解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設向量組(Ⅰ)α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)α1，α2，α3，α5，若向量組(I)與向量組(Ⅱ)的秩為3，而向量組(Ⅲ)的秩為4．證明：向量組α1，α2，α3，α5—α4的秩為4．正確答案：因為向量組(Ⅰ)的秩為3，所以α1，α2，α3線性無關，又因為向量組(Ⅱ)的秩也為3，所以向量α4可由向量組α1，α2，α3線性表示．因為向量組(Ⅲ)的秩為4，所以α1，α2，α3，α5線性無關，即向量α5不可由向量組α1，α2，α3線性表示，故向量α5-α4不可由α1，α2，α3線性表示，所以α1，α2，α3，α5一α4線性無關，于是向量組α1，α2，α3，α5一α4的秩為4．涉及知識點：線性代數(shù)18．設α1，α2，…，αn為n個n維線性無關的向量，A是n階矩陣．證明：Aα1，Aα2，…，Aαn線性無關的充分必要條件是A可逆．正確答案：令B=(α1，α2，…，αn)，因為α1，α2，…，αn為n個n維線性無關的向量，所以r(B)=n．(Aα1，Aα2，…，Aαn)=AB，因為r(AB)=r(A)，所以Aα1，Aα2，…，Aαn線性無關的充分必要條件是r(A)=n，即A可逆．涉及知識點：線性代數(shù)19．設α1，α2，…，αn為n個n維列向量，證明：α1，α2，…，αn線性無關的充分必要條件是正確答案：令A=(α1，α2，…，αn)，ATA=，r(A)=r(ATA)，向量組α1，α2，…，αn線性無關的充分必要條件是r(A)T=n，即r(ATA)=n或｜ATA｜≠0，從而α1，α2，…，αn線性無關的充分必要條件是≠0．涉及知識點：線性代數(shù)20．設α1，α2，…，αt為AX=0的一個基礎解系，β不是AX=0的解，證明：β，β+α1，β+α2，…，β+αt線性無關．正確答案：由α1，α2，…，αt線性無關→β，α1，α2，…，αt線性無關，令kβ+k1(β+α1)+k2(β+α2)+…+kt(β+αt)=0，即(k+k1+…+kt)β+k1α1+…+ktαt=0，∵β，α1，α2，…，αt線性無關∴→k=k1=…=k1=0，∴β，β+α1，β+α2，…，β+αt線性無關涉及知識點：線性代數(shù)21．設α1，α2，…，αn為n個n維向量，證明：α1，α2，…，αn線性無關的充分必要條件是任一n維向量總可由α1，α2，…，αn線性表示．正確答案：設α1，α2，…，αn線性無關，對任意的n維向量a，因為α1，α2，…，αn，α一定線性相關，所以α可由α1，α2，…，αn唯一線性表示，即任一n維向量總可由α1，α2，…，αn線性表示．反之，設任一n維向量總可由α1，α2，…，αn線性表示，取，則e1，e2，…，en可由α1，α2，…，αn線性表示，故α1，α2，…，αn的秩不小于e1，e2，…，en的秩，而e1，e2，…，en線性無關，所以α1，α2，…，αn的秩一定為n，即α1，α2，…，αn線性無關．涉及知識點：線性代數(shù)22．設A為n階矩陣，若Ak-1α≠0，而Akα=0．證明：向量組α，Aα，…，Ak-1α線性無關．正確答案：令l0α+l1Aα+…+lk-1Ak-1α=0(*)(*)兩邊同時左乘Ak-1得l0Ak-1α=0，因為Ak-1α≠0，所以l0=0；(*)兩邊同時左乘Ak-2得l1Ak-1α=0，因為Ak-1α≠0，所以l=0，依次類推可l2=…=lk-1=0，所以α，Aα，…，Ak-1α線性無關．涉及知識點：線性代數(shù)23．設α1，α2，β1，β2為三維列向量組，且α1，α2與β1，β2都線性無關．(1)證明：至少存在一個非零向量可同時由α1，α2和β1，β2線性表示；(2)設，求出可由兩組向量同時線性表示的向量。正確答案：(1)因為α1，α2，β1，β2線性相關，所以存在不全為零的常數(shù)k1，k2，l1，l2，使得k1α1+k2α2+l1α1+l2β2=0，或k1α1+k2α2=-l1α1-l2β2．