上海教育版高中數學一年級上冊全冊教案

高一上學期數學講義

1.1集合及其表示法

一、教學內容分析

集合是一種數學語言，是對數學的進一步抽象，它將貫穿在整個高中數學內容中，甚至在

今后的數學學習中，將集合的概念和理論滲透到數學的各類分支中，會有利于提高學生的數

學素養(yǎng)。

本章是高中數學的第一個章節(jié)，學習集合的有關概念和表示方法，以及集合之間的關系和

基本運算，初步掌握基本的集合語言，了解集合的基本思想方法和集合的發(fā)展歷史，能用集

合的思想去觀察、思考、表述和解決一些簡單的實際問題。

二、教學目標設計

知道集合的意義，理解集合的元素及其與集合的關系符號；認識一些特殊集合的記號，會

用“列舉法”和“描述法”表示集合；體會數學抽象的意義.

三、教學重點及難點

教學重點：集合的基本概念；

教學難點：用“列舉法”和“描述法”表示集合。

五、教學過程設計

一、數名■史引入

（1）“物以類聚，人以群分”（2）我校高一年級的全體學生；（3）這間教室里所有的課桌;

（4）所有的正有理數；（5）……

二、老打新錦

1.概念辨析

（1）集合的有關概念：

集合的述性說明：把能夠確切指定的些對象看作一個整體，這個整體就叫做集合，簡

稱集。

我們既要研究集合這個整體，也要研究這個整體中的個體。我們稱集合中的各個對象叫

做這個集合的元素；

集合的分類：有限集、無限集；

集合中元素的特性：“確定性”；“互異性”；“無序性”；

（2）集合的表示方法：

集合的符號表示：集合常用大寫英文字母4、B、C…表示，集合中的元素常用小寫英文字

母a、b、c…表示

元素與集合的關系：屬于G與不屬于足（注意方向和辨析）；

列舉法：將集合中的元素一一列出來（不考慮元素的順序），且寫在大括號內，這種表示

集合的方法叫列舉法

描述法：在大括號內先寫出這個集合的元素的一般形式，再劃一條豎線，在豎線后面寫上

集合中元素所共同具有的特性，即：A={x|x滿足的性質p}，這種表示集合的方法叫做描

述法.

(3)特殊集合的表示：

常用的集合的特殊表示法：實數集R(正實數集R+)、有理數集Q(負有理數集Q-)、

整數集Z(正整數集Z+)、自然數集N(包含零)、不包含零的自然數集N*；

空集0(例：方程％2+2=0的實數解集為0).

［說明］描述法這一表示集合的形式學生較難理解，可以通過一些例題來加深對描述法這

種表示方法的理解。

2.例題分析

例1、判斷卜列各組對象能否組成集合:

(1)不等式3x+2>0的解；

(2)我班中身高較高的同學；

(3)直線y=2x-l上所有的點；

(4)不大于10且不小于1的奇數。

例2、用符號w或史填空：

(1)2N(2)V2Q(3)0___0

(4)0{0}(5)b{a,b,c}(6)0N*

例3、寫出下列集合中的元素(并用列舉法表示):

(1)既是質數又是偶數的整數組成的集合答：{2}

(2)大于10而小于20的合數組成的機荷答：{12,14,15,16,18}

例4、用描述法表示下列集合：

(1)被5除余1的正整數所構成的集合答：{x|x=5k+l,%eN}

(2)平面直角坐標系中第一、第三象限的點構成的集合答：

{(x,y)l^〉0,xeR”R}

(3)函數y=2x2-x+1的圖像上所有的點答:

{(x,y)|y=2/_%+i,xeR,yeR}

xx=------,nGN*,“<5>

n+2J

例5、用列舉法表示下列集合:

(1)](x,y)|x+y=5,xcN,y￡N}答:{(0,5),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(5,0)}

(2)x2-2x-3=0,xGR|答“3,-1}

(3)72x+3=0,R|答：0

(3)?x------GN,xGZ>答：{-7,-1,1,3,4}

用行糜或任填空：J

例6、

(1)2百____卜卜(2)3____{x［x=〃2+1,〃eN*}

⑶(T,I)fyy=x-}(4)(-1,1){(?！?卜=班

［說明］例4一例6都涉及到了集合的描述法表示，這也是本節(jié)課的最大的難點，題目不宜

過多，可以從中選取一些；在例題中滲透有限集和無限集的概念.

三、成國在燈，課本P7練習1.1

8、錦堂疝輅,集合的概念、表示方法

五、作業(yè)有貴

（必做題）課本P7習題1.1

（選做題）已知集合A=卜k=a+亞/>,4,/?ez},若Xa/eA，判斷：x「X2eA是

否成立.

六、教學設計說明

1.通過許多實際的例子來讓學生感知概念，然后在通過文字的歸納敘述讓學生形成概

念，再通過具體的例子來讓學生理解文字描述的概念，由此層層深化概念。

2.由于本節(jié)課文字信息量較大，因此用制作課件，以簡化板書工作，增加課堂教學的信

息容量，保證學生的活動空間和思維空間，努力提高單位教學效益。

1.2集合之間的關系

一、教學目標設計

理解集合之間的包含關系，掌握子集的概念

二、教學重點及難點

教學重點：子集的概念

五、教學過程設計

一、復燈，（1）回答概念：集合、元素、有限集、無限集、列舉法、描述法。

（2）集合中元素的特性是什么？

二、引入,觀察和比較下列各組集合，說說它們之間的關系（共性）：

（1）A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}；

（2）A=N,B=Q；

（3）A是xx中學高一年級全體女生組成的集合，B是XX中學高一年級全體學生組成

的集合.

