2018版高考數(shù)學(xué)(理)一輪復(fù)習(xí)第九章解析幾何9.8

§9.8

曲線與方程根底知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引根底知識(shí)自主學(xué)習(xí)1.曲線與方程的定義一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)＝0的實(shí)數(shù)解建立如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：知識(shí)梳理那么，這個(gè)方程叫做

，這條曲線叫做

.曲線的方程方程的曲線這個(gè)方程的解曲線上的點(diǎn)2.求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的根本步驟任意x,y所求方程1.“曲線C是方程f(x，y)＝0的曲線”是“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要條件.2.曲線的交點(diǎn)與方程組的關(guān)系：(1)兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)是兩個(gè)曲線方程的公共解，即兩個(gè)曲線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解；(2)方程組有幾組解，兩條曲線就有幾個(gè)交點(diǎn)；方程組無(wú)解，兩條曲線就沒有交點(diǎn).知識(shí)拓展判斷以下結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)f(x0，y0)＝0是點(diǎn)P(x0，y0)在曲線f(x，y)＝0上的充要條件.()(2)方程x2＋xy＝x的曲線是一個(gè)點(diǎn)和一條直線.()(3)到兩條互相垂直的直線距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是x2＝y(tǒng)2.()(4)方程y＝與x＝y(tǒng)2表示同一曲線.()(5)y＝kx與x＝y(tǒng)表示同一直線.()×××√×思考辨析

考點(diǎn)自測(cè)1.(教材改編)點(diǎn)F(，0)，直線l：，點(diǎn)B是l上的動(dòng)點(diǎn)，假設(shè)過(guò)點(diǎn)B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點(diǎn)M，那么點(diǎn)M的軌跡是答案解析A.雙曲線

B.橢圓C.圓

D.拋物線由已知|MF|＝|MB|，根據(jù)拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線.幾何畫板展示

A.兩條直線

B.兩條射線C.兩條線段

D.一條直線和一條射線解析即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲線是一條射線和一條直線.答案

3.(2016·南昌模擬)A(－2,0)，B(1,0)兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P不在x軸上，且滿足∠APO＝∠BPO，其中O為原點(diǎn)，那么P點(diǎn)的軌跡方程是A.(x＋2)2＋y2＝4(y≠0)B.(x＋1)2＋y2＝1(y≠0)C.(x－2)2＋y2＝4(y≠0)D.(x－1)2＋y2＝1(y≠0)答案解析由角的平分線性質(zhì)定理得|PA|＝2|PB|，整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0)，故選C.幾何畫板展示4.過(guò)橢圓(a>b>0)上任意一點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為N，那么線段MN中點(diǎn)的軌跡方程是________________.答案解析設(shè)MN的中點(diǎn)為P(x，y)，幾何畫板展示5.(2016·唐山模擬)設(shè)集合A＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝}，C＝{(x，y)|2|x－3|＋|y－4|＝λ}.假設(shè)(A∪B)∩C≠?，那么實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________.解析答案幾何畫板展示由題意可知，集合A表示圓

上的點(diǎn)的集合，集合B表示圓

上的點(diǎn)的集合，集合C表示曲線2|x－3|＋|y－4|＝λ上的點(diǎn)的集合，這三個(gè)集合所表示的曲線的中心都在(3,4)處，集合A、B表示圓，集合C則表示菱形，可以將圓與菱形的中心同時(shí)平移至原點(diǎn)，如圖所示，題型分類深度剖析題型一定義法求軌跡方程例1

如圖，動(dòng)圓C1：x2＋y2＝t2，1<t<3，與橢圓C2：

＋y2＝1相交于A，B，C，D四點(diǎn).點(diǎn)A1，A2分別為C2的左，右頂點(diǎn).求直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程.

解答幾何畫板展示由橢圓C2：＋y2＝1，知A1(－3,0)，A2(3,0).設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0，y0)；由曲線的對(duì)稱性，得B(x0，－y0)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，應(yīng)用定義法求曲線方程的關(guān)鍵在于由條件推出關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的等量關(guān)系式，由等量關(guān)系結(jié)合曲線定義判斷是何種曲線，再設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，用待定系數(shù)法求解.思維升華跟蹤訓(xùn)練1兩個(gè)定圓O1和O2，它們的半徑分別是1和2，且|O1O2|＝4.動(dòng)圓M與圓O1內(nèi)切，又與圓O2外切，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是何種曲線.

