人教A版高中數(shù)學(xué)必修5第3章《 不等式》全部教案+同步單元測(cè)試卷

3.1不等關(guān)系與不等式

3.1.1不等關(guān)系與不等式（一）

從容說(shuō)課

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)讓學(xué)生從一系列的具體問(wèn)題情境中感受到在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中

存在著大量的不等關(guān)系，并充分認(rèn)識(shí)不等關(guān)系的存在與應(yīng)用，這是學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ)，也是不

等關(guān)系在本章內(nèi)容的地位與作用.對(duì)不等關(guān)系的相關(guān)素材，用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納、抽

象，完成量與量的比較的過(guò)程，即能用不等式及不等式組把這些不等關(guān)系表示出來(lái)，也就是

建立不等式數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，這是學(xué)習(xí)本章第三節(jié)的基礎(chǔ).在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中還安排了

一些簡(jiǎn)單的學(xué)生易于處理的問(wèn)題，用意在于讓學(xué)生注意對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的應(yīng)用，同時(shí)也能

激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望，這也是學(xué)生學(xué)習(xí)本章

的情感基礎(chǔ).

根據(jù)本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用觀察、抽象歸納、思考、交流、探究，得出數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行

啟發(fā)式教學(xué)并使用投影儀輔助.

教學(xué)重點(diǎn)1.通過(guò)具體的問(wèn)題情景，讓學(xué)生體會(huì)不等量關(guān)系存在的普遍性及研究的必要性；

2.用不等式或不等式組表示實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系，并用不等式或不等式組研究含有簡(jiǎn)單的

不等關(guān)系的問(wèn)題；

3.理解不等式或不等式組對(duì)于刻畫不等關(guān)系的意義和價(jià)值.

教學(xué)難點(diǎn)1.用不等式或不等式組準(zhǔn)確地表示不等關(guān)系：

2.用不等式或不等式組解決簡(jiǎn)單的含有不等關(guān)系的實(shí)際問(wèn)題.

教具準(zhǔn)備投影儀、膠片、三角板、刻度尺

三維目標(biāo)

一、知識(shí)與技能

1.通過(guò)具體情境建立不等觀念，并能用不等式或不等式組表示不等關(guān)系；

2.了解不等式或不等式組的實(shí)際背景；

3.能用不等式或不等式組解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

二、過(guò)程與方法

1.采用探究法，按照閱讀、思考、交流、分析，抽象歸納出數(shù)學(xué)模型，從具體到抽象再

從抽象到具體的方法進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)：

2.教師提供問(wèn)題、素材，并及時(shí)點(diǎn)撥，發(fā)揮老師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用；

3.設(shè)計(jì)較典型的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性.

三、情感態(tài)度與價(jià)值觀

1.通過(guò)具體情境，讓學(xué)生去感受、體驗(yàn)現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等量關(guān)系,

鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納、抽象，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)、走進(jìn)數(shù)學(xué)、改變學(xué)生的數(shù)學(xué)

學(xué)習(xí)態(tài)度；

2.學(xué)習(xí)過(guò)程中，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的探究思考、廣泛參與，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，主動(dòng)、

積極的學(xué)習(xí)品質(zhì)，從而提高學(xué)習(xí)質(zhì)量：

3.通過(guò)對(duì)富有實(shí)際意義問(wèn)題的解決，激發(fā)學(xué)生頑強(qiáng)的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度，

同時(shí)去感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，體會(huì)數(shù)學(xué)的奧秘與數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

教學(xué)過(guò)程

導(dǎo)入新課

師日常生活中,同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了哪些數(shù)量關(guān)系.你能舉出一些例子嗎？

生實(shí)例1：某天的天氣預(yù)報(bào)報(bào)道，最高氣溫32℃,最低氣溫26℃.

生實(shí)例2：對(duì)于數(shù)軸上任意不同的兩點(diǎn)A、B,若點(diǎn)4在點(diǎn)8的左邊，則oVx6.

（老師協(xié)助畫出數(shù)軸草圖）AB

生實(shí)例3:若一個(gè)數(shù)是非負(fù)數(shù)，則這個(gè)數(shù)大于或等于零.

實(shí)例4:兩點(diǎn)之間線段最短.

實(shí)例5:三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.

（學(xué)生迫不及待地說(shuō)出這么多，說(shuō)明課前的預(yù)習(xí)量很充分，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣濃，此時(shí)老師應(yīng)給以

充分的肯定和表?yè)P(yáng)）

推進(jìn)新課

師同學(xué)們所舉的這些例子聯(lián)系了現(xiàn)實(shí)生活，又考慮到數(shù)學(xué)上常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系，非常好.而且大

家已經(jīng)考慮到本節(jié)課的標(biāo)題不等關(guān)系與不等式，所舉的實(shí)例都是反映不等量關(guān)系，這將喑示我

們這節(jié)課的效果將非常好.

（此時(shí)，老師用投影儀給出課本上的兩個(gè)實(shí)例）

實(shí)例6:限時(shí)40km/h的路標(biāo)，指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí)，應(yīng)使汽車的速度v不超過(guò)

40km/h.

實(shí)例7:某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%,蛋白質(zhì)的含量p

應(yīng)不少于2.3%.

［過(guò)程引導(dǎo)］

師能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)當(dāng)然很好,這說(shuō)明同學(xué)們已經(jīng)走進(jìn)了數(shù)學(xué)這門學(xué)科，但作為我們研究

數(shù)學(xué)的人來(lái)說(shuō)，能用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)、進(jìn)行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的

比較過(guò)程，這是我們每個(gè)研究數(shù)學(xué)的人來(lái)說(shuō)必須要做的，那么，我們可以用我們所研究過(guò)的什

么知識(shí)來(lái)表示這些不等關(guān)系呢？

生可以用不等式或不等式組來(lái)表示.

師什么是不等式呢？

生用不等號(hào)將兩個(gè)解析式連結(jié)起來(lái)所成的式子叫不等式.

（老師給出一組不等式-7V-5；3+4>1+4；2爛6；左0;3日目的是讓同學(xué)們回憶不等式的

一些基本形式，并說(shuō)明不等號(hào)W，豆”的含義，是或的關(guān)系.回憶了不等式的概念，不等式組

學(xué)生自然而然就清楚了）

師能用不等式及不等式組把這些不等關(guān)系表示出來(lái)，也就是建立不等式數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，

通過(guò)對(duì)不等式數(shù)學(xué)模型的研究，反過(guò)來(lái)作用于我們的現(xiàn)實(shí)生活，這才是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終

目的.

（此時(shí)，同學(xué)們已經(jīng)迫不及待地想說(shuō)出自己的觀點(diǎn).）

［合作探究］

生我們應(yīng)該先像實(shí)例2那樣用不等式或不等式組把上述實(shí)例中的不等量關(guān)系表示出來(lái).

師說(shuō)得非常好，下面我們就把上述實(shí)例中的不等量關(guān)系用不等式或不等式組一一表示出來(lái).

