2023年湖南省衡陽市成考專升本數(shù)學(xué)(理)自考真題(含答案)

2023年湖南省衡陽市成考專升本數(shù)學(xué)(理)

自考真題(含答案)

學(xué)校:班級:姓名:考號:

一、單選題(30題)

函數(shù)y=A<)的圖像與函數(shù)y=2,的圖像關(guān)于直線y=x對稱，則〃工)=()

(A)2?(B)lofcx(x>0)

I(C)2x(D)lg(2x)(x>0)

2.圓x2+y2+2x-6y-6=0的半徑為()。

A.屈

B.4

C.后

D.16

3.巳如量數(shù)，“?缸其中。Re*.且

A.I/IWSI1*/B.I?IBlips?

C.h11-IJI1**/D.I?I

等差數(shù)列｛4｝中,若0t=2,a,=6.則q=

4：A)3(B)4(C)8(D)12

5.生產(chǎn)一種零件，在一天生產(chǎn)中，次品數(shù)的概率分布列如表所示，則

E?為()

e0123

p0.30.50.20

A.0.9B.1C.0.8D.0.5

6設(shè)sina=y.a為第二象眼角.則3=

A.-0/2

B.④

C.-1/2

D.1/2

(13)巳知向量滿足I?|=4,I51==30°,則a?b等于

r(A)"(H)6/3(C)6(D)12

已知函數(shù)y=8<x<+8),則該函數(shù))

(A)是奇函數(shù)，且在(-?,0)上單調(diào)增加

(B)是偶函數(shù),且在(-8.0)上第調(diào)減少

(C)是奇函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)增加

8(D)是偶函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)減少

9.若/(工)=1。84工?則F列不等式成立的是()

A.A.f(l/4)>f(l/3)>f(2)

B.f(2)>f(l/3)>f(l/4)

C.f(l/4)>f(2)>f(l/3)

D.f(l/3)>f(2)>f(l/4)

10.1og34-log48-log8m=log416,貝(]m為0

A.9/12B.9C.18D.27

11.函數(shù)Y=sin4x-cos4x的最小正周期是()

A.A.7T

B.27t

7T

c.

D.47r

12.()

A.A.2B.lC.OD.-l

13.函數(shù)y=lg(2x—l)的定義域為()

A.A.RB.{x|x>1}C.{x|x>2}D.{x|x>0}

14.()

A.A.2

B.l

D.D?什)

15.若a>b>0,貝!)()

A.A.?十尺/

B.

D..力

16.若方程/-所’+2y=0*示兩條直線.INm的內(nèi)值&A.1B.-lC.2D.-2

17.過點州3-2)與出稅31-)-6=0孑七的直我方程是

18.函數(shù)，y=lg(2x-l)的定義域為()

A.A.RB.{x|x>1}C.{x|x>2}D.{x|x>0}

19.函數(shù)y=lg(x2—3x+2)的定義域為()

A.A.{x|x<1或x>2}B.{x|l<x<2}C.{x|x<1}D.{x|x>2}

20.4個人排成一行，其中甲、乙二人總排在一起，則不同的排法共有

()

A.A.3種B.6種C.12種D.24種

21.甲、乙各自獨立地射擊一次，已知甲射中10環(huán)的概率為0.9,乙射中

10環(huán)的概率為0.5,則甲、乙都射中10環(huán)的概率為0

A.0.2B.0.45C.0.25D.0.75

23.已知圓'=v-"8、一II一。經(jīng)過點pq,0)作該圓的切線，切

點為Q,則線段PQ的長為()o

A.10B.4C.16D.8

24.函數(shù)y=3x的反函數(shù)是()

A.A.y=(l/3)x(x>0)

B.-y=(l/3)x(x>0)

C.y=log3x(x>0)

D.-y=-log3X(x>0)

25.過兩點(-4,1)和(3,0)的直線的傾角為()

AAAR,H,NL-J)

B.:antan；

Can'tan?

