人教A版高中數(shù)學(xué)必修二第六章第1節(jié)《平面向量的概念》解答題 (六)(含答案解析)

必修二第六章第1節(jié)《平面向量的概念》解答題(6)

一、解答題(本大題共30小題，共360.0分)

1.若間=1>\b\=m>\a+b\=2.

⑴若|蒼+2石|=3,求實數(shù)m的值;

(2)若行+消”泓勺夾角為拳求實數(shù)"的值.

2.已知三個點4(2,1),8(3,2),。(-1,4).

(1)求證：AB1AD;

(2)若四邊形ABCQ為矩形，求點C的坐標及矩形ABC。兩對角線所夾的銳角的余弦值.

3.一架執(zhí)行任務(wù)的飛機從A地按北偏西30。的方向飛行300M?后到達8地，然后向C地飛行，已

知C地在A地北偏東60°的方向上，且A,C兩地相距300h〃，求飛機從B地到C地飛行的方向

及B,C間的距離.

4.如圖，平行四邊形A8C。中，AB=a，AD=b，荏=：而，CF=|CD.

(1)用五石表示前；

(2)若同=1,同=4,^DAB=60°,分別求|國和前.兩的值.

5.已知向量五，h，不滿足日+加+下=6,|五|=1,|石|=在產(chǎn)，a,方的夾角為45。，求

(1)求的大小

(2)求五，下夾角的大小.

6.邊長為1的正三角形ABC,E、尸分別是邊A8、AC上的點，若荏=m四，AF=nAC，其中

m,ne(0,1),設(shè)E尸的中點為M,BC中點、為N.

(1)若A、M,N三點共線，求證：m=n；

(2)若rn+n=l,求|MN|的最小值.

7.已知|7T|=4,|了|=3,(2/—3%)?(2H+17)=61.

(1)求|N+初.

(2)求向量亍與向量H+方的夾角的余弦值.

8.如圖，已知向量五，石,c,d.

(1)求作五+7+m+Z

(2)設(shè)|砧=2,芭為單位向量，求|行+3|的最大值.

9.若。是△ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足|南一歷|=|南—市+近一成試判斷AABC的

形狀.

10.⑴已知4(5,1),8(1,3),C(2,4)>D(x,y),AB=DC，求靠坐標及。點坐標.

(2)已知|方|=6,|3|=4，0—2方)-0+33)=—72.求|方+2+及五在3+2方方向上的投影.

11.已知向量五=3可-2石，3=4瓦*+石，其中2=(1,0),可=(0,1).

(1)求五不，\a+b\;

(2)求五與方的夾角的余弦值.

12.己知向量沆—(cosa,sina'),n-(—1,2).

(1)若沆〃元，求s-osa的值;

sina+cosa

(2)若|而—五|=魚，a￡管,〃)，求cos(a+E)的值.

13.如圖，在平面斜坐標系xOy中，z.xOy-60°,平面上任一點P在該斜坐標系中的斜坐標是這

樣定義的：若而=x^+y區(qū)(其中宕、京分別為與x軸、y軸正方向同向的單位向量)，則P點

斜坐標為(x,y).

(1)若P點斜坐標為(2,-2),求尸到O的距離仍。卜

(2)若44BC三個頂點的斜坐標分別為4(1,4),B(4,2),C(3,5),求三角形的內(nèi)角

14.已知百，石是夾角為g的兩個單位向量，石=3瓦-2筱,3=2瓦-3夙.

(1)求五不；

(2)求證:(ot+T)lC^-T);

(3)求正與B夾角的余弦值

15.在①(ta+方)〃(五+t辦(2)(ta+b)1(a+tb)：③(ta+1|=|五+t1|這三個條件中任選一

個，補充在下列問題中，并回答問題，己知五=(一1,一1),K=(o,i).

(1)若,求實數(shù)r的值，

(2)若H=(x,y),且不=yN+(1-x)石，求同.

16.如圖所示，在AABC中，點。為AB邊的中點，點E為BC上靠近點B的三等分點，線段AE與

CD交于點、P.

(1)設(shè)而=m超+n恁，求m-n的值;

(2)若4B=3,AC=2,^BAC=y,求|萬

17.已知平面非零向量配了的夾角是|兀.

(1)若|a|=l,a+2b=77,求b；

(2)若］=(2,0)，b=(t,V3))求，的值，并求與［一：共線的單位向量之的坐標?

