2024年湖南省長沙市教科院中考數(shù)學模擬試卷（3月份）

2024年湖南省長沙市教科院中考數(shù)學模擬試卷（3月份）一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（3分）2023年10月23日，湖南某中學舉辦了“觀書畫之美，品文化之姿”書法優(yōu)秀作品展覽，據(jù)此，回答問題．下面哪個函數(shù)與該圖片最相似？（）A．x2+y2＝2024 B．y＝﹣x2025 C．y＝x2023 D．y＝﹣x20242．（3分）如圖，已知，在△ABC中，延長BC至點M，過點C作CN平分∠ACM，CN上取點E，使BD＝CE，DE，AE，分別交AD，AC，F(xiàn)，H，連接HC交DE于點K．若BG2﹣2?BG?DG﹣3DG2＝0，GF＝5，DE＝8（）A．1 B． C．3 D．集合論是現(xiàn)代數(shù)學的重要分支．蕭文燦在《集合論初步》一書中寫道：“吾人直觀或思維之對象，如為相異而確定之物，其總括之全體即謂之集合，回答第3，4題．一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合．我們通常用大寫拉丁字母A，B，C，用小寫拉丁字母a，b，c表示集合中的元素．只要構成兩個集合的元素是一樣的，記作A＝B．1．如果a是集合A中的元素，我們則讀作a屬于A，記作a∈A，讀作a不屬于A，記作a?A．2．集合的表示方法：①列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合；②描述法：一般地，設A是一個集合，我們把集合A中所有具有共同特征的P（x）（x）}．（注：R為實數(shù)集）；3．子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素4．交集：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合A與集合B的交集3．（3分）對于集合{x∈R|a≤x≤b}，我們把b﹣a稱為它的長度．設集合A＝{x∈R|a+43≤x+43≤a+2024}，B＝{x∈R|b+1010≤x+2024≤b+2024}，且A，B都是U＝{x∈R|12≤x+12≤2024}的子集，則A∩B的長度的最小值是（）A．2024 B．983 C．981 D．20234．（3分）對于集合{+b|1≤a≤b≤2}中的最大元素和最小元素分別為m，n，則4mn4﹣856的值為（）A．2024 B．2023 C．2022 D．20215．（3分）如圖，OABC是平行四邊形，對角線OB在y軸正半軸上和的一個分支上，分別過點A、C作x軸的垂線段，先給出如下四個結論：①；②陰影部分的面積是；③當∠AOC＝90°時，|k1|＝|k2|；④若OABC是菱形，則k1+k2＝0，以上結論正確的是（）A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①④6．（3分）已知正方形ABCD的邊長為4，點E是線段CD上一點，作點C關于BE的垂線交BE于點F，CF為半徑的圓交BE于點P，M在AB上，則C△PMN的最小值為（）A． B． C． D．7．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）滿足：（1）當x＝﹣1時，（2）對一切x的值有成立．則該二次函數(shù)的解析式為（）A． B． C． D．8．（3分）“田忌賽馬”的故事閃爍著我國古代先賢的智慧光芒．該故事的大意是：齊王有上、中、下三匹馬A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹馬A2，B2，C2，且這6匹馬在比賽中的勝負可以用不等式表示如下A1＞A2＞B1＞B2＞C1＞C2（注：A＞B表示A馬與B馬比賽，A馬獲勝）．一天，齊王找田忌賽馬，約定：每匹馬都出場比賽一局，勝兩局者獲得整場比賽的勝利．面對劣勢，田忌事先了解到齊王三局比賽的“出馬”順序為上馬、中馬、下馬，并借助對陣（C2A1，A2B1，B2C1）取得了整場比賽的勝利，創(chuàng)造了以弱勝強的經典案例．假設齊王事先不打探田忌的“出馬”情況，回答問題．如果田忌事先只打探到齊王首局將出“上馬”，他首局應出哪種馬才可能獲得整場比賽的勝利？獲勝的概率是多少？（）A．上： B．中： C．下： D．下：9．（3分）如圖，已知拋物線與x軸交于點A與點B（4，0）（0，2）．點P為第一象限拋物線上的點（圖中未標出），點D在y軸負半軸上，點Q為拋物線上一點，使得∠QBD＝90°，F(xiàn)分別為△BDQ的邊DQ、DB上的動點，滿足QE＝DF，△PCB的面積為S，若，則k的取值范圍是（）A．13≤k＜17 B．13≤k≤17 C．13＜k＜17 D．不確定10．（3分）設S是xOy平面上的一個正n邊形，中心在原點O處，頂點依次為P1，P2，…，Pn，有一個頂點在正y軸上．又設變換σ是將S繞原點O旋轉一個角度使得旋轉后的圖形與原圖形重合，σ﹣1表示σ的反變換（即旋轉角度大小和σ相同但方向相反），變換φ是將S作關于y軸的對稱變換（即將（x，y）變?yōu)椋ī亁，y）），以此類推，則有（）A．