令y=k1α1+k2α2=-l1α1-l2β2，因為α1，α2與β1，β2都線性無關，所以k1，k2及l(fā)1，l2都不全為零，所以γ≠0．(2)令k1α1+k2α2+l1α1+l2β2=0，所以γ=kα1一3kα2=一kβ1+0β2．涉及知識點：線性代數(shù)24．設向量組α1，α2，…，αn-1為n維線性無關的列向量組，且與非零向量β1，β2正交．證明：β1，β2線性相關．正確答案：令A=，因為α1，α2，…，αn-1與β1，β2正交，所以Aβ1=0，Aβ2=0，即β1，β2為方程組AX=0的兩個非零解，因為r(A)=n一1，所以方程組AX=0的基礎解系含有一個線性無關的解向量，所以β1，β2線性相關．涉及知識點：線性代數(shù)25．設齊次線性方程組，其中ab≠0，n≥2．討論a，b取何值時，方程組只有零解、有無窮多個解?在有無窮多個解時求出其通解．正確答案：D==[a+(n一1)b-](a一b)n-1．(1)當a≠b，a≠(1一n)b時，方程組只有零解；(2)當a=b時，方程組的同解方程組為x1+x2+…+xn=0，其通解為X=k1(一1，1，0，…，0)T+k2(一1，0，1，…，0)T+…+kn-1(一1，0，…，0，1)T(k1，k2，…，kn-1為任意常數(shù))；(3)令A=，當a=(1一n)b時，r(A)=n一1，顯然(1，1，…，1)T為方程組的一個解，故方程組的通解為k(1，1，…，1)T(k為任意常數(shù))．涉及知識點：線性代數(shù)26．設A為三階矩陣，A的第一行元素為a，b，c且不全為零，又B=且AB=O，求方程組AX=0的通解．正確答案：由AB=O得r(A)+r(B)≤3且r(A)≥1．(1)當k≠9時，因為r(B)=2，所以r(A)=1，方程組AX=0的基礎解系含有兩個線性無關的解向量，顯然基礎解系可取B的第1、3兩列，故通解為(k1，k2為任意常數(shù))；(2)當k=9時，r(B)=1，1≤r(A)≤2，當r(A)=2時，方程組AX=0的通解為C(C為任意常數(shù))，；當r(A)=1時，A的任意兩行都成比例，不妨設a≠0，由A→(k1，k2為任意常數(shù))．涉及知識點：線性代數(shù)27．a，b取何值時，方程組有解?正確答案：(3)a=1，b=一1時，通解為X=k1(1，一2，1，0)T+k2(1，一2，0，1)T+(一1，1，0，0)T(k1，k2為任意常數(shù))．涉及知識點：線性代數(shù)28．A，B為n階矩陣且r(A)+r(B)＜n．證明：方程組AX=0與BX=0有公共的非零解．正確答案：方程組的解即為方程組AX=0與BX=0的公共解．因為有非零解，故方程組AX=0與BX=0有公共的非零解．涉及知識點：線性代數(shù)29．設(I)，α1，α2，α3，α4為四元非齊次線性方程組BX=b的四個解，其中α1=，r(B)=2．(1)求方程組(I)的基礎解系；(2)求方程組(Ⅱ)BX=0的基礎解系；(3)(I)與(Ⅱ)是否有公共的非零解?若有公共解求出其公共解．正確答案：(I)方程組(I)的基礎解系為(2)因為r(B)=2，所以方程組(Ⅱ)的基礎解系含有兩個線性無關的解向量，為方程組(Ⅱ)的基礎解系；(3)方程組(I)的通解為k1ξ1+k2ξ2=一k2=k2，取k2=k，則方程組(I)與方程組(Ⅱ)的公共解為k(一1，1，1，1)T(其中k為任意常數(shù))．涉及知識點：線性代數(shù)30．設(1)求(I)，(Ⅱ)的基礎解系；(2)求(I)，(Ⅱ)的公共解．正確答案：涉及知識點：線性代數(shù)31．，問a，b，c取何值時，(I)，(Ⅱ)為同解方程組?正確答案：涉及知識點：線性代數(shù)32．正確答案：令，方程組(I)可寫為AX=b，方程組(Ⅱ)、(Ⅲ)可分別寫為ATY=0及=0．若方程組(I)有解，則r(A)=r(A｜b)，從而r(AT)=，又因為(Ⅲ)的解一定為(Ⅱ)的解，所以(Ⅱ)與(Ⅲ)同解；反之，若(Ⅱ)與(Ⅲ)同解，則r(AT)=，從而r(A)=r(A｜b)，故方程組(I)有解．涉及知識點：線性代數(shù)33．