那應(yīng)該怎么樣來(lái)表示呢？

（學(xué)生輪流回答，老師將答案相應(yīng)地寫在實(shí)例后面）

生上述實(shí)例中的不等量關(guān)系用不等式表示應(yīng)該為32℃<t<26℃.

生可以表示為x>0.

（此時(shí)，學(xué)生有疑問(wèn)，老師及時(shí)點(diǎn)撥，可以畫出圖形.讓學(xué)生板演）

（老師順便畫出三角形草畫）

生\AC\+\BC\>\AB\

（只需結(jié)合上述三角形草圖）.

生\AB\+\BC\>\AC\,\AC\+\BC\>\AB\,\AB\+\AC\>\BC\.

生L4BI-IBCKL4CKLACI-lfiCKIAfikL4BWCI<I8CI.交換被減數(shù)與堿數(shù)的位置也可以.

生如果用v表示速度，則vW40km/h.

生22.5%或歸2.3%.

（此時(shí)，一片安靜,同學(xué)們?cè)诜e極思考）

生這樣表達(dá)是錯(cuò)誤的,因?yàn)閮蓚€(gè)不等量關(guān)系要同時(shí)滿足，所以應(yīng)該用不等式組來(lái)表示此實(shí)際

問(wèn)題中的不等量關(guān)系，即可以表示為J''2，%'

”2.3%.

生也可表示為e2.5%且p>2.3%.

師同學(xué)們看這兩位同學(xué)的觀點(diǎn)是否正確？

生（齊答）大家齊聲說(shuō)，都可以.

師同學(xué)們的思考很嚴(yán)密，很好!應(yīng)該用不等式組來(lái)表示此實(shí)際問(wèn)題中的不等量關(guān)系，也可以

用“且”的形式來(lái)表達(dá).

課堂練習(xí)

教科書第83頁(yè)練習(xí)1、2.

（老師讓學(xué)生輪流回答，學(xué)生回答很好.此時(shí)，同學(xué)們已真正進(jìn)入了本節(jié)課的學(xué)習(xí)狀態(tài),

老師再用投影儀給出課本上的三個(gè)問(wèn)題.問(wèn)題是數(shù)學(xué)研究的核心，以問(wèn)題展示的形式來(lái)培養(yǎng)

學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)與探究意識(shí)）

【問(wèn)題1］設(shè)點(diǎn)A與平面a的距離為d,B為平面a上的任意一點(diǎn).

［活動(dòng)與探究］

師請(qǐng)同學(xué)們用不等式或不等式組來(lái)表示出此問(wèn)題中的不等量關(guān)系.

（此時(shí)，教室一片安靜，同學(xué)們?cè)诜e極思考，時(shí)間較長(zhǎng),老師應(yīng)該及時(shí)點(diǎn)撥）

［方法引導(dǎo)1

師前面我們借助圖形來(lái)表示不等量關(guān)系,這個(gè)問(wèn)題是否可以？

（可以讓學(xué)生板演，結(jié)合三角形草圖來(lái)表達(dá)）過(guò)點(diǎn)A作AC_L平面a于點(diǎn)C,則d=L4C0481.

師這位同學(xué)做得很好，我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題時(shí)應(yīng)該貫穿數(shù)形結(jié)合的思想，以形助數(shù)，以數(shù)解形.

師請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)來(lái)處理問(wèn)題2.

［合作探究］

【問(wèn)題2］某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷售，可以售出8萬(wàn)本.據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若單價(jià)每提高

0.1元，銷售量就可能相應(yīng)減少2000本.若把提價(jià)后雜志的定價(jià)設(shè)為x元,怎樣用不等式表示銷

售的總收入仍不低于20萬(wàn)元呢？

生可設(shè)雜志的定價(jià)為x兀，則銷售量就減少±r-2±5x0.2萬(wàn)本.

0.1

師那么銷售量變?yōu)槎嗌倌兀咳绾伪硎荆?/p>

生可以表示為（8--萬(wàn)產(chǎn)'0.2）萬(wàn)本，則總收入為（8-土丁產(chǎn)x0.2）x萬(wàn)元.

X-25

（老師板書，即銷售的總收入為不低于20萬(wàn)元的不等式表示為（8--而，XO.2）XN2O）

師是否有同學(xué)還有其他的解題思路？

生可設(shè)雜志的單價(jià)提高了O.ln元，（n《N*）,

（下面有討論的聲音，有的同學(xué)存在疑問(wèn)，此時(shí)老師應(yīng)密切關(guān)注學(xué)生的思維狀況）

師為什么可以這樣設(shè)？

生我只考慮單價(jià)的增量.

師很好，請(qǐng)繼續(xù)講.

生那么銷售量減少了0.2n萬(wàn)本，單價(jià)為（2.5+O.ln）元，則也可得銷售的總收入為不低于20

萬(wàn)元的不等式,表示為（2.5+0.1n）（8示為Q20.

師這位同學(xué)回答得很好，表述得很準(zhǔn)確.請(qǐng)同學(xué)們對(duì)兩種解法作比較.

（留下讓學(xué)生思考的時(shí)間）

師請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)思考第三個(gè)問(wèn)題.

［合作探究］

【問(wèn)題3】某鋼鐵廠要把長(zhǎng)度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種，按照生產(chǎn)的

要求,600mm鋼管的數(shù)量不能超過(guò)500mm鋼管的3倍.怎樣寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不

等式？

師假設(shè)截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根.根據(jù)題意，應(yīng)當(dāng)有什么樣的不

等量關(guān)系呢？

生截得兩種鋼管的總長(zhǎng)度不能超過(guò)4000mm.

生截得600mm鋼管的數(shù)量不能超過(guò)500mm鋼管的3倍.

生截得兩種鋼管的數(shù)量都不能為負(fù).

師上述的三個(gè)不等關(guān)系是“或”還是“且”的關(guān)系呢？

生它們要同時(shí)滿足條件，應(yīng)該是且的關(guān)系.

生由實(shí)際問(wèn)題的意義，還應(yīng)有x,ydN.

師這位同學(xué)回答得很好，思維很嚴(yán)密.那么我們?cè)撚迷鯓拥牟坏仁浇M來(lái)表示此問(wèn)題中的不等

關(guān)系呢？

生要同時(shí)滿足上述三個(gè)不等關(guān)系，可以用下面的不等式組來(lái)表示：

500x+600y<40000,

3x>y,

<x>0,

y>0,

x,yeN.

師這位同學(xué)回答很準(zhǔn)確.通過(guò)上述三個(gè)問(wèn)題的探究，同學(xué)們對(duì)如何用不等式或不等組把實(shí)際

問(wèn)題中所隱含的不等量關(guān)系表示出來(lái)，這一點(diǎn)掌握得很好.請(qǐng)同學(xué)們?cè)偻瓿上旅孢@個(gè)練

習(xí).