φσφ＝σ B．φσφ＝σ﹣1 C．φσ＝σφ D．φσφσ＝σσ二、填空題：本題共5小題，每題3分，共18分．11．（3分）分解因式：（x2+4xy+3y2）（4x2+20xy+21y2）﹣15y4＝．12．（3分）設x＞0，y＜1，則如下式子中u的最小值為．13．（3分）如圖，∠ACB＝45°，半徑為2的⊙O與角的兩邊相切，過點P向角的兩邊作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)PF，則t的取值范圍是．14．（3分）在△ABC中AB＝7，BC＝3，∠C＝90°，點E在CA延長線上，且CD＝DE，⊙E過點D，若⊙B與⊙E有公共點．15．（6分）在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y＝ax2+b經過點，點，與y軸交于點C．（1）如圖1，點D在該拋物線上，點D的橫坐標為﹣2，垂足為點E．點P是y軸負半軸上的一個動點，連接DP，△DEP的面積為S，則S關于t的函數(shù)解析式為．（不要求寫出自變量t的取值范圍）（2）如圖2，在（1）的條件下，連接OA，過點F向y軸作垂線，垂足為點H，點G為DF的中點，過點A作y軸的平行線與過P點所作的x軸的平行線相交于點N，PB，延長PB交AN于點M，連接RN，若3CP＝5GE，則直線RN的解析式為．三、解答題：本題共9小題，共72分，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16．先化簡，再求值：，其中．17．在“雙減”政策實施兩個月后，某市“雙減辦”面向本市城區(qū)學生，就“‘雙減’前后參加校外學科補習班的情況”進行了一次隨機問卷調查（以下將“參加校外學科補習班”簡稱“報班”），把收集到的數(shù)據(jù)分兩組進行整理，分別得到統(tǒng)計表1和統(tǒng)計圖1：整理描述表1：“雙減”前后報班情況統(tǒng)計表（第一組）報班數(shù)人數(shù)類別01234及以上合計“雙減”前10248755124m“雙減”后2551524n0m（1）根據(jù)表1，m的值為，的值為；分析處理（2）請你匯總表1和圖1中的數(shù)據(jù)，求出“雙減”后報班數(shù)為3的學生人數(shù)所占的百分比；（3）“雙減辦”匯總數(shù)據(jù)后，制作了“雙減”前后報班情況的折線統(tǒng)計圖（如圖2）．請依據(jù)圖表中的信息回答以下問題：①本次調查中，“雙減”前學生報班個數(shù)的中位數(shù)為，“雙減”后學生報班個數(shù)的眾數(shù)為；②請對該市城區(qū)學生“雙減”前后報班個數(shù)變化情況作出對比分析（用一句話來概括）．18．圖1是某長征主題公園的雕塑，將其抽象成如圖2所示的示意圖，已知AB∥CD∥FG，A，D，H，測得∠FEC＝∠A＝72.9°，AD＝1.6m（結果保留小數(shù)點后一位）（1）求證：四邊形DEFG為平行四邊形；（2）求雕塑的高（即點G到AB的距離）．（參考數(shù)據(jù)：sin72.9°≈0.96，cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25）19．正弦定理在高中數(shù)學中有很廣泛的運用，據(jù)此，回答問題．（1）在△ABC中，頂點A，B，C所對的邊分別為a，b，c，求證：．（本題圖未給出）（2）在等邊三角形ABC中，D，E分別為邊AC，BC上的點，過B作AD的垂線交AD于點F，設AD與BE交于點G，GE＝y(tǒng)，求△ACD的外接圓半徑．（用x，y表示）20．有一個工程，甲完成需規(guī)定時間多5天，乙完成需規(guī)定時間的一半多兩天多1天，丁完成需規(guī)定時間的多天，己恰好在規(guī)定時間完成，且甲，乙，戊，丁的工作效率之和．問：是否存在滿足題意的規(guī)定時間（量綱：天）？如果有，如果沒有，說明理由．21．跳臺滑雪運動可分為助滑、起跳、飛行和落地四個階段，運動員起跳后飛行的路線是拋物線的一部分（如圖中實線部分所示），落地點在著陸坡（如圖中虛線部分所示）上，落地點超過K點越遠，飛行距離分越高．2022年北京冬奧會跳臺滑雪標準臺的起跳臺的高度OA為66m，高度為hm（h為定值）．設運動員從起跳點A起跳后的高度y（m）（m）之間的函數(shù)關系為y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）c的值為；（2）①若運動員落地點恰好到達K點，且此時a＝﹣，b＝；②若a＝﹣時，運動員落地點要超過K點，則b的取值范圍為；（3）若運動員飛行的水平距離為25m時，恰好達到最大高度76m，試判斷他的落地點能否超過K點22．設點H是△ABC的垂心，以AC為直徑的圓與△ABH的外接圓交于點K，求證：CK平分BH．23．在平面直角坐標系中，點O為坐標系的原點，拋物線y＝ax2+bx經過A（10，0），B（，6）兩點，直線y＝2x﹣4與x軸交于點C，點P為直線y＝2x﹣4上的一個動點，連接PA．