2022-2023學(xué)年河北省保定市曲陽縣高一下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2河北省保定市曲陽縣2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是行合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可得：.故選：D.2.的內(nèi)角的對邊分別為，若，則（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗D〖解析〗由余弦定理得，得．故選：D.3.光明社區(qū)老年合唱隊(duì)中，60～70歲的有30人，71～75歲的有15人，76歲及以上的有10人．若用分層抽樣的方法抽取位老人參加某項(xiàng)活動(dòng)，已知從71～75歲的老人中抽取了3人，則的值為（）A.9 B.10 C.11 D.12〖答案〗C〖解析〗由題意可知：從71～75歲的老人中抽取的人數(shù)為，解得.故選：C.4.已知是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗C〖解析〗對于A，若，，則或，故A錯(cuò)誤；對于B，平行于同一平面的兩條直線可能平行，可能異面，也可能相交，故B錯(cuò)誤；對于C，若，則m垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，，故C正確；對于D，若，則與不一定垂直，故D錯(cuò)誤.故選：C.5.某公司用隨機(jī)數(shù)法從公司的500名員工中抽取了20人了解其對燒烤的喜歡程度．先將這500名員工按001，002，…，500進(jìn)行編號(hào)，然后從隨機(jī)數(shù)第3行第3列的數(shù)開始向右讀，則選出的第7個(gè)編號(hào)是（注：下面為隨機(jī)數(shù)的第3行和第4行）（）第3行：78166572080263198702436997280198第4行：32049243493582003623486969387481A.492 B.320 C.198 D.280〖答案〗B〖解析〗由隨機(jī)數(shù)法抽樣規(guī)則，從隨機(jī)數(shù)第3行第3列的數(shù)開始向右讀，依次選出的編號(hào)是：166，080，263，198，436，280，320，…，所以選出的第7個(gè)編號(hào)是320.故選：B.6.已知向量，，若與反向，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，，，所以，解得或，又與反向，則時(shí)，向量與同向，不合舍去，故，此時(shí)，，，則向量在向量上的投影向量為，.故選：D.7.在平行六面體中，底面是菱形，，與底面垂直，，分別在和上，且，，，，則異面直與所成角余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取DM中點(diǎn)K，連接、，因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，因?yàn)榈酌媸橇庑?，，，所以在中，利用余弦定理得，又，，在中，利用余弦定理得，所以異面直與所成角的余弦值為.故選：B.8.某六芒星項(xiàng)鏈如圖1所示，其平面圖如圖2所示，該六芒星由正和正組合而成，且，，，和的中心均為O，與的交點(diǎn)為G，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，連接，，設(shè)，的交點(diǎn)為H，，的交點(diǎn)為I，由于O是和的中心，所以O(shè)在上，H為的中點(diǎn)，因?yàn)镺為的重心，所以.由題意得，則，即，所以，得.故選：C.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（）AB.的虛部為C.為純虛數(shù)D.是方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根〖答案〗ABD〖解析〗因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以，故A正確；的虛部為，故B正確；不是純虛數(shù)，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋允欠匠痰囊粋€(gè)復(fù)數(shù)根，故D正確.故選：ABD.10.下列說法錯(cuò)誤的是（）A.過球心的截面是半徑等于球的半徑的圓面B.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱C.正四棱錐的側(cè)面都是正三角形D.有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)〖答案〗BCD〖解析〗對于選項(xiàng)A：根據(jù)球的性質(zhì)可知過球心的截面是半徑等于球的半徑的圓面，故A正確；對于選項(xiàng)B：滿足有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體可能時(shí)兩個(gè)棱柱拼接而成，如圖所示，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：正四棱錐的底面為正方形，側(cè)棱長相等，但無法確定底面邊長與側(cè)棱長是否相等，所以只可得正四棱錐的側(cè)面都是等腰三角形，而不一定是正三角形，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：因?yàn)闊o法確定側(cè)棱是否交于一點(diǎn)，故滿足條件的幾何體不一定是棱臺(tái)，故D錯(cuò)誤.故選：BCD.11.若向量滿足，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.C.若，則 D.〖答案〗ABD〖解析〗因?yàn)?，所以，解得，?dāng)時(shí)，，，A正確；當(dāng)時(shí)，，解得或，C錯(cuò)誤；易得，則，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，由，得，所以，B正確；易得，則，解得，D正確.