2022-2023學(xué)年廣東省東莞市四校高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2廣東省東莞市四校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則它的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，復(fù)數(shù)的虛部為．故選：B．2.關(guān)于向量，，下列命題中，正確的是（）A若，則 B.若，則C.若，則 D.若，，則〖答案〗B〖解析〗對于A，當(dāng)時(shí)，方向可能不同，未必成立，A錯(cuò)誤；對于B，若，則反向，，B正確；對于C，只能說明長度的大小關(guān)系，但還有方向，無法比較大小，C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)未必共線，D錯(cuò)誤.故選：B.3.在中，，則中最小的邊長為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，，故中最小的邊長為，由正弦定理，故.故選：B.4.已知某圓柱的內(nèi)切球半徑為，則該圓柱的側(cè)面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得，該圓柱底面圓的半徑為，圓柱的高為7，所以該圓柱的側(cè)面積為．故選：B．5.已知點(diǎn)，向量，則向量（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A.6.如圖，水平放置的的斜二測直觀圖為，已知，則的周長為（）A. B.C D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意，作出原圖，由斜二測畫法，在原圖中，，，所以，故的周長為.故選：C．7.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知，且，，則（）A.1 B. C.1或 D.〖答案〗C〖解析〗∵，∴，∴，①當(dāng)時(shí)，，為直角三角形，∵，，∴；②當(dāng)時(shí)，則有，由正弦定理得，由余弦定理得，即，解得，綜上，或．故選：C．8.在邊長為1的正六邊形中，點(diǎn)P為其內(nèi)部或邊界上一點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗延長交于點(diǎn)，過過交于，過過交于，過過交于，在中，，在中，，易得所以是等邊三角形，所以，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)?，其中，所以，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)，取得最大值為；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)，取得最小值為，的取值范圍是．故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）A.z的模等于13 B.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限C.z的共軛復(fù)數(shù)為 D.若是純虛數(shù)，則〖答案〗BD〖解析〗由題意得：對于選項(xiàng)A：，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)表示為，位于第四象限，故B正確；對于選項(xiàng)C：根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義z的共軛復(fù)數(shù)為，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：，若是純虛數(shù)，則，解得：，故D正確.故選：BD.10.已知平面向量，，，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則向量在上的投影向量為D.若，則向量與的夾角為銳角〖答案〗BC〖解析〗已知平面向量，，，對于A，若，可得，即，解得，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B，若，根據(jù)平面向量共線性質(zhì)，可得，即，所以B選項(xiàng)正確；對于C，若，則，由投影向量定義可知向量在上的投影向量為，所以C選項(xiàng)正確；對于D，若，則，所以；但當(dāng)時(shí)，，此時(shí)向量與的夾角為，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.11.某班級到一工廠參加社會實(shí)踐勞動(dòng)，加工出如圖所示的圓臺，在軸截面中，，且，下列說法正確的有（）A.該圓臺軸截面面積為B.該圓臺的體積為C.該圓臺的側(cè)面積為D.沿著該圓臺表面，從點(diǎn)到中點(diǎn)的最短距離為〖答案〗ACD〖解析〗對于，由，且，可得，高，則圓臺軸截面的面積為，故A正確；對于B，圓臺的體積為，故B錯(cuò)誤；對于C，圓臺的體積為，故C正確；對于，由圓臺補(bǔ)成圓錐，可得大圓錐的母線長為，底面半徑為，側(cè)面展開圖的圓心角，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，可得，則，所以沿著該圓臺表面，從點(diǎn)到中點(diǎn)的最短距離為，故正確．故選：ACD．12.在銳角三角形中，角所對的邊分別為，若，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，又為銳角三角形，所以，，所以，正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，A正確；因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，，所以，，，所以，B正確；因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，C錯(cuò)誤；因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻?，所以，所以，D正確，故選：ABD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13.設(shè)，向量，，且，則______．〖答案〗〖解析〗，向量，，且，，，向量，，．故〖答案〗為：．14.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是________．〖答案〗〖解析〗由題意可得：，故z的共軛復(fù)數(shù)是1＋i.故〖答案〗為：1＋i.15.