18.已知同=4,|6|=8>:與湎夾角是60。，計算:

(l)(2a+6)-(2a-K);

(2)|4a-26|.

19.如圖所示，在△ABO中，OC=^OA,OD=^OB,AO與BC相交于點M,設(shè)瓦？=灑OB=b，

(1)試用向量方，E表示而;

(2)在線段AC上取點E,在線段8。上取點F,使EF過點M.設(shè)赤=AOA,OF=〃而，其中尢4￡

1121

R.當EF與AO重合時，A=l，n=\此時；+-=5；當EF與BC重合時，2=：,〃=1,此時

2人〃3

1+；=5,能否由此得出一般結(jié)論：不論E,尸在線段AC,20上如何變動，等式：+；=5恒成

立？請說明理由.

20.已知|五|=2,|3|=1，方與石的夾角為60。，若向量沅=2。+3，向量”=1一4石，求:

(l)m-n；

(2)向量沆與記夾角的余弦值.

21.如圖，在團AOB中，。是邊08的中點，C是邊0A上靠近點。的一個三等分點，AD與BC交于

(1)用a，b表示0M?

(2)過點M的直線與邊。4,。8分別交于點￡1,凡設(shè)OE=p?OF=qb'求;+泉的值.

22.已知向量五=(cosa,sina),b=(cos/?,sin/?)?\a—b\=

(1)求COS(Q-￡)的值;

(2)若一]v夕v0vQv且sin0=_1,求sina的值.

23.設(shè)向量五,9滿足|五|=3=1及|3五-2刈=y/7.

(1)求五，方夾角的大小;

(2)求|3方+2石|的值.

24.如圖:

(1)以A為始點,作出五+無

(2)以B為始點，作出不+胃+若；

25.已知向量日與1的夾角9=拳且同=3,b=2y/2.

⑴求歸+b］；

(2)求之與：+力的夾角的余弦值.

26.已知向量怖=(-1,-1),0=(o,i>

(1)若向量(t方+彳)〃0+1月)，求實數(shù)f的值;

(2)若向量c=(x,y)滿足不=—ya+(1—x)￡，求|c|的值.

27.已知云=(1,2),3=(1,4)，分別確定實數(shù)4的取值范圍，使得:

(1)五與方的夾角為直角；

(2)五與方的夾角為鈍角；

(3)4與石的夾角為銳角.

28.已知同=魚，同=1,五與B夾角為45。.

(1)當五+/13與；I五+至相互垂直時，求4的值.

(2)當方+，石與4五+1共線時，求|五+4方|.

(3)當五+4E與4日+坂的夾角為鈍角時，求;I的取值范圍.

29.已知回ABC在平面直角坐標系xOy中，其頂點4B,C坐標分別為4(—2,3),8(1,6),C(2cos。,2sin。).

(1)若ZBAC=],且。為第二象限角，求cos。一sin。的值.

(2)若。=|兀，且耳萬AA5(A€R)＞求|而|的最小值.

30.已知兩個非零向量落b.

(1)若向量區(qū)石是夾角為120。的單位向量，試確定實數(shù)%,使%五+石和往-石垂直;

(H)若麗+方，~BC=2a+6b>CD=2(a-b).求證：48,。三點共線.

【答案與解析】

1.答案：解：(1)因為|五+方|=2，

所以I1+至|2-4.

即為2+另2+2五?3=4，

又|2|=1,=m，

所以1不=已匕

2

由|五+23|=3，

所以|4+23|2=9.

即整+414-4a-b=99

所以1+4x^^+4m2=9,

2

解得m=±1,

又曲>0，

所以?n=1.

(2)因為|中=1,\b\=mf五?方=等

所以|五一=324-￡>2—2a-b=1—2x+m?=2m2—2,

\a-b\=V2m2-2.

又因為為+石與五—b的夾角為

所以(54-K)?(a-b)=a2—b2=|a4-6|x\a-b|cos，

所以l—m2=2x\/2m2—2cos

解得7n=土汽,

又巧|>0，

所以m=V3.

解析：本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，平面向量的模，向量的夾角，掌握運算性質(zhì)是關(guān)鍵，屬

于中檔題.

⑴由|2+方|=2，|五+2刈=3，得片+才+2蒼不=4和片+4方之+4為不=9，即可求解;

(2)利用@+b')(a-b')=a2—b2=\a+b\x\a-b|cos與求解.