Dk-arctan(-；)

26.

第13題已知方程2x2+(m+l)x+3m+3=0的兩實根平方和為7,那么m值

等于()

A.-13B.13C.3D.-3

設(shè)|川丁-4x+3<0},Q={xlx(x-l)>2],則PCQ等于()

(A)|xlx>3|(B)|xl-1<x<2|

27.：x!2<x<3(D)xl1<X<2

28.命題甲：Igx,Igy,Igz成等差數(shù)列；命題乙：y2=x?z則甲是乙的

()

A.A.充分而非必要條件B.必要而非充分條件C.既充分又必要條件D.

既非充分也非必要條件

方程/+m+Ey+尸=0是圓的方程的()

(A)充分但非必要條件

(B)必要但非充分條件

(C)充要條件

29,11)既非充分也非必要條件

30.命題甲：x>n,命題乙：X>2TT,則甲是乙的()

A.A.充分條件但不是必要條件B.必要條件但不是充分條件C.充分必

要條件D.不是必要條件也不是充分條件

二、填空題(20題)

31.

若不等式|ar+1IV2的解集為卜|一￡VzV；].則a=_________.

[-10121

設(shè)離散型地機變量￡的分布列為工112，則E(Q=_______________.

32.

33.(2x-l/x)6的展開式是.

34.已知正三棱錐的側(cè)棱長是底面邊長的2倍，則側(cè)棱與底面所成角的

余弦值等于

35.設(shè)離散型隨機變量f的分布列如下表所示，那么，的期望等于.

36.已知隨機變量g的分布列是:

012345

P0.10.20.30.20.10.1

貝!IEg=________

雙曲線:；一#=心＞。心?！返臐u近線與實軸的夾角是a，ii焦

37.點且垂在于實軸的弦氏等于-

38.方程Ax2+Ay2+Dx+Ey+F=0(Ar。)滿足條件(D/2A)2+(E/2A)2-F/A=0,它

的圖像是___________.

39.?長為a的正方體ABCD-A%'(力中，異面直線BC7與DC的距離為—

.等式＞0的解集為_______.

40.5

41

甲乙兩人獨立地解決同一問題,甲解決這個問題的概率是:，乙解決這個問題的

4

概率是:，那么其中至少有1人解決這個問題的概率是.

42.AABC中，若cosA=^^,/C=1501BC=l,JUAB=

43-tanCarctanJ+arctan3)的值等于.

44.從標有1?9九個數(shù)字的九張卡片中任取2張，那么卡片上兩數(shù)之

積為偶數(shù)的概率P等于

45.

設(shè)y=cosx_sinx,則,=________________.

46.過點M(2,-1)且與向量a=(-3,2)垂直的直線方程是_____.

已知球的一個小圓的面枳為X,球心到小國所在平面的即離為、1,則這個球的

47.上力枳為-

48.已知A(2,l),B(3,-9)直線L:5x+y-7=0與直線AB交于P點，點P分

AB所成的比為

已知Mi機變量g的分布列是

4T012

P

3464

49

50.設(shè)離散型隨機變量，的分布列如下表，那么，的期望等于

0.11

e6

0.060.04

p0.70.1

三、簡答題(10題)

51.(本小題滿分13分)

三角形兩邊之和為10,其夾角的余弦是方程2x2-3x-2=0的根，求這個

三角形周長的最小值.

52.

(本小題滿分13分)

巳知函數(shù)〃工)=工-2日,

(1)求函數(shù)y=/(*)的單調(diào)區(qū)間,并指出它在各單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)還是貳函數(shù);

(2)求函數(shù)y=〃*)在區(qū)間［0.4］上的最大值和最小值.

53.(本小題滿分12分)

巳知等比數(shù)列中,%=16.公比g=X

(1)求數(shù)列的通項公式；

(2)若數(shù)列；a」的前n項的和S.=124.求n的值.

54.