課堂練習(xí)

練習(xí)：若需在長(zhǎng)為4000mm的圓鋼上，截出長(zhǎng)為698mm和518mm兩種毛坯，問(wèn)怎

樣寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式組？

分析：設(shè)截出長(zhǎng)為698mm的毛坯x個(gè)和截出長(zhǎng)為518mm的毛坯y個(gè)，把截取條件數(shù)

學(xué)化地表示出來(lái)就是：

'698x+518y<4000,

x>Q,

'y>0,

x,yeN.

（練習(xí)可讓學(xué)生板演，老師結(jié)合學(xué)生具體完成情況作評(píng)析，特別應(yīng)注意x>O,y>O,x,yeN）

課堂小結(jié)

師通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了什么知識(shí)，有何體會(huì)？

生我感到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以幫助我們解決生活中的實(shí)際問(wèn)題.

生數(shù)學(xué)就在我們的身邊，與我們的生活聯(lián)系非常緊密，我更加喜愛(ài)數(shù)學(xué)了.

生本節(jié)課我們還進(jìn)一步鞏固了初中所學(xué)的二元一次不等式及二元一次不等式組，并且用它

來(lái)解決現(xiàn)實(shí)生活中存在的大量不等量關(guān)系的實(shí)際問(wèn)題.

師我來(lái)補(bǔ)充一下,在用二元一次不等式及二元一次不等式組表示實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系時(shí),

思維要嚴(yán)密、規(guī)范，并且要注意數(shù)形結(jié)合等思想方法的綜合應(yīng)用.

《慢慢培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)自己來(lái)歸納總結(jié)，將所學(xué)的知識(shí)，結(jié)合獲取知識(shí)的過(guò)程與方法，進(jìn)行回

顧與反思，從而達(dá)到三維目標(biāo)的整合.進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的概括能力和語(yǔ)言表達(dá)能力）

布置作業(yè)

第84頁(yè)習(xí)題3.L4組4、5.

板書設(shè)計(jì)

不等關(guān)系與不等式（一）

實(shí)例方法引導(dǎo)方法歸納

如何用不等式或不等式組表示實(shí)例剖析（知識(shí)方法應(yīng)用）小結(jié)

實(shí)際問(wèn)題中不等量關(guān)系？示范解題

備課資料

一、備用習(xí)題

1.一個(gè)化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，生產(chǎn)1車皮甲種肥料需要的主要原料是磷酸鹽4噸、

硝酸鹽18噸；生產(chǎn)1車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1噸、硝酸鹽15噸.現(xiàn)有庫(kù)存

磷酸鹽10噸、硝酸鹽66噸，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行生產(chǎn).請(qǐng)用不等式或不等式組把此實(shí)例中的不

等量關(guān)系表示出來(lái).

4x+y<10,

18x+15y<66,

分析：設(shè)x,y分別為計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料的車皮數(shù)，貝卜

x>0,

y>0.

2.某年夏天，我國(guó)遭受特大洪災(zāi)，災(zāi)區(qū)學(xué)生小李家中經(jīng)濟(jì)發(fā)生困難.為幫助小李解決開(kāi)學(xué)費(fèi)用

問(wèn)題，小李所在班級(jí)學(xué)生（小李除外）決定承擔(dān)這筆費(fèi)用.若每人承擔(dān)12元人民幣，則多余

84元；若每人承擔(dān)10元，則不夠；若每人承擔(dān)II元，又多出40元以上.問(wèn)該班共有多少人？

這筆開(kāi)學(xué)費(fèi)用共多少元？請(qǐng)用不等式或不等式組把此實(shí)例中的不等量關(guān)系表示出來(lái)，不必解

12x-y=84,

10xVy,

分析：設(shè)該班共有X人，這筆開(kāi)學(xué)費(fèi)用共y元，貝叫

llx—y=40,

XGN*.

3.制定投資計(jì)劃時(shí)，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損.某投資人打算

投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目.根據(jù)預(yù)測(cè)，甲、乙項(xiàng)目可能的最大虧損分別為30%和10%.投資人計(jì)劃

投資金額不超過(guò)10萬(wàn)元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過(guò)1.8萬(wàn)元.請(qǐng)用不等式或不等式組

把此實(shí)例中的不等量關(guān)系表示出來(lái).

分析：設(shè)投資人分別用x萬(wàn)元、y萬(wàn)元投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，

x+y<10,

0.3x+0.1y<1.8,

由題意，知4

x>0,

y>0.

4.某企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，A產(chǎn)品的單位利潤(rùn)為60元，B產(chǎn)品的單位利潤(rùn)為80元，兩

種產(chǎn)品都需要在加工車間和裝配車間進(jìn)行生產(chǎn)，每件A產(chǎn)品在加工車間和裝配車間各需經(jīng)

過(guò)0.8h和2.4h,每件B產(chǎn)品在兩個(gè)車間都需經(jīng)過(guò)1.6h,在一定時(shí)期中，加工車間最大加

工時(shí)間為240h,裝配車間最大生產(chǎn)時(shí)間為288h.請(qǐng)用不等式或不等式組把此實(shí)例中的不等

量關(guān)系表示出來(lái).

0.8x+1.6y<240,

2.4x+1.6y<288,

分析：設(shè)該企業(yè)分別生產(chǎn)A產(chǎn)品x件、B產(chǎn)品y件，則，

>0

x,y&Z.

二、課外探究

開(kāi)放性問(wèn)題

x+y>50,

x+y=100,

已知：不等式組《x>l,你能舉出符合此不等式組的實(shí)際問(wèn)題嗎？

9，

x,ywN,

3.1.2不等關(guān)系與不等式（二）

從容說(shuō)課

本節(jié)課的研究是對(duì)初中不等式學(xué)習(xí)的延續(xù)和拓展，也是實(shí)數(shù)理論的進(jìn)一步發(fā)展.為了利

用不等式更好地研究不等關(guān)系，也能夠讓學(xué)生在以后的解不等式以及對(duì)不等式的證明奠定一

定的理論基礎(chǔ).在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中將讓學(xué)生回憶實(shí)數(shù)的基本理論，并能用實(shí)數(shù)的基本理

論來(lái)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小.了解不等式的一些基本性質(zhì)并能給出嚴(yán)格的理論證明，能用不

等式的基本性質(zhì)進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的不等式證明，進(jìn)而更深一層次地從理性角度建立不等觀念.

這是學(xué)習(xí)本節(jié)課的目的也是本節(jié)課的內(nèi)容安排在本章的地位與作用.對(duì)實(shí)數(shù)基本理論的復(fù)

習(xí)，教師應(yīng)作好點(diǎn)撥，利用數(shù)軸數(shù)形結(jié)合，做好歸納總結(jié).對(duì)不等式的基本性質(zhì)，教師應(yīng)指

導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)與等式的基本性質(zhì)作類比、歸納、邏輯分析，并鼓勵(lì)學(xué)生從理性角度去分

析量與量的比較的過(guò)程，進(jìn)而能利用不等式的基本性質(zhì)來(lái)證明一些簡(jiǎn)單的不等式.在本節(jié)課

的學(xué)習(xí)過(guò)程中，課外作業(yè)仍安排了一些簡(jiǎn)單的學(xué)生易于處理的實(shí)際問(wèn)題，用意在于讓學(xué)生注

意對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的應(yīng)用，同時(shí)也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)研究不等

式基本性質(zhì)的必要性，這也是學(xué)生學(xué)習(xí)本學(xué)時(shí)的情感基礎(chǔ).

