2020高考文數(shù)考前回扣3環(huán)節(jié)

考前回扣3環(huán)節(jié)

1.集合與常用邏輯用語

必記知識

1.集合的性質(zhì)

(1)AnBNA,AnBGB;AGAUB,BGAUB;AUA=A,AU0=A,AUB=BUA;AnA=A,A

no=0,AnB=BnA.

(2)若ACB,則AnB=A;反之，若AnB=A,則AGB.

若AcB,則AUB=B;反之，若AUB=B,則AUB.

(3)AnCuA=0,AUCUA=U,EU(CUA)=A.

2.四種命題的相互關(guān)系

3.全稱命題與特稱命題

全稱命題p:Vx?M,p(x)的否定為特稱命題p:3x0￡M,p(x0);

特稱命題p3xoGM,p(xo)的否定為全稱命題p:Vx?M,p(x).

必會結(jié)論

L集合之間關(guān)系的判斷方法

(1)A￡BQAGB且AWB,類比于a<b=aWb且aWb.

(2)AGBoA麋B或A=B,類比于aWb=a<b或a=b.

(3)A=B=AGB且A?B,類比于a=boaWb且a》b.

2.充分條件與必要條件的重要結(jié)論

(1)如果p臺q,那么p是q的充分條件,q是p的必要條件.

(2)如果p=q,但q=/p,那么p是q的充分不必要條件.

(3)如果p=q,且q=p,那么p是q的充要條件.

(4)如果q=p,但p=/q,那么p是q的必要不充分條件.

(5)如果p=/q,且qn/p,那么p是q的既不充分也不必要條件.

3.利用等價命題判斷充要條件問題

如p是q的充分條件,即命題“若p,則q"為真命題，等價命題是“若q,則p"為真命

題，即q是p的充分條件.

必糾易錯

1.遇到AAB=。時,你是否注意到“極端”情況:A=0或B=0同樣在應(yīng)用條件

AUB=BQAnB=A=AGB時，不要忽略A=0的情況.

2.“否命題”是對原命題“若p,貝Uq”既否定其條件，又否定其結(jié)論;而“命題p的否

定”，即非P，只是否定命題p的結(jié)論.

3.要弄清先后順序：“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A,且A不能推出B;而

“A是B的充分不必要條件”則是指A能推出B,且B不能推出A.

2.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

必記知識

1.函數(shù)的奇偶性、周期性

(1)奇偶性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì),對于定義域內(nèi)的任意x(定義域關(guān)于原點(diǎn)對

稱)，都有f(-x)=-f(x)成立，則f(x)為奇函數(shù)(都有f(-x)=f(x)=f(|x|)成立，則f(x)為偶函數(shù)).

(2)周期性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì),一般地，對于函數(shù)f(x),如果對于定義域內(nèi)的

任意一個x的值，都有f(x+T)=f(x)(TWO),那么f(x)是周期函數(shù),T是它的一個周期.

2.指數(shù)與對數(shù)式的運(yùn)算公式

am-an=am+n;(am)n=amn;(ab)m=ambm(a,b>0).

M

loga(MN)=logaM+logaN;loga-=logaM-logaN;

nloN

logaM=nlogaM;a^=N;logaN=^|^(a>0且aWl,b>0且b￥l,M>0,N>0).

3.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的對比區(qū)分表

解析

x

y=a(a>0J=LaW1)y=logax(a>0且aW1)

式

圖象

定義

(0,+oo)

域

值域(0,+?)R

0<a<l時，在R上

單調(diào)

是減函數(shù);a>l時，0<a<l時，在(0,+s)上是減函數(shù);a>l時，在(0,+⑹上是增函數(shù)

性

在R上是增函數(shù)

4.方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

(1)方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系

由函數(shù)零點(diǎn)的定義，可知函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=0的實數(shù)根，也就是函數(shù)y=f(x)

的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以，方程f(x)=0有實數(shù)根Q函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)

=函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn).

(2)函數(shù)零點(diǎn)的存在性

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且f(a)?f(b)<0,那么函數(shù)

f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個零點(diǎn),即存在c?(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的實

數(shù)根.