（本小題滿分12分）

在（a%+l）7的展開式中,%3的系數(shù)是％2的系數(shù)與X4的系數(shù)的等差中項,

若實數(shù)a>l,求a的值.

55.

（本小題滿分12分）

已知橢BI的黑心率為亨，且該精M與雙曲蠟-八1焦點相同?求橢圓的標準

和準線方程.

56.（本小題滿分12分）

分別求曲線y=-3x2+2x+4上滿足下列條件的點

⑴過這些點的切線與x軸平行；

（2）過這些點的切線與直線y=x平行.

57.（本小題滿分12分）

在△A8c中.AB=%JS,B=451C=60。.求*C,BC.

58.（本小題滿分12分）

已知等差數(shù)列｛an｝中，al=9,?3+a8=0.

（1）求數(shù)列｛an｝的通項公式；

⑵當n為何值時，數(shù)列｛an｝的前n項和Sn取得最大值，并求該最大值.

59.

（本小題滿分13分）

如圖，已知橢圓G：1+八1與雙曲線G：3-八1（°>1）.

aa

（I）?*,.?,分別是C,,Cj的離心率，證明與.<1；

（2）設(shè)4A是G長軸的兩個端點"（與，%）（1與1>a）在G上，直線與G的

另一個交點為Q,直線尸4與G的另一個交點為上證明Q&平行于^軸.

60.（本小題滿分12分）

橢圓2x2+y2=98內(nèi)有一點A（-5,0）,在橢圓上求一點B,使|AB|最大.

四、解答題（10題）

61.

從地面上4點處測山頂?shù)难鼋菫閍,沿4至山底直線前行a米到8點處，又測得山頂

的仰角為6,求山高.

62.為了測河的寬，在岸邊選定兩點A和B,望對岸標記物C,測得N

CAB=30°,ZCBA=75°,AB=120m,求河的寬.

⑴求〃自；

(2)求〃e)的最小值.

63.

64.設(shè)直角三角形的三邊為a、b、c,內(nèi)切圓直徑為2r,外接圓直徑為

2R,若a、b、c成等差數(shù)列，

求證：(I)內(nèi)切圓的半徑等于公差

(II)2r、a、b、2R也成等差數(shù)列。

65.

已知K，F(xiàn)?是橢圓志+64=1的兩個焦點，戶為橢圓上一點，且乙=30。,求

4PF果的面積.

66.已知函數(shù)f(x)=(x2+ax+2)ex(x,a￡R).

⑴當a=0時，求函數(shù)f(x)的圖象在點A(l,f(l))處的切線方程;

(II)當a=-5/2時，求函數(shù)f(x)的極小值.

67.設(shè)函數(shù)f(x)=ex-x-l.

(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(II)求f(x)的極值.

已知等差數(shù)列的公差=y,fiai,a2,as成等比數(shù)列.

<I)求QJ的通項公式；

(n)若仿力的前曾項和s.=50,求n.

68.

6%(23)(本小?清分12分)

如圖,已知正三極筷P(guān)?48C中,APA8為等邊三角形,￡/分別為PA,PB的中點.

(1)求ifPCJ.EFi

(II)求三梭僚P-EFC與三發(fā)程P-ABC體積的比值.

70.（21）（本小*!!分12分）

已知點在曲線，=:77上?

(1)求々的值；

(n)求該曲線在點4處的切線方程?

五、單選題(2題)

71.在△加，中$233”?也(：.則&<死的形狀一定是人.等腰直角三角形B.直

角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形

橢NI4c's為參數(shù))的焦點是

72.()

A.A.(-5,0),(5,0)

B.(0,-5),(0,5)

C..-.7.D)

D.

六、單選題(1題)

73.函數(shù)y=lg(2x-l)的定義域為()

A.A.RB.{x|x>1}C.{x|x>2}D.{x|x>0}

參考答案

1.B

2.B

本題考查了圓的方程的知識點。

圓x2+y2+2x-6y-6=0可化為(x+l)2+(y-3)2=16,故圓的半徑為4。

3.C

cH折：/I?1(*?&*)*?/(?*-k1)*?^S|*pS(</?,?i，)*??*?**ilS-*(?■?