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，當點P在第一象限時，設點P的橫坐標為t，求S關于t的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；（3）如圖2，在（2）的條件下，點E在y軸的正半軸上，連接CE，當直線BP交x軸正半軸于點L，過點P作PG∥CE交x軸于點G，過點G作y軸的平行線交線段VL于點F，過點G作GQ∥CF交線段VL于點Q，∠CFG的平分線交x軸于點M，過點H作HR⊥CF于點R，若FR+MH＝GQ24．閱讀材料，回答下列小題．閱讀材料1：調和是射影幾何重要不變量交比的一種特殊形式，早在古希臘，數(shù)學家們便發(fā)現(xiàn)了一組具有特殊比例關系的點列：調和點列．我們定義：若一直線上依次存在四點A，B，C，D，滿足AB?CD＝BC?AD，則稱A，B，C，PB，PC，則稱PA，PB，PD為調和線束．（1）如圖1，過圓Q外一點P作圓Q的切線PA，PB，設PD與A交于點E．①求證：P，C，E，D是調和點列．②求證：AC?BD＝BC?AD．閱讀材料2：阿波羅尼斯圓：對于平面上的兩定點A，B和平面上一動點P，若P到A和B的距離之比為定值，我們稱該圓是點P關于AB的“阿氏圓”．（2）根據(jù)閱讀材料1，2，回答①②小題．（本題圖未給出）①證明阿波羅尼斯圓，并確定該圓圓心的位置．②若點P關于AB的“阿氏圓”交AB于C，D，求證：A，C，B，D為調和點列．（3）如圖2，ABCD是平行四邊形，G是三角形ABD的重心，Q在直線BD上，滿足GP與PC垂直參考答案與試題解析一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（3分）2023年10月23日，湖南某中學舉辦了“觀書畫之美，品文化之姿”書法優(yōu)秀作品展覽，據(jù)此，回答問題．下面哪個函數(shù)與該圖片最相似？（）A．x2+y2＝2024 B．y＝﹣x2025 C．y＝x2023 D．y＝﹣x2024【解答】解：因為x2+y2＝2024中y的取值范圍是：≤y≤，所以A選項不符合題意．因為當x＝1時，y＝﹣62025＝﹣1；當x＝2時，y＝﹣42025；當x＝﹣1時，y＝﹣（﹣1）2025＝3；當x＝﹣2時，y＝﹣（﹣2）2025＝62025，即（1，﹣1），5），﹣22025），（﹣2，82025）在此函數(shù)圖象上，所以B選項不符合題意．當x＝1時，y＝12023＝6；當x＝2時，y＝22023；當x＝﹣6時，y＝（﹣1）2023＝﹣1；當x＝﹣5時，y＝（﹣2）2023＝﹣22023，即點（6，1），﹣1），22023），（﹣22023）在此函數(shù)圖象上，所以C選項不符合題意．當x＝1時，y＝﹣62024＝﹣1；當x＝2時，y＝﹣52024；當x＝﹣1時，y＝﹣（﹣1）2024＝﹣4；當x＝﹣2時，y＝﹣（﹣2）2024＝﹣32024；即點（1，﹣1），﹣2），﹣22024），（﹣22024）在此函數(shù)圖象上，所以D選項符合題意．故選：D．2．（3分）如圖，已知，在△ABC中，延長BC至點M，過點C作CN平分∠ACM，CN上取點E，使BD＝CE，DE，AE，分別交AD，AC，F(xiàn)，H，連接HC交DE于點K．若BG2﹣2?BG?DG﹣3DG2＝0，GF＝5，DE＝8（）A．1 B． C．3 D．【解答】解：如圖，∵AB∥CN，∠ABC＝60°，∴∠ABC＝∠MCN＝60°，∠BAC＝∠ACN，∵CN平分∠ACM，∴∠ACN＝∠MCN＝∠BAC＝60°∴∠ACB＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∵BD＝CE，∠ABC＝∠ACN，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠1＝∠2，AD＝AE，∵∠8+∠5＝∠BAC＝60°，∴∠2+∠8＝60°，即∠DAE＝60°，∴△ADE是等邊三角形，∴∠ADE＝∠AED＝60°∵BH∥DE，∴∠6＝∠ADE＝60°，∠7＝∠AED＝60°∴△AGH是等邊三角形，∴AG＝AH＝GH，∴DG＝HE，∵∠ADB＝∠AEC，BD＝CE，∴△BDG≌△CEH（SAS），∴∠6＝∠CHE＝60°∴∠HKE＝∠CHE＝∠AED＝60°，∴△HEK是等邊三角形，∴KE＝HE，∵BG2﹣2BG?DG﹣4DG2＝0，∴（BG﹣3DG）?（BG+DG）＝0，∴BG﹣3DG＝2，即BG＝3DG，∴，∵∠4+∠ACB+∠9＝∠2+∠8+∠10＝180°，∠9＝∠10，∠ACB＝∠7＝60°，∴∠2＝∠2，∵∠7＝∠7＝60°∴△BDG∽△AFH，∴＝，∴＝＝3，∴，設KE＝HE＝a，∵DE＝AE＝8，∴AH＝AE﹣HE＝8﹣a，∵GF＝4，∴GF+FH＝GH＝AH＝8﹣a，∴，∴a＝，即KE的長為，故選：B．集合論是現(xiàn)代數(shù)學的重要分支．