［說明］給出幾個具體的集合，從元素角度觀察它們之間的關系，引出子集、真子集、

集合相等的概念。

三、學為新健

1.概念辨析

定義1：對于兩個集合A與B,如果集合A的隹回一個元素都屬于集合B,那么集合A

叫作集合8的子集，記作:A=B或83A（施作；A包含于5或5包含A

gh］（1）A=B有兩種可能：①A中所有元素是B中的一部分元素；②A與B是中的

所有元素都相同；

（2）空集0是任何集合的子集：任何一個集合是它本身的子集；

（3）判定4是8的子集，即判定“任意xcAnxeB”.

定義2：對于兩個集合A與B,如果A=B且8=那么叫做集合A等于集合3,

記作A=3（讀作集合A等于集合3）；

至刃（1）如果兩個集合所含的元素完全相同，那么這兩個集合相等；（2）判定A=8,

即判定“任意xeAnxe8,且任意xeBnxeA”.

定義3：對于兩個集合A與3,如果A=并且8中至少有一個元素不屬于A,那

么集合A叫做B的真子集，記作：4。8或8丫4,讀作A真包含于3或8真包含A.

（1）空集是任何非空集合的真子集，0UA；

(2)判定AUS,即判定“任意％eAnxeB,且存在與eB=>玉；￡A”；

(3)子集與真子集符號的方向；

(4)易混符號：①“e”與②{0}與0

2.例題分析

1,寫出數集N、R、N*、Z、Q的包含關系；

2、寫出集合{x,y,z}的所有真子集；

3、已知集合加={1,3,5,7,9},寫出符合下列條件的M的子集：

(1)以集合M中的所有質數為元素；

(2)以集合M中所有能被3整除的數為元素；

(3)以集合M中所有能被2整除的數為元素。

4、設集合A={]|%>1,尤eR},B={x|x>5,xe7?)；

(1)判斷2分別與A、B的關系(2)確定A、B之間的關系

5、確定下列兩個集合關系：

(1)A-{x\x-2k+\,keZ},B-{x\x-2m-\,meZ}

(2)A={x\x=2k+\,k&N,},B={x|x=2m-l,meN*}

(3)A={x\x=4k+\,keZ},B={x\x=2k+\,k&Z}

0、風(§陸燈.,課本Pll練習1.2

A.錦堂疝輅

理解集合之間的包含關系，掌握子集、集合相等、真子集概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，掌握

他們的各種符號表示及證明方法。對于兩個集合A與B,如果集合A中任何一個元素都屬于

集合B,那么集合A叫做集合B的子集，記作A=規(guī)定空集是任何集合的子集。當集

合A是集合B的子集時，進一步詳細討論，若集合B中至少有一個元素不屬于A,那么集合

A是集合B的真子集；若集合B也是集合A的子集，那么集合A與集合B相等。

兩個集合之間也不一定存在包含關系，如集合A中任何一個元素都不屬于集合B,集合B

中任何一個元素都不屬于集合A,等等，這些在集合運算中能得到體現。

凱、作業(yè)中策

(必做題)課本P11習題1.2

(選做題)設集合

4=民4=。,且8={0,1,2,3,4,5},

5={0,^4,6,8},求集合A的個數.

七、教學設計說明

本節(jié)內容是集合這個章節(jié)的第二節(jié)，是繼第一節(jié)集合

概念后的又一節(jié)概念課，通過集合與集合之間的關系，比較元素與集合的關系，使同學們加

深對集合概念的理解。另一方面，用定義的方法來判定集合與集合的關系，也是本節(jié)課的難

點之一，需要對概念在理解的基礎上進一步熟練掌握。因此，本節(jié)課內容較多，需要同學們

通過簡單而直觀的實例來區(qū)分概念，從而達到熟練掌握的效果。

1.3(1)集合的運算(交集、并集)

一、教學內容分析

本小節(jié)的重點是交集與并集的概念，只要結合圖形，抓住概念中的關鍵詞“且”、“或”，

理解它們并不困難?？梢越柚鷶颠\算幫助理解“且”、“或”的含義：求方程組的解集是求

各個方程的解集的交集，求方程U+WM+D-O的解集，則是求方程K+2-0和

工+1-0的解集的并集。

本小節(jié)的難點是弄清交集與并集的概念及符號之間的聯(lián)系和區(qū)別。突破難點的關鍵是掌

握有關集合的術語和符號、簡單的性質和推論，并會正確地表示一些簡單的集合。利用數形

結合的思想，將滿足條件的集合用維恩圖或數軸一一表示出來，從而求集合的交集、并集、

補集，這是既簡單又直觀且是最基本、最常見的方法，要注意靈活運用.