2.答案：(1)證明：???4(2,1),6(3,2),￡>(-1,4),

■.AB=(1,1)>AD=(-3,3)-

.-.AB-AD=lx(-3)+1x3=0，即而1而，

???AB1AD.

(2)解：?.?荏_L而，四邊形ABC。為矩形,

AB=DC-

設(shè)點C的坐標為(x,y),

則配=(x+l,y-4).

又?.?荏=(1,1).

.9+1=1，

(y-4=1,

解啜：5.

二點C的坐標為(0,5).

AC=(-2,4)，~BD=(-4,2)，

||=2V5-\BD\=2V5，AC-~BD=8+8=16.

設(shè)而與前的夾角為。，

AC-^D_16_4

則COS。=

|Zc||ED|一2遍x2遙-5

故矩形ABCD的兩條對角線所夾的銳角的余弦值為：

解析：本題主要考查了向量垂直的判定與運用、向量相等的坐標間關(guān)系、向量的夾角與數(shù)量積，向

量的坐標運算，屬于中檔題.

(1)計算向量荏，近的坐標，通過計算它們的數(shù)量積為0判定垂直即可：

(2)根據(jù)題意得到向量荏=尻進而列方程組求得點C坐標，最后利用向量的數(shù)量積及夾角公式求得

結(jié)果.

3.答案：解：如圖，

BC=BA+AC，^.BAC=90°,\AB\=\AC\=300km，

.-.\BC\=300V2/cm.

又乙4BC=45。，且4地在3地的南偏東30。的方向上，

C地在8地的南偏東75。的方向上.

解析：本題主要考查利用向量加法解決實際問題，難度不大.

作出方位示意圖，由向量的加法以及向量的?？汕蟮?

4.答案：解：(1)平行四邊形ABCD中，AB=a，AD=b，CE=^CB,GF=ICD,

—,―>―，2—>1―?

???EF=CF—CE=-CD--CB

33

=--AB+-AD=

3333

(2)???|五|=1,曲=4,CLUB=600,

―>2T1一4-24-T1-2

???1陽9=(一鏟+?)=鏟+

——x1X4XcocsGO''4"，

9993

.?.|麗|=咨

v~AC=a+b，

__、__>T21_

AC?FE-0+b)?qZ—§Z?)

2-21--I

=-a4--a-h--b

333

2,1..11.x

=-+-xlx4x---x4Z2=-4.

3323

解析：本題主要考查了向量的線性運算，向量的數(shù)量積，屬于中檔題.

(1)根據(jù)向量的線性運算用向量乙另表示前直接求解即可；

(2)利用向量的關(guān)系，把前用向量五花表示，再結(jié)合(1)的結(jié)論利用向量的模和數(shù)量積的運算性質(zhì),

求解即可.

5.答案:解：(1)由題意下=—(五+b),

_?2T_2V6+V2V6+V2r

|c|2=(a+b)2=a+2五+b=14-2x1x-------cos45°+(-------)2

1―8+4^3r-r—

=1+遮+1H------=4+2v5=(遮+l)29

|c|=V3+1

(2)a-c=-a-(a+K)=-a2-a-b=-衛(wèi)二

a?cV3

cos<a,c>=

l^lklT

v0<<a,c><Ti

：.<a7c>=—

6

解析：本題考查向量的模、向量的夾角以及向量的數(shù)量積，屬于中檔題；

⑴由題意不=—(a+|c|2=(a-I-6)2=a24-2a-K+K2=(V3+1)2,可得|H|=V3+

1

(2)由cos<a,c>=系即可求解；

6.答案：(1)證明：由A,M,N三點共線，得祠〃麗，設(shè)宿=4就(46/?),

即“近+碣=/港+硝，

所以m而+nE=A(AB+ACy

由南，而不共線得m=ri=4,

即m=n.

(2)解：荏?刀=1x1xcos60°=

因為麗=AN-AM=^(AB-AC)-^(AE-AF)

=0通+三亞，

22

又jn+n=l,所以MN=W^通+/正，

所以?麗產(chǎn)=立普同？+?而，*1-m)m荏.前

2

=*1_⑹+加2+*1_m)m=i(m-1)+亮.

故當m=T時，|而|min=f-

即|而|的最小值為f.

解析：本題考查平面向量的加減及數(shù)乘運算，考查平面向量共線的條件，考查平面向量的數(shù)量積與

求向量的模長，是中檔題.