蕭文燦在《集合論初步》一書中寫道：“吾人直觀或思維之對象，如為相異而確定之物，其總括之全體即謂之集合，回答第3，4題．一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合．我們通常用大寫拉丁字母A，B，C，用小寫拉丁字母a，b，c表示集合中的元素．只要構成兩個集合的元素是一樣的，記作A＝B．1．如果a是集合A中的元素，我們則讀作a屬于A，記作a∈A，讀作a不屬于A，記作a?A．2．集合的表示方法：①列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合；②描述法：一般地，設A是一個集合，我們把集合A中所有具有共同特征的P（x）（x）}．（注：R為實數(shù)集）；3．子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素4．交集：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合A與集合B的交集3．（3分）對于集合{x∈R|a≤x≤b}，我們把b﹣a稱為它的長度．設集合A＝{x∈R|a+43≤x+43≤a+2024}，B＝{x∈R|b+1010≤x+2024≤b+2024}，且A，B都是U＝{x∈R|12≤x+12≤2024}的子集，則A∩B的長度的最小值是（）A．2024 B．983 C．981 D．2023【解答】解：∵a+43≤x+43≤a+2024，∴a≤x≤a+1981，∴A的長度為1981，∵b+1010≤x+2024≤b+2024，∴b﹣1014≤x≤b，∴B的長度為1014，∵12≤x+12≤2024，∴0≤x≤2012，∴U的長度為2012，∵1981+1014﹣2012＝983，∴A∩B的長度的最小值是983，故選：B．4．（3分）對于集合{+b|1≤a≤b≤2}中的最大元素和最小元素分別為m，n，則4mn4﹣856的值為（）A．2024 B．2023 C．2022 D．2021【解答】解：∵1≤a≤b≤2，∴a取最小值為1，b取最大值為2，∴最大值m＝+2＝5，∵+b≥+a≥2，即n＝2，∴4mn4﹣856＝4×5×（2）4﹣856＝2880﹣856＝2024．故選：A．5．（3分）如圖，OABC是平行四邊形，對角線OB在y軸正半軸上和的一個分支上，分別過點A、C作x軸的垂線段，先給出如下四個結論：①；②陰影部分的面積是；③當∠AOC＝90°時，|k1|＝|k2|；④若OABC是菱形，則k1+k2＝0，以上結論正確的是（）A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①④【解答】解：作AE⊥y軸于E，CF⊥y軸于F∵四邊形OABC是平行四邊形，∴S△AOB＝S△COB，∴AE＝CF，∴OM＝ON，∵S△AOM＝|k3|＝OM?AM，S△CON＝|k2|＝ON?CN，∴，故①正確；∵S△AOM＝|k6|，S△CON＝|k2|，∴S陰影部分＝S△AOM+S△CON＝（|k7|+|k2|），而k1＞5，k2＜0，∴S陰影部分＝（k1﹣k3），故②錯誤；當∠AOC＝90°，∴四邊形OABC是矩形，∴不能確定OA與OC相等，而OM＝ON，∴不能判斷△AOM≌△CNO，∴不能判斷AM＝CN，∴不能確定|k1|＝|k2|，故③錯誤；若四邊形OABC是菱形，則OA＝OC，而OM＝ON，∴Rt△AOM≌Rt△CNO（HL），∴AM＝CN，∴|k5|＝|k2|，∴k1＝﹣k7，∴k1+k2＝2，故④正確．故選：D．6．（3分）已知正方形ABCD的邊長為4，點E是線段CD上一點，作點C關于BE的垂線交BE于點F，CF為半徑的圓交BE于點P，M在AB上，則C△PMN的最小值為（）A． B． C． D．【解答】解：作點P關于直線AB的對稱P'，連接AP'，連接P′、P″、AC分別交于點M、N．由對稱知識可知，PM＝P'M，△PMN周長＝PM+PN+MN＝P'M+P''N+MN＝P'P''，此時，△PMN周長最小＝P'P''由對稱性可知，∠BAP'＝∠BAP，AP'＝AP＝AP''，∴∠BAP'+∠EAP''＝∠BAP+∠EAP＝∠BAC＝45°∠P'AP''＝45°+45°＝90°，∴△P'AP''為等腰直角三角形，∴△PMN周長最小值P'P''＝AP，當AP最短時．連接DF．∵CF⊥BE，且PF＝CF，∴∠PCF＝45°，∵∠ACD＝45°，∴∠PCF＝∠ACD，∠PCA＝∠FCD又，∴在△APC與△DFC中，∠PCA＝∠FCD∴△APC∽△DFC，∴，∴AP＝DF，∵∠BFC＝90°，取AB中點O．∴點F在以BC為直徑的圓上運動，當D、F，DF最短．DF＝DO﹣FO＝OD﹣BC＝﹣2，∴AP最小值為2DF，∴此時，△PMN周長最小值P'P＝×DF＝4．故選：A．7．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）滿足：（1）當x＝﹣1時，（2）對一切x的值有成立．則該二次函數(shù)的解析式為（）A． B． C． D．