5.導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則

(1)基本導(dǎo)數(shù)公式

c'=0(c為常數(shù))；

(xm)'=mxml(m￡Q);

(sinx)-cosx;(cosx)--sinx;

(ax)f=axlna(a>0且三e*;

11

(logx)'=—(a>01.a^l);(lnx)'=-.

akllCL

(2)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算

uUv-uv

b/oz).m

6.導(dǎo)數(shù)與極值、最值

⑴函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f'(xo)=O且f'(X)在X=Xo附近"左正右負(fù)"Qf(x)在X=Xo

處取得極大值;函數(shù)f(x)在X=Xo處的導(dǎo)數(shù)f(Xo)=O且f，(x)在X=Xo附近"左負(fù)右正"0f(x)

在X=Xo處取得極小值.

(2)函數(shù)f(x)在一閉區(qū)間上的最大值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極值與其端點(diǎn)值中的“最大

值”；函數(shù)f(x)在一閉區(qū)間上的最小值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極值與其端點(diǎn)值中的“最小

值”.

必會結(jié)論

1.函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的重要結(jié)論

⑴當(dāng)f(x),g(x)同為增(減)函數(shù)時,f(x)+g(x)為增(減)函數(shù).

(2)奇函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有相反的

單調(diào)性.

(3)f(x)為奇函數(shù)Qf(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；f(x)為偶函數(shù)Qf(x)的圖象關(guān)于y軸對稱.

(4)偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)是偶函數(shù),奇函數(shù)的和、差是奇函數(shù)，積、商(分

母不為零)是偶函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)的積、商(分母不為零)是奇函數(shù).

(5)定義在(-00,+oo)上的奇函數(shù)的圖象必過原點(diǎn)，即有f(0)=0.存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)

的函數(shù)f(x)=0.

(6)f(x)+f(-x)=0Qf(x)為奇函數(shù)；

f(x)-f(-x)=0of(x)為偶函數(shù).

2.函數(shù)的周期性的重要結(jié)論

周期函數(shù)y=f(x)滿足：

(1)若f(x+a)=f(x-a)廁函數(shù)的周期為21al.

(2)若f(x+a)=-f(x),則函數(shù)的周期為2|a|.

(3)若f(x+a)=-4,則函數(shù)的周期為2|a|.

f(x)

3.函數(shù)圖象對稱變換的相關(guān)結(jié)論

(l)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱的圖象是函數(shù)y=f(-x)的圖象.

(2)y=f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱的圖象是函數(shù)y=-f(x)的圖象.

(3)y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖象是函數(shù)y=-f(-x)的圖象.

(4)y=f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱的圖象是函數(shù)y=f"(x)的圖象.

(5)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=m對稱的圖象是函數(shù)y=f(2m-x)的圖象.

(6)y=f(x)的圖象關(guān)于直線y=n對稱的圖象是函數(shù)y=2n-f(x)的圖象.

4.函數(shù)圖象平移變換的相關(guān)結(jié)論

(1)把y=f(x)的圖象沿x軸向左或向右平移|c|個單位長度(c>0時向左平移,c<0時向右平

移)得到函數(shù)y=f(x+c)的圖象(c為常數(shù)).

(2)把y=f(x)的圖象沿y軸向上或向下平移|b|個單位長度(b>0時向上平移,b<0時向下平

移)得到函數(shù)y=f(x)+b的圖象(b為常數(shù)).

5.函數(shù)圖象伸縮變換的相關(guān)結(jié)論

(1)把y=f(x)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(a>l)或縮短(0<a<l)到原來的a倍，而橫坐標(biāo)不變,

得到函數(shù)y=af(x)(a>0)的圖象.

(2)把y=f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(0<b<l)或縮短(b>l)到原來的看而縱坐標(biāo)不變，得

至U函數(shù)y=f(bx)(b>0)的圖象.

6.可導(dǎo)函數(shù)與極值點(diǎn)之間的三種關(guān)系

(1)定義域D上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x=x0處取得極值的充要條件是f(xo)=O,并且f(x)在

X=Xo兩側(cè)異號，若“左負(fù)右正”，則X=Xo為極小值點(diǎn)，若“左正右負(fù)"，則x=xo為極大值點(diǎn).

(2)函數(shù)f(x)在x=x()處取得極值時，它在這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不一定存在，例如函數(shù)y=|x|,結(jié)合圖象

知它在x=0處有極小值,但它在x=0處的導(dǎo)數(shù)不存在.