故選：ABD.12.在四棱錐中，底面，，，，且二面角為60°，則（）A.B.二面角為60°C.三棱錐的外接球的表而積為D.三棱錐的內(nèi)切球的半徑為〖答案〗BCD〖解析〗由題意可知：是以邊長為2的等邊三角形，取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)槠矫?，且平面，所以，，，且，平面，可得平面，平面，則，所以二面角的平面角為，則，在中，由余弦定理可得：，即，則，即，對于選項(xiàng)A：因?yàn)椋?，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：因?yàn)椋?，平面，所以平面，且平面，可得，且，所以二面角的平面角為，又因?yàn)椋覟殇J角，則，所以二面角為60°，故B正確；對于選項(xiàng)C：設(shè)的中心為（即為外接圓圓心），則，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，半徑為，連接，則，且//，可得，所以三棱錐的外接球的表而積為，故C正確；對于選項(xiàng)D：因?yàn)槿忮F的體積，三棱錐的表面積：，所以三棱錐的內(nèi)切球的半徑，故D正確.故選：BCD.三、填空題；本大題共4小題，每小題5分，共20分.把〖答案〗填在答題卡中的橫線上.13.某7位小伙伴1分鐘的跳組個(gè)數(shù)（単位：個(gè)）分別為180，182，173，175，，178，176，已知這7位小伙伴1分鐘跳繩個(gè)數(shù)的平均數(shù)為178，則______．〖答案〗〖解析〗依題意，，解得.故〖答案〗為：.14.某“星艦”可近似地看作是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱的組合體，其直觀圖如圖所示，其中，分別是上、下底面圓的圓心，若米，米，底面圓的直徑為9米，則該“星艦”的表面積是______平方米．〖答案〗〖解析〗由題意可知：該“星艦”的表面分為三個(gè)部分：圓錐的側(cè)面、圓柱的側(cè)面和圓柱的底面圓，因?yàn)閳A錐的母線長米，則其側(cè)面積平方米，圓柱的高米，則其側(cè)面積平方米，底面圓的面積平方米，所以該“星艦”的表面積是平方米.故〖答案〗為：.15.長度為的線段兩個(gè)端點(diǎn)到平面的距離分別為和，且這兩個(gè)端點(diǎn)都在平面的同一側(cè)，則這條線段所在直線與平面所成角的正弦值為______．〖答案〗〖解析〗如圖所示，設(shè)線段兩個(gè)端點(diǎn)在平面的投影分別為，連接，則，在線段上取點(diǎn)，使得，連接，因?yàn)?/，，則為平行四邊形，可得//，，則線段所在直線與平面所成角的即為線段所在直線與平面所成角，所以這條線段所在直線與平面所成角的正弦值.故〖答案〗為：.16.《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑中，，，，，，分別為棱，上一點(diǎn)，則的最小值為______．〖答案〗〖解析〗由題意可知：，則，所以，將翻折至一個(gè)平面，過點(diǎn)A作，垂直為點(diǎn)，則的最小值為點(diǎn)A到邊的距離，因?yàn)椋?，即的最小值?故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量的夾角為，且，，．（1）求；（2）當(dāng)時(shí)，求的值．解：（1）由，得．（2）由題設(shè)得，則，解得．18.如圖，在底面是矩形的四棱錐中，平面平面，，且，分別是的中點(diǎn)．（1）證明：∥平面；（2）證明：平面．解：（1）連接，如圖所示：因?yàn)槭蔷匦?，是的中點(diǎn)，所以是的中點(diǎn)因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以∥，又平面，平面，所以∥平面．（2）因?yàn)?，且，所以所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫裕?，且平面，平面，所以平面?9.如圖，梯形是水平放置的四邊形的斜二測畫法的直觀圖，已知，，．（1）在下面給定的表格中畫出四邊形（不需寫作圖過程）；（2）若四邊形以所在直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個(gè)幾何體，說出該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，并求該幾何體的體積．解：（1）因?yàn)榕c軸重合，則與軸重合，且；與軸平行，則與軸平行，且；與軸重合，則與軸重合，且；連接，即可得四邊形.（2）如圖所示，所得幾何體的上半部分為圓錐，下半部分為圓柱截取一個(gè)圓錐，故體積為.20.已知正方體．（1）證明：平面面．（2）若正方體的棱長為4，平面α，當(dāng)平面α經(jīng)過BC的中點(diǎn)時(shí)，求平面α截正方體所得截面的周長．解：（1）在正方體中，AB⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以，在正方形中，，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．?）連接DC1，因?yàn)锳D⊥平面又平面，所以，在正方形中，，又，平面，所以平面，又平面，所以，由（1）知平面，平面，則，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫姒?，所以平面α∥平面，分別取BC，CD，，，，中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M，N，連接各點(diǎn)，則多邊形EF－GHMN即平面α截正方體所得的截面，又，所以平面α截正方體所得的截面的周長為．21.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求C；（2）若D為邊上一點(diǎn)，，且，求面積的最小值.解：（1）由余弦定理得，得，即，則，，.