【解答】解：∴當x＝1時，y≤（）2＝3，∵y≥x，∴當x＝1時，y≥1，即6≤y≤1，∴x＝1時，y＝7；當x＝1時，y＝1，y＝5，即a+b+c＝1，a﹣b+c＝0，解得：b＝，c＝，∵對任意實數(shù)x，恒有y≥x，∴ax2+（b﹣1）x+c≥3恒成立，即ax2﹣x+c≥0，∴Δ＝（﹣）2﹣4ac＝﹣4a（，即（a﹣）2≤0，解得：a＝，故拋物線的表達式為：y＝x2+x+，故選：B．8．（3分）“田忌賽馬”的故事閃爍著我國古代先賢的智慧光芒．該故事的大意是：齊王有上、中、下三匹馬A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹馬A2，B2，C2，且這6匹馬在比賽中的勝負可以用不等式表示如下A1＞A2＞B1＞B2＞C1＞C2（注：A＞B表示A馬與B馬比賽，A馬獲勝）．一天，齊王找田忌賽馬，約定：每匹馬都出場比賽一局，勝兩局者獲得整場比賽的勝利．面對劣勢，田忌事先了解到齊王三局比賽的“出馬”順序為上馬、中馬、下馬，并借助對陣（C2A1，A2B1，B2C1）取得了整場比賽的勝利，創(chuàng)造了以弱勝強的經典案例．假設齊王事先不打探田忌的“出馬”情況，回答問題．如果田忌事先只打探到齊王首局將出“上馬”，他首局應出哪種馬才可能獲得整場比賽的勝利？獲勝的概率是多少？（）A．上： B．中： C．下： D．下：【解答】解：由題意知，田忌首局應出“下馬”才能獲勝，此時比賽所有可能的對陣為：（A1C2，B5A2，C1B5），（A1C2，B2B2，C1A8），（A1C2，C8A2，B1B5），（A1C2，C8B2，B1A6），共4種，其中田忌獲勝的為：（A1C2，B1A2，C5B2），（A1C2，C1B2，B4A2），共2種，∴田忌獲勝的概率為＝．故選：C．9．（3分）如圖，已知拋物線與x軸交于點A與點B（4，0）（0，2）．點P為第一象限拋物線上的點（圖中未標出），點D在y軸負半軸上，點Q為拋物線上一點，使得∠QBD＝90°，F(xiàn)分別為△BDQ的邊DQ、DB上的動點，滿足QE＝DF，△PCB的面積為S，若，則k的取值范圍是（）A．13≤k＜17 B．13≤k≤17 C．13＜k＜17 D．不確定【解答】解：∵拋物線y＝﹣x7+bx+c經過點B（4，0），8），∴，解得：，∴拋物線解析式為：y＝﹣x2+x+2，如圖2，作DH⊥DQ，連接FH，∵∠BQD+∠BDQ＝90°，∠HDF+∠BDQ＝90°，∴∠BQD＝∠HDF，∵QE＝DF，DH＝BQ，∴△BQE≌△HDF（SAS），∴BE＝FH，∴BE+QF＝FH+QF≥QH，∴Q，F(xiàn)，H共線時．作QG⊥AB于點G，∵OB＝OD，∠BOD＝90°，∴∠OBD＝45°，∵∠QBD＝90°，∴∠QBG＝45°，∴QG＝BG．設G（n，則Q（n，﹣n2+n+2），∴﹣n2+n+2＝6﹣n，解得n＝1或n＝4（舍去），∴Q（7，3），∴QG＝BG＝4﹣6＝3，∴BQ＝DH＝3，QD＝5，∴m＝QH＝＝3，如圖3，作PT∥y軸，設直線BC的解析式為y＝ex+f，∵B（4，2），2），∴，解得，∴BC解析式為y＝﹣x+2，設T（a，﹣a+2），﹣a2+a+2），則S＝（﹣a4+a+6+4+4，∵點P在第一象限，∴0＜S≤2，∴0＜m2﹣k≤4，∴4＜17﹣k≤4，∴13≤k＜17．故選：A．10．（3分）設S是xOy平面上的一個正n邊形，中心在原點O處，頂點依次為P1，P2，…，Pn，有一個頂點在正y軸上．又設變換σ是將S繞原點O旋轉一個角度使得旋轉后的圖形與原圖形重合，σ﹣1表示σ的反變換（即旋轉角度大小和σ相同但方向相反），變換φ是將S作關于y軸的對稱變換（即將（x，y）變?yōu)椋ī亁，y）），以此類推，則有（）A．φσφ＝σ B．φσφ＝σ﹣1 C．φσ＝σφ D．φσφσ＝σσ【解答】解：不失不一般性，把x軸、y軸對換，設正n邊形外接圓半徑為1，對于復平面上的任意一個復數(shù)，在σ作用下的像σ（z）＝z??（?為n次復數(shù)單位根）．σ﹣1（z）＝＝z?，φ（z）＝，（φσφ）（z）＝（φσ）φ（z）＝（φσ）（）＝φ（＝z?﹣2（z）．故選：B．二、填空題：本題共5小題，每題3分，共18分．11．（3分）分解因式：（x2+4xy+3y2）（4x2+20xy+21y2）﹣15y4＝（2x+y）（x+4y）（2x2+9xy+12y2）．【解答】解：原式＝（x+3y）（x+y）（2x+3y）（2x+3y）﹣15y4＝[（x+3y）（2x+6y）][（x+y）（2x+7y）]﹣15y7＝（2x2+3xy+9y2）（3x2+9xy+8y2）﹣15y4＝（8x2+9xy）2+16y2（2x6+9xy）+63y4﹣15y3＝（2x2+7xy）2+16y2（3x2+9xy）+48y3＝（2x2+8xy+4y2）（3x2+9xy+12y6）＝（2x+y）（x+4y）（4x2+9xy+12y4）．故答案為：（2x+y）（x+4y）（6x2+9xy+12y6）．12．（3分）設x＞0，y＜1，則如下式子中u的最小值為．