普通線性代數(shù)試題及答案

九江學(xué)院線性代數(shù)習(xí)題和答案第一局部選擇題(共28分)單項(xiàng)選擇題〔本大題共14小題，每題2分，共28分〕在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選或未選均無(wú)分。1.設(shè)行列式=m，=n，那么行列式等于〔〕A.m+n B.-(m+n)C.n-m D.m-n2.設(shè)矩陣A=，那么A-1等于〔〕A. B.C.D.3.設(shè)矩陣A=，A*是A的伴隨矩陣，那么A*中位于〔1，2〕的元素是〔〕A.–6 B.6C.2 D.–24.設(shè)A是方陣，如有矩陣關(guān)系式AB=AC，那么必有〔〕A.A=0 B.BC時(shí)A=0C.A0時(shí)B=C D.|A|0時(shí)B=C5.3×4矩陣A的行向量組線性無(wú)關(guān)，那么秩〔AT〕等于〔〕A.1 B.2C.3 D.46.設(shè)兩個(gè)向量組α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均線性相關(guān)，那么〔〕A.有不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λs使λ1〔α1+β1〕+λ2〔α2+β2〕+…+λs〔αs+βs〕=0C.有不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λs使λ1〔α1-β1〕+λ2〔α2-β2〕+…+λs〔αs-βs〕=0D.有不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λs和不全為0的數(shù)μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.設(shè)矩陣A的秩為r，那么A中〔〕A.所有r-1階子式都不為0 B.所有r-1階子式全為0C.至少有一個(gè)r階子式不等于0 D.所有r階子式都不為08.設(shè)Ax=b是一非齊次線性方程組，η1，η2是其任意2個(gè)解，那么以下結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕A.η1+η2是Ax=0的一個(gè)解 B.η1+η2是Ax=b的一個(gè)解C.η1-η2是Ax=0的一個(gè)解 D.2η1-η2是Ax=b的一個(gè)解9.設(shè)n階方陣A不可逆，那么必有〔〕A.秩(A)<n B.秩(A)=n-1C.A=0 D.方程組Ax=0只有零解10.設(shè)A是一個(gè)n(≥3)階方陣，以下陳述中正確的選項(xiàng)是〔〕A.如存在數(shù)λ和向量α使Aα=λα，那么α是A的屬于特征值λ的特征向量B.如存在數(shù)λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，那么λ是A的特征值C.A的2個(gè)不同的特征值可以有同一個(gè)特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3個(gè)互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的屬于λ1，λ2，λ3的特征向量，那么α1，α2，α3有可能線性相關(guān)11.設(shè)λ0是矩陣A的特征方程的3重根，A的屬于λ0的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)為k，那么必有〔〕A.k≤3 B.k<3C.k=3 D.k>312.設(shè)A是正交矩陣，那么以下結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕A.|A|2必為1 B.|A|必為1C.A-1=AT D.A的行〔列〕向量組是正交單位向量組13.設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，C是實(shí)可逆矩陣，B=CTAC.那么〔〕A.A與B相似B.A與B不等價(jià)C.A與B有相同的特征值D.A與B合同14.以下矩陣中是正定矩陣的為〔〕A. B.C.D.第二局部非選擇題〔共72分〕二、填空題〔本大題共10小題，每題2分，共20分〕不寫解答過(guò)程，將正確的答案寫在每題的空格內(nèi)。錯(cuò)填或不填均無(wú)分。15..16.設(shè)A=，B=.那么A+2B=.17.