解答幾何畫板展示如下圖，以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，O1O2所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.由|O1O2|＝4，得O1(－2,0)，O2(2,0).設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，那么由動(dòng)圓M與圓O1內(nèi)切，有|MO1|＝r－1；由動(dòng)圓M與圓O2外切，有|MO2|＝r＋2.∴|MO2|－|MO1|＝3<4＝|O1O2|.∴點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)1、O2為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為3的雙曲線的左支.題型二直接法求軌跡方程

解答

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；因此a＝3，b2＝a2－c2＝4，(2)假設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x0，y0)為橢圓C外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程.

解答幾何畫板展示若兩切線的斜率均存在，設(shè)過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程是y＝k(x－x0)＋y0，Δ＝[18k(y0－kx0)]2－36(9k2＋4)[(y0－kx0)2－4]＝0，又所引的兩條切線相互垂直，設(shè)兩切線的斜率分別為k1，k2，若兩切線中有一條斜率不存在，因此，動(dòng)點(diǎn)P(x0，y0)的軌跡方程是x2＋y2＝13.直接法求曲線方程時(shí)最關(guān)鍵的就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯為代數(shù)方程，要注意翻譯的等價(jià)性.通常將步驟簡(jiǎn)記為建系設(shè)點(diǎn)、列式、代換、化簡(jiǎn)、證明這五個(gè)步驟，但最后的證明可以省略，如果給出了直角坐標(biāo)系那么可省去建系這一步，求出曲線的方程后還需注意檢驗(yàn)方程的純粹性和完備性.思維升華跟蹤訓(xùn)練2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(a，b)為動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓(a>b>0)的左，右焦點(diǎn).△F1PF2為等腰三角形.

解答(1)求橢圓的離心率e；設(shè)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c>0).由題意，可得|PF2|＝|F1F2|，即(2)設(shè)直線PF2與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，M是直線PF2上的點(diǎn)，滿足＝－2，求點(diǎn)M的軌跡方程.解答幾何畫板展示由(1)知a＝2c，b＝

c，可得橢圓方程為3x2＋4y2＝12c2，直線PF2的方程為y＝

(x－c).消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1＝0，x2＝

c，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，題型三相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程例3(2016·大連模擬)如下圖，拋物線C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p>0).點(diǎn)M(x0，y0)在拋物線C2上，過(guò)M作C1的切線，切點(diǎn)為A，B(M為原點(diǎn)O時(shí)，A，B重合于O).當(dāng)x0＝1－時(shí)，切線MA的斜率為－.

解答(1)求p的值；因?yàn)閽佄锞€C1：x2＝4y上任意一點(diǎn)(x，y)的切線斜率為y′＝

，且切線MA的斜率為－

，由①②得p＝2.(2)當(dāng)M在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段AB中點(diǎn)N的軌跡方程(A，B重合于O時(shí)，中點(diǎn)為O).

解答幾何畫板展示由N為線段AB的中點(diǎn)，知所以切線MA，MB的方程分別為當(dāng)x1＝x2時(shí)，A，B重合于原點(diǎn)O，AB的中點(diǎn)N為點(diǎn)O，坐標(biāo)滿足x2＝

y.因此AB的中點(diǎn)N的軌跡方程是x2＝

y.“相關(guān)點(diǎn)法”的根本步驟(1)設(shè)點(diǎn)：設(shè)被動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，主動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)；(2)求關(guān)系式：求出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式(3)代換：將上述關(guān)系式代入曲線方程，便可得到所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

設(shè)直線x－y＝4a與拋物線y2＝4ax交于兩點(diǎn)A，B(a為定值)，C為拋物線上任意一點(diǎn)，求△ABC的重心的軌跡方程.

解答幾何畫板展示設(shè)△ABC的重心為G(x，y)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).消去y并整理得x2－12ax＋16a2＝0.∴x1＋x2＝12a，y1＋y2＝(x1－4a)＋(x2－4a)＝(x1＋x2)－8a＝4a.∵G(x，y)為△ABC的重心，又點(diǎn)C(x0，y0)在拋物線上，(3y－4a)2＝4a(3x－12a)，∴將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的方程得∴△ABC的重心的軌跡方程為典例(12分)拋物線y2＝2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2，－2)，橢圓＝1的右焦點(diǎn)恰為拋物線的焦點(diǎn)，且橢圓的離心率為.