(3)f'(xo)=O是函數(shù)f(x)在x=x()處取得極值的既不充分也不必要條件，要注意對極值點(diǎn)進(jìn)

行檢驗.

7.抽象函數(shù)的性質(zhì)與特殊函數(shù)模型的對照表

抽象函數(shù)的性質(zhì)特殊函數(shù)模型

①f(x)f(y)=f(x+y)(x,yGR),

②需=f(x-y)(x,yeR,指數(shù)函數(shù)f(x)=aX(a>O,a21)

f(y)WO)

①對數(shù)函數(shù)f(x)=logaX(a>0,aWl)

f(xy)=f(x)+f(y)(x>0,y>0),

②f6)=f(x)-f(y)(x>0,y>0)

①f(xy)=f(x)f(y)(x,yeR),

②f6)=得(x，y?R，ywo,募函數(shù)f(x)=xn

f(y)wo)

f(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y)三角函數(shù)f(x)=sinx,g(x)=cosx

必糾易錯

1.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時，多個單調(diào)區(qū)間之間不能用符號“U”和“或”連接，可用“和”連

接或用隔開.單調(diào)區(qū)間必須是“區(qū)間”，而不能用集合或不等式代替.

2.判斷函數(shù)的奇偶性，要注意定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對稱，有時還要對函數(shù)式化簡整理，但

必須注意使定義域不受影響.

3.分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上,分別用不同的式子來表示對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，它是

一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù).

4.不能準(zhǔn)確理解導(dǎo)函數(shù)的幾何意義，易忽視切點(diǎn)(xo,f(x。))既在切線上，又在函數(shù)圖象上，

而導(dǎo)致某些求導(dǎo)數(shù)的問題不能正確解出.

5.易混淆函數(shù)的極值與最值的概念，錯以為f停)=0是函數(shù)y=f(x)在x=x0處有極值的充

要條件.

3.不等式

必記知識

L不等式的性質(zhì)

(l)a>b,b>c=>a>c.

(2)a>b,c>0=>ac>bc;a〉b,c<0=ac<bc.

(3)a>b=>a+c>b+c.

(4)a>b,c>d=>a+c>b+d.

(5)a>b>0,c>d>0=>ac>bd.

(6)a>b>0,nGN,n>1an>bn,\[a>\[b.

2.簡單分式不等式的解法

⑴緇〉0=f(x)g(x)>0,緇<0=f(x)g(x)<0.

(2戶三0=")。(%)?0,

⑷決)(9(%)豐0,

華-仇

g(x)lg(%)豐0.

(3)對于形如好>a(Na)的分式不等式要采取:移項一通分一化乘積的方法轉(zhuǎn)化為(1)或(2)

。(為

的形式求解.

3.利用基本不等式求最值

⑴對于正數(shù)x,y,若積xy是定值p,則當(dāng)x=y時，和x+y有最小值2后

(2)對于正數(shù)x,y,若和x+y是定值s,則當(dāng)x=y時，積xy有最大值少

必會結(jié)論

L一元二次不等式的恒成立問題

a>0,

4<0.

a<0,

4<0.

2.基本不等式的變形

⑴根式形式:a+bN2V^F(a>0,b>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.

(2)整式形

2222

式:abW(等)(a,b?R),a2+b2^2ab(a,b?R),(a+b)2^4ab(a,beR),^)W巴受(a,b?R),以上

不等式當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.

(3)分式形式★夢2(ab>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.

(4)倒數(shù)形式:a+$2(a>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=l時，等號成立;a+X-2(a<0),當(dāng)且僅當(dāng)a=-l時，等號

aa

成立.

3.線性規(guī)劃中的兩個重要結(jié)論

⑴點(diǎn)M(xo,yo)在直線l:Ax+By+C=0(B>0)上方(或下方)=Axo+Byo+C>O(或<0).

(2)點(diǎn)A(xi,yD,B(X2,y2)在直線l:Ax+By+C=O同側(cè)(或異

側(cè))=(Axi+Byi+C)(Ax2+By2+C)>0(或<0).

必糾易錯

1.不等式兩端同時乘一個數(shù)或同時除以一個數(shù),不討論這個數(shù)的正負(fù)，從而出錯.

2.容易忽視使用基本不等式求最值的條件，即“一正、二定、三相等”導(dǎo)致錯解,如求函

數(shù)f(x)=V^T^+五施的最值，就不能利用基本不等式求解;求解函數(shù)y=x+：(x<0)的最值時應(yīng)

先轉(zhuǎn)化為正數(shù)再求解.