根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實(shí)數(shù)的基本理論，并能用實(shí)數(shù)的基本理論

來(lái)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小和證明不等式的一些性質(zhì).應(yīng)用觀察、類比、歸納、邏輯分析、思

考、交流、探究，得出不等式的基本性質(zhì)，并能利用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的不等

式證明.進(jìn)行啟發(fā)、探究式教學(xué)并使用投影儀輔助.

教學(xué)重點(diǎn)1.利用數(shù)軸，數(shù)形結(jié)合回憶實(shí)數(shù)的基本理論，并能用實(shí)數(shù)的基本理論來(lái)比較兩個(gè)

代數(shù)式的大??；

2.了解不等式性質(zhì)研究的必要性及不等式的一些基本性質(zhì)；

3.能用不等式的基本性質(zhì)來(lái)證明一些簡(jiǎn)單的不等式.

教學(xué)難點(diǎn)1.用實(shí)數(shù)的基本理論來(lái)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小時(shí)對(duì)差的合理變形；

2.利用不等式的基本性質(zhì)來(lái)證明一些簡(jiǎn)單的不等式.

教具準(zhǔn)備投影儀、膠片、三角板、刻度尺

三維目標(biāo)

一、知識(shí)與技能

1.利用數(shù)軸，數(shù)形結(jié)合回憶實(shí)數(shù)的基本理論，并能用實(shí)數(shù)的基本理論來(lái)比較兩個(gè)代數(shù)式

的大小與用實(shí)數(shù)的基本理論來(lái)證明不等式的一些性質(zhì)；

2.通過(guò)回憶與復(fù)習(xí)學(xué)生所熟悉的等式性質(zhì)類比得出不等的一些基本性質(zhì)；

3.在了解不等式一些基本性質(zhì)的基礎(chǔ)之上能利用它們來(lái)證明一些簡(jiǎn)單的不等式.

二、過(guò)程與方法

L采用探究法，按照聯(lián)想、類比、思考、交流、邏輯分析、抽象應(yīng)用的方法進(jìn)行啟發(fā)式

教學(xué)；

2.教師提供問(wèn)題、素材，并及時(shí)點(diǎn)撥，發(fā)揮老師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用；

3.設(shè)計(jì)較典型的具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生去積極思考，從而培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興

趣.

三、情感態(tài)度與價(jià)值觀

1.通過(guò)具體問(wèn)題的解決，讓學(xué)生去感受、體驗(yàn)現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等

量關(guān)系并需要從理性的角度去思考，鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行類比、歸納、抽象，使學(xué)生感

受數(shù)學(xué)、走進(jìn)數(shù)學(xué)、培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和良好的思維習(xí)慣；

2.學(xué)習(xí)過(guò)程中，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的探究思考，廣泛參與，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，主動(dòng)、

積極的學(xué)習(xí)品質(zhì)，從而提高學(xué)習(xí)質(zhì)量；

3.通過(guò)對(duì)富有挑戰(zhàn)性問(wèn)題的解決，激發(fā)學(xué)生頑強(qiáng)的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度，同

時(shí)去感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，體會(huì)數(shù)學(xué)的奧秘、數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)美，從而激發(fā)學(xué)

生的學(xué)習(xí)興趣.

教學(xué)過(guò)程

導(dǎo)入新課

師上一節(jié)課我們通過(guò)具體的問(wèn)題情景，體會(huì)到現(xiàn)實(shí)世界存在大量的不等量關(guān)系，并且研究

了用不等式或不等式組來(lái)表示實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系.為了利用不等式更好地研究不等量關(guān)

系及用不等式或不等式組研究含有不等關(guān)系的問(wèn)題.我們需要對(duì)不等式的性質(zhì)有必要的了

解.

推進(jìn)新課

師我們已學(xué)習(xí)過(guò)等式、不等式，同學(xué)們還記得等式的性質(zhì)嗎？

生等式有這樣的性質(zhì)：等式兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除以（除數(shù)不為零）

同一個(gè)數(shù)，所得到的仍是等式.

師很好！當(dāng)我們開(kāi)始研究不等式的時(shí)候，自然會(huì)聯(lián)想到，是否有與等式相類似的性質(zhì)，也

就是說(shuō)，如果在不等式的兩邊都加匕或都減去，或都乘以，或都除以（除數(shù)不為零）同一

個(gè)數(shù)，結(jié)果將會(huì)如何呢？

（此時(shí)很快能讓學(xué)生進(jìn)入對(duì)初中所學(xué)過(guò)的不等式三條基本性質(zhì)的回憶與復(fù)習(xí)）

師一般地說(shuō)，不等式的基本性質(zhì)有三條：

性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上（或都減去）同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)的方向.（讓同學(xué)回

答）

性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向.（讓同學(xué)回

答）

性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向.（讓同學(xué)回

答）

［過(guò)程引導(dǎo)］

師不等式的這三條基本性質(zhì)，都可以用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái).（讓三位同學(xué)板演）

性質(zhì)1：a<ba+c<b+c（或a-c<b-c）；a>ba+c>b+c（或a-c>b-c）.

_二一、al_4a、b

性質(zhì)2：且c>O=>ac〈Z?c（或一V—）；a>bS.c>0ac>bc（或一>一）.

cccc

性質(zhì)3：且c<On”c>&c（或@>2）；且c<0ac<bc（或巴<?）.

CCCc

（用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)不等式的性質(zhì)，目的是為下面用符號(hào)進(jìn)行不等式性質(zhì)與證明打基礎(chǔ)，給學(xué)

生也有一適應(yīng)過(guò)程.老師對(duì)學(xué)生的板演作點(diǎn)評(píng)）

師性質(zhì)2、性質(zhì)3兩條性質(zhì)中，對(duì)a、b、c有什么要求？

生對(duì)。、b沒(méi)什么要求，特別要注意c是正數(shù)還是負(fù)數(shù).

師很好，c可以為零嗎？

生c不能為零.因?yàn)閏為零時(shí)?，任何不等式兩邊都乘以零就變成等式了.若是W“或2”則可

以.

師這位同學(xué)回答的非常好，思維既嚴(yán)謹(jǐn)又周到.

師對(duì)于不等式的這三條基本性質(zhì)，我們不僅要理解這三條性質(zhì)，還要能靈活運(yùn)用.在初中，

我們對(duì)這三條性質(zhì)只是作了感性的歸納，現(xiàn)在我們應(yīng)對(duì)它給出嚴(yán)格的證明，只有這樣應(yīng)用這

些性質(zhì)才能有理有據(jù).

（學(xué)生已迫不及待）

生（齊聲）那我們來(lái)給出嚴(yán)格的證明吧.

