圓錐曲線的最值(范圍)問題專題復習

專題7圓錐曲線的最值（范圍）問題專題復習關于圓錐曲線最值（范圍）問題處理常見有兩種方法：①利用圓錐曲線的定義和幾何關系解決；②利用基本不等式或函數(shù)最值問題解決。方法1、利用定義法和幾何關系求最值解題技巧:遇見橢圓和雙曲線中的最值問題常把到左焦點的距離轉化為右焦點，反之也可以；遇見拋物線中的最值常把到焦點的距離轉化為到準線的距離，反之也可以。經典例題：例1.（2020年廣東省深圳四校聯(lián)考）希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內到兩個定點a，b的距離之比為定值丸a，1）的點的軌跡是圓”后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系》。歹中，A（-2,1），B（-2,4），點P是滿足x=1的阿氏圓上的任一點，則該阿氏圓的方程為；若點Q為拋物線E：歹2=4x上的動點，Q 1.在直線k-1上的射影為凡則-|pB+|pQ+Q）H\的最小值為.x2y2例2、（2020年成都市外國語實驗學校高三二診模擬12題）已知點P在離心率為2的雙曲線一-4二1的a2b2左支上，A（0,4<3），F(xiàn)是雙曲線的右焦點，若APAF周長的最小值是20，則此時NPAF的面積為（ ）一點，則|PA|+|PBB.10c3 C一點，則|PA|+|PB例3、（2021江蘇高三期中）已知橢圓上十￡;1內有兩點Ad，3），B（3，0），P為橢圓2516的最大值為 例4.（2018年成都市高三模擬16題）已知F是雙曲線C：=-4y2=1（a>0）的右頂點到其一條漸近線a2V3的距離等于24，拋物線E:y2=2px（p>0）焦點與雙曲線C的右焦點重合，則拋物線上的動點M到直線:l:4x-3y+6=0,l:x=-1的距離之和的最小值為.2

方法2、利用均值不等式或函數(shù)最值求最值（范圍）方法技巧:合理引入變量（長度，角度，斜率等）根據(jù)已知條件建立函數(shù)關系求最值（范圍）或利用均值不等式求最值（范圍）。例1.（2017新課標112題）已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線/,l,12直線l與C交于A、B兩點，直線l與C交于D、E兩點，則IAB1+IDEI的最小值為12TOC\o"1-5"\h\zA．16B．14C．12 D．10例2、（山東省日照市2019屆高三三模）在等腰梯形ABCD中，AB\\CD且|AB\=2,|AD|=1,|CD|=2x，其中x￡（0,1），以A,B為焦點且過點D的雙曲線的離心率為e，以C,D為焦點且過點A的橢圓的離心1率為e，若對任意x￡（0,1），不等式t<e+e恒成立，貝I"的最大值為（ ）12A.<3 B.<5 C.2D.22例3、已知橢圓C:北+2=l{aA>b>0）與雙曲線C:二-y2=I（a。>0,b>0）有相同的焦點F,F,1a2b2 1 1 2a2b2 2 2 1 211 22點P是曲線C與C的一個公共點，e,e分別是C和C的離心率，若PF±PF，則4e2+e2的最小值JL 乙 JL 乙 JL 乙 JL 乙 JL 乙為（）95A.- B.4 C.- D.922例4.（2018年衡水中學12題）已知過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F的直線與拋物線交于A,B兩點,且第=3FB,拋物線的準線l與x軸交于C,AA111于點A1,且四邊形AACF的面積為6出,過K（-1,0）的直線l，交拋物線于M,N兩點，且攻二九就G￡（1,2D,點G為線段MN的垂直平分線與x軸的交點，則點G的橫坐標x0的取值范圍為（D.例5,例5,（2019成都七中二診模擬12題）已知過點尸（0,2）的直線l與橢圓7+y2=1交于兩個不同的點A(x1，A(x1，y1)、B(x2,y2),記入二PAPB入2+1則的取值范圍是（A. (2, +8) B. (2, 10)C. (2, 4) D. (2, 10]33兀例6.已知Fi，q是橢圓和雙曲線的公共焦點,P是它們的一個公共點,且/勺PF2="則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為方法3、其他類型技巧方法：利用題中的代數(shù)和幾何關系（如角度、向量、斜率等）或判別式等，建立不等式構建最值或范圍。x2y2例1、（2017新課標1卷12題）設A，B是橢圓C:y+m=1長軸的兩個端點，若C上存在點M滿足a.(ojLh+8)b,(0,曲]u[9ZAMB=a.(ojLh+8)b,(0,曲]u[9；+8)c.(0,l]uh+8)d.Q,志]u[4,+8)例2.（2018例2.（2018衡水中學12題）已知雙曲線C:x2-方=I（b>0）的左、右焦點分別為F,F,點P是雙曲線b212C上的任意一點，過點P作雙曲線C的兩條漸近線的平行線，分別與兩條漸近線交于A,B兩點，若四邊形PAOB（O為坐標原點）的面積為姬，且P『尸2>。，則點P的橫坐標的取值范圍為（）A．-8,-平V 7）U［亍，十二B．()V-亍，亍7C.U