(1)由A,M,N三點共線，得硒/麗,設(shè)宿=4前(46R)，所以：(荏+而=之2(荏+而)即

可求解；

(2)化簡而為麗=^AB+^AC,再兩邊平方利用數(shù)量積即可求解.

7.答案：解：(1)|五|=4,|山=3,設(shè)區(qū)石的夾角為。，

(2a-3b)-(2a+b)=61，

所以4片一4年?萬一3才=61>

即4x42-4x4x3xcosO-3x32=61,解得cos。=

|a+K|=J(a+b)2=Ja2+2a-b+b

=J|a|2+2|a||K|cos6i+|b|2

=J42+2X4x3x(-1)+32=V13.

(2)va-(a+b)=\a\2+|a||b|cos0

=16+4x3x(-1)=10,

設(shè)向量正與向量五+3的夾角為0(/?G[0,7T])

五值+8)_io_5x/n

則cos/?=

\a\[a+b\―4>/13-26

所以向量方與向量1+E的夾角的余弦值為鴛.

解析：本題考查向量的數(shù)量積、模和夾角，屬基礎(chǔ)題.

(1)利用模長公式即可求解.

(2)利用夾角公式即可求解.

8.答案：解：(1)在平面內(nèi)任取一點。，作成=為，同=&，前=3方=2則麗=4+方+不+1

(2)在平面內(nèi)任取一點。，作a=五，AB=e，則Z+E=a+荏=話，因為3為單位向量，所以

點B在以4為圓心的單位圓上(如圖所示)，

由圖可知當點B在點當時，O,A,a三點共線，|而|即他+即最大，最大值是3.

解析：本題考查平面向量的加法運算以及向量模的計算問題，屬于基礎(chǔ)題.

(1)根據(jù)三角形法則即可畫出結(jié)果；

(2)在平面內(nèi)任取一點0,作瓦？=8，荏=濟則W+3=而，點B在以A為圓心的單位圓上，當

點。，A,B三點共線時，|布|最大.

9.答案：解：???0B-0A+0C-0A=AB+AC>0B-0C=CB=AB-AC.

又|通-玩|=|而-M+玩-兩，

|AB+AC|=|AB-AC|，

???以AB,AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長度相等，

??.該平行四邊形為矩形，

ABX.AC,

???△4BC是直角三角形.

解析：本題考查平面向量的三角形法則以及平行四邊形法則，屬于基礎(chǔ)題，

由題意得到|海+亞|=|麗-熊|，從而得到以A3,AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長度

相等，得到該平行四邊形為矩形，從而得到結(jié)論.

10.答案:(1)解:因為4(5,1),8(1,3),C(2,4),D(x,y),

所以檢=(-4,2),DC=(2-x,4-y),

山四=反得仁；工4,解得1空，

所以獲坐標為(-4,2),。點坐標為(6,2).

(2)解：因為(萬一2石)?@+3])=片一6二+五不

=36—6x16+五,b=-72,

所以五,石=-12，

則B+23=J(五+21)2=6+4b+4五?b

==36+4x16+4X(-⑵=2g，

又益.(1+23)=12+2方.3=36—24=12.

所以行在五+2B方向上的投影為平翳=磊=騫.

\a+2b\2V1313

解析：本題考查平面向量的坐標運算，考查向量的數(shù)量積和模，考查向量的數(shù)量積，屬于中檔題.

(1)根據(jù)向量的坐標運算分別表示出荏和詫，根據(jù)向量相等的條件即可得到點。坐標;

(2)根據(jù)向量的數(shù)量積得到五%=-12,進而計算向量的模和投影即可.

11.答案：解：由己知，向量Z=3宕一2名，石=45+五，其中友=(1,0),(0,1),

a=(3,-2)5=(4,1))

(l)a-b=3x4-2x1=10)|a+b|=|(7,-1)|=5Vl.

(2)由上得|方|=g,@=g,

,-y、ab10107221

cos<cifb>=~~~—?

|a|-|d|V13XV17221

解析：本題主要考查向量的模、平面向量的坐標運算、數(shù)量積運算.屬基礎(chǔ)題.

(1)先根據(jù)百=(1,0),夙=(0,1)表示出向量五、b，然后根據(jù)向量的數(shù)量積運算和向量模的運算求出

答案.

(2)先求出向量正石的模，然后根據(jù)cos(五花>=蒜，將數(shù)值代入即可得到答案.