（此處，說(shuō)明老師點(diǎn)撥很到位.真正體現(xiàn)了課堂上教師的主導(dǎo)地位與學(xué)生的主體地位）

師為了對(duì)不等式的基本性質(zhì)給出嚴(yán)格證明，我們還有必要回憶實(shí)數(shù)的基本性質(zhì).

（此時(shí)學(xué)生對(duì)這一名詞肯定感到生疏，老師在黑板上應(yīng)很快給出數(shù)軸）

~4Bx

［教師精講］

師若點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為a,點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為6,因?yàn)辄c(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，所以可得

>b表示a減去b所得的差是一個(gè)大于0的數(shù)即正數(shù)，即a>bna-b>0.它的逆命題是否正

確？

生顯然正確.

師類似地，如果。〈山則。減去b是負(fù)數(shù)，如果eh,則。減去b等于0,它們的逆命題

也正確.一般地，

a>b=a-b>O;a=b=>a-b=O\a<b=>a-b<0.

師這就是實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)的一部分，還有任意兩個(gè)正數(shù)的和與積都是正數(shù)等.等價(jià)符號(hào)左邊

不等式反映的是實(shí)數(shù)的大小順序，右邊不等式反映的則是實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，合起來(lái)就成為實(shí)

數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系，它是不等式這一章的理論基礎(chǔ)，是證明不等式以及解

不等式的主要依據(jù).

師由實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)可知，我們?nèi)绾伪容^兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小呢？

生只要考察它們的差就可以了.

師很好.請(qǐng)同學(xué)們思考下面這個(gè)問(wèn)題.

（此時(shí)，老師用投影儀給出問(wèn)題）

［合作探究1

【問(wèn)題1］己知X/）,比較（X?+l）2與X4+x2+l的大小.

(問(wèn)題是數(shù)學(xué)研究的核心，此處以問(wèn)題展示的形式來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)與探究意識(shí))

(讓學(xué)生板演，老師根據(jù)學(xué)生的完成情況作點(diǎn)評(píng))

解；(x2+1)2—X4-X2-1=X4+2X2+1-x4-x2-l=x2,

由X邦,得x2>0,從而(x2+l)2>x4+x2+l.

(學(xué)生對(duì)x#0,得x2>0在說(shuō)理過(guò)程中往往會(huì)忽略)

師下面我們來(lái)看一組比較復(fù)雜的問(wèn)題，請(qǐng)大家都來(lái)開(kāi)動(dòng)腦筋，認(rèn)真審題，仔細(xì)分析.

(讓學(xué)生板演，老師根據(jù)學(xué)生的完成情況作點(diǎn)評(píng))

【例1】比較下列各組數(shù)的大小孫).

a+b2

⑴與~r(a>0力>0);

21+1

ab

(2)a,-b"與4a3(a—6).

師比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，常根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系，歸結(jié)為判斷它們的差

的符號(hào)來(lái)確定.

電,1、a+b2a+b2ab(a+b)2-4ab(a-b)~

2L+L~2a+b~2(a+b)~2(a+b)'

ab

'：a>0,b>0且a/b,：.a+b>0,(a-b)2>0.

.(a">0,即？

11,

2(a+b)—+—

ab

(2)a4-b4-4a3(a-b)

=(4?匕)(。+6)(〃2+/?2)-4。3(〃-。)

=(a-b)(a3+a2h+ah2+b3-4a3)

=(a-b)[伍%?〃1+(〃/72a3)+(63_〃3)]

=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)

=-(a-b)2[2a2+(a+Z?)2],

???2屋+(〃+4N0(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí)取等號(hào))，

又a^b,：.(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.

/.-(a-h)2[2?2+(t/+Z?)2]<0.

/.a4-b4<4a3(a-h).

師同學(xué)們完成得很好，證明不等式時(shí)，應(yīng)注意有理有據(jù)、嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致，還應(yīng)條理清晰.比較大

小常用作差法，一般步驟是作差——變形——判斷符號(hào).變形常用的手段是分解因式和配方，

前者將“差”變?yōu)?積”，后者將“差”化為一個(gè)或幾個(gè)完全平方式的“和”，也可兩者并用.

(此時(shí)，老師用投影儀給出下列問(wèn)題)

[合作探究]

【問(wèn)題2】求E：(1)〃>/?且c>0=>ac>bc；

(2)a>ba+c>b+c.

師請(qǐng)同學(xué)們思考第一小問(wèn)該如何證明？

生可用實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)，???q>".??。功>0.又???。>0,由任意兩個(gè)正數(shù)的積都是正數(shù)可得

(a-b)c>0f即ac>bc.

師這位同學(xué)證明的思路很好，很嚴(yán)密.同學(xué)們還有其他的證明思路嗎？

生ac-6c=(a-b)c,，a-b>0.又；c>0,由任意兩個(gè)正數(shù)的積都是正數(shù)可得(a-b)c>0,

所以得證.

師這位同學(xué)證明得是否正確？

生正確.

師這兩位同學(xué)的證明都正確，請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真地審視一下，比較這兩位同學(xué)證題思路的區(qū)別

與聯(lián)系.

生第一位同學(xué)的證明是由條件到結(jié)論，第二位同學(xué)的證明是由結(jié)論到條件，即尋找結(jié)論成

立的條件.

師

回答得非常好，這位同學(xué)看出了兩種證明方法的本質(zhì).由條件到結(jié)論，由結(jié)論到條件，這是

我們證明問(wèn)題經(jīng)常采用的思路.

(按照教材對(duì)不等式的證明要求，此處對(duì)不等式證明的分析法與綜合法沒(méi)有點(diǎn)明，只是讓學(xué)

生通過(guò)具體的問(wèn)題了解不等式證明的分析法與綜合法的證題思路)

師請(qǐng)同學(xué)繼續(xù)思考第二小問(wèn)該如何證明？

生可由結(jié)論到條件，a+c-(h+c)=a-h,""a>h,.,.a-b>0,.,.a+c>b+c.

師這位位同學(xué)回答得很好，有理有據(jù)，嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致，也很有條理清晰.別的同學(xué)有問(wèn)題嗎？

生(齊聲)沒(méi)問(wèn)題.

師這說(shuō)明同學(xué)們對(duì)不等式的證明思路掌握得很好.

師下面我們?cè)賮?lái)看一個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題，請(qǐng)大家繼續(xù)開(kāi)動(dòng)腦筋，認(rèn)真審題，仔細(xì)分析.

(此處，老師再一次這樣說(shuō)的目的是能夠激發(fā)起同學(xué)們克服難題的欲望，進(jìn)而增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積

極性與主動(dòng)性)

(此時(shí)，老師用投影儀給出本課時(shí)的例2)

［例題剖析］

已知a>6>0,c<0,求證：—.

ab

師前面我們已經(jīng)利用不等式及實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)證明了一些簡(jiǎn)單的不等式.請(qǐng)同學(xué)思考此該

如何證明？

生可由條件到結(jié)論.：?！等恕?。，兩邊同乘以正數(shù)」得即A又???￡?<(),

abbaab

ab

師這位同學(xué)回答得很好.通過(guò)此例的解答可以看出，本課時(shí)，同學(xué)們對(duì)簡(jiǎn)單不等式的證明掌

握得非常好.希望同學(xué)們課后進(jìn)一步探究，對(duì)不等式的基本性質(zhì)和實(shí)數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用既要嚴(yán)密、

規(guī)范，又要靈活，才能達(dá)到要求.