已知平面四邊形ABCD中，，，，且是正三角形，則的值為_____________．〖答案〗2〖解析〗由已知可得.故〖答案〗為：2.16.如圖，為邊長為2的正的重心，，為的外心，則_________；的面積為_____.〖答案〗〖解析〗連接，則，∵，，，∴，∴，∴，∴的外心為斜邊的中點(diǎn)，∴三點(diǎn)共線，且，又，在中，，∵為正的重心，∴，又∵為的外心，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，在中，由余弦定理可得，根據(jù)三角形面積公式.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知復(fù)數(shù)，是實(shí)數(shù)．（1）求復(fù)數(shù)；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所表示的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）因?yàn)椋?，因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，解得，故.（2）由（1）知，，所以，故在復(fù)平面內(nèi)所表示的點(diǎn)為，又復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所表示的點(diǎn)在第二象限，所以，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．18.（1）已知，，若，求實(shí)數(shù)的值．（2）已知平面向量，滿足：，，，求與的夾角的大?。猓海?），又，可得，，解得.（2），，，，且，．19.在中，角的對邊分別為，若.（1）求角的大?。唬?）若的面積為，，求的周長.解：（1）由正弦定理得：，，，，，則（2），，由余弦定理得：，解得，的周長.20.《九章算術(shù)》中對一些特殊的幾何體有特定的稱謂，例如：將底面為直角三角形的直三棱柱稱為塹堵，將一塹堵沿其一頂點(diǎn)與相對的棱刨開，得到一個(gè)陽馬(底面是長方形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐)和一個(gè)鱉臑(四個(gè)面均為直角三角形的四面體)．在如圖所示的塹堵中，已知，，．當(dāng)陽馬體積等于時(shí)，求：（1）塹堵的側(cè)棱長；（2）鱉臑的體積；（3）陽馬的表面積．解：（1）因?yàn)?，，，所以，所以△為直角三角形，設(shè)塹堵的側(cè)棱長為，則，則，所以，所以塹堵的側(cè)棱長為．（2）因?yàn)?，所以，所以鱉臑體積為．（3）因?yàn)?，，，，，所以陽馬的表面積的表面積為：．21.如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min．在甲出發(fā)2min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再從B勻速步行到C．假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)行的速度為130m/min，山路AC長為1260m，經(jīng)測量，．（1）求索道AB的長；（2）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？解：（1）在△ABC中，因?yàn)閏osA＝，cosC＝，所以sinA＝，sinC＝，從而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝，由正弦定理＝，得AB＝×sinC＝×＝1040(m)，所以索道AB的長為1040m.（2）假設(shè)乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d，此時(shí)，甲行走了(100＋50t)m，乙距離A處130tm，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)，因0≤t≤，即0≤t≤8，故當(dāng)t＝(min)時(shí)，甲、乙兩游客距離最短.22.如圖，在中，已知，，，，邊上的兩條中線，相交于點(diǎn).（1）求；（2）求的余弦值.解：（1）又已知為的中點(diǎn)，所以，所以，所以，又，，，所以，所以.（2）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又，所以，所以，，所以，又與的夾角相等，所以，所以的余弦值為.廣東省東莞市四校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則它的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，復(fù)數(shù)的虛部為．故選：B．2.關(guān)于向量，，下列命題中，正確的是（）A若，則 B.若，則C.若，則 D.若，，則〖答案〗B〖解析〗對于A，當(dāng)時(shí)，方向可能不同，未必成立，A錯(cuò)誤；對于B，若，則反向，，B正確；對于C，只能說明長度的大小關(guān)系，但還有方向，無法比較大小，C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)未必共線，D錯(cuò)誤.故選：B.3.在中，，則中最小的邊長為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，，故中最小的邊長為，由正弦定理，故.故選：B.4.已知某圓柱的內(nèi)切球半徑為，則該圓柱的側(cè)面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得，該圓柱底面圓的半徑為，圓柱的高為7，所以該圓柱的側(cè)面積為．故選：B．5.已知點(diǎn)，向量，則向量（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A.6.如圖，水平放置的的斜二測直觀圖為，已知，則的周長為（）A. B.C D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意，作出原圖，由斜二測畫法，在原圖中，，，所以，故的周長為.故選：C．7.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知，且，，則（）A.1 B. C.1或 D.〖答案〗C〖解析〗∵，∴，∴，①當(dāng)時(shí)，，為直角三角形，∵，，∴；②當(dāng)時(shí)，則有，由正弦定理得，由余弦定理得，即，解得，綜上，或．故選：C．8.