12.答案：解：(1)vm//n,sina=—2cosa,

sine—2cowa-2cs6n—2csia

.=-：---------------=—x------------------=4.

"sine+cows-2cosa+COHO

(2)v\m-n\=V2?/.《(coso++(sina_2)'=y/2

即2suin-cosn=2.

:.cos2a=4(sina—l)2,：?1—sin2a=4(sina—l)2,

,:aeg,n),???解得:sina=|,cosa=—

(i實、一J..開7\/2

sc(\H-----I=------suwisin——=------—?

\4/441()

解析：本題考查了向量共線定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、向量模的計算公式、屬于中檔題.

(1)由沆〃記知sine2cosn,代入漢竺士竺即可得解.

'stna+cosa

(2)根據(jù)模長公式知2sinc-"即=2.解出sincm的值，代入cos(八+即可?

13.答案:解:(1>P點斜坐標為(2,-2),

???麗=2可—2式????|而/=（2五-2均2=8-8^?可=8-8xcos60°=4.

???|0P|=2，即|0P|=2.

(2)依題意，三角形的內(nèi)角乙4為屈，前的夾角，

又荏=(.3,-2'),AC=(2,1)，

所以超=3百一2五，正=2瓦+或，

._AB-AC_(3久-2玩)《2藥+與)_6可2-2直2-可.瓦

所以8s一府口祠一口瓦一2可|2瓦+司一小百?的小可?+豆，+4宣司

?r17T

=$=LZ.4€(0,7r),所以乙A

V7XV723

解析：本題考查斜率的幾何運用，考查斜率的數(shù)量積運算。屬基礎(chǔ)題.

(1)依題意，加=2瓦(—2或，二|前『=(2可一2的2,計算即可.

(2)依題意，三角形的內(nèi)角乙4為同，下的夾角，求得南=3瓦?-2與，前=2可+五,

AB-AC_（3e1-2^）。（2瓦+e2）

根據(jù)cosA運算即可.

|J4P|E|^C||3e1一2。2'卜|2&1+02‘1

14.答案：解：（1）???瓦?，石是夾角為W的兩個單位向量，

.?.同|=同|=1,N?N=同同cosg=ixlxi=i.

又?:五=3瓦-2瓦石=2瓦>一3瓦

???（1）a-K=（3瓦-2筱）?（2否一3司）

=6五2一9百?①一4部?筱+6匹2

=6同2+6同2—13百年

1

=6+6-13X-

_11

=~2~；

（2）v|a|=J（3可-21）2=19|,|2+4|八|2-12瓦?石=<9+4-6=近,

\b\=J（24-3葭產(chǎn)=,4|可J+9|石/一121?可=，4+9—6=夕,

v（a+h）-（a-K）=同2一間2

=7-7

=0,

，(/+1)乂/-了)；

(3)令值㈤=。，

COS0=

|a||d|=V-7x？VL7=—14?

行與石夾角的余弦值為蕓.

解析：本題考查平面向量數(shù)量積，夾角的運算以及向量垂直的證明，屬于基礎(chǔ)題.

結(jié)合題設(shè)條件先求得I否：|=I宅I=te-e=^.

(1)結(jié)合以上結(jié)論運用平面向量的數(shù)量積的運算律即可求得乙.b；

(2)先求得|磯同，之后用向量的數(shù)量積可得(五+石).(五一3)=o，從而證得(下+石)，(下.7T)：

(3)應(yīng)用(1)(2)中結(jié)論運用平面向量的夾角公式即可求得結(jié)果.

15.答案：解：(1)若選條件①，

因為方=(-1,-1).b=(0,1)1

所以t五+b=(—t,—￡+1)，五+tb=(-1,一1+t)>

因為?五+方)//(五+19)，

所以-t(一l+t)=-(-t+l),解得t=l或t=-l.

若選條件②，

因為茄=(-1,—1),b=(0,1),

所以ta+b=(—t,-t+1)>a+tb=(-1,—1+t)>

因為(tN+石)1(a+tb).

所以(一t)x(-1)+(-1+t)(-t+1)=0,解得t=學(xué)或t=哈

若選條件③，

因為五=(—1,—1),b=(0,1),

所以t胃+b—(—t,—1+1)，五+tZ?=(-1,-1+t)?

因為|￡方+方|=|a+tb\f

所以J(—t)2+(—c+l)2=J(_l)2+(-i+t)2,解得t=1或1=-1.