3.解線性規(guī)劃問題,要注意邊界的虛實;注意目標(biāo)函數(shù)中y的系數(shù)的正負(fù);注意最優(yōu)整數(shù)

解.

4.三角函數(shù)

必記知識

L同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系:sida+cos2a=1.

(2)商的關(guān)系:tanWkn+1,keZ).

2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

公式―*二三四五六

2k7i+a71

角兀+a-a兀-a—a-+a

22

(kez)

正弦sina-sina-sinasinacosacosa

余弦cosa-cosacosa-cosasina-sina

正切tanatana-tana-tana

函數(shù)名改

口訣函數(shù)名不變，符號看象限變,符號看

象限

3.三種三角函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

y

圖象:人.

11J\.

寺OS%

；2

在在

[--+2kjr,-+2k[-兀+2k7i,2k

22

?！?k￡Z)上

兀」(k￡Z)上單

單調(diào)單調(diào)遞增；

調(diào)遞增;在在(/+k7i*+k7i)(keZ)上單調(diào)遞增

性在

L-+2kji,—+2k

22[2kji,兀+2k兀

兀］(k@Z)上單](kGZ)上

調(diào)遞減單調(diào)遞減

對稱中

對稱中

心：C+k兀,0

心:(k兀,0)(k￡Z2

對稱);對稱

)(k《Z);對對稱中心:(場,0)(kGZ)

性

軸:x=1+k兀(k稱

軸:x=k7i(k

GZ)

GZ)

4.三角函數(shù)的兩種常見變換

向左(「>0)或向右

(l)y=sinx平移㈤個單位y=sin(x+(p)

橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼摹?/p>

縱坐標(biāo)不變y=sin?x+(p)

縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍,

橫坐標(biāo)不變y=Asin(cox+(p)(A>0,(o>0).

橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼摹?/p>

3

(2)y=sinx縱坐標(biāo)不變y=sincox

向左(平〉。或向右(中<0)

平移里個單位./工、

gy=sm(cox+(p)

縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍

橫坐標(biāo)不變y=Asin(cox+(p)(A>0,(o>0).

5.三角恒等變換的主要公式

sin(a±P)=sinacos。±cosasinP;

cos(a±P)=cosacosP+sinasin0;

/,c、tana+tan/?

tan(a±B)=-----=~《；

r/1tanatan/?

sin2a=2sinacosa;cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a;tan2a=^.

6.正弦定理與余弦定理的變形

(1)正弦定理的變形

①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.

②sinA=—,sinB=—,sinC=—.

2R'2R'2R

③a:b:c=sinA：sinB：sinC.

注:R是三角形外接圓的半徑.

(2)余弦定理的變形

八2_|_「22c2j_「22222

nh廠a+b-c

①FTCOSFRQOSc=---------

cosA=-,B-2ab

②b2+c2-a2=2bccosA,a2+c2-b2=2accosB,a2+b2-c2=2abcosC.

必會結(jié)論

1.三角恒等變換的常用技巧

⑴常值代換①“1”的代換，如l=sin2e+cos2e,l=2sinU=2cosE=&sin：l=tanU.②特殊三角

6344

函數(shù)值的代換.

(2)角的變換:涉及角與角之間的和、差、倍、互補(bǔ)、互余等關(guān)系時，常見的拆角、湊角技

巧有2a=(a+p)+(a-p),a=(a+p)-p=(a-p)+p,p=^-^=(a+2p)-(a+p),^+a=^-Q-a^.

2.三角形中的常見結(jié)論

(1)有關(guān)角的結(jié)論

A+B+C=&A+C=2BnB三;AF-(B+C)=>|=p-^|^-,sinA=sin(B+C),cos

A/-r\?4B+CA.B+C

A=-cos(B+C),sm-=cos-^—,cos-=sm-^—.

(2)有關(guān)邊的結(jié)論

在等腰三角形(腰為a,底邊為c)中,若頂角為a則a：c=l：1;若頂角為*則a：c=l：V2;

若頂角為竽則a：c=l：V3.

(3)有關(guān)邊角關(guān)系的結(jié)論

b2+c2-a2=bc=>A=-;b2+c2-a2=V3bc=>A=-;

36

b2+c2+bc=a2=>A=^;b2+c2+V2bc=a2=>A=亨.