（2）在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，由題意得，因?yàn)椋?，得，得，即為的角平分線，由，得，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則的面積為，即面積的最小值為；綜上，，面積的最小值為.22.如圖，在斜三棱柱中，為的中點(diǎn)，為上靠近A的三等分點(diǎn)，為上靠近的三等分點(diǎn)．（1）證明：平面//平面．（2）若平面，，與平面的距離為，，，三棱錐的體積為，試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．（3）在（2）的條件下，當(dāng)為多少時(shí)，三棱錐的體積取得最大值？并求出最大值．解：（1）由題意可得：，//，則為平行四邊形，可得//，且平面，平面，所以//平面，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則//，又因?yàn)椋?/，則為平行四邊形，可得//，，且//，，則//，，可得為平行四邊形，則//，故//，且平面，平面，所以//平面，，平面，所以平面//平面.（2）因?yàn)槠矫?，平面，則，且//平面，則，可得，且//，則平面，平面，可得，且，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?/平面，則平面，平面，則，設(shè)，因?yàn)?/，則，即，所以三棱錐的體積為.（3）由（2）可知，當(dāng)，即時(shí)，取到最大值.河北省保定市曲陽縣2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是行合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可得：.故選：D.2.的內(nèi)角的對邊分別為，若，則（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗D〖解析〗由余弦定理得，得．故選：D.3.光明社區(qū)老年合唱隊(duì)中，60～70歲的有30人，71～75歲的有15人，76歲及以上的有10人．若用分層抽樣的方法抽取位老人參加某項(xiàng)活動(dòng)，已知從71～75歲的老人中抽取了3人，則的值為（）A.9 B.10 C.11 D.12〖答案〗C〖解析〗由題意可知：從71～75歲的老人中抽取的人數(shù)為，解得.故選：C.4.已知是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗C〖解析〗對于A，若，，則或，故A錯(cuò)誤；對于B，平行于同一平面的兩條直線可能平行，可能異面，也可能相交，故B錯(cuò)誤；對于C，若，則m垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，，故C正確；對于D，若，則與不一定垂直，故D錯(cuò)誤.故選：C.5.某公司用隨機(jī)數(shù)法從公司的500名員工中抽取了20人了解其對燒烤的喜歡程度．先將這500名員工按001，002，…，500進(jìn)行編號(hào)，然后從隨機(jī)數(shù)第3行第3列的數(shù)開始向右讀，則選出的第7個(gè)編號(hào)是（注：下面為隨機(jī)數(shù)的第3行和第4行）（）第3行：78166572080263198702436997280198第4行：32049243493582003623486969387481A.492 B.320 C.198 D.280〖答案〗B〖解析〗由隨機(jī)數(shù)法抽樣規(guī)則，從隨機(jī)數(shù)第3行第3列的數(shù)開始向右讀，依次選出的編號(hào)是：166，080，263，198，436，280，320，…，所以選出的第7個(gè)編號(hào)是320.故選：B.6.已知向量，，若與反向，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，，，所以，解得或，又與反向，則時(shí)，向量與同向，不合舍去，故，此時(shí)，，，則向量在向量上的投影向量為，.故選：D.7.在平行六面體中，底面是菱形，，與底面垂直，，分別在和上，且，，，，則異面直與所成角余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取DM中點(diǎn)K，連接、，因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，因?yàn)榈酌媸橇庑?，，，所以在中，利用余弦定理得，又，，在中，利用余弦定理得，所以異面直與所成角的余弦值為.故選：B.8.某六芒星項(xiàng)鏈如圖1所示，其平面圖如圖2所示，該六芒星由正和正組合而成，且，，，和的中心均為O，與的交點(diǎn)為G，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，連接，，設(shè)，的交點(diǎn)為H，，的交點(diǎn)為I，由于O是和的中心，所以O(shè)在上，H為的中點(diǎn)，因?yàn)镺為的重心，所以.由題意得，則，即，所以，得.故選：C.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（）AB.的虛部為C.為純虛數(shù)D.是方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根〖答案〗ABD〖解析〗因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以，故A正確；的虛部為，故B正確；不是純虛數(shù)，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以是方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，故D正確.故選：ABD.10.下列說法錯(cuò)誤的是（）A.過球心的截面是半徑等于球的半徑的圓面B.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱C.