(2)因為=ya+(1—x)b，所以(%,y)=(y,y+1—,

所以｛;?+一，解得d

所以1=(1,1),所以性|=VL

解析：本題考查了向量的模、向量垂直、向量平行和平面向量的坐標運算，是基礎(chǔ)題.

(1)若選條件①，先得出t五+B和的坐標，由(tZ+W〃0+tB),可得「的值；

若選條件②，先得出tW+石和方+tB的坐標，由(td+E)1(W+tE)，可得?的值；

若選條件③，先得出t4+石和五+tB的坐標，由|tk+石|=|百+t石|，可得，的值：

(2)因為3=yZ+(1-x)B，所以(x,y)=(y,y+1-x),則｛；=；十1_%可得尤，y,從而得出同.

16.答案：解：(1)???D是AB的中點，E為BC上靠近B的三等分點，???/=:超，麗=：阮，

?.TE與C￡＞相交于點尸，

；?設(shè)荏=xAD+(1-x)AC,AP=y荏，

.??9=楙屈+(l-x)正，於=y(屈+屁)，

.??方=丫解+海)=丫(|荏+河，

(X_

2=

1-久="

???~AP=-~AB+-Jc,Am—n=7

(2)CP=AP-AC=|而-1^4C,

?——?.2/2——?4——A4——?216——>——>16——>2

\CP\=[-AB--AC]=天48--AB-AC+—AC

\JJ/4D乙。乙J

解析：本題主要考查了平面向量的基本定理、向量的線性運算、向量的模與數(shù)量積，屬于中檔題.

(1)由平面向量基本定理及向量線性運算寫出布的兩種不同表達，根據(jù)相同向量列方程組求得參數(shù)值,

進一步求得向量及m-n的值；

(2)先求得向量而，再利用數(shù)量積求出|不f,最后求得|加唧可.

17.答案：解：(1)根據(jù)題意，設(shè)|B|=t，

若他|=1,|H+2h|=V7,且非零向量區(qū)下的夾角是|兀，

則有|/+21|2=片+414+4方2=l+4t2-2t=7>

變形可得：2t2-t-3=0,

解可得：1=弓或￡=一1(舍)；

故Ib|=3

(2)若五=(2,0),b=(t,V3)>

則|五I=2,\b\=VFTS,a-b=2t,

又由向量落3的夾角是|兀，則有cos￡=器，

即十而

解可得：t=-l,b=(-1,V3);

則五一石=(3.-V3);

設(shè)了=上(五一方)=(3fc,-V3fc))

貝II有(3k)2+(-原7=1,

解可得：k=土叵,

-6

則3=(苧，一｝或(一今｝

解析：本題考查向量數(shù)量積的計算，涉及向量的坐標計算，屬于基礎(chǔ)題.

⑴根據(jù)題意，設(shè)|b\=t，由數(shù)量積計算公式可得|a+2b\2=a2+4a-b+4b2=l+4t2-2t=7>

變形解可得t的值，即可得答案；

(2)根據(jù)題意，由向量的坐標可得|磯、|石|和方方的值，又由夾角公式可得-：=工備，解可得f的

值，即可得方和0—E)的坐標，進而設(shè)3=10一方)=(3k,-gk)，由單位向量的定義可得(3k)2+

(-V3fc)2=l，解可得％的值，即可得答案.

18.答案：解：⑴因為同=4,曰|=8，

所以(2方+石)?(2五一5

=(2a)2—K2=4|a|2-|K|2

=4x42-82=0；

(2)因為|蒼|=4,湯|=8,4與石的夾角是60。，

所以|44一2石『=(4a-2d)2=16a2-16a-K+4b2

=16X42-16x4x8xcos60°+4x82=256.

所以|4/一23|=16.

解析：本題考查向量的模的求解、向量的數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題.

(1)直接利用數(shù)量積的運算性質(zhì)計算即可；

(2)先求出|43一23「，即可求出結(jié)果.