7VA．-8,-平V 7）U［亍，十二B．()V-亍，亍7C.U

7V,+8)D．(2折2折)—-3-,^^V7例3.（2020年綿陽市南山中學高三二診模擬12題）已知點A（-3,-是拋物線C：y2=2px(p>0)準線上的一點，點F是C的焦點，點P在C上且滿足|PF|=叫PA，當m取最小值時，點P恰好在以原點為中心，F(xiàn)為焦點的雙曲線上，則該雙曲線的離心率為332例4.（2020?全國高三月考）已知拋物線y=4x2的焦點F，直線l過點F且與拋物線相交于M,N兩點，M，N兩點在y軸上的投影分別為C,。，若IC。1<8<3，則直線l斜率的最大值是（ ）B.2C.3例5.（2020?全國高三專題練習）一個工業(yè)凹槽的軸截面是雙曲線的一部分，它的方程是y2-x2=1,yell,101在凹槽內放入一個清潔鋼球（規(guī)則的球體），要求清潔鋼球能擦凈凹槽的最底部，則清潔鋼球的最大半徑為（ ）則清潔鋼球的最大半徑為（ ）A．1 B．2 C．3 D．2.5例6.（2020?四川成都市?樹德中學高三月考）已知圓C：（x+3）2+（y—4）2=4和兩點4—m,0）,B（m,0）.若圓C上存在點P，使得乙APB=90。，則m的最大值為（）A.8 B.7 C.6 D.5同步練習1.（2020年河北省高三模擬10題）唐代詩人李顧的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河。”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題一“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在區(qū)域為X2+y2<1，若將軍從點A（3,0）處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+y=4，并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A.v17-1 B,乖八2 C,<17 D,3-%'2x2y22、（2019年衡水中學高三模擬）已知雙曲線--J=1（〃>b>0）的右焦點為F,虛軸的上端點為B，Pa2b2為左支上的一個動點，若△PBF周長的最小值等于實軸長的3倍，則該雙曲線的離心率為（ ）A.巫A.巫<10223、（2019年湖南省郴州市檢測12題）已知橢圓M:三+號=1（〃>b>0）的左、右焦點分別為F、F,〃2b2 1 2點A是橢圓M與圓C:x2+（y-2<2b）=4m2在第一象限的交點，且點A到F的距離等于1m.若橢9 2 3圓M上一動點到點F與到點C的距離之差的最大值為2〃-m,則橢圓M的離心率為