課堂小結(jié)

常用的不等式的基本性質(zhì)及證明：

(1)a>b,b>c

a>h,b>c=>6r-Z?>0,fe-c>0=>［a-h)+(b-c)>0=>a-c>0a>c.

(2)a>ha+c>h+c\

a>b=a-b>0=>(tz-/?)+(c-c)>0=>(a+c)-(/?+c)>0=>a-￥c>b+c.

(3)a>b,c>。nac>be;

?>/?,c>0=>?-/?>0,c>0=>(a-b)c>0=>ac-bc>0=>ac>/?c.

(4)a>b,c<0=>ac<be.

a>b,c<0=>a-h>0,c<0=>(a-b)c<0=>ac-bc<0=>ac<bc.

布置作業(yè)

課本第84頁(yè)習(xí)題3.1A組3,B組1.(3)(4)、2.

板書設(shè)計(jì)

不等關(guān)系與不等式(二)

引入方法引導(dǎo)方法歸納

不等式和實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)實(shí)例剖析(知識(shí)方法應(yīng)用)小結(jié)

示范解題

備課資料

備用習(xí)題

1.已知x>y>z>0,求證：--->—--.

x-yx-z

分析：證明簡(jiǎn)單不等式常依據(jù)實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)及直接運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)及推論，也可作

差比較.

證明：?.,xAy/'x-yX).，一—>0.

x-y

又y>z,—―>—--.①

x-yx-y

y>z,/?-y<-z..*.x-y<x-z.

/.0<x-y<x-z.--->---.

x-yx-z

又z>0,，二一>」-.②

x-yx-z

由①②得一三一>一三一.

x-yx-z

小結(jié)：運(yùn)用性質(zhì)證明不等式時(shí).，應(yīng)注意有理有據(jù)，嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致，還應(yīng)條理清晰.上述的證明方

法采用的證明思路是由條件到結(jié)論，也可采用由結(jié)論到條件的證明思路去證明，請(qǐng)同學(xué)們不

妨嘗試一下.

2.試判斷下列各對(duì)整式的大小：(l)n?-2m+5和-2m+5：(2)°2一加+3和-4a+l.

點(diǎn)撥：根據(jù)不等式的性質(zhì)1，我們可以得到另一種比較兩個(gè)數(shù)(或代數(shù)式)的大小的方法：

若4-8>0,則A>8；若A—8=0,則A=B；若4一8<0,則A<B.

這種比較大小的方法，稱為“作差比較法”，簡(jiǎn)稱“比差法”.本例就可以用這種方法.

解：(1)V(m2-2m+5)-(-2m+5)

=m2-2m+5+2m-5

=m2,

Vm^O,/.(m2-2m+5)-(-2m+5^0.

m'-2m+2-2m+5.

⑵：(。2-4。+3)-(-4。+1)

2

=。~-4。+3+4〃?1

=a2+2,

Va^O,.才+至2>0.

a2-4a+3>-4a+l.

3.2一元二次不等式及其解法

3.2.1一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法

從容說(shuō)課

本節(jié)課是人民教育出版社A版必修數(shù)學(xué)5第三章不等式第二大節(jié)3.2一元二次不等式及

其解法的第一節(jié)課.一元二次不等式及其解法教學(xué)分為三個(gè)學(xué)時(shí)，第一個(gè)學(xué)時(shí)先由師生共同

分析日常生活中的實(shí)際問(wèn)題來(lái)引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求解一元二

次不等式的步驟、求解一元二次不等式的程序框圖.確定一元二次不等式的概念和解法，以

此激發(fā)學(xué)生對(duì)科學(xué)的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度.通過(guò)具體例題的分析和求解，在這些

例題中設(shè)置思考項(xiàng)，讓學(xué)生探究，層層鋪設(shè)，以便讓學(xué)生深刻理解一元二次不等式的概念，

有利于一元二次不等式的解法的教學(xué).講述完一元二次不等式的概念后，再回歸到先前的具

體事例，總結(jié)一元二次不等式解法與二次函數(shù)的關(guān)系和一元二次不等式解法的步驟，由學(xué)生

用表格將元二次不等式解法與二次函數(shù)的數(shù)形關(guān)系的對(duì)應(yīng)關(guān)系用圖表形式表示出來(lái);然后

用一個(gè)程序框圖把求解般一元二次不等式的過(guò)程表示出來(lái)，根據(jù)這些圖表，得出一元二次

不等式解法與二次函數(shù)的關(guān)系兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系，再輔以新的例題鞏固.整個(gè)教學(xué)過(guò)程,

探究一元二次不等式的概念，揭示一元二次不等式解法與二次函數(shù)的關(guān)系本質(zhì)，引出一元二

次不等式解法的步驟和過(guò)程，并及時(shí)加以鞏固，同時(shí)讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的奧秘與數(shù)學(xué)美，激發(fā)

學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

教學(xué)重點(diǎn)1.從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一元二次不等式模型.

2.圍繞?元二次不等式的解法展開(kāi)，突出體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想.

教學(xué)難點(diǎn)理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式的關(guān)系.

教具準(zhǔn)備多媒體及課件，幻燈片三張

三維目標(biāo)

一、知識(shí)與技能

1.經(jīng)歷從實(shí)際情景中抽象出一元二次不等式模型的過(guò)程；

2.通過(guò)函數(shù)圖象了解一元二次不等式與二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系；

3.會(huì)解一次二次不等式，對(duì)給定的一元二次不等式，嘗試設(shè)計(jì)求解的程序框圖.

二、過(guò)程與方法

1.采用探究法，按照思考、交流、實(shí)驗(yàn)、觀察、分析、得出結(jié)論的方法進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)；

2.發(fā)揮學(xué)生的主體作用，作好探究性實(shí)驗(yàn)；

3.理論聯(lián)系實(shí)際，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.

三、情感態(tài)度與價(jià)值觀

1.通過(guò)利用二次函數(shù)的圖象來(lái)求解一元二次不等式的解集，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)

思想；

2.通過(guò)研究函數(shù)、方程與不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到事物是相互聯(lián)系、相互

轉(zhuǎn)化的，樹(shù)立辯證的世界觀.

教學(xué)過(guò)程

導(dǎo)入新課

師上網(wǎng)獲取信息已經(jīng)成為人們?nèi)粘Ｉ畹闹匾M成部分，因特網(wǎng)服務(wù)公司(InternetService

Provider)的任務(wù)就是負(fù)責(zé)將用戶的計(jì)算機(jī)接入因特網(wǎng)，同時(shí)收取一定的費(fèi)用.