二、教學目標設計

理解交集與并集的概念；掌握有關集合運算的術語和符號，能用圖示法表示集合之間的關

系，會求給定集合的交集與并集；知道交集、并集的基本運算性質。發(fā)展運用數學語言進行

表達、交流的能力。通過對交集、并集概念的學習，提高觀察、比較、分析、概括等能力。

三、教學重點及難點：交集與并集概念、數形結合思想方法在概念理解與解題中運用；

交集與并集概念、符號之間的區(qū)別與聯(lián)系。

四、教學流程設計

五、教學過程設計

一、復燈⑦頒

思考并回答下列問題

1、子集與真子集的區(qū)別。

運用與深化（例題解析、鞏固練習）

2、含有n個元素的集合子集與真子集的個數。

3、空集的特殊意義。

二、年授新錦；|關于交集

課堂小結并布置作業(yè)

1、概念引入

（1）考察下面集合的元素，并用列舉法表示（課P12）

A={x|x為10的正約數}B={x|x為15的正約數}

C={x|x為10與15的正公約數}

解答:A={1,2,5,10},B={1,3,5,15},C={1,5}

［說明］啟發(fā)學生觀察并發(fā)現如下結論：C中元素是A與B中公共元素。

（2）用圖示法表示上述集合之間的關系

2、概念形成

交集定義

一般地，由集合A和集合B的所有公共元素所組成的集合，叫做A與B的交集。記作ACB

（讀作"A交B"），即：ADB={x|xGA且xGB}（讓學生用描述法表示）。

交集的圖示法

理3Ac3=Au3AcB=（j）

■請學生通過討論并舉例說明。

3、概念深化

交集的性質（補充）

由交集的定義易知，對任何集合A,B,有：

AAA=A,AAU=A,An@=6；②AnB^A,AAB^B；③AClB=BAA；④A

nBAC=（ACB）AC=AA（BAC）；⑤AAB=A=A=B。

4、例題解析

例1：已知A={x|-l<x?2},B={x|-2<x<0},求AC8。（補充）

解：An8={x|-l<x<0}

［說明］①啟發(fā)學生數形結合，利用數軸解題。②求交集的實質是找出兩個集合的公共部分。

例2：設人=包懼是等腰三角形｝,B=｛x|x是直角三角形｝,求

ADB,（補充）

解：AAB=｛x|x是等腰三角形｝A｛x|x是直角三角形｝

=｛x|x是等腰直角三角形｝

［說明］:此題運用文氏圖，其公共部分即為AC1B

例3：設A、B兩個集合分別為A=｛（x,y）|2x+y=1。｝,B=｛（x,y）|3x-y=5｝,求A

CB,并且說明它的意義。（課本pll例1）

解：AnB=<（x,y）｛2r+V=1°l=｛（3,4）｝

3x—y=5J

［說明］Ac8表示方程組的解的集合，也可以理解為兩條一次函數的圖像的交點的坐標集

八口。

例4(補充)設人={1,2,3},B={2,5,7},C={4,2,8},

求(AAB)nc,An(Bnc),ACIBCC。

解：(AAB)nc=({1,2,3}C{2,5,7})A{4,2,8}={2}C{4,2,8}={2}；AD

(BAC)={1,2,3}n({2,5,7}D{4,2,8})={1,2,3}A{2}={2};ADBnC=(A

nB)AC=AC(Bnc)={2}。

三、成國依燈練習1.3(I)

關于并集

1、概念引入

弓I例：考察下面集合的元素，并用列舉法表示

A={x|x-2=0},B={x|x+3=O)>C={x|(x-2)(x+3)=0}

答：A={2},B={-3},C={2,-3}

［說明］啟發(fā)學生觀察并發(fā)現如下結論：C中元素由A或B的元素構成。

2、概念形成

■并集的定義：

一般地，由所有屬于A

或屬于B的元素組成

的集合，叫做A與B

的并集，記作AUB

（讀作"A并B"）,即AUB=｛x|xGA或xGB｝。

■并集的圖示法

AuB：B,AuB=B,

A<JAu

■請學生通過討論并舉例說明。

3、概念深化

■并集的性質（補）

①AUA=A,AUU=U,AU<|>=A；②A1（AUB）,（AUB）；

@AUB=BUA；?AAB^AUB,當且僅當A=B時，AAB=AUB；

⑤AUB=A=B=A.

［說明］交集與并集的區(qū)別（由學生回答）（補）

萬wd且K比B

交集是屬于A且屬于B的全體元素的集合。

并集是屬于A或屬于B的全體元素的集合。

xWA或xWB的“或”代表了三層含義：即下圖所示。

4、例題解析

例5：設人={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求AUB。（補充）

解：；.A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},

則AUB={4,5,6,8}U{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}?

［說明］①運用文恩解答該題。②用例舉法求兩個集合的并集，只需把兩個集合中的所有

元素不重復的一一找出寫在大括號中即可。

例6：設A={a,b,c,d},B={b,d,e,f},求ACB,AUB。

（課本pl2例2）

解：AAB={b,d},貝I」AUB={a,b,c,d,e,f}。

例7：設A={x|x是銳角三角形},B={x|x是鈍角三角},求AUB。（補充）

解：AUB={x|x是銳角三角形}U{x|x是鈍角三角形戶{x|x是斜三角形}。

例8：設A={xH<x<2},B={x|l>l或求AUB。（課本P12例3）

解：AUB=R

［說明］本題是集合語言及運算與簡單不等式相結合的問題，解題中應充分利用數形結合

思想，體現抽象與直觀的完美結合。

例9、已知A={x|x=2k,kWZ或xCB},B={x|x=2k-l,keZ},求AUB。（課本P12例4）

［說明］解題的關鍵是讀懂描述法表示集合的含義。

三、風國棟行.?1.3（2）

補充練習

1、A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},求AUB.