設(shè)A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代數(shù)余子式〔i,j=1,2,3〕,那么(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=.18.設(shè)向量〔2，-3，5〕與向量〔-4，6，a〕線性相關(guān)，那么a=.19.設(shè)A是3×4矩陣，其秩為3，假設(shè)η1，η2為非齊次線性方程組Ax=b的2個(gè)不同的解，那么它的通解為.20.設(shè)A是m×n矩陣，A的秩為r(<n)，那么齊次線性方程組Ax=0的一個(gè)根底解系中含有解的個(gè)數(shù)為.21.設(shè)向量α、β的長(zhǎng)度依次為2和3，那么向量α+β與α-β的內(nèi)積〔α+β，α-β〕=.22.設(shè)3階矩陣A的行列式|A|=8，A有2個(gè)特征值-1和4，那么另一特征值為.23.設(shè)矩陣A=，α=是它的一個(gè)特征向量，那么α所對(duì)應(yīng)的特征值為.24.設(shè)實(shí)二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩為4，正慣性指數(shù)為3，那么其標(biāo)準(zhǔn)形為.三、計(jì)算題〔本大題共7小題，每題6分，共42分〕25.設(shè)A=，B=.求〔1〕ABT；〔2〕|4A|.26.試計(jì)算行列式.27.設(shè)矩陣A=，求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B.28.給定向量組α1=，α2=，α3=，α4=.試判斷α4是否為α1，α2，α3的線性組合；假設(shè)是，那么求出組合系數(shù)。29.設(shè)矩陣A=.求：〔1〕秩〔A〕；〔2〕A的列向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組。30.設(shè)矩陣A=的全部特征值為1，1和-8.求正交矩陣T和對(duì)角矩陣D，使T-1AT=D.31.試用配方法化以下二次型為標(biāo)準(zhǔn)形f(x1,x2,x3)=，并寫出所用的滿秩線性變換。四、證明題〔本大題共2小題，每題5分，共10分〕32.設(shè)方陣A滿足A3=0，試證明E-A可逆，且〔E-A〕-1=E+A+A2.33.設(shè)η0是非齊次線性方程組Ax=b的一個(gè)特解，ξ1，ξ2是其導(dǎo)出組Ax=0的一個(gè)根底解系.試證明〔1〕η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解；〔2〕η0，η1，η2線性無(wú)關(guān)。答案：一、單項(xiàng)選擇題〔本大題共14小題，每題2分，共28分〕1.D 2.B 3.B 4.D 5.C6.D 7.C 8.A 9.A 10.B11.A 12.B 13.D 14.C二、填空題〔本大題共10空，每空2分，共20分〕15.616.17.418.–1019.η1+c(η2-η1)〔或η2+c(η2-η1)〕，c為任意常數(shù)20.n-r21.–522.–223.124.三、計(jì)算題〔本大題共7小題，每題6分，共42分〕25.解〔1〕ABT==.〔2〕|4A|=43|A|=64|A|，而|A|=.所以|4A|=64·〔-2〕=-12826.解==27.解AB=A+2B即〔A-2E〕B=A，而〔A-2E〕-1=所以B=(A-2E)-1A==28.解一所以α4=2α1+α2+α3，組合系數(shù)為〔2，1，1〕.解二考慮α4=x1α1+x2α2+x3α3，即方程組有唯一解〔2，1，1〕T，組合系數(shù)為〔2，1，1〕.29.解對(duì)矩陣A施行初等行變換A=B.〔1〕秩〔B〕=3，所以秩〔A〕=秩〔B〕=3.〔2〕由于A與B的列向量組有相同的線性關(guān)系，而B是階梯形，B的第1、2、4列是B的列向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組，故A的第1、2、4列是A的列向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組?！睞的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是〕30.解A的屬于特征值λ=1的2個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為ξ1=〔2，-1，0〕T，ξ2=〔2，0，1〕T.