19.答案：解：⑴:0A=五，OF=b，

由A,M,。三點共線可知存在實數(shù)f使得

——,—,—?一IT1—tb4-ia

OM=104+(1-t)0。=t五+(1-t)?臚=-----------

同理，由C,M,8三點共線可知存在實數(shù)"使得

0M=u0^4-(1—u)0C=ub

(入、1—7*,

1—w).-a=ub+-^-Q

,Iu=2C，解得〃=|，t=I，

心

―'1-2T

???0M=-a+-6;

(2)可以得出結(jié)論，不論E,尸在線段AC,上如何變動，等式：1+：a=5恒成立,

證明如下所示：

設(shè)0M'=xOF+yOF=xAa+ynb>

???M,E,尸三點共線，則x+y=l,

由(1)可得，xA=1,y〃=|,聯(lián)立可得：

1

(x+y=i(x-

5A2

品

"lI

y

=

12

得證，所以不論E,F在線段AC,8。上如何變動，等式：+±=5恒成立.

解析：本題主要考查的是平面向量基本定理及其應(yīng)用，屬于中檔題.

(1)結(jié)合A,M,。三點共線可知存在實數(shù)r使得而=tE+(l-t)前，結(jié)合C,M,B三點共線

可知存在實數(shù)"使得而=n而+(1-“)詫，再分別轉(zhuǎn)化為用UX而表示，進而求出"，r,即可

解答；

(2)由所給兩種情況進行猜想，再設(shè)。所=x0?+y。尸=五+結(jié)合例，E,尸三點共線，則

x+y=l,進行推導(dǎo)證明即可.

20.答案：解：(1)因為向量記=2行+石，n=a—4b>

所以沆?元=2五之-4,一7為不=2X4-4-7=-3，

(2)因為向=J(2a+b)2=J4a2+K2+4a-K

=V4x4+1+4=V21，

|n|=J(a-4b)2=Ja2+16b2-8a-b

=V4+16-8=2A/3,

設(shè)向量記=2a+石與向量記=a—4石的夾角為a,

則cosa=沆.=~3=一包,

人JC°Sa網(wǎng)問V21X2V314,

即向量記=2五+石與向量元=五一4方的夾角的余弦值為一立.

14

解析：本題考查向量的模，考查平面向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，考查

運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

(1)運用向量數(shù)量積的定義，的沆.元=2/_432_7小方，即可得到所求；

(2)求出向量記，元的數(shù)量積和模，再由夾角公式，即可得到所求余弦值.

21.答案：解：(1)■1>0^4=a>OB=設(shè)。答=xk+yb，

1?,AM=OM—0/1=(%—1)0^4+yOB=(x-1)a+yb,

AD=0D-0A=-a+-b.

2

-A,M,。三點共線，

AM,近共線，從而2(x-1)=_y.①

;又麗=而一近=%亞+(y-1)而=%五+(y—1)3，

““一?一一??1_.—?

BC=OC-OB=-a-6,

3

即C,M,B三點共線，

.?.瓦環(huán)，灰共線，

即2-1)=T.②

聯(lián)立①②解得《"

故麗=:方+：反

(2),?-0E=pa>OF=qb'

■?■EM=OM-OE=|a+|ib-pa=(^—p)a+|b,

FF=OF-OE=qb—pa>

?.?前，前共線，

-(1-P)Q=-|p即/號=pq.

故:汨=5.

解析：本題考查平面向量的基本定理，向量的加減法以及向量的數(shù)乘運算，向量共線的充要條件，

屬于中檔題.

(1)設(shè)麗=xZ+y8,利用向量的減法法則得宿=(x-1)3+丫石，初=一五+^結(jié)合戒，而共

線得到關(guān)于x,y的方程：1(x-l)=-y,同理得53-1)=一尢聯(lián)立求解即可得到結(jié)論.

(2)應(yīng)用題中條件結(jié)合(1)中結(jié)論得EM—0M—0E—(1—p)a+|b,'EF=O^F—OE=qb—pa-

結(jié)合前，就共線得g-p)q=-|p,整理即可得到欲證結(jié)論.

22.答案:解：(1)|a—

■■a2—2a-b+b2=：.

又?.,五=(cosa,sina),了(cos3,sin3).

a2=b2=1'37=|，

a*-6=co?ccu?3+sumsinJ=cos(c—0)，

:.cos(a-)?)=-,

(2)v-^</?<0<a<p0<a-/?<7T.

由(1)得cos(a-0)=I，

???sin(a-S)=$

X"Sin/?=一卷，COS0=

sina=sui[(a—0)+3]

=sin(n-§)co?3+<xj?(n—0)sin3

4123533

=5X13+5X(-13)=65,

解析：本題考查了數(shù)量積和兩角差公式的運用，是中檔題.