某同學(xué)要把自己的計(jì)算機(jī)接入因特網(wǎng)，現(xiàn)有兩家ISP公司可供選擇，公司A每小時(shí)收費(fèi)1.5

元；公司8的收費(fèi)原則是在用戶上網(wǎng)的第一小時(shí)內(nèi)收費(fèi)L7元，第二小時(shí)內(nèi)收費(fèi)1.6元，以

后每小時(shí)減少01元.(若用戶--次上網(wǎng)時(shí)間超過(guò)17小時(shí)，按17小時(shí)計(jì)算)

■-般來(lái)說(shuō)，一次上網(wǎng)時(shí)間不會(huì)超過(guò)17小時(shí)，所以，不妨一次上網(wǎng)時(shí)間總小于17小時(shí)，那么，

一次上網(wǎng)在多長(zhǎng)時(shí)間以內(nèi)能夠保證選擇公司A比選擇公司B所需費(fèi)用少？

假設(shè)一次上網(wǎng)x小時(shí)，則4公司收取的費(fèi)用為1.5x,那么B公司收取的費(fèi)用為多少？怎樣

得來(lái)？

生結(jié)果是也生二義元，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，其首項(xiàng)為1.7,公差為項(xiàng)數(shù)為x的和，即

20

x(35-x)

1.7x+”(丁)(—0.1)=

20

師如果能夠保證選擇4公司比選擇8公司所需費(fèi)用少，則如何列式？

生由題設(shè)條件應(yīng)列式為衛(wèi)生二旦>L5x(0<xV17),整理化簡(jiǎn)得不等式X2-5X<0.

20

推進(jìn)新課

師因此這個(gè)問(wèn)題實(shí)際就是解不等式：x2-5xV0的問(wèn)題.這樣的不等式就叫做一元二次不等式，

它的解法是我們下面要學(xué)習(xí)討論的重點(diǎn).

什么叫做一元二次不等式？

含有一個(gè)耒知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的不等式叫做元二次不等式，它的?般形式

>ax2+fex+c>0BR6ZX2+/7X+C<0(a#)).例如2x2-3x-2>0,3x2-6x<-2,-2x2+3<0等都是一

元二次不等式.

那么如何求解呢？

師在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)一元一次方程和一元一次不等式的解法，以及一次函數(shù)的有關(guān)

知識(shí)，那么一元一次方程、一元一次不等式以及?次函數(shù)三者之間有什么關(guān)系呢？

思考：對(duì)一次函數(shù)y=2x-7,當(dāng)x為何值時(shí)，

y=0?當(dāng)x為何值時(shí)，y<0?當(dāng)x為何值時(shí)，y>0?

它的對(duì)應(yīng)值表與圖象如下：

由對(duì)應(yīng)值表與圖象(如上圖)可知：

當(dāng)x=3.5時(shí)，y=0,即2x-7=O；

當(dāng)x<3.5時(shí)，y<0,即2x-7<0；

當(dāng)x>3.5時(shí)，y>0,即2x-7>0.

師一般地，設(shè)直線ywx+6與x軸的交點(diǎn)是(xo,0),則有如下結(jié)果：

(1)一元一次方程ax+/?=0的解是xo；

(2)①當(dāng)a>0時(shí)，一元一次不等式ax+b>0的解集是｛xlx>x0｝；一元一次不等式ax+/?V0

的解集是｛xlx<x()｝.

②當(dāng)a<0時(shí)，一元一次不等式ax+b>0的解集是｛xlx<xo｝；一元一次不等式ax+b<0的解

集是{xlx>xo}.

師在解決上述問(wèn)題的基礎(chǔ)上分析，一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式之間的關(guān)系.

能通過(guò)觀察一次函數(shù)的圖象求得一元一次不等式的解集嗎？

生函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為方程的根，不等式的解集為函數(shù)圖象落在X軸上方(下方)

部分對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo).

?！?a<0

一次函數(shù)［/

\|j=ar+/>

y=ax+b（存0）f）

的圖象,

°\v

11

一元一次方程ax+5=0的解集hb

{xlx=---}{xlx=---}

aa

一元一次不等式ax+b>0的解集bb

{xlx>——}{xlx<——}

aa

一元一次不等式ax+AVO的解集--b、b

{xlx<——}{xlx>——}

aa

師在這里我們發(fā)現(xiàn)一元一次方程、一元一次不等式與一次函數(shù)三者之間有著密切的聯(lián)系

利用這種聯(lián)系(集中反映在相應(yīng)一次函數(shù)的圖象上)我們可以快速準(zhǔn)確地求出一元一次不等

式的解集，類似地，我們能不能將現(xiàn)在要求解的一元二次不等式與二次函數(shù)聯(lián)系起來(lái)討論找

到其求解方法呢？

在初中學(xué)習(xí)二次函數(shù)時(shí)，我們?cè)鉀Q過(guò)這樣的問(wèn)題：對(duì)二次函數(shù)y=x2-5x,當(dāng)x為何值時(shí)，

y=0?當(dāng)x為何值時(shí)，yVO?當(dāng)x為何值時(shí)，y>0?當(dāng)時(shí)我們又是怎樣解決的呢？

生當(dāng)時(shí)我們是通過(guò)作出函數(shù)的圖象，找出圖象與x軸的交點(diǎn)，通過(guò)觀察來(lái)解決的.

二次函數(shù)y=x2-5x的對(duì)應(yīng)值表與圖象如下：

x-10123456

由對(duì)應(yīng)值表與圖象(如上圖)可知：

當(dāng)x=0或x=5時(shí),y=0,即X2-5X=0；

當(dāng)0<x<5時(shí)，y<0,即X2-5X<0；

當(dāng)xVO或x>5時(shí)，y>0,即X2-5X>0.

這就是說(shuō)，若拋物線y=x?-5x與x軸的交點(diǎn)是(0,0)與(5,0),

則一元二次方程x2-5x=0的解就是X|=0,x*5.

一元二次不等式X2-5X<0的解集是{xlO<x<5};一元二次不等式X2-5X>0的解集是{xlx<0

或x>5}.

［教師精講］

由一元二次不等式的一般形式知，任何一個(gè)一元二次不等式，最后都可以化為ax2+bx+c>0

或axAbx+cVO(a>0)的形式，而且我們已經(jīng)知道，一元二次不等式的解與其相應(yīng)的一元

二次方程的根及二次函數(shù)圖象有關(guān)，即由拋物線與x軸的交點(diǎn)可以確定對(duì)應(yīng)的一元二次方程

的解和對(duì)應(yīng)的一元二次不等式的解集.

如何討論一元二次不等式的解集呢？

我們知道，對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0),設(shè)其判別式為它的解按照△>

0,A=0,△<()分為三種情況，相應(yīng)地，拋物線y=ax2+/7x+c(a>0)與x軸的相關(guān)位置也分為三

種情況(如下圖),因此,對(duì)相應(yīng)的一元二次不等式ax2+Z?x+c>0或ax2+/>x+c<0(a>0)

的解集我們也分這三種情況進(jìn)行討論.