4.B

5.A

6.A

由°為第二象限角可知eizCO,」、.一、筋一工/i二T=一§.（答案為A）

V4Z

7.B

8.D

9.A

/（工）=1崛工在其定義域（0.+8）上是單調(diào)前函數(shù)，

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性答案為A）

10.B

B【解析】由對數(shù)換底公式可得稔

2=康，

左式="《1嗝2’）（log^23）（!og2Jm）

=（210&2）（~|40歐2），|0七切）

"（logA2）（logzm>?

右式』logW?2,

所以（1臉2）（1唯m）=2.log2ms==2k）fe3=

k*±3'?故m=9.

ll.A

12.D

y—cos'r-2covcos2x—2ct）、r-1-（cow-1）'一I?

當coajr-x10寸.原函數(shù)有破小值一1.（答案為D）

13.D

由2x—l>0,得2x>l,x>0,原函數(shù)定義域為｛x[x>0）.（答案為D）

14.C

a=lofe36*6=loft）36=1OR?2,1=log?3，

ao

則。T6，log”2T1*3=108^6>1.（答案為C）

15.D

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知,當a>6>0時，有a+>小恒成立.（答案為D）

16.A

A?新:才符詞分?秀/+2（一，）工。.乃犬防前條夜檢.則必使力?肉式?皮當時厚方

程可分解為?0.表小角條面&*-y+2=0?0A”-Q

17.D

18.D

19.A

由x2—3x+2>0,解得xVl或x>2.（答案為A）

20.C

21.B甲乙都射中10環(huán)的概率P=0.9x0.5=0.45.

22.D

23.B

該小題主要考查的知識點為圓的切線性質(zhì)和線段的長度.【考試指導(dǎo)】

/+'+4z—8y+ll=0=>(x+

2)2+(y_4)'=9.則P點距圓心的長度為

y?l+2)24-(0-4)2=5,故R3=>/5^9=4.

24.C

25.B

26.D

27.C

28.A

因為g,kv，3成等差數(shù)列一卡z.副甲是乙的充分而非必要條件.(答案為A)

29.B

30.B

31.

【答案】2

【解析】該小題主要考查的知識點為不等式的解集.

【考試指導(dǎo)】

Iar4-1|<2=>-2<ar4-l<2=>

31

----V“V—?由題意知。=2.

a--------a

32.

口9=(7)4+。'1十】X±+2X加答案為領(lǐng)

33.64X6-192X4+...+1/X6

34.

(20)【參考答案】4

o

設(shè)三棱錐為P-ABC,0為底面正三角形ABC的中心.則0P1.面AHC.i.PCO即為惻梭與底

面所成角.

設(shè)―則PC=2,0C哼，所以

coa乙PC0嘿卑,

【解題指要】本題考查三棱錐的知識及線面角的求法.

正三棱錐的底面為正三角形，且頂點在底面的射影為底面正三角形的中

心，這是解題中應(yīng)使

用的條件.

求線面角通常的方法是利用線面角的定義，求斜線和斜線在平面內(nèi)的射

影所成角的大小.

35.89E(Q=100x0.2+90x0.5+80x0.3=89.

36.

37.

ZAran?

?設(shè)過雙曲線右焦點垂科r實軸的弦為L.

乂由漸近線方程￥一士&H.及漸近線與實軸夾角

a

為°，故“l(fā)；"i。,所以丫二一"—h-'-

uaa

T6?i；iua,弦K為2加ano.

【分析】本題*受H西般的漸近娘等假念，

38.

點（一左一聶）

M+A八D.r+Ey+F—O?0

將①晌上起和才?耳

（"昌）'+（，，第"（給'-￡?

???（&'+（給T5

-D

I*M

E.”它的道像是以?■心.，一。8??