(1)由|五—b|=越可得蒼,b=|,由數(shù)量積可得五.方=cosacosg+sinasin/?=cos(a—￡)，故可得

55

cos(a—3)的值，

(2)由(1)得Kin(c—B)=-,故可由sins=sin[(a—8)+⑼=sin(a—0)cos0+co?(c-J)sinJ,代

5

入數(shù)值可得答案.

22

23.答案：解：(1)設(shè)為與石夾角為仇(3a-2b)=9|a|2+4|K|-12a-K=7.

而同=|K|=1，

則13-12a-b=7

a?b=3，

A\a\\b|cos6=(即cos0=|,

又8G[0,n],

.■.a,另所成的角為:.

<5

(2)因為足|蒼|=方=1，a-K=|

則(3方+2至)2=9|方|2+6布?至+4|方|2=9+6乂[+4=16,

???|3為+b|=4-

解析：本題考查了向量的數(shù)量積、向量的模及向量的夾角，考查了學(xué)生的計算能力，培養(yǎng)了學(xué)生分

析問題與解決問題的能力.

(1)根據(jù)(34—2萬)2=7,91al2+4|K|2-12五?方=7,可得|不=g再根據(jù)數(shù)量積的定義可求

出cos。=g進而得到為，石夾角.

(2)先求(3五+2方)2=9|a|2+12a-b+4\b\2=16,進而即可求得結(jié)果.

24.答案：解：(1)將五起點移至A,再將石起點移至云的終點，再連接A與B的終點即可得.

(2)將了起點移至8,再將之起點移至下的終點，再將3起點移至胃的終點，再連接8與之的終點即可得.

TTT

X->Tc+d+d

a+b

AY///

->B

c

a一/

解析：本題主要考查向量的概念及幾何表示，屬于基礎(chǔ)題.

(1)將五起點移至A,再將區(qū)方首尾相連即可.

(2)m起點移至2,再將乙d，3按順序首尾相連即可.

25.答案：解：(1)因為向量方與石的夾角。=拳且|初=3,\b\=2V21

所以五不=|a|?|K|cos0=3x2V2x(-y)=—6,

所以|2+方|=J(a+K)2=Ja2+2a-b+b2=J32+2x(-6)+(2V2)2=V5；

(2)設(shè)正與方+B的夾角為a,

則_a(a+b)_a2+ab_9-6_75

則c°sa-一會一T

所以五與五+3的夾角的余弦值為

解析：本題考查向量的模、向量的夾角、向量的數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題.

(1)根據(jù)題意求出五不，利用||+9|=?五+4=出+221+片,即可求出結(jié)果;

(2)設(shè)五與為+B的夾角為a,代入cosa=高鬻1=藉裊，即可求出結(jié)果.

26.答案：解：⑴?.?？?=(一1,-1))=(0.1)

二ta+/?=(-t,1—t),a+t/?=(-1,t—1)?

??5+初/0+￡辦

t(t—1)—(1—t)=0,

解得t=1或t=—1.

(2)vc=-ya+(1-%)/?,???(x,y)=(y,y4-1-x)?

即,解得憂：.

|cI=V2.

解析：本題考查平面向量共線的充要條件，考查平面向量的坐標運算，考查求向量的模，是基礎(chǔ)題.

(1)分別求出取+瓦及+4向量的坐標，根據(jù)平面向量共線的充要條件求解即可；

(2)根據(jù)向量相等求出下的坐標，再根據(jù)向量的模長公式求解即可.

27.答案:解:設(shè)；與；的夾角為仇向=Vl2+22=V5>\b\=V1+A2>a-b=(1,2)-(1,A)=1+2A-

(1)因為；與了的夾角的直角，

所以之'b=0,

所以1+24=0,

所以

(2)因為之與；的夾角為鈍角，

所以cos。<0且cos。H—1,

即；工<0且；與4不反向.

由；?b<0得1+2入V0,

故4<-1,由之與1共線得4=2,

厥與科可能反向.

所以；I的取值范圍為(一8,-》.

(3)因為:與％的夾角為銳角，

所以es0＞()且cos。力1,即之工＞0且2、%不同向.

由；工＞0,得，＞

由之與總司向得a=2,

所以;I的取值范圍為(一32)U(2,+00).

解析：本題考查的是向量的夾角以及數(shù)量積的運算，屬于中檔題.

(1)根據(jù)兩個向量的夾角為直角，即可求出；I的值；

(2)根據(jù)兩個向量的夾角為鈍角，得到cos。的范圍，繼