在邊長為1的正六邊形中，點(diǎn)P為其內(nèi)部或邊界上一點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗延長交于點(diǎn)，過過交于，過過交于，過過交于，在中，，在中，，易得所以是等邊三角形，所以，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)椋渲?，所以，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)，取得最大值為；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)，取得最小值為，的取值范圍是．故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）A.z的模等于13 B.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限C.z的共軛復(fù)數(shù)為 D.若是純虛數(shù)，則〖答案〗BD〖解析〗由題意得：對于選項(xiàng)A：，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)表示為，位于第四象限，故B正確；對于選項(xiàng)C：根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義z的共軛復(fù)數(shù)為，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：，若是純虛數(shù)，則，解得：，故D正確.故選：BD.10.已知平面向量，，，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則向量在上的投影向量為D.若，則向量與的夾角為銳角〖答案〗BC〖解析〗已知平面向量，，，對于A，若，可得，即，解得，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B，若，根據(jù)平面向量共線性質(zhì)，可得，即，所以B選項(xiàng)正確；對于C，若，則，由投影向量定義可知向量在上的投影向量為，所以C選項(xiàng)正確；對于D，若，則，所以；但當(dāng)時(shí)，，此時(shí)向量與的夾角為，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.11.某班級到一工廠參加社會實(shí)踐勞動(dòng)，加工出如圖所示的圓臺，在軸截面中，，且，下列說法正確的有（）A.該圓臺軸截面面積為B.該圓臺的體積為C.該圓臺的側(cè)面積為D.沿著該圓臺表面，從點(diǎn)到中點(diǎn)的最短距離為〖答案〗ACD〖解析〗對于，由，且，可得，高，則圓臺軸截面的面積為，故A正確；對于B，圓臺的體積為，故B錯(cuò)誤；對于C，圓臺的體積為，故C正確；對于，由圓臺補(bǔ)成圓錐，可得大圓錐的母線長為，底面半徑為，側(cè)面展開圖的圓心角，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，可得，則，所以沿著該圓臺表面，從點(diǎn)到中點(diǎn)的最短距離為，故正確．故選：ACD．12.在銳角三角形中，角所對的邊分別為，若，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，又為銳角三角形，所以，，所以，正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，A正確；因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，，所以，，，所以，B正確；因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，C錯(cuò)誤；因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻?，所以，所以，D正確，故選：ABD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13.設(shè)，向量，，且，則______．〖答案〗〖解析〗，向量，，且，，，向量，，．故〖答案〗為：．14.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是________．〖答案〗〖解析〗由題意可得：，故z的共軛復(fù)數(shù)是1＋i.故〖答案〗為：1＋i.15.已知平面四邊形ABCD中，，，，且是正三角形，則的值為_____________．〖答案〗2〖解析〗由已知可得.故〖答案〗為：2.16.如圖，為邊長為2的正的重心，，為的外心，則_________；的面積為_____.〖答案〗〖解析〗連接，則，∵，，，∴，∴，∴，∴的外心為斜邊的中點(diǎn)，∴三點(diǎn)共線，且，又，在中，，∵為正的重心，∴，又∵為的外心，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，在中，由余弦定理可得，根據(jù)三角形面積公式.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知復(fù)數(shù)，是實(shí)數(shù)．（1）求復(fù)數(shù)；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所表示的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，解得，故.（2）由（1）知，，所以，故在復(fù)平面內(nèi)所表示的點(diǎn)為，又復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所表示的點(diǎn)在第二象限，所以，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．18.（1）已知，，若，求實(shí)數(shù)的值．（2）已知平面向量，滿足：，，，求與的夾角的大?。猓海?），又，可得，，解得.（2），，，，且，．19.在中，角的對邊分別為，若.（1）求角的大?。唬?）若的面積為，，求的周長.解：（1）由正弦定理得：，，，，，則（2），，由余弦定理得：，解得，的周長.20.《九章算術(shù)》中對一些特殊的幾何體有特定的稱謂，例如：將底面為直角三角形的直三棱柱稱為塹堵，將一塹堵沿其一頂點(diǎn)與相對的棱刨開，得到一個(gè)陽馬(底面是長方形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐)和一個(gè)鱉臑(四個(gè)面均為直角三角形的四面體)．在如圖所示的塹堵中，已知，，．當(dāng)陽馬體積等于時(shí)，求：（1）塹堵的側(cè)棱長；（2）鱉臑的體積；（3）陽馬的表面積．解：（1）因?yàn)椋?，，所以，所以△為直角三角形，設(shè)塹堵的側(cè)棱長為，則，