解析:利用數軸，將A、B分別表示出來，則陰影部分即為所求.

解：將人={*卜1?！?}及8={*”*<3}在數軸上表示出來，如圖陰影部分即為所求。

AUB={x|-l<x<2}U{x|l<x<3}={x|-l<x<3}

-2-10123x

2

2、A={1,3,x},B={X,1},且AUB={1,3,x}。求x?

3、{0,1}UA={0,1,2},求A的個數？

4、A={x|-2<x<4},B={x|x<a},AUB={x|x<4},^<a的范圍？

0、錦膏小浩

1.交集、并集的概念；交集并集的求法；交集并集的基本性質，以及有關符號的正確使用.

2.求兩個集合的交集、并集時，往往先將集合化簡，求兩個數集的交集、并集，可通過數

軸直觀顯示或利用韋恩圖表示，有助于解題.

3、區(qū)分交集與并集的關鍵是“且”與“或”，在處理有關交集與并集的問題時，常常從這

兩個字出發(fā)去揭示、挖掘題設條件，進而用集合語言表示，從而解決問題。

五、錦啟作業(yè)

1、書面作業(yè)：習題1.3—4,5,6,7,8,9

2、思考題：設集合M={x|x>2},P={x|x<3},貝ij“xeM或xGP”是“xGMnP”的什么條件？

（"x￡M或xdP”是“xeMAP”的必要不充分條件）

3、思考題：設集合A={42m-l,m2},B={9,m-5,1-m},又ACB={9},求實數m的值.

解：,；ACB={9},A={-4,2m-l,m2},B={9,m-5,1-m},；.2m-l=9或m2=9,解得m=5

或m=3或m=-3.

若m=5,則人={4,9,25},B={9,0,4}與AAB={9}矛盾；

若m=3,則B中元素m-5=l-m=-2,與B中元素互異矛盾；

若m=-3,貝ljA={-4,-7,9},B={9,-8,4}滿足ACB={9}.；.m=-3。

六、教學設計說明

1、注重數形結合，從集合A和B的文氏圖中引出交集、并集的概念在引出交集、并集的

概念時:最好不要直接給出它們各自概念的含義，建議結合圖形，啟發(fā)學生從集合A和集

合B的文氏圖中，尋找它們之間的聯(lián)系，學生較為容易接受，理解也較為深刻，為以后進

行集合之間的交并運算打下基礎。

2、注意交集、并集概念的符號語言表示，提高學生的數學語言表達能力。教材對于交集、

并集的概念還給出

了它們各自的符號語言表示，①②，36?3在4亂毛6）

即：對于符號語言的表示要注意它們的區(qū)別和聯(lián)系，抓住概念中的關鍵詞“且”、"或二

①中的“且”字,它說明/C3的任一元素工都是A與B的公共元素。由此可知，/CB

必是A與B的公共子集，即：AnBcA.AnBcB

②式名的“或”字峭義，或XW&”這一條件，包括下列三種情況：

XfixeftxeA且xcB（很明顯，適合第三種情況的元素工

X€A,

構成的集合就是/C3）。還要注意，A與B的公共元素在中只出現一次。因此，

■U6是由所有至少屬于A,B兩者之一的元素組成的集合。

由定義可知，A與B都是的子集，聯(lián)系到都是A,B的子集，可得下面

的關系式,）「巴匚/仁瓦JcSuSuAuS

3、運用對比教學的方法，使學生區(qū)分交、并集的概念，能正確對集合之間求交與求并。

教師在講解了交集、并集的概念后，可以涉及一個表格，讓學生填寫內容。見下表:

名稱交集并集

由所有屬于集合A且屬于集合B由所有屬于集合A或屬于集合B的元素

定義的元素所組成的集合，叫做A與B所組成的集合，叫做A與B的并集。

的交集。

記號“IB（讀作“交8”）（讀作“并B”）

簡而4與8的公共元素組成的集合即4與B的所有元素組成的集合即

且XGB}或XGB）

言之

圖示

（一般情

形）

（陰影為*n3）（陰影為/U3）

性ACiff-BClA,

質

AnA-A

AC\BQAAQAUB

BQAUB

f

A\J0-Ao

?CISC

Af\0-0

o

4、可是當補充用圖示法（即文氏圖）表示集合之間的關系的問題。用圖示法表示集合之

間的關系有兩層意思：一方面給定一個集合或集合之間的運算關系，會用圖示法（即維恩圖）

表示；另一方面給出一個維恩圖，會用集合表示圖中指定的部分（如陰影部分）。作一些這

方面的引導和訓練，既可加深對集合關系及運算的理解，又可提高學生數形結合的能力，還

可不斷培養(yǎng)正向思維和逆向思維的能力。

5、適當地運用集合關系進行簡單推理。運用集合關系進行簡單推理雖不是本節(jié)的教學要

求，但對學有余力的學生不失為一種良好的思維訓練，有助于提高抽象思維能力。

1.3（2）集合的運算（全集、補集）

一、教學內容分析

子集概念是本章在介紹了集合概念后，從討論集合與集合之間的包含與相等的關系入

手，給出子集的概念。而與這些子集相對應的某個確定的集合就是全集。

正確理解子集的概念有助于理解與子集有關的全集、補集的概念，由于學生是剛開始

接觸集合的符號表示，所以子集和真子集的符號要提醒學生注意這些符號的方向不要搞錯。

補集的概念是在子集、全集的概念之后給出的，子集的概念是涉及兩個集合之間關系，

而補集是涉及三個集合之間的特定關系，在講解補集概念時還可以加深子集的概念。

正確運用子集、補集的概念，是用集合觀點分析、解決問題的重要內容，學好它們，可

以使學生更好地理解數學中出現的集合語言，更好地使用集合語言表述數學問題，更好地運

用集合的觀點研究、處理數學問題。

因為學生在學習中接觸了比較多的新概念，新符號，而這些概念，符號比較容易混淆，

這些因素可能給學生學習帶來困難，因此在教學中引進符號時，應說明其意義，強調本質區(qū)

別在于個體與整體、整體與整體的關系，并通過例題、習題，使集合與元素的概念多次出現,

結合錯例分析，培養(yǎng)學生正確應用概念和使用術語、符號的能力。

二、教學目標設計

了解全集與補集的意義；掌握補集符號“CuA”，會求一個集合的補集；知道有關補

集的性質。

三、教學重點與難點

補集的概念及有關運算。

四、教學流程設計

性質

五、教學過程設計運用與深化（例題解析、鞏固練習）

一、復制向頒

1、集合的子集、真子集概念、求法？

2、兩個集合相等應滿足的條件是什么？

課堂小結并布置作業(yè)

二、褂投新福

1、概念引入

事物都是相對的，集合中的部分元素與集合中所有元素之間關系就是部分與整體的關系。

回答下列問題

例:A={班上所有參加足球隊的同學}

B={班上沒有參加足球隊的同學}

U={全班同學}

那么U、A、B三集合關系如何？

集合B就是集合U中除去集合A之后余下來的集合。即圖中陰影部分。

2、概念形成

■全集定義

如果-個集合含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集,

記作U。

［說明］①在研究集合與集合之間關系時，這些集合往往是某個給定集合的子集，這個確

定的集合就是全集。②解決某些數學問題時，有時把實數集R看作全集U,有時把有理數集

Q看作全集U,有時把正整數集合看作全集U。

■補集定義

一般地，設U為全集，A是U的一個子集（即A=U）,則由U中所有不屬于A的元素組成

的集合，叫做集合A在全集U中的補集，記作CuA,即CuA={x：xGu,且x?A},讀作“A

補”。

（上圖陰影部分即表示A在U中補集CuAo）

■舉例說明：解決某些數學問題時，如果把實數集看作是全集U,那么有理數集Q的

補集CuQ就是全體無理數的集合。

3、概念深化

補集的性質（補）

①AnCuA=*②AUCuA=U③Cu（CuA）=A

［說明］A的補集是相對于全集而言的，補集的敘述要完整，必須指明是在某個全集中的

補集。

4、例題解析

例1、若W⑵3,4},A={4,3},貝iJCA=_________。

例2：設U=R,A={x|l<x<2）,寫出CuA。（課本P14例5）

解：CuA={x|x<垃x>2）

［說明］①通過例題鞏固補集的概念，并養(yǎng)成“圖解”的好習慣。②強調補集何時在端

點處可以取得等號，何時不能取得等號。

例3：若集合A={x|x>2},當全集U分別取下列集合時，寫出CuA。（補充）

①U={x\xeR}②U={x\x>0}③U={x\x>2}（畫數軸）

解：①CuA={xx<2}②U={x|0<x<2}③U={布=2}

［說明］補集是相對于某個確定全集而言的，因此討論補集的前提就是全集是什么？全集不

同，導致補集不同。

例4：設U=｛a,b,c,d,e｝,A=｛a,b｝,B=｛b,c,d｝,

①求CuADCuB,Cu(AAB),Cu(AUB),CuAUCuB(課本P14例5)

②從上述結論中，你發(fā)現有什么結論？(補)

③對任意的集合A,B,請你用集合的圖示法說明是否有以上結論。

(習題1.3(3)第2題)

［說明］①通過練習，引導學生發(fā)現如下結論：CuADCuB=Cu(AUB),CuAUCuB=Cu(AnB)?

②結合實例及圖示幫助學生理解結論。③提高符號表達能力。

三、雙國煉燈

(1)U=｛高一(1)班的所有學生｝,A=｛高一(1)班的女生｝,B=｛高一(1)班的學生干

部｝,求A,B,AC8的補集并說明其實際意義。(課本P15習題1.3(3))

(2)若U=｛三角形｝,B=｛銳角三角形｝,則CuB=。

(3)若U=｛1,2,4,8｝,A=0,則CuA=。

(4)若U=｛1,3,a2+2a+l｝,A=｛1,3｝,CuA=⑸，貝ija=。

(5)已知A=｛0,2,4｝,CuA=｛-l,1｝,CuB=｛-l,0,2］,求B=.