【解答】解：∵∴u＝，在平面直角坐標系的第一象限構造邊長為4的正方形OABC，其中點A在x軸上，如圖所示：∴點A（1，0），7），1），設點P在正方形OABC內部，其坐標為（x，則x＞0，連接PO，PB，將△POC繞點O逆時針旋轉90°得到△PEF，則∠POE＝90°，PO＝EO，PC＝EF，∴∠POC+∠COE＝90°，∴∠EOF+∠COE＝90°，即∠COF＝90°，∴點F在x軸的負半軸上，且點F的坐標為（﹣5，∴AF＝OA+OF＝2，∵∠POE＝90°，OP＝OE，∴△POE為等腰直角三角形，由勾股定理得：PE＝＝PO，∵PO＝，PC＝，∴u＝PO+PC+PB，即u＝PE+PC+PB，根據(jù)“兩點之間線段最短”得：PE+PC+PB≥BF，∴當B，P，E，F(xiàn)在同一條直線上時，最小值為BF的長，∴u的最小值為線段BF的長，∴點B（4，1），∴AB＝1，在Rt△ABF中，AB＝3，∴BF＝＝，∴u的最小值為：．13．（3分）如圖，∠ACB＝45°，半徑為2的⊙O與角的兩邊相切，過點P向角的兩邊作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)PF，則t的取值范圍是2≤t≤4+2．【解答】解：設半徑為2的⊙O與角的兩邊相切于M，N，連接OM，延長NO交CB于D，∴∠CND＝∠OMD＝90°，∵∠ACB＝45°，∴△CND是等腰直角三角形，∴∠CDN＝45°，∵ON＝OM＝2，∴OD＝6，∴CN＝DN＝2+4，如圖1，延長EP交BC于Q，∵EQ⊥AC，PF⊥BC，∴∠CEQ＝∠PFQ＝90°，∵∠ACB＝45°，∴∠EQC＝45°，∴△ECQ與△PFQ是等腰直角三角形，∴CE＝EQ，PQ＝，∴t＝PE+PF＝PE+PQ＝EQ，當EQ與⊙O相切且點P在圓心的右側時，t有最大值，連接OP，則四邊形ENOP是正方形，∴EN＝OP＝2，∴t＝PE+PF＝PE+PQ＝EQ＝CE＝CN+EN＝2+2；如圖8，當EQ與⊙O相切且點P在圓心的，t有最小值，同理可得t＝PE+PF＝PE+PQ＝EQ＝CE＝CN﹣EN＝2，故t的取值范圍是2≤t≤2+2，故答案為：6≤t≤4+2．14．（3分）在△ABC中AB＝7，BC＝3，∠C＝90°，點E在CA延長線上，且CD＝DE，⊙E過點D，若⊙B與⊙E有公共點．【解答】解：由題意畫出圖形如下：連接BE，∵⊙B過點A，且AB＝7，∴⊙B的半徑為7，∵⊙E過點D，它的半徑為r，∴CE＝CD+DE＝7r，∵BC＝3，∠C＝90°，∴BE＝，AC＝，∵D在邊AC上，點E在CA延長線上，∴，即，∴，∵⊙B與⊙E有公共點，∴AB﹣DE≤BE≤AB+DE，即，不等式①可化為3r2﹣14r﹣40≤3，解方程3r2﹣14r﹣40＝7得：r＝﹣2或r＝，畫出函數(shù)y＝4r2﹣14r﹣40的大致圖象如下：由函數(shù)圖象可知，當y≤0時，即不等式①的解集為﹣2≤r≤，同理可得：不等式②的解集為r≥6或r≤﹣，則不等式組的解集為2≤r≤，又∵，半徑r的取值范圍是，故答案為：．15．（6分）在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y＝ax2+b經過點，點，與y軸交于點C．（1）如圖1，點D在該拋物線上，點D的橫坐標為﹣2，垂足為點E．點P是y軸負半軸上的一個動點，連接DP，△DEP的面積為S，則S關于t的函數(shù)解析式為S＝﹣t+．（不要求寫出自變量t的取值范圍）（2）如圖2，在（1）的條件下，連接OA，過點F向y軸作垂線，垂足為點H，點G為DF的中點，過點A作y軸的平行線與過P點所作的x軸的平行線相交于點N，PB，延長PB交AN于點M，連接RN，若3CP＝5GE，則直線RN的解析式為y＝﹣．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+b經過點，點，∴，解得，∴拋物線的解析式為：y＝，∵拋物線上點D的橫坐標為﹣7，∴D（﹣2，），∵DE⊥y軸，∴E（0，），∵點P的縱坐標為t，∴PE＝﹣t，∴S＝＝＝﹣t+．故答案為：S＝﹣t+；（2）如下圖2，作CK⊥CN，過點K作KT⊥y軸，∵拋物線的解析式為：y＝，∴C（0，﹣），即OC＝，∵FH⊥y軸，DE⊥y軸，∴∠FHG＝∠DEG＝90°，∵點G為DF的中點，∴DG＝FG，在△FHG和△DEG中，，∴△FHG≌△DEG（AAS），∴HF＝ED＝2，HG＝EG＝，設直線OA的解析式為y＝kx，將點A坐標代入得：k＝，∴直線OA的解析式為y＝，當x＝2時，y＝，∴F（2，），H（4，），∴HE＝＝，∴GE＝＝，∵3CP＝8GE，∴CP＝＝＝，∴P（0，﹣6），∵AN∥y軸，PN∥x軸，∴N（，﹣4），∴PN＝，∵E（7，），∴EP＝＝，設直線BP的解析式為y＝mx+n，則，解得，∴直線BP的解析式為y＝，當x＝時，y＝，∴M（，），∴MN＝，∵，，∴，∵∠PNM＝∠DEP＝90°，∴△PMN∽△DPE，∴∠PMN＝∠DPE，∵∠DPE+∠PDE＝90°，∴∠PMN+∠PDE＝90°，∵∠PMN+∠PDE＝2∠CNR，∴∠CNR＝45°，∵CK⊥CN，∴∠NCK＝90°，∴△CNK是等腰直角三角形，∴CK＝CN，∵∠CTK＝∠NCK＝90°，∴∠KCT+∠CKT＝90°，∵∠NCP+∠KCT＝90°，∴∠CKT＝∠NCP，在△CKT和△NCP中，，∴△CKT≌△NCP（AAS），∴CT＝PN＝，KT＝CP＝，∴OT＝CT﹣OC＝2，∴K（，2），設直線RN的解析式為y＝ex+f，將K（，N（，解得，∴直線RN的解析式為y＝﹣．