必糾易錯

1.在求三角函數(shù)的值域(或最值)時，不要忽略x的取值范圍.

2.求y=Asin?x+(p)的單調(diào)區(qū)間時，要注意3,A的符號,3<0時,應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式將x的系

數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)再求解;在書寫單調(diào)區(qū)間時,不能弧度和角度混用，需加2k7r時，不要忘掉kez,

所求區(qū)間一般為閉區(qū)間.

3.對三角函數(shù)的給值求角問題,應(yīng)選擇該角所在范圍內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，這樣，由三角函數(shù)值

才可以唯一確定角,若角的范圍是(03),選正、余弦皆可;若角的范圍是(0,兀),選余弦較好;若角

的范圍是選正弦較好.

4.利用正弦定理解三角形時，注意解的個數(shù)的討論,可能有一解、兩解或無解，在AABC

中,A>BosinA>sinB.

5.平面向量

必記知識

1.平面向量共線的坐標(biāo)表示的兩種形式

(1)若a=(xi,yi),b=(x2,y2),則a〃boxiy2=X2yi,此形式對任意向量a,b(bW0)都適用.

(2)若a=(xi,yi),b=(x2,y2),且X2y2#0,則a//b<^—=—.

x272

需要注意的是可以利用包=也來判定a〃b,但是反過來不一定成立.

犯y-z

2.平面向量的數(shù)量積

已知非零向量a=(xi,yi),b=(x2,y2),0為向量a,b的夾角.

結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示

模|a|=Vci*CL|a|=7^i+

數(shù)量積a?b=|a||b|cos0a?b=xiX2+yiy2

八a-ba-^1^2+7172

夾角cos0=-——-WOV

回網(wǎng)^i+7i?、xl+yl

a_Lb的

a?b=0xix2+yiy2=0

充要條件

la?b|la?b|<|a||b|%

|xix2+yiy2|^7i+7i*

與|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a〃b

J

好+賢

的關(guān)系時等號成立)

3.兩向量的夾角與數(shù)量積

設(shè)兩個非零向量a與b的夾角為0,則

當(dāng)8=0°時,cos0=1,a,b=|a||b|;

當(dāng)0為銳角時,cos0>O,a,b>0;

當(dāng)0為直角時,cos9=0,a,b=0;

當(dāng)0為鈍角時,cos0<O,a,b<0;

當(dāng)0=180。時,cos0=-l,a?b=-|a||b|.

必會結(jié)論

L三點(diǎn)共線的判定

A,B,C三點(diǎn)共線0南,就共線；

向量或，麗，麗中三終點(diǎn)A,B,C共線Q存在實數(shù)使得方=a而+0而，且a+°=l.

2.三角形“四心”向量形式的充要條件

設(shè)O為4ABC所在平面上一點(diǎn)，角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,則

(1)0為4ABC的外心=|。彳|=|演|=|了|=就.

(2)0為AABC的重心Q雨+麗+詫=0.

(3)0為4ABC的垂心Q函?0B=0B?~OC=OC?OA.

(4)0為4ABC的內(nèi)心=aa+b*標(biāo)=0.

必糾易錯

1.當(dāng)a?b=0時，不一定得到a_Lb,當(dāng)a±b時,a?b=O;a?b=c?b,不能得到a=c,消去律不成

立;(a?b)?c與a?(b?c)不一定相等;(a?b)?c與c平行，而a?(b?c)與a平行.

2.兩向量夾角的范圍是［0,捫,向量的夾角為銳角與向量的數(shù)量積大于0不等價.

6.數(shù)列

必記知識

L等差數(shù)列、等比數(shù)列

等差數(shù)列等比數(shù)列

通項公

a=aiqnl(q^0)

an=ai+(n-l)dn

式

_n(a!+an)

前n項l2⑴吐10=嗤"舉；

和n(n-l)i

二呵+'d(2)q=l,Sn=nai

2.等差、等比數(shù)列的判斷方法

(1)等差數(shù)列的判斷方法

①定義法:an+「an=d(d為常數(shù),nGN*)=｛an｝是等差數(shù)列.

②通項公式法:an=ai+(n-l)d(其中ai,d為常數(shù),n@N*)o｛an｝為等差數(shù)列.