經(jīng)正交標(biāo)準(zhǔn)化，得η1=，η2=.λ=-8的一個(gè)特征向量為ξ3=，經(jīng)單位化得η3=所求正交矩陣為T=.對(duì)角矩陣D=〔也可取T=.〕31.解f(x1，x2，x3)=〔x1+2x2-2x3〕2-2x22+4x2x3-7x32=〔x1+2x2-2x3〕2-2〔x2-x3〕2-5x32.設(shè)，即，因其系數(shù)矩陣C=可逆，故此線性變換滿秩。經(jīng)此變換即得f(x1，x2，x3)的標(biāo)準(zhǔn)形 y12-2y22-5y32.四、證明題〔本大題共2小題，每題5分，共10分〕32.證由于〔E-A〕〔E+A+A2〕=E-A3=E，所以E-A可逆，且〔E-A〕-1=E+A+A2.33.證由假設(shè)Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.〔1〕Aη1=A〔η0+ξ1〕=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2=b，所以η1，η2是Ax=b的2個(gè)解?！?〕考慮l0η0+l1η1+l2η2=0，即〔l0+l1+l2〕η0+l1ξ1+l2ξ2=0.那么l0+l1+l2=0，否那么η0將是Ax=0的解，矛盾。所以l1ξ1+l2ξ2=0. 又由假設(shè)，ξ1，ξ2線性無(wú)關(guān)，所以l1=0，l2=0，從而l0=0.所以η0，η1，η2線性無(wú)關(guān)。一、選擇題〔此題共4小題，每題4分，總分值16分。每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求〕1、設(shè)，為n階方陣，滿足等式，那么必有〔〕(A)或;(B)；〔C〕或;(D)。2、和均為階矩陣，且，那么必有〔〕(A)；(B)；〔C〕.(D)。3、設(shè)為矩陣，齊次方程組僅有零解的充要條件是〔〕(A)的列向量線性無(wú)關(guān)；(B)的列向量線性相關(guān)；〔C〕的行向量線性無(wú)關(guān)；(D)的行向量線性相關(guān).4、階矩陣為奇異矩陣的充要條件是〔〕(A)的秩小于；(B)；(C)的特征值都等于零；(D)的特征值都不等于零；二、填空題〔此題共4小題，每題4分，總分值16分〕5、假設(shè)4階矩陣的行列式，是A的伴隨矩陣，那么=。6、為階矩陣，且，那么。7、方程組無(wú)解，那么。8、二次型是正定的，那么的取值范圍是。三、計(jì)算題〔此題共2小題，每題8分，總分值16分〕9、計(jì)算行列式10、計(jì)算階行列式四、證明題〔此題共2小題，每題8分，總分值16分。寫出證明過(guò)程〕11、假設(shè)向量組線性相關(guān)，向量組線性無(wú)關(guān)。證明：(1)能有線性表出；(2)不能由線性表出。12、設(shè)是階矩方陣，是階單位矩陣，可逆，且。證明〔1〕；〔2〕。五、解答題〔此題共3小題，每題12分，總分值32分。解容許寫出文字說(shuō)明或演算步驟〕13、設(shè)，求一個(gè)正交矩陣使得為對(duì)角矩陣。15、設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，，，是它的三個(gè)解向量，且，求該方程組的通解。解答和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題1、C；2、D；3、A；4、A。二、填空題5、-125;6、；7、-1；8、。三、計(jì)算題9、解：第一行減第二行，第三行減第四行得：第二列減第一列，第四列減第三列得：〔4分〕按第一行展開得按第三列展開得?！?分〕10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子，再通過(guò)行列式的變換化為上三角形行列式〔4分〕〔4分〕四、證明題11、證明：(1)、因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)，所以線性無(wú)關(guān)。，又線性相關(guān)，故能由線性表出。(4分)，〔2〕、〔反正法〕假設(shè)不，那么能由線性表出，不妨設(shè)。由〔1〕知，能由線性表出，不妨設(shè)。所以，這說(shuō)明線性相關(guān)，矛盾。(4分)12、證明〔1〕〔4分〕〔2〕由〔1〕得：，代入上式得〔4分〕五、解答題13、解：〔1〕由得的特征值為，，?！?分〕〔2〕的特征向量為，的特征向量為，的特征向量為?！?分〕〔3〕因?yàn)樘卣髦挡幌嗟龋敲凑?。?