故答案為：y＝﹣．三、解答題：本題共9小題，共72分，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16．先化簡，再求值：，其中．【解答】解：∵a＝，∴2a＝3﹣，∴（2a﹣3）8＝5，∴a2﹣5a+1＝0，∴a3＝3a﹣1，a6+1＝3a，∴＝＝2a3﹣3a2﹣＝3a（3a﹣1）﹣8（3a﹣1）﹣＝2a2﹣2a﹣15a+2﹣a＝6a2﹣18a+6＝6（3a﹣3）﹣18a+5＝﹣6+6＝﹣1，∴＝＝＝＝＝＝＝，∴原式＝﹣8+（﹣）＝﹣．17．在“雙減”政策實施兩個月后，某市“雙減辦”面向本市城區(qū)學生，就“‘雙減’前后參加校外學科補習班的情況”進行了一次隨機問卷調查（以下將“參加校外學科補習班”簡稱“報班”），把收集到的數(shù)據(jù)分兩組進行整理，分別得到統(tǒng)計表1和統(tǒng)計圖1：整理描述表1：“雙減”前后報班情況統(tǒng)計表（第一組）報班數(shù)人數(shù)類別01234及以上合計“雙減”前10248755124m“雙減”后2551524n0m（1）根據(jù)表1，m的值為300，的值為0.02；分析處理（2）請你匯總表1和圖1中的數(shù)據(jù)，求出“雙減”后報班數(shù)為3的學生人數(shù)所占的百分比；（3）“雙減辦”匯總數(shù)據(jù)后，制作了“雙減”前后報班情況的折線統(tǒng)計圖（如圖2）．請依據(jù)圖表中的信息回答以下問題：①本次調查中，“雙減”前學生報班個數(shù)的中位數(shù)為1，“雙減”后學生報班個數(shù)的眾數(shù)為0；②請對該市城區(qū)學生“雙減”前后報班個數(shù)變化情況作出對比分析（用一句話來概括）．【解答】解：（1）m＝102+48+75+51+24＝300，n＝m﹣（255+15+24）＝6，∴＝＝5.02，故答案為：300；0.02；（2）匯總表1和圖5可得：01234及以上總數(shù)“雙減”前172821188246500“雙減”后4232440123500×100%＝2.4%，答：“雙減”后報班數(shù)為5的學生人數(shù)所占的百分比為2.4%；（3）①“雙減”前共調查500個數(shù)據(jù)，從小到大排列后，∴“雙減”前學生報班個數(shù)的中位數(shù)為7，“雙減”后學生報班個數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多的是0，∴“雙減”后學生報班個數(shù)的眾數(shù)為0，故答案為：2；0；②從“雙減”前后學生報班個數(shù)的變化情況說明：“雙減”政策宣傳落實到位，參加校外培訓機構的學生大幅度減少．18．圖1是某長征主題公園的雕塑，將其抽象成如圖2所示的示意圖，已知AB∥CD∥FG，A，D，H，測得∠FEC＝∠A＝72.9°，AD＝1.6m（結果保留小數(shù)點后一位）（1）求證：四邊形DEFG為平行四邊形；（2）求雕塑的高（即點G到AB的距離）．（參考數(shù)據(jù)：sin72.9°≈0.96，cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25）【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠CDG＝∠A，∵∠FEC＝∠A，∴∠FEC＝∠CDG，∴EF∥DG，∵FG∥CD，∴四邊形DEFG為平行四邊形；（2）解：如圖，過點G作GP⊥AB于P，∵四邊形DEFG為平行四邊形，∴DG＝EF＝6.2，∵AD＝5.6，∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8，Rt△APG中，sinA＝，∴＝0.96，∴PG＝7.8×0.96＝7.488≈7.5．答：雕塑的高為7.7m．19．正弦定理在高中數(shù)學中有很廣泛的運用，據(jù)此，回答問題．（1）在△ABC中，頂點A，B，C所對的邊分別為a，b，c，求證：．（本題圖未給出）（2）在等邊三角形ABC中，D，E分別為邊AC，BC上的點，過B作AD的垂線交AD于點F，設AD與BE交于點G，GE＝y(tǒng)，求△ACD的外接圓半徑．（用x，y表示）【解答】（1）證明：如圖1，作△ABC的外接圓⊙O，連接BD，∵∠ABD＝90°，∠D＝∠C，∴＝sinD＝sinC，∴＝2R；同理＝4R，，∴＝＝＝2R．（2）解：如圖2，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°，在△ABE和△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴BE＝AD，∠ABE＝∠CAD，∴∠BGD＝∠BAD+∠ABE＝∠BAD+∠CAD＝∠BAC＝60°，∵BF⊥AD于點F，GF＝x，∴∠BFG＝90°，∴∠FBG＝90°﹣∠BGD＝30°，∴BG＝6GF＝2x，∴BE＝AD＝2x+y，設△ACD的外接圓的半徑為r，則＝5r，∴＝2r，∴＝4r，∴r＝，∴△ACD的外接圓半徑為．