解答：

(1)：CuA=｛高一(1)班的男生｝,CuB=｛高一(1)班的所有不是學生干部的學生｝,Cu

(AcB)=｛高一(1)班所有除了學生干部的女生的同學｝

(2)：CuB=｛直角三角形或鈍角三角形｝。

(3)：CuA=U

(4)：a2+2a+l=5；a=-l±廠

(5)：利用文恩圖，B=｛1,4｝。.

四、錦堂小浩

1、全集與補集的概念、全集與補集的表示。

2、能熟練求解一個給定集合的補集。

3、注重一些特殊結論在以后解題中應用。

A,錦后作業(yè)

1、課本P15習題1.3——8,9,10

2、思考題：已知全集1＞岡1＜、＜10,'€可｝"=引0＜》410,X為偶數｝

B=｛x|O＜x＜10,x為奇數｝，求加(Au8)的所有元素之積及Q(AnB)的所有

元素之和。

六、教學設計說明

(1)從具體到抽象，從特殊到一般，充分利用圖形的直觀，引進概念、闡明概念的意義。

全集、補集這些重要概念的教學，首先可以通過一些實例來引入，并分析它們各自所具有的

特征，然后把它一般化，概括出定義。其次，可以充分利用文氏圖的直觀性，形象地說明全

集、補集，這樣處理，學生對這些概念就容易接受，而且還可以通過對圖形的觀察，發(fā)現這

些概念所具有的某些重要性質。

(2)概念、術語的意義要講清，語言表述要確切；例如，"C"是A在全集U中的補集”,

不能把它簡單地說成C"是A的補集，因為補集的概念是相對而言的，集合A在不同的全

集中的補集是不同的，所以在描述補集概念時，一定要注明是在哪個集合中的補集，簡單的

說集合A的補集是沒有意義的。

(3)要明確有關數學符號、記號的意義，正確加以使用。

本單元中引進的數學符號、記號比較多，初學者往往不善于使用，對此教學中必須在每

一符號引進時，說明其意義，配備適當的例題、習題，逐步讓學生熟悉這些符號，正確地運

用這些符號。

舉例如下，請同學們思考其結果。

填充：

⑴若S={2,3,4},A={4,3},則CsA=。

⑵若S={三角形},A={銳角三角形},則CsB=o

(3)若$={1,2,4,8},A=。，貝UCsA=?