正確答案：則(Ⅱ)可寫為BY=0，因為β1，β2，…，βn為(I)的基礎解系，因此r(A)=n，β1，β2，…，βn線性無關，Aβ1=Aβ2=…=Aβn=0→A(β1，β2，…，βn)=O→ABT=O→BAT=0．→α1T，α2T，…，αnT為BY=0的一組解，而r(B)=n，α1T，α2T，…，αnT線性無關，因此α1T，α2T，…，αnT為BY=0的一個基礎解系．涉及知識點：線性代數(shù)34．設A是m×s矩陣，B是s×n矩陣，且r(B)=r(AB)．證明：方程組BX=0與ABX=0是同解方程組．正確答案：首先，方程組BX=0的解一定是方程組ABX=0的解．令r(B)=r且ξ1，ξ2，…，ξn-r是方程組BX=0的基礎解系，現(xiàn)設方程組ABX=0有一個解η0不是方程組BX=0的解，即Bη0≠0，顯然ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0線性無關，若ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0線性相關，則存在不全為零的常數(shù)k1，k2，…，kn-r，k0，使得k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r+k0η0=0，若k0=0，則k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0，因為ξ1，ξ2，…，ξn-r線性無關，所以k1=k2=…=kn-r=0，從而ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0線性無關，所以k0≠0，故η0可由ξ1，ξ2，…，ξn-r線性表示，由齊次線性方程組解的結構，有Bη0=0，矛盾，所以ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0線性無關，且為方程組ABX=0的解，從而n一r(AB)≥n一r+1，r(AB)≤r一1，這與r(B)=r(AB)矛盾，故方程組BX=0與ABX=0同解．涉及知識點：線性代數(shù)35．設A，B，C，D都是n階矩陣，r(CA+DB)=n．(1)證明=n；(2)設ξ1，ξ2，…，ξr與η1，η2，…，ηs分別為方程組AX=0與BX=0的基礎解系，證明：ξ1，ξ2，…，ξr，η1，η2，…，ηs線性無關．正確答案：(1)因為n=r(CA+DB)=(2)因為只有零解，從而方程組AX=0與BX=0沒有非零的公共解，故ξ1，ξ2，…，ξr與η1，η2，…，ηs線性無關．涉及知識點：線性代數(shù)36．設A為n階矩陣，A11≠0．證明：非齊次線性方程組AX=b有無窮多個解的充分必要條件是A*b=0．正確答案：設非齊次線性方程組AX=b有無窮多個解，則r(A)＜n，從而｜A｜=0，于是A*b=A*AX=｜A｜X=0．反之，設A*b=0，因為b≠0，所以方程組A*X=0有非零解，從而(A*)＜n，又A11≠0，所以r(A*)=1，且r(A)=n一1．因為r(A*)=1，所以方程組A*X=0的基礎解系含有n—1個線性無關的解向量，而A*A=0，所以A的列向量組α1，α2，…，αn為方程組A*X=0的一組解向量．由A11≠0，得α2，…，αn線性無關，所以α2，…，αn是方程組A*X=0的基礎解系．因為A*b=0，所以b可由α2，…，αn線性表示，也可由α1，α2，…，αn線性表示，故r(A)==n一1＜n，即方程組AX=b有無窮多個解．涉及知識點：線性代數(shù)37．證明：r(AB)≤min{r(A)，r(B)}．正確答案：令r(B)=r，BX=0的基礎解系含有n—r個線性無關的解向量，因為BX=0的解一定是ABX=0的解，所以ABX=0的基礎解系所含的線性無關的解向量的個數(shù)不少于BX=0的基礎解系所含的線性無關的解向量的個數(shù)，即n—r(AB)≥n—r(B)，r(AB)≤r(B)；又因為r[(AB)T]=r(AB)一r(BTAT)≤r(AT)=r(A)，所以r(AB)≤min{r(A)，r(B)}