A．B．C．D．A．B．C．D．4、已知點R（0,2）,曲線C:y4=（px>2（p>0）,直線y=m（m〉0且m中2）與曲線C交于M,N兩點，若△RMN周長的最小值為2,則p的值為（）A.8 B.6C.4 D.2A.8 B.6C.4 D.2PF則謁的取值范圍是（A．0,B．0,VJSiPF則謁的取值范圍是（A．0,B．0,VJSiD．8、（2014年新課標16題）設點M（xo,1）,若在圓°：X2+y2=1上存在點N,使得/OMN=45。,5.（2018年成都市高三診斷改編）已知瓦,外是橢圓和雙曲線的公共焦點，尸是它們的一個公共點，且上月9二g,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（）TOC\o"1-5"\h\zA」百 R2百 r5 D2A? D? U?1' U.r￡|\o"CurrentDocument"3 36、（2016年四川省涼山州高三二診12題）已知F,F是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共12, 兀點，且/FPF=-，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（）123A.433 B.233 C4<3 D.2<3小2019屆重慶市第一中學月考12題）已知尸2是雙曲線E：x2-二1的右焦點,過點F2的直線交E的右支于不同兩點a,B，過點F且垂直于直線AB的直線交y軸于點P,2則x0的取值范圍是9.已知橢圓9.已知橢圓C：02+^2=1(a>b>0)和圓C：X2+y2=b2,M是橢圓C上一動點，過M向圓作的兩條切線MA,MB，切點為A,B.若存在點M使NAMB=3,則橢圓C的離心率e的取值范圍是（）A(0,守A(0,守B.CI芋1D.129設/4是橢圓高*=1上長軸的兩個端點，若橢圓上恒存在一點P，使得tanNApA=-2<612則橢圓離心率的取值范圍是（）.(B)0,9V「.3}?則橢圓離心率的取值范圍是（）.(B)0,9V「.3}?4-，1_(D)9’1,/10.已知橢圓C：021Ma>b>0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若橢圓C上恰好有6個不同的點P，使得P，使得^FF2P為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）.A.V123,3A.V123,32，1C13,1D.V11\3,2lU-,111、在直角坐標系xOy中，F(xiàn)、F分別是雙曲線C:x2—y2=1（a>0,b>0）的左、右焦點，點P（x,y）12 a2b2 00是雙曲線右支上的一點，,若點P的橫坐標取值范圍是是雙曲線右支上的一點，,若點P的橫坐標取值范圍是x0￡1a，7aV4 -,則雙曲線C的離心率取值范圍為（A.B.C.A.B.C.(4a-v2)7，2VD.V4非572)

一，一V )12、阿波羅尼斯是古希臘數(shù)學家，他與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山人時期的“數(shù)學三巨匠”，以他名字命名的阿波羅尼斯圓是指平面內到兩定點距離比值為定值九（九,0,九。1）的動點的軌跡.已知在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且sinA=2sinB,acosB+bcosA=2，則AABC面積的最大值為（）A.最大值為（）A.v'2 B.<-4C.-D.x2y2直線x=2與雙曲線二--二1的漸近線交于A,B兩點，設P為雙曲線上任意一點，若169OP=aOA+bOB（a,b￡R,O為坐標原點），則下列不等式恒成立的是（ ）A.|ab|=2 B,a2+b2>4 C.|a-b|>2 D.|a+b|>2(2020?廣東高三月考)已知圓C:(x—3>+(y—2V2)=1和焦點為F的拋物線C:y2=8x,N是C1 2 1上一點，M是C上，當點M在M時，|MF|+|MN|取得最小值，當點M在M”時，|MFHMV|取得2

最大值，則M1M2|二A.2<2 B.3<2 C4<2 D.<17（2020?全國高二課時練習）已知橢圓的方程為上+W=1（〃>1）,上頂點為A，左頂點為B，設P為a2，點。為橢圓上任意一點,橢圓上一點，則史AB面積的最大值為22+1.若已知M13,0）NQ，點。為橢圓上任意一點,14TOC\o"1-5"\h\z則QN\+QMi\的最小值為（ ）9A.2 B.3+2”2 C.3 D.4（2020?遼寧撫順市?高三二模（理））已知雙曲線C：x2—y2=1（〃>0,b>0）的虛軸的一個頂點為a2b2N（0,1），左頂點為M，雙曲線C的左、右焦點分別為F,F，點P為線段MN上的動點，當麗?斤12 12取得最小值和最大值時，△PFF的面積分別為S「S,若S=2S則雙曲線C的離心率為（ ）.12 1 2 2 1v12v122& C.2J3 D.2<5（2020?四川瀘州市.瀘縣五中高三月考）已知拋物線C1：y2=8x,圓C2:（x-2）2+y2=1,若點P，Q|PM|分別在C，C上運動，且設點M（4,0）,貝I」 的最小值為（ ）2 |PQ|35453545C.4D.-418、已知點M在圓（x-6）2+（y-4）2=1上，點p在橢圓25+H=1上，F(xiàn)（—3,0），則PMHPF的最小值為 .19、已知雙曲線C：x2-y2=1（a>0,b>0）的左、右焦點分別為F、