分類討論思想在曲線方程中的應(yīng)用思想與方法系列22(1)求拋物線與橢圓的方程；(2)假設(shè)P為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為過(guò)點(diǎn)P且垂直于x軸的直線上的一點(diǎn)，＝λ(λ≠0)，試求Q的軌跡.思想方法指導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)解答(1)由含參數(shù)的方程討論曲線類型時(shí)，關(guān)鍵是確定分類標(biāo)準(zhǔn)，一般情況下，根據(jù)x2，y2的系數(shù)與0的關(guān)系及兩者之間的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論.(2)等價(jià)變換是解題的關(guān)鍵：即必須分三種情況討論軌跡方程.(3)區(qū)分求軌跡方程與求軌跡問題.

返回解

(1)因?yàn)閽佄锞€y2＝2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2，－2)，所以(－2)2＝4p，解得p＝2.所以拋物線的方程為y2＝4x，其焦點(diǎn)為F(1,0)，即橢圓的右焦點(diǎn)為F(1,0)，得c＝1.又橢圓的離t心率為

，所以a＝2，可得b2＝4－1＝3，故橢圓的方程為(2)設(shè)Q(x，y)，其中x∈[－2,2]，設(shè)P(x，y0)，因?yàn)镻為橢圓上一點(diǎn)，此軌跡是兩條平行于x軸的線段；

[8分]此軌跡表示實(shí)軸在y軸上的雙曲線滿足x∈[－2,2]的局部；[10分]此軌跡表示長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓滿足x∈[－2,2]的局部.[12分]

返回課時(shí)作業(yè)1.(2017·宜春質(zhì)檢)設(shè)定點(diǎn)M1(0，－3)，M2(0,3)，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PM1|＋|PM2|＝a＋(其中a是正常數(shù))，那么點(diǎn)P的軌跡是2345678910111213答案解析A.橢圓

B.線段C.橢圓或線段

D.不存在當(dāng)|PM1|＋|PM2|＝6時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是線段M1M2；故選C.1√2.假設(shè)曲線C上存在點(diǎn)M，使M到平面內(nèi)兩點(diǎn)A(－5,0)，B(5，0)距離之差的絕對(duì)值為8，那么稱曲線C為“好曲線”.以下曲線不是“好曲線”的是12345678910111213答案解析A.x＋y＝5 B.x2＋y2＝9C.

D.x2＝16y√∵M(jìn)到平面內(nèi)兩點(diǎn)A(－5,0)，B(5,0)距離之差的絕對(duì)值為8，∴M的軌跡是以A(－5,0)，B(5,0)為焦點(diǎn)的雙曲線，方程為

.A項(xiàng)，直線x＋y＝5過(guò)點(diǎn)(5,0)，故直線與M的軌跡有交點(diǎn)，滿足題意；B項(xiàng)，x2＋y2＝9的圓心為(0,0)，半徑為3，與M的軌跡沒有交點(diǎn)，不滿足題意；C項(xiàng)，

的右頂點(diǎn)為(5,0)，故橢圓

與M的軌跡有交點(diǎn)，滿足題意；D項(xiàng)，方程代入

，可得y－

＝1，即y2－9y＋9＝0，∴Δ>0，滿足題意.123456789101112133.(2016·銀川模擬)點(diǎn)P是直線2x－y＋3＝0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)M(－1,2)，Q是線段PM延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且|PM|＝|MQ|，那么Q點(diǎn)的軌跡方程是A.2x＋y＋1＝0 B.2x－y－5＝0C.2x－y－1＝0 D.2x－y＋5＝0√2345678910111213答案解析由題意知，M為PQ中點(diǎn)，設(shè)Q(x，y)，則P為(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0.14.(2016·太原模擬)圓錐曲線mx2＋4y2＝4m的離心率e為方程2x2－5x＋2＝0的根，那么滿足條件的圓錐曲線的個(gè)數(shù)為A.4 B.3 C.2 D.1√12345678910111213答案解析12345678910111213∵e是方程2x2－5x＋2＝0的根，當(dāng)它表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線時(shí)，當(dāng)它表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓時(shí)，當(dāng)它表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓時(shí)，12345678910111213∴滿足條件的圓錐曲線有3個(gè).5.點(diǎn)A(1,0)，直線l：y＝2x－4，點(diǎn)R是直線l上的一點(diǎn)，假設(shè)，那么點(diǎn)P的軌跡方程為A.y＝－2x B.y＝2xC.y＝2x－8 D.y＝2x＋412345678910111213答案解析√12345678910111213設(shè)P(x，y)，R(x1，y1)，由