分〕〔4〕將單位化得，，〔2分〕〔5〕取〔6〕〔1分〕14、解：該非齊次線性方程組對(duì)應(yīng)的齊次方程組為因，那么齊次線性方程組的根底解系有1個(gè)非零解構(gòu)成，即任何一個(gè)非零解都是它的根底解系?！?分〕另一方面，記向量，那么直接計(jì)算得，就是它的一個(gè)根底解系。根據(jù)非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)知，原方程組的通解為，?！?分〕15、解：將=1\*GB3①與=2\*GB3②聯(lián)立得非齊次線性方程組:=3\*GB3③假設(shè)此非齊次線性方程組有解,那么=1\*GB3①與=2\*GB3②有公共解,且=3\*GB3③的解即為所求全部公共解.對(duì)=3\*GB3③的增廣矩陣作初等行變換得:.〔4分〕1°當(dāng)時(shí)，有，方程組=3\*GB3③有解,即=1\*GB3①與=2\*GB3②有公共解,其全部公共解即為=3\*GB3③的通解，此時(shí)，那么方程組=3\*GB3③為齊次線性方程組，其根底解系為:,所以=1\*GB3①與=2\*GB3②的全部公共解為，k為任意常數(shù).〔4分〕2°當(dāng)時(shí)，有，方程組=3\*GB3③有唯一解,此時(shí)，故方程組=3\*GB3③的解為:,即=1\*GB3①與=2\*GB3②有唯一公共解.〔4分〕線性代數(shù)試題和答案第一局部選擇題(共28分)單項(xiàng)選擇題〔本大題共14小題，每題2分，共28分〕在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選或未選均無(wú)分。1.設(shè)行列式=m，=n，那么行列式等于〔〕A.m+n B.-(m+n)C.n-m D.m-n2.設(shè)矩陣A=，那么A-1等于〔〕A. B.C.D.3.設(shè)矩陣A=，A*是A的伴隨矩陣，那么A*中位于〔1，2〕的元素是〔〕A.–6 B.6C.2 D.–24.設(shè)A是方陣，如有矩陣關(guān)系式AB=AC，那么必有〔〕A.A=0 B.BC時(shí)A=0C.A0時(shí)B=C D.|A|0時(shí)B=C5.3×4矩陣A的行向量組線性無(wú)關(guān)，那么秩〔AT〕等于〔〕A.1 B.2C.3 D.46.設(shè)兩個(gè)向量組α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均線性相關(guān)，那么〔〕A.有不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λs使λ1〔α1+β1〕+λ2〔α2+β2〕+…+λs〔αs+βs〕=0C.有不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λs使λ1〔α1-β1〕+λ2〔α2-β2〕+…+λs〔αs-βs〕=0D.有不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λs和不全為0的數(shù)μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.設(shè)矩陣A的秩為r，那么A中〔〕A.所有r-1階子式都不為0 B.所有r-1階子式全為0C.至少有一個(gè)r階子式不等于0 D.所有r階子式都不為08.設(shè)Ax=b是一非齊次線性方程組，η1，η2是其任意2個(gè)解，那么以下結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕A.η1+η2是Ax=0的一個(gè)解 B.η1+η2是Ax=b的一個(gè)解C.η1-η2是Ax=0的一個(gè)解 D.2η1-η2是Ax=b的一個(gè)解9.設(shè)n階方陣A不可逆，那么必有〔〕A.秩(A)<n B.秩(A)=n-1C.A=0 D.方程組Ax=0只有零解10.設(shè)A是一個(gè)n(≥3)階方陣，以下陳述中正確的選項(xiàng)是〔〕A.如存在數(shù)λ和向量α使Aα=λα，那么α是A的屬于特征值λ的特征向量B.如存在數(shù)λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，那么λ是A的特征值C.A的2個(gè)不同的特征值可以有同一個(gè)特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3個(gè)互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的屬于λ1，λ2，λ3的特征向量，那么α1，α2，α3有可能線性相關(guān)11.