③等差中項法:2an+i=an+an+2(nGN*)?｛an｝是等差數(shù)列.

④前n項和公式法:Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù),ndN*)=｛an｝是等差數(shù)列.

⑵等比數(shù)列的判斷方法

①定義法:皿=q(q為常數(shù)且qW0,nGN*)或2=q(q為常數(shù)且qW0,n22)o｛an｝為等比數(shù)

。九an，i

②等比中項法屬+i=an?an+2(anW0,n￡N*)=｛an｝為等比數(shù)列.

11

③通項公式法:aFaiq」(其中abq為非零常數(shù),n6N*)=｛an｝為等比數(shù)列.

必會結(jié)論

L等差數(shù)列的重要結(jié)論

設(shè)Sn為等差數(shù)列｛即｝的前n項和，則

(l)an=ai+(n-1)d=am+(n-m)d,p+q=m+n=>ap+aq=am+an.

(2當(dāng)=q,aq二p(pWq)=ap+q=O;Sm+n=Sm+Sn+mnd.

(3)Sk,S2k-Sk,S3kSk,…構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列.

(4)河n+(*)是關(guān)于n的一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，數(shù)列｛｝｝也是等差數(shù)列.

n(ai+an)n(a2+anl)n(a3+an2)

(5)Sn=^^=---=--—

(6)若等差數(shù)列｛aj的項數(shù)為偶數(shù)2m,公差為d,所有奇數(shù)項之和為S奇，所有偶數(shù)項之和為

S解則所有項之和S=rn(a+ai),S假-S

2mmm+奇

3CLm

(7)若等差數(shù)列｛a"的項數(shù)為奇數(shù)2m-l,所有奇數(shù)項之和為S奇，所有偶數(shù)項之和為S制貝U

所有項之和S2m-i=(2m-l)am,S奇-S

S偶m-l

2.等比數(shù)列的重要結(jié)論

nlnm

(l)an=aiq=amq,p+q=rn+n=>ap?aq=am?an.

(2)｛an｝,｛bn｝成等比數(shù)列今｛anbn｝成等比數(shù)列.

(3)連續(xù)m項的和(如Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…)仍然成等比數(shù)歹U(注意:這連續(xù)H1項的和必須

非零才能成立).

(4)若等比數(shù)列有2n項,公比為q,奇數(shù)項之和為S奇,偶數(shù)項之和為S偶，則"=q.

s奇

(5)等比數(shù)列前n項和有:①Sm+產(chǎn)Sm+qmSn；

②如詈(qai).

必糾易錯

1.已知數(shù)列的前n項和求a。,易忽視n=l的情形，直接用S『Sn-i表示.事實上，當(dāng)n=l

時,a〕=Si；當(dāng)n22時,an=Sn-Sni

2.易忽視等比數(shù)列中公比qW0導(dǎo)致增解，易忽視等比數(shù)列的奇數(shù)項或偶數(shù)項符號相同造

成增解.

3.運(yùn)用等比數(shù)列的前n項和公式時，易忘記分類討論.一定要分q=l和qWl兩種情況進(jìn)行

討論.

4.對于通項公式中含有(-1r的一類數(shù)歹U,在求Sn時,切莫忘記討論n的奇偶性;遇到已知

an+1-an=d或g=q(nN2),求區(qū)｝的通項公式時，要注意分n的奇偶性進(jìn)行討論.

an

5.求等差數(shù)列｛a"的前n項和Sn的最值時,易混淆取得最大或最小值的條件.

6.利用錯位相減法求和時，要注意尋找規(guī)律，不要漏掉第一項和最后一項.

7.立體幾何

必記知識

1.空間幾何體的側(cè)面積、表面積和體積

幾何

側(cè)面積表面積體積

體

V=s底h

圓柱S惻=2兀1"1S表=27ir(r+l)

=7tr2h

V=js底h

圓錐S惻=7irlS表=Jir(r+l)

=\r2h

3

S?（=7r（r+r'）lV=i(S1-+S卜飛Is上S下)h

S表=兀(產(chǎn)+產(chǎn)+

圓臺（r『分別為上、

rl+r'l)=17i(r2+r'2+rr')h

下底面半徑）

直棱

stt=Ch（C為底面周長）V=S底h

柱

-1

S=|Ch'（C為底面周長,H

正棱ffl1

Sg=S惻+S上+S下v=-s底h

錐為斜高）

（棱錐的S上=0）

卜上s下）h

sw=j（C+C）?h'（C,C'分V=|(sr+S卜+J

正棱

臺別為上、下底面周長,H

為斜高）

球S=4兀2RV=MR3

3

2.空間線面位置關(guān)系的證明方法

a\\a、aII/?