20．有一個工程，甲完成需規(guī)定時間多5天，乙完成需規(guī)定時間的一半多兩天多1天，丁完成需規(guī)定時間的多天，己恰好在規(guī)定時間完成，且甲，乙，戊，丁的工作效率之和．問：是否存在滿足題意的規(guī)定時間（量綱：天）？如果有，如果沒有，說明理由．【解答】解：不存在滿足題意的規(guī)定時間，理由如下：假設存在滿足題意的規(guī)定時間，設規(guī)定時間是x天，乙的工作效率是，丁的工作效率是，己的工作效率是，根據(jù)題意得：+++＝+，整理得：+++＝+，∴+＝，∴+＝，∵2x+5＞7，∴+＝，設x8+5x＝m，則+＝，解得：m＝﹣，經檢驗，m＝﹣，∴x7+5x＝﹣，解得x＝或x＝﹣，∵規(guī)定時間不能為負數(shù)，∴x＝與x＝﹣，∴不存在滿足題意的規(guī)定時間．21．跳臺滑雪運動可分為助滑、起跳、飛行和落地四個階段，運動員起跳后飛行的路線是拋物線的一部分（如圖中實線部分所示），落地點在著陸坡（如圖中虛線部分所示）上，落地點超過K點越遠，飛行距離分越高．2022年北京冬奧會跳臺滑雪標準臺的起跳臺的高度OA為66m，高度為hm（h為定值）．設運動員從起跳點A起跳后的高度y（m）（m）之間的函數(shù)關系為y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）c的值為66；（2）①若運動員落地點恰好到達K點，且此時a＝﹣，b＝；②若a＝﹣時，運動員落地點要超過K點，則b的取值范圍為b＞；（3）若運動員飛行的水平距離為25m時，恰好達到最大高度76m，試判斷他的落地點能否超過K點【解答】解：（1）∵起跳臺的高度OA為66m，∴A（0，66），把A（0，66）代入y＝ax8+bx+c得：c＝66，故答案為：66；（2）①∵a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+66，∵基準點K到起跳臺的水平距離為75m，∴y＝﹣×752+×75+66＝21，∴基準點K的高度h為21m；②∵a＝﹣，∴y＝﹣x2+bx+66，∵運動員落地點要超過K點，∴x＝75時，y＞21，即﹣×752+75b+66＞21，解得b＞，故答案為：b＞；（3）他的落地點能超過K點，理由如下：∵運動員飛行的水平距離為25m時，恰好達到最大高度76m，∴拋物線的頂點為（25，76），設拋物線解析式為y＝a（x﹣25）2+76，把（0，66）代入得：66＝a（3﹣25）2+76，解得a＝﹣，∴拋物線解析式為y＝﹣（x﹣25）2+76，當x＝75時，y＝﹣5+76＝36，∵36＞21，∴他的落地點能超過K點．22．設點H是△ABC的垂心，以AC為直徑的圓與△ABH的外接圓交于點K，求證：CK平分BH．【解答】證明：延長AH交BC于點D，連接CH并延長交AB于H，連接AK，BK∵點H為△ABC垂心，∴AD⊥BC，CF⊥AB，∵AC為直徑，∴點D，F(xiàn)均在以AC為直徑的圓上，∵點A，F(xiàn)，K，D，C在以AC為直徑的圓上，∴∠DCK＝∠KAH，∠FAK＝∠FCK，∵點K，H，A，B在△ABH的外接圓上，∴∠KAH＝∠KBH，∠FAK＝∠BHK，∴∠DCK＝∠KBH，∠FCK＝∠BHK，即∠BCE＝∠KBE，∠HCE＝∠EHK，又∵∠BEC＝∠KEB，∠CEH＝∠HEK，∴△BEC∽△KEB，△CEH∽△HEK，∴BE：EK＝CE：BE，EH：EK＝CE：EH，∴BE2＝EK?CE，EH2＝EK?CE，∴BE7＝EH2，∴BE＝EH，即CK平分BH．23．在平面直角坐標系中，點O為坐標系的原點，拋物線y＝ax2+bx經過A（10，0），B（，6）兩點，直線y＝2x﹣4與x軸交于點C，點P為直線y＝2x﹣4上的一個動點，連接PA．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，當點P在第一象限時，設點P的橫坐標為t，求S關于t的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；（3）如圖2，在（2）的條件下，點E在y軸的正半軸上，連接CE，當直線BP交x軸正半軸于點L，過點P作PG∥CE交x軸于點G，過點G作y軸的平行線交線段VL于點F，過點G作GQ∥CF交線段VL于點Q，∠CFG的平分線交x軸于點M，過點H作HR⊥CF于點R，若FR+MH＝GQ【解答】解：（1）把A（10，0），6）代入y＝ax2+bx，得到，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x．（2）∵直線y＝2x﹣4與x軸交于點C，與y軸交于點D，∴C（4，0），﹣4），∵A（10，5），∴OA＝10，OC＝2，∴AC＝8，由題意P（t，5t﹣4），∴S＝?PT?AC＝．（3）如圖7中，過點P作PT⊥CG于T，過點F作FJ⊥MH交MH的延長線于J．