H

?faA幣―小，”（一幺，

39.

異面直線BC與DC的距離為正方體面對角線的一半,即為岑&.（答案為4）

40X>-2,n.I#-1

1

~2

41.

42.

Z\ABC中■0<LAV180*?sinA>0?sinA—/1二cos，A=J1-(,

1

Hi-rAnBCsinC1Xsinl50°2

由正弦定理可知AB=RF「i而一=逅==,(答案為號)

16

43.

44.

13

1K

45.

y=-sinr-co&r.《答案為一sinx—COST)

46.

設(shè)PCr,y)為所求直線上任一點，則薩=(z-2,y+D.因為前j_a,

一,>

則MP?a=Gr-2,產(chǎn)D?(-3.2)=-3(x-2)4-2(>4-l)=0.

即所求直線的方程為3x-2y-8?0.(答案為3工一2?-8=0)

47.

12K

48.答案：4解析：由直線方程的兩點式可得，過A(2,l)B(3,-9)的方程

為：

,X—2_y—1

Ku,!3772—9—1

j10x+y_21=0

產(chǎn)一7

_xi+義X2_24-A,3

X=1+A=1+A*

14_2+3人

49.

3

50.5.48E(￡)=6x0.7+5.4x0.1+5x0.1+4x0.06+0x0.04=5.48.

51.

設(shè)三角形三邊分別為a,6.c且。+&=10,則b=lO-a.

方程2?-3x-2=0可化為(2*+1)(*-2)=0.所以、產(chǎn)-y.x,=2.

因為a、b的夾角為夕,且W1.所以coM=-y.

由余弦定理,得

c2=<i24-(10-a)J-2a(10-a)x(-

=2<j'?100—20a+10a-a'=a*-10。+100

=(a-5)J+75.

因為(a-5)\0.

所以當a-5=0,即a=5嗎c的值最小,其值為m=5耳

又因為a+〃=10,所以c取得敏小值,a+b+c也取得段小值.

因此所求為10+5氐

52.

⑴八工)=14令/(*)=0,解得>1.當”(0.D./G)<0；

當”w(l.+8)J*(x)>0.

故函數(shù)人力在(0.1)是減函數(shù).在(1.+8)是增函數(shù).

(2)當*=1時/(外取得極小值.

X/(0)=0,/(l)=-l./(4)=0.

故函數(shù)/Tx)在區(qū)間［0,4］上的最大值為0.最小值為-I.

53.

(1)因為a,=5,.即16=%x/.得.=64.

所以,該數(shù)列的通項公式為a.=64x(^)-

8(1爭

,)

(2)由公式s,=gi.Li：y得[24=——Z-,

1-q

12

化簡得2,=32,解得n=5.

由于(8+1)'=(I?OX),.

可見.展開式中『的系數(shù)分別為c，‘，c"''C。'.

由巳知,2C>'=C；/+C；a'.

V7Mll-1x6x57x67x6x52-31A,n

乂。>1.則2xy?a=)4??ot5a-10a+3=0.

54.解之，得a=紅三”由a>l.得

55.

由已知可得橢圓焦點為K(-6,0).吊(6.0)...........3分

設(shè)橢圓的標準方程為斗+%=1(。>6>0).則

J=b、5.°3

解得｛:[2'"…’分

。3.七

所以橢圓的標準方程為5+4=1.?……9分

94

桶朧的準線方程為彳=土萍……12分

56.

(1)設(shè)所求點為(工。.%).

y*=-6x+2,/=+2.

JI?SQ

由于工軸所在亢線的斜率為。,則-6&+2=0.%=/.

s

因此y0=-3,(y)+2?y+4=y.

又點g,號)不在x軸上，故為所求.

(2)設(shè)所求為點(%,九),

由0f+2.

由于y=M的斜率為1,則-6x0+2=1，%=/

又點(2基)不在直線…上,故為所求?

57.

由已知可用A=75。.