a||

⑴線線平行:au§=a〃b,：a1=a〃b,any=a=a〃b；

o1aJ°CRa||

aOS-b.0ny=b)

5ua)a1S'

aIIB

(2)線面平行:Q0a=a〃a,

auB0alia,a10

a\\b.atCL.

a〃a.

aua,bua'

aLa,,aII

(3)面面平行:aflb=0//o=a〃BD，y||a//y.

a||p,b||B,

（4）線線垂直:

aua,buaa1'

，11，。11b

(5)線面垂直:aflb=0=>l_La,anp=I=aUa"baUnb_La.

a1aJala

I1a,l1baua,a1L

（6）面面垂直,*aU，卻

必會結(jié)論

L把握兩個規(guī)則

（1）三視圖排列規(guī)則

俯視圖放在正（主）視圖的下面，長度與正（主）視圖一樣;側(cè)（左）視圖放在正（主）視圖的右側(cè),

高度和正（主）視圖一樣，寬度與俯視圖一樣.畫三視圖的基本要求:正（主）俯一樣長，俯側(cè)（左）一

樣寬,正?。﹤?cè)（左）一樣高.

（2）畫直觀圖的規(guī)則

畫直觀圖時,與坐標(biāo)軸平行的線段仍平行，與x軸、z軸平行的線段長度不變，與y軸平行

的線段長度為原來的一半.

2.球的組合體

（1）球與長方體的組合體:長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線.

（2）球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長，正方體的棱切球的直

徑是正方體的面對角線，正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線.

（3）球與正四面體的組合體:棱長為a的正四面體的內(nèi)切球的半徑為

正四面體高fa的￡）,外接球的半徑為中a（正四面體高等的》

3.空間中平行（垂直）的轉(zhuǎn)化關(guān)系

面面平行的判定

面面垂直的性質(zhì)

必糾易錯

1.在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪

廓線在三視圖中為實線,不可見輪廓線為虛線.在還原空間幾何體實際形狀時，一般是以正（主）

視圖和俯視圖為主.

2.不清楚空間線面平行與垂直關(guān)系中的判定定理和性質(zhì)定理，忽視判定定理和性質(zhì)定理

中的條件,導(dǎo)致判斷出錯.如由a，|3,anB=l,m，l,易誤得出m±p的結(jié)論，就是因為忽視面面垂

直的性質(zhì)定理中mua的限制條件.

3.注意圖形的翻折與展開前后變與不變的量以及位置關(guān)系.對照前后圖形,弄清楚變與不

變的元素后，再立足于不變的元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系去探求變化后的元素在空間中的位

置與數(shù)量關(guān)系.

8.解析幾何

必記知識

L兩條直線的位置關(guān)系

斜截式一般式

直線方y(tǒng)=kix+bi,Aix+Biy+Ci=O,

程y=k2x+b2A2x+B2y+C2=0

相交

ki^k2A1B2-A2B1WO

垂直kik2=-lAiA2+B1B2-0

A1B2-A2B1=0,

k尸k2且B1C2-B2cl￥=0

平行

CAB-AB=0,

biWbz1221

或[ARZ-A2clw0

ki=k2且A1B2-A2B1

重合

bi=b2=B1C2-B2C1=A1C2-A2C1=O

2.圓的四種方程

(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程萬-a)2+(y-b)2=r2(r>0).

(2)圓的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).

⑶圓的參數(shù)方程：］；：￡需'(。為參數(shù))?

(4)圓的直徑式方程:(x-xi)(x-X2)+(y-yi)(y-y2)=O(A(xi,y0,B(X2,y2)是圓的直徑的兩端點(diǎn)).

3.直線與圓的位置關(guān)系

直線l:Ax+By+C=O和圓C:(x-a『+(y-b尸=/任>0)有相交、相離、相切三種情況.可從代數(shù)

和幾何兩個方面來判斷：

⑴代數(shù)法(即判斷直線與圓的方程聯(lián)立所得方程組的解的情況):△>()=相交;△<)=相

離;A=OQ相切.