設(shè)λ0是矩陣A的特征方程的3重根，A的屬于λ0的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)為k，那么必有〔〕A.k≤3 B.k<3C.k=3 D.k>312.設(shè)A是正交矩陣，那么以下結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕A.|A|2必為1 B.|A|必為1C.A-1=AT D.A的行〔列〕向量組是正交單位向量組13.設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，C是實(shí)可逆矩陣，B=CTAC.那么〔〕A.A與B相似B.A與B不等價(jià)C.A與B有相同的特征值D.A與B合同14.以下矩陣中是正定矩陣的為〔〕A. B.C. D.第二局部非選擇題〔共72分〕二、填空題〔本大題共10小題，每題2分，共20分〕不寫解答過(guò)程，將正確的答案寫在每題的空格內(nèi)。錯(cuò)填或不填均無(wú)分。15..16.設(shè)A=，B=.那么A+2B=.17.設(shè)A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代數(shù)余子式〔i,j=1,2,3〕,那么(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=.18.設(shè)向量〔2，-3，5〕與向量〔-4，6，a〕線性相關(guān)，那么a=.19.設(shè)A是3×4矩陣，其秩為3，假設(shè)η1，η2為非齊次線性方程組Ax=b的2個(gè)不同的解，那么它的通解為.20.設(shè)A是m×n矩陣，A的秩為r(<n)，那么齊次線性方程組Ax=0的一個(gè)根底解系中含有解的個(gè)數(shù)為.21.設(shè)向量α、β的長(zhǎng)度依次為2和3，那么向量α+β與α-β的內(nèi)積〔α+β，α-β〕=.22.設(shè)3階矩陣A的行列式|A|=8，A有2個(gè)特征值-1和4，那么另一特征值為.23.設(shè)矩陣A=，α=是它的一個(gè)特征向量，那么α所對(duì)應(yīng)的特征值為.24.設(shè)實(shí)二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩為4，正慣性指數(shù)為3，那么其標(biāo)準(zhǔn)形為.三、計(jì)算題〔本大題共7小題，每題6分，共42分〕25.設(shè)A=，B=.求〔1〕ABT；〔2〕|4A|.26.試計(jì)算行列式.27.設(shè)矩陣A=，求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B.28.給定向量組α1=，α2=，α3=，α4=.試判斷α4是否為α1，α2，α3的線性組合；假設(shè)是，那么求出組合系數(shù)。29.設(shè)矩陣A=.求：〔1〕秩〔A〕；〔2〕A的列向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組。30.設(shè)矩陣A=的全部特征值為1，1和-8.求正交矩陣T和對(duì)角矩陣D，使T-1AT=D.31.試用配方法化以下二次型為標(biāo)準(zhǔn)形f(x1,x2,x3)=，并寫出所用的滿秩線性變換。四、證明題〔本大題共2小題，每題5分，共10分〕32.設(shè)方陣A滿足A3=0，試證明E-A可逆，且〔E-A〕-1=E+A+A2.33.設(shè)η0是非齊次線性方程組Ax=b的一個(gè)特解，ξ1，ξ2是其導(dǎo)出組Ax=0的一個(gè)根底解系.試證明〔1〕η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解；〔2〕η0，η1，η2線性無(wú)關(guān)。答案：一、單項(xiàng)選擇題〔本大題共14小題，每題2分，共28分〕1.D 2.B 3.B 4.D 5.C6.D 7.C 8.A 9.A 10.B11.A 12.B 13.D 14.C二、填空題〔本大題共10空，每空2分，共20分〕15.616.17.418.–1019.η1+c(η2-η1)〔或η2+c(η2-η1)〕，c為任意常數(shù)20.n-r21.–522.–223.124.三、計(jì)算題〔本大題共7小題