(1)若△>(),此時(shí)拋物線y=ax2+bx+c(a>0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)(圖(D),口耀ax

2+%x+c=0(a>0)有兩個(gè)不相等的實(shí)根X”X2(Xi<X2),則不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解

集是{xlx<x"或x>X2};不等式ax'+bx+cVO(a>0)的解集是{xlxi<x<X2}.

(2)若A=0,此時(shí)拋物線y=ax2+bx+c(a>0)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)(圖(2)),即方程

b

2

〃x2+bx+c=0(〃>0)有兩個(gè)相等的實(shí)根x1=x2=——，則不等式ax+bx+c>0(〃>0)的解集是

2a

b

{Xl#----}；不等式一2+雙4<0(?>0)的解集是.

2a

(3)若AV。，此時(shí)拋物線y=ax2+hx+c(〃>0)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)(圖(3)),即方程QX2+/?X+C=0(〃

>0)無(wú)實(shí)根，則不等式ax2+bx+c>0(〃>0)的解集是R；不等式〃x2+〃x+cV0(〃>0)的

解集是.

A=/-4ac

二次函數(shù)

y=ax2+ftx+c(a>0)的

圖象

ax2+Z>x+e=0的根

—bi.V=A

$2="

2a

<zx2+ftx+c>0的解集{xlx<Xi或X>X2)bR

{xlx#--}

2a

ax2+ftx+c<0的解集{xlxiVxVx2}00

對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)(即oVO)的不等式,可以先把二次項(xiàng)系數(shù)化成正數(shù)，再求解.

［知識(shí)拓展1

【例1】解不等式2X2-5X-3>0.

生解：因?yàn)椤?gt;(),2X2-5X-3=0的解是XI=—,x2=3.所以不等式的解集是{xlxV---，或x

22

>3).

【例2】解不等式-3X2+15X>12.

生解：整理化簡(jiǎn)得3x2-15x+12V0.因?yàn)椤?gt;(),方程3X2-15X+12=0的解是X|=1,X2=4,所以

不等式的解集是{xll〈x<4}.

【例3】解不等式4X2+4X+1>0.

生解：因?yàn)锳=0,方程4x?+4x+l=0的解是X|=X2=—L所以不等式的解集是｛xl存-工｝.

22

【例4】解不等式-X?+2x-3>0.

生解：整理化簡(jiǎn)，得x2-2x+3<0.因?yàn)锳VO,方程x2-2x+3=0無(wú)實(shí)數(shù)解，所以不等式的解

集是0.

師由上述討論及例題，可歸納出解一元二次不等式的程序嗎？

生歸納如下:

(1)將二次項(xiàng)系數(shù)化為“+"：y=ax2+hx+c>0(或<0)(“>0).

(2)計(jì)算判別式△,分析不等式的解的情況：

若y>0,則x**或￥>々；

①A>0時(shí),求根X1〈X2,

若y<0,則X]Vx.

‘若y>0,則的一切實(shí)數(shù);

②A=0時(shí)，求根xi=x2=xo，,若yV0,則x€0；

若y=0,則x=x().

'若>>0,則xeR;

③A<0時(shí)，方程無(wú)解,

若yWO,則xw0.

(3)寫出解集.

師說(shuō)的很好.下面我們用一個(gè)程序框圖把求解一元二次不等式的過(guò)程表示出來(lái)，請(qǐng)同學(xué)們將

判斷框和處理框中的空格填充完整.

［學(xué)生活動(dòng)過(guò)程］

［結(jié)束］

［方法引導(dǎo)］

上述過(guò)程以學(xué)生自主探究為主，教師起引導(dǎo)作用，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體作用與新課程的理念.

該過(guò)程中的思考、觀察、探究起到層層鋪設(shè)的作用，激起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣與勇于探索的精

神.

課堂小結(jié)

1.一元二次不等式：含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的不等式叫做一元二次不

等式，它的一般形式是ax,bx+cX)或ax'+bx+cVO(a/0).

2.求解?元二次不等式的步驟和解一元二次不等式的程序.

布置作業(yè)

1.完成第90頁(yè)的練習(xí).

2.完成第90頁(yè)習(xí)題3.2第1題.

板書設(shè)計(jì)

一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法

多媒體演示區(qū)一元二次不等式概念

一元二次不等式解題步驟例題

備課資料

一、備用習(xí)題

1.解不等式x+2>3x2.

解：原不等式等價(jià)于3x2-x—2V0,

22

解方程3x2—X—2=0得兩根：一―，X2=1..??原不等式的解集為(一一，1).

33

2.解下列不等式：

(1)2+3X-2X2<0；(2)-X2+2X-3X>0；(3)x2-4x+4>0.

解：⑴原不等式等價(jià)于2x2-3X-2>0.

,1

由2x~-3x—2=0得=---,x?=2.

'2

/.原不等式的解集是(-8,-j)U(2,+a)).

2

(2)原不等式等價(jià)于:x2-2X+3<0.

由A=(-2)2-4X1X3V0,知原不等式解集為0.

(3)A=(-4尸-4x4=0,方程X2-4X+4=0有等根X|=X2=2,

原不等式的解集為{xlxGR,且其2}.

點(diǎn)評(píng):1.要嚴(yán)格按“解法步驟”求解.

2.最后要用集合表示法表出解集.如本例(1)用區(qū)間表示出解集；本例(3)用大括號(hào)表示解

集，

該題的解集也可用區(qū)間表為(-8,2)U(2,田)，但有的同學(xué)把第(3)題的解集表示為x先，這

是錯(cuò)誤的.

二、閱讀材料

法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)

韋達(dá)，1540年出生在法國(guó)東部的普瓦圖的韋特奈.他早年學(xué)習(xí)法律，曾以律師身份在法

國(guó)議會(huì)里工作，書達(dá)不是專職數(shù)學(xué)家,但他非常喜歡在政治生涯的間隙和工作余暇研究數(shù)學(xué)，

并作出了很多重要貢獻(xiàn)，成為那個(gè)時(shí)代最偉大的數(shù)學(xué)家.

在對(duì)西班牙的戰(zhàn)爭(zhēng)中曾為政府破譯敵軍的密碼.韋達(dá)還致力于數(shù)學(xué)研究，第一個(gè)有意識(shí)

地和系統(tǒng)地使用字母來(lái)表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘累，帶來(lái)了代數(shù)學(xué)理論研究的重大進(jìn)步.

韋達(dá)討論了方程根的各種有理變換，發(fā)現(xiàn)了方程根與系數(shù)之間的關(guān)系(所以人們把敘述一元

二次方程根與系數(shù)關(guān)系的結(jié)論稱為“韋達(dá)定理”).

韋達(dá)是第一個(gè)有意識(shí)地和系統(tǒng)地使用字母表示數(shù)的人，并且對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行了很多改進(jìn).

他在1591年所寫的《分析術(shù)引論》是最早的符號(hào)代數(shù)著作.是他確定了符號(hào)代數(shù)的原理與方

法，使當(dāng)時(shí)的代數(shù)學(xué)系統(tǒng)化并且把代數(shù)學(xué)作為解析的方法使用.他還寫下了《數(shù)學(xué)典則》，157