⑷若U={1,3,a+2a+1},A={L3},則JAT5}，則a=。

(5)已知A={0,2,4},CuA={T,1},則CsB={-l,0,2},求B=。

⑹設全集U={2,3,m+2m-3},A={|m+l|,2),則CuA=5,求m=。

(7)設全集U={1,2,3,4},h-{x|X2-5X+m=0,xeU},求CuA、m。

評析：

例⑴解:CSA={2}

主要是比較A及S的區(qū)別。

例⑵解：CsB={直角三角形或鈍角三角形}

注意三角形分類

例⑶解：CsA=S空集的定義運用

例⑷解：d+2。+1=5,a=T土/利用集合元素的特征。

例⑸解：利用文恩圖由A及CuA先求U={-1,0,1,2,3},再求B={L4}

例⑹解：由題瘍+2機-3=5且|m+l|=3解之m=4或m=2

例⑺解：將x=1,2,3,4代入+m=0中，得m=4或m=6

當m=4時,X2-5X+4=0,即A={1,4}

當m=6時，X2~5X+6=0,即A={2,3}

故滿足條件：即CuA={l,4},m=4；CuB={2,3},m=6。此題解決過程中滲透分類

討論思想。

課堂練習：課本Pio練習1、2。

1.4(1)命題的形式及等價關系

一、教學內容分析

命題的有關概念在初中平面幾何中已學過，本章在此基礎上對命題作較深入的研究，特別

強調要確定命題真假都必須證明。舉反例既可以確定一個命題是假命題，同時它又是一個重

要的數學思想。

推出關系是數學證明中最重要的邏輯關系。教材用比較通俗的說法給出了推出關系的意義

及符號。

教材介紹了四種命題的構成及等價命題的概念，這給我們今后證明?個命題為真(假)命

題可轉化該命題的等價命題(通常是逆否命題)為真(假)命題提供了理論依據。

本小節(jié)首先從初中數學的命題知識入手，給出推出關系，等價關系的概念，接著，講述四

種命題的關系，最后，在初中的基礎上，結合四種命題的知識，進一步講解反證法。

二、教學目標設計

理解四種命題之間的相互關系，能由原命題寫出其他三種形式；知道推出關系的概念，理

解一個命題的真假與其他三個命題真假間的關系：掌握等價關系的概念，初步掌握反證法。

三、教學重點及難點

例題

解析

口

理解四種命題的關系；體會反證法的理論依據。

四、教學用具準備：多媒體

五、教學流程設計

六、教學過程設計

一、復習回顧

在初中，我們已學過命題，真命題，假命題。

命題：表示判斷的語句。真命題：正確的命題。

假命題：錯誤的命題。

命題”全等三角形的面積相等”的條件與結論各是什么？

本節(jié)將進一步研究命題與其有關的命題的概念。

［說明］通過學生回顧以前的知識，喚起他們原有認知結構中的知識結點，從而為下面的

要學習的一些下位概念的同化和順應提供最近發(fā)展區(qū)。

二、褂孩新薛

1.命題

例1:下列語句哪些不是命題,哪些是命題？如果是命題，那么它們是真命題還是假命題？

為什么？（課本例題）

1?個位數是5的自然數能被5整除；2.凡直角三角形都相似；

3.上課請不要講話；4.互為補角的兩個角不相等；

5.你是高一學生嗎？

解：1.真命題：它可以寫成10k+5的形式（k是非負整數），而10k+5=5（2k+l）,所

以10k+5能被5整除。

2.假命題：取三個角分別是90°、45°、45°的直角三角形，它與三個角分別是90°、

60°、30°的直角三角形不相似。

3.不是命題不是判斷語句。

4.假命題：取一個角為900,另一個角也為9000,它們是互補的，但它們相等了.

5,不是命題是疑問句，不是表示判斷的陳述句。

結論：①命題必定由條件與結論兩部分組成。

②假命題的確定：舉反例（舉出一個滿足條件，不滿足結論的例子，一個即可）

［說明］:構造反例有時候很不容易，要充分注意命題的條件和結論，還要注意極端情況,

或運用類比手段。

③真命題的確定：作出證明，方法

［說明］:反證法既是一種重要的數學思想,也是命題證明的一種方法.

2、推出關系：直接證明

反證法

間接證明

同一法

一般地，如果Q這件事成立可以推出B這件事也成立，那么就說由a可以推出B,并用

記號aoB表示，讀作“a推出P換言之，a今P表示以a為條件，P為結論的命題是

真命題。

例2：設a表示“兩個角是對頂角”，B表示為“兩個角相等”，問能用表示a、B

之間關系嗎？(補充例題)

解：a=6關系成立，但反過來不行。

例3：在下列各題中，用符號“或“=”把a、P這兩件事聯(lián)系起來。(補充例題)

1.a：實數X滿足/=9,B：X=3或x=—3。(“aoB”)

2.a：AC\B=U,B：A=U或B=U(U為全集)。(“a=6”)

3.a：A^B,B：APl8=A。(“a=B”)

4.a：ab-Q,B：a=0。("Baa")

3、a與B等價：

如果a0B,B=a,那么記作ao￡,叫做a與B等價

4、傳遞性：aaB,B>Y,則a=>Y

三、院圖俵燈；課本P/17練習1.4(1)—1,2

四、錦堂小錯：

本節(jié)課主要介紹了真假命題判斷的方法及命題的推出關系.

A,作業(yè)布資,

1,書面作業(yè)：P/20,習題1.4——1

2、拓展作業(yè)：在下列各題中，用符號“0”或“=>”或“O”把a、B這兩件事聯(lián)系

起來：

(1)a：x適合方程/-5x+6=0,6：x=2i?Kx=3；

(2)a：x=-3,3：|x|=3：

(3)a：AqB,B：AU8=B；

(4)a：集合M=N,P：〃nN=NnA。

六、教學設計說明(1)命題的有關概念在初中平面幾何中已經學過，因此可以通過具體的例

子幫助學生回顧舊知，為以后進一步研究命題做好鋪墊。在推出關系的教學中，要強調命題的

條件和結論，要結合并集的概念強調“或”的三層含義。

(2)理解推出關系具有傳遞性，為以后學習充要條件做好準備。

(3)要明確有關數學符號、記號的意義，正確加以使用。

本單元中引進的數學符號、記號比較多，初學者往往不善于使用，對此教學中必須在

每符號引進時，說明其意義，配備適當的例題、習題，逐步讓學生熟悉這些符號，正確地

運用這些符號。

1.4(2)命題的形式及等價關系

一、教學內容分析

教材介紹了四種命題的構成及等價命題的概念，這給我們今后證明一個命題為真(假)命

題可轉化該命題的等價命題(通常是逆否命題)為真(假)命題提供了理論依據。

本小節(jié)由命題條件的改變、結論的改變，構成四種命題形式：原命題、逆命題、否命題、

逆否命題。接著，通過具體的例題練習講述四種命題的關系，最后，給出等價命題的定義，

提供了一種證明的方法，并通過具體的例題給出反證法。

二、教學目標設計

(1)理解四種命題的概念；

(2)理解四種命題之間的相互關系，能由原命題寫出其他三種形式;