正四棱錐的側(cè)面都是正三角形D.有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)〖答案〗BCD〖解析〗對于選項(xiàng)A：根據(jù)球的性質(zhì)可知過球心的截面是半徑等于球的半徑的圓面，故A正確；對于選項(xiàng)B：滿足有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體可能時(shí)兩個(gè)棱柱拼接而成，如圖所示，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：正四棱錐的底面為正方形，側(cè)棱長相等，但無法確定底面邊長與側(cè)棱長是否相等，所以只可得正四棱錐的側(cè)面都是等腰三角形，而不一定是正三角形，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：因?yàn)闊o法確定側(cè)棱是否交于一點(diǎn)，故滿足條件的幾何體不一定是棱臺(tái)，故D錯(cuò)誤.故選：BCD.11.若向量滿足，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.C.若，則 D.〖答案〗ABD〖解析〗因?yàn)?，所以，解得，?dāng)時(shí)，，，A正確；當(dāng)時(shí)，，解得或，C錯(cuò)誤；易得，則，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，由，得，所以，B正確；易得，則，解得，D正確.故選：ABD.12.在四棱錐中，底面，，，，且二面角為60°，則（）A.B.二面角為60°C.三棱錐的外接球的表而積為D.三棱錐的內(nèi)切球的半徑為〖答案〗BCD〖解析〗由題意可知：是以邊長為2的等邊三角形，取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)槠矫?，且平面，所以，，，且，平面，可得平面，平面，則，所以二面角的平面角為，則，在中，由余弦定理可得：，即，則，即，對于選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：因?yàn)?，，平面，所以平面，且平面，可得，且，所以二面角的平面角為，又因?yàn)椋覟殇J角，則，所以二面角為60°，故B正確；對于選項(xiàng)C：設(shè)的中心為（即為外接圓圓心），則，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，半徑為，連接，則，且//，可得，所以三棱錐的外接球的表而積為，故C正確；對于選項(xiàng)D：因?yàn)槿忮F的體積，三棱錐的表面積：，所以三棱錐的內(nèi)切球的半徑，故D正確.故選：BCD.三、填空題；本大題共4小題，每小題5分，共20分.把〖答案〗填在答題卡中的橫線上.13.某7位小伙伴1分鐘的跳組個(gè)數(shù)（単位：個(gè)）分別為180，182，173，175，，178，176，已知這7位小伙伴1分鐘跳繩個(gè)數(shù)的平均數(shù)為178，則______．〖答案〗〖解析〗依題意，，解得.故〖答案〗為：.14.某“星艦”可近似地看作是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱的組合體，其直觀圖如圖所示，其中，分別是上、下底面圓的圓心，若米，米，底面圓的直徑為9米，則該“星艦”的表面積是______平方米．〖答案〗〖解析〗由題意可知：該“星艦”的表面分為三個(gè)部分：圓錐的側(cè)面、圓柱的側(cè)面和圓柱的底面圓，因?yàn)閳A錐的母線長米，則其側(cè)面積平方米，圓柱的高米，則其側(cè)面積平方米，底面圓的面積平方米，所以該“星艦”的表面積是平方米.故〖答案〗為：.15.長度為的線段兩個(gè)端點(diǎn)到平面的距離分別為和，且這兩個(gè)端點(diǎn)都在平面的同一側(cè)，則這條線段所在直線與平面所成角的正弦值為______．〖答案〗〖解析〗如圖所示，設(shè)線段兩個(gè)端點(diǎn)在平面的投影分別為，連接，則，在線段上取點(diǎn)，使得，連接，因?yàn)?/，，則為平行四邊形，可得//，，則線段所在直線與平面所成角的即為線段所在直線與平面所成角，所以這條線段所在直線與平面所成角的正弦值.故〖答案〗為：.16.《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑中，，，，，，分別為棱，上一點(diǎn)，則的最小值為______．〖答案〗〖解析〗由題意可知：，則，所以，將翻折至一個(gè)平面，過點(diǎn)A作，垂直為點(diǎn)，則的最小值為點(diǎn)A到邊的距離，因?yàn)椋?，即的最小值?故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量的夾角為，且，，．（1）求；（2）當(dāng)時(shí)，求的值．解：（1）由，得．（2）由題設(shè)得，則，解得．18.如圖，在底面是矩形的四棱錐中，平面平面，，且，分別是的中點(diǎn)．（1）證明：∥平面；（2）證明：平面．解：（1）連接，如圖所示：因?yàn)槭蔷匦?，是的中點(diǎn)，所以是的中點(diǎn)因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以∥，又平面，平面，所以∥平面．（2）因?yàn)?，且，所以所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，且平面，平面，所以平面?9.如圖，梯形是水平放置的四邊形的斜二測畫法的直觀圖，已知，，．（1）在下面給定的表格中畫出四邊形（不需寫作圖過程）；（2）若四邊形以所在直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個(gè)幾何體，說出該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，并求該幾何體的體積．解：（1）因?yàn)榕c軸重合，則與軸重合，且；與軸平行，則與軸平行，且