知，點(diǎn)A是線段RP的中點(diǎn)，∵點(diǎn)R(x1，y1)在直線y＝2x－4上，∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x.6.平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)A(3,1)，B(－1,3)，假設(shè)點(diǎn)C滿足＝λ1＋λ2(O為原點(diǎn))，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，那么點(diǎn)C的軌跡是A.直線 B.橢圓 C.圓 D.雙曲線√12345678910111213答案解析設(shè)C(x，y)，則

＝(x，y)，

＝(3,1)，

＝(－1,3)，又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一條直線.7.曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1(－1,0)和F2(1,0)的距離的積等于常數(shù)a2(a>1)的點(diǎn)的軌跡.給出以下三個(gè)結(jié)論：①曲線C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；②曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；③假設(shè)點(diǎn)P在曲線C上，那么△F1PF2的面積不大于a2.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是________.12345678910111213答案解析②③12345678910111213因?yàn)樵c(diǎn)O到兩個(gè)定點(diǎn)F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)的距離的積是1，且a>1，所以曲線C不過(guò)原點(diǎn)，即①錯(cuò)誤；因?yàn)镕1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以|PF1||PF2|＝a2對(duì)應(yīng)的軌跡關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即②正確；8.(2017·西安月考)△ABC的頂點(diǎn)A，B坐標(biāo)分別為(－4,0)，(4,0)，C為動(dòng)點(diǎn)，且滿足sinB＋sinA＝sinC，那么C點(diǎn)的軌跡方程為________________.12345678910111213答案解析則|AC|＋|BC|＝10>8＝|AB|，∴滿足橢圓定義.則a′＝5，c′＝4，b′＝3，則軌跡方程為12345678910111213答案解析12345678910111213設(shè)Q(x，y)，34567891011121310.圓的方程為x2＋y2＝4，假設(shè)拋物線過(guò)點(diǎn)A(－1,0)，B(1，0)且以圓的切線為準(zhǔn)線，那么拋物線焦點(diǎn)的軌跡方程是________________.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)A，B，O作準(zhǔn)線的垂線AA1，BB1，OO1，則|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由拋物線定義得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，∴|FA|＋|FB|＝4>2＝|AB|，故F點(diǎn)的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓(去掉長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)).答案解析1211.實(shí)數(shù)m>1，定點(diǎn)A(－m,0)，B(m,0)，S為一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)S與A，B兩點(diǎn)連線斜率之積為－.12345678910111213

解答(1)求動(dòng)點(diǎn)S的軌跡C的方程，并指出它是哪一種曲線；∵m>1，∴軌跡C是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓(除去x軸上的兩頂點(diǎn))，其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2m，短軸長(zhǎng)為2.12345678910111213

解答(2)假設(shè)m＝，問t取何值時(shí)，直線l：2x－y＋t＝0(t>0)與曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)？消去y，得9x2＋8tx＋2t2－2＝0.令Δ＝64t2－36×2(t2－1)＝0，得t＝±3.∵t>0，∴t＝3.此時(shí)直線l與曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn).12345678910111213

(1)求橢圓E的方程；

解答解得a2＝2b2，故橢圓E的方程可設(shè)為則橢圓E的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－b,0)，過(guò)左焦點(diǎn)且傾斜角為45°的直線方程為l′：y＝x＋b.設(shè)直線l′與橢圓E的交點(diǎn)為A，B，12345678910111213解得b＝1.12345678910111213(2)假設(shè)動(dòng)直線l與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M(1，0)作l的垂線，垂足為Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程.12345678910111213

解答①當(dāng)切線l的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)l的方程為y＝kx＋m，聯(lián)立直線l和橢圓E的方程，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.因?yàn)橹本€l和橢圓E有且只有一個(gè)交點(diǎn)，所以Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＝0.化簡(jiǎn)并整理，得m2＝2k2＋1.因?yàn)橹本€MQ與l垂直，1234567891011121312345678910111213把