又^75°=8in（45°+30°）=sin450cos30。+??4508in30o=^~^....4分

在△ABC中.由正弦定理得

工_____……8分

sin45°-sin75°~8in60°,

所以4C=16.8C=86+8.……12分

58.

(1)設(shè)等差數(shù)列1?！沟墓顬榫庞梢阎?，+,=0,得

2j+9d=0.又已知5=9.所以d=-2.

數(shù)列l(wèi)a.I的通項公式為4=9-2(“-1).即4=11-2m

(2)數(shù)列|0」的前n項和

S.=-^-(9+1—2n)=-n5+10n=—(n-5)1+25.

當n=5時.S,取得最大值25.

59.證明：(1)由已知得

將①兩邊平方.化簡得

（X,）+a）Iy?=（.t1+a）2yj.④

由②（3）分別得y：=-5（*o-°J）,7i="T（oS_*i）*

aa

代人④裳理得

同理可得

所以以=與'0,所以。/?平行于T軸.

60.解

設(shè)點8的坐標為(苞,%),則

1481=++yj①

因為點B在椅回上.所以24+yj=98

y,1=98-2*/②

將②ft人①，得

1481=/(陽+5)、98-21

1

=v/-(x,-10xl+25)+148

=-(?1-5)^148

因為-但-5)?40,

所以當巧=5時，-3-5/的值最大，

故1481也最大

當看=5時,由②，得y嚴士46

所以點8的坐標為(5.4&T)或(5,-46)時以81最大

解設(shè)山高CO=x則RtZJkADC中,AO=xcota

RtZi8QC中,8D=xcot3，

x

因為AB=AD-BD,ffiUa=xcola-xco\flIU=coto^,co^

答:山高為-，°百米?

6]cota-co^p

62.VZC=180o-30°-75o=75°,/.AABC為等腰三角形,則

AC=AB=120m,過C作CD_LAB,則由RtAACD可求得

CD=l/2AC=60m.即河的寬為60m.

D

1?2sin^cos^+本

解由眶已知4。)=―=-%

sind+cos^

3

(sin。?cos^),?爹

出in。+cos。

令”=sin^?cos^,得

X2+73

?e)二丁…五田強FG?噫

[G君+而

63.由此可求得4如竹⑻最小值為.

64.(I)由題意知，2R=c,所以a+b=r+r+x+y,(如圖a=x+r,b=y+r)

25題答案圖

X*.*c—x+y=>2r=a+〃-c.

設(shè)公差為</,則三邊為b-4.'〃+d.則有

(A-4>+〃="+"

得bid.

即三邊aAc分別等于3d、4d、5d.

.3--c-/-+--4-d---5-d=_dj.

(II)由(1)可知，2r、a、b、2R分別為2d、3d、4d、5d,所以這是等

差數(shù)列。

解由巳知，描網(wǎng)的長軸長2a=20

設(shè)IPFJ二m/"/=n.由橢圓的定義知,m+n=20①

又/=100-64=36,。=6,所以工(?6,0)，吊(6,0)且喝吊I=12

在△尸F(xiàn),巴中，由余弦定理得mi+/-2mncos3(r=l2'

m2+nJ--fimn=144②

m1+^mn+nJ=400③

③-②，得(2+6)mn=256,mn=256(2-4)

因此，△。工人的面積為:皿|4(130。=64(2-有)

66.

(1)當。=0時,人］)=3+2人,

/(x)-e*(jr,-H2x-t-2),/(l)-3e./(l)-5e.

所以承數(shù)/(工)的圖象在點處的切統(tǒng)

方程為y—3e-5e(;r-I).即5er—>—2e=0.

(U)當a——?時=(JT1—?g-x+2)e*.

j-—y)e*.

令.得了=-+或工=1.

令外工>>0.得r<一"或工>1.

所以/Cr)在廠】處取得極小值/⑴二手.

67.

(I)函數(shù)的定義域為(-8.+8)?

f(j)?=(e*-z-D-e*-1,