(3)理解一個命題的真假與其他三個命題真假間的關系；

(4)初步掌握反證法的概念，進一步領會分類、判斷、

三、教學重點及難點

理解四種命題的關系；體會反證法的理論依據。

四、教學用具準備多媒體教室

五、教學流程設計

六、教學過程設計

一.復習梃問，

(1)什么是命題？什么是真命題？什么是假命題？

(2)語句“內接于圓的四邊形對角互補”是否是命題？

(3)命題“內接于圓的四邊形對角互補”的條件與結論各是什么？

二.講救新福,

關于四種命題

1、概念引入

在命題“內接于圓的四邊形對角互補”中，條件是“內接于圓的四邊形”，結論是“四邊

形的對角互補”。如果我們把以上命題作以下變化：

(1)如果把命題中的結論“四邊形的對角互補”作為條件，把命題中的條件“內接于圓的

四邊形”作為結論，則得到了新命題“對角互補的四邊形內接于圓”。

我們把原來命題中的結論作為條件，原來命題中的條件作為結論所組成的新命題叫做原來

命題的逆命題。并且它們互為逆命題。

(2)如果將命題的條件利結論都換成它們的否定形式，即條件是“四邊形不內接于圓”，

結論是“四邊形對角不互補”，那么就可得到一個新命題：“不內接于圓四邊形對角不互補”。

像這種將命題的條件與結論同時否定而得到的新命題叫做原來命題的否命題。并且新命

題與原來的命題互為否命題。

(3)如果將命題的條件和結論互換并取原來的否定形式，即條件是“四邊形對角不互補”,

結論是“四邊形不內接于圓”，那么就可得到一個新命題：“對角不互補的四邊形不內接于

圓”。

像這種將命題的條件與結論互換并同時否定而得到的新命題叫做原來命題的否命題。并

且新命題與原來的命題互為否命題。

2、概念形成

由以上例子歸納出四個命題的一般形式:

原命題：如果如那么〃

逆命題：如果?那么a

否命題：如果和那么J_

逆否命題：如果瓦那么a

并在四種命題之間的相互關系如下：

3、概念運用(例題分析)

例1：試寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷其真假。(課本例題)

命題A：如果兩個三角形全等，那么它們面積相等；

命題B：如果一個三角形兩邊相等，那么這兩邊所對的角也相等。

(過程略)

［說明］我們從以上的實例中發(fā)現：原命題與逆否命題是同真同假的；逆命題與否命題是

同真同假的。我們可以用證明一個命題的逆否命題來證明原命題。

4、鞏固練習課本P19,練習1.4（2）

5、概念深化（拓展練習）

寫出以下命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷其真假性。（補充）

①負數的平方是正數：

②正方形的四條邊相等；

③若a=0,則ab=O；

④若a=b,則ac=bc；

⑤全等三角形一定相似；

⑥末位數字是零的自然數能被5整除；

⑦對頂角相等；

⑧過半徑的端點不與半徑垂直的直線，不是這個圓的切線；

［說明］1、原命題為真，它的逆命題不一定為真。2、原命題為真，它的否命題不一定為

真。3、原命題為真，它的逆否命題一定為真。并可由此引入等價命題。

關于等價命題

1、概念引入（見上）

2、概念形成

如果A,8是兩個命題，A=8,8nA,那么A,8叫做等價命題。

3、概念運用

已知8。、CE分別是A48c的ZB,NC的角平分線，BDwCE。求證：

AB^AC.（課本P19）

（過程略）

［說明］1、反證法是一種間接證明命題的基本方法。在證明一個數學命題時，如果運用

直接證明法比較困難或難以證明時，可運用反證法進行證明。

2、反證法證題的步驟（1）假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立；（2）

從假設出發(fā)，經過推理，得出矛盾；（3）由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正

確。

4、鞏固練習

課本P20,練習1.4⑶

三、錦堂小輅，

1、四種命題的概念及形式

2、四種命題之間的關系及同真同假性。__

/逆命題不一定才I真，

四種命題的真假關系：原命題為真僧薯廠鷲子

i逆否命題一定為真.

四、作業(yè)布置課本P20,習題1.4—2,4,8,10。

五、教學設計說明

1）由命題的條件、結論的改變，構成四種命題形式：原命題、逆命題、否命題和逆否

命題。四種命題形式的構成雖然不難理解，但給出一種命題形式，要正確寫出它的另外

三種命題形式卻不容易。解決這個難點的關鍵是分清命題的條件和結論。必要時可先將

命題改寫成“如果…，那么…”的形式。

2）另外，在寫一個已知命題的否命題或逆否命題時，要把一個斷語a正確地變成它

的否定斷語a,初學者在這些地方時常出錯。一般地，“是”的否定斷語為“不是”；“〉”

的否定斷語為“4”；“2”的否定斷語為“<”：“都是”的否定斷語為“不都是”或“至

少有一個不是”；等等。具體解題時，不要生搬硬套，要仔細思考，以保正確。

1.5(1)充分條件與必要條件

一、教學目標設計

通過實例理解充分條件、必要條件的意義。

能夠在簡單的問題情境中判斷條件的充分性、必要性。

二、教學重點及難點

充分條件、必要條件的判斷；充分條件、

三、教學流程設計

四、教學過程設計

一、概念引入

早在戰(zhàn)國時期，《墨經》中就有這樣一段話“有之則必然，無之則未必不然，是為大故”

“無之則必不然，有之則未必然，是為小故”。

今天，在日常生活中，常聽人說：“這充分說明……”，”沒有這個必要”等，在數學中，

也講“充分”和“必要”，這節(jié)課，我們就來學習教材第一章第五節(jié)——充分條件與必要條

件。

二、州念形我

1、首先請同學們判斷下列命題的真假

(1)若兩三角形全等，則兩三角形的面積相等。

(2)若三角形有兩個內角相等，則這個三角形是等腰三角形。

(3)若某個整數能夠被4整除，則這個整數必是偶數。