(2)幾何法(即比較圓心到直線的距離與半徑的大小):設(shè)圓心到直線的距離為d,則d<r0

相交;d>r=相離;d=rQ相切.

4.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)

2X2

標(biāo)準(zhǔn)方程^=l(a>b>0)y^=l(a>b>0)

7

圖形

續(xù)表

標(biāo)準(zhǔn)方程1+g=l(a>b>0)g+g=l(a>b>0)

幾-aWxWa,-bWxWb,

范圍

何-bWyWb-aWyWa

性對稱對稱軸:X軸,y軸;對稱中心:原點(diǎn)

質(zhì)性

隹占

八、、八、、FI(-C,0),F2(C,0)FI(0,-C),F2(0,C)

Ai(-a,0),A2(a,0);Ai(0,-a),A2(0,a)；

頂點(diǎn)

B1(0,-b),B2(0,b)Bi(-b,0),B2(b,0)

軸線段AIA2,BIB2分別是橢圓的長軸和短軸;長軸長為2a,短軸長為2b

焦距|FIF2|=2C

離心

焦距與長軸長的比值:e?(0,1)

率

a,b,c

的關(guān)c2=a2-b2

系

5.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)

x2y2y2x2

/于=17于T

標(biāo)準(zhǔn)方程

(a>0,b>0)(a>0,b>0)

V

圖形1

居：/；、、5*

______________________,片%____________

范圍|x|Na,yGR|y|ea,xGR

對稱

性對稱軸:x軸,y軸;對稱中心:原點(diǎn)

隹占

幾八、、八、、F(C,0),F2(C,0)FI(0,-C),F2(0,C)

Ai(-a,0),A(a,0)Ai(0,-a),A2(0,a)

何頂點(diǎn)2

性軸線段A1A2R1B2分別是雙曲線的實軸和虛軸;實軸長為2a,虛軸長為2b

|FIF|=2C

質(zhì)焦距2

離心

焦距與實軸長的比值:e?(l,+oo)

率

,ba

漸近y/y=±/

線

a,b,c

的關(guān)a2=c2-b2

系

6.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)方y(tǒng)2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

程(P>0)(P>0)(P>0)(P>0)

圖形TK?

續(xù)表

標(biāo)準(zhǔn)方y(tǒng)2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

程(P>0)(P>0)(P>0)(P>0)

對稱

X軸y軸

軸

頂點(diǎn)0(0,0)

幾焦點(diǎn)F&0)F?,。)F(烤)________________________F(0,4)

何準(zhǔn)線

xlX?y專

性方程22

質(zhì)x20,y￡xW0,y￡y20,x￡

范圍yW0,x￡R

RRR

離心

e二l

率

必會結(jié)論

1.常見的直線系方程

⑴過定點(diǎn)P(x(),yo)的直線系方程:A(x-x())+B(y-yo)=O(A2+B2WO),還可以表示為

y-yo=k(x-x())(斜率不存在時可為x=x0).

(2)平行于直線Ax+By+C=O的直線系方程:Ax+By+九=OQWC).

(3)垂直于直線Ax+By+C=O的直線系方程:Bx-Ay+九=0.

(4)過兩條已知直線Aix+Biy+Ci=0,A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn)的直線系方

程:A[X+Biy+Ci+MA2x+B2y+C2)=0(不包括直線A2x+B2y+C2=0).

2.與圓的切線有關(guān)的結(jié)論

2

⑴過圓x?+y2=r2上一點(diǎn)P(x(),yo)的切線方程為xox+yoy=r.

222

(2)過圓(x-a)+(y-b)=r上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為(x()-a)(x-a)+(yo-b)(y-b)=r2.

(3)過圓x，y2=?外一點(diǎn)P(xo,yo)作圓的兩條切線,切點(diǎn)為A,B,則過A,B兩點(diǎn)的直線方程

2

為x0x+y0y=r.

(4)若圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=f2,則過圓外一點(diǎn)P(x(),yo)的切線長

22

d=J(wa)2+(y0-b)-r.

3.通徑

(1)橢圓通徑長為變；

a

(2)雙曲線通徑長為空；

a

(3)拋物線通徑長為2p.

4.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系

(1)若雙曲線的方程為則漸近線的方程為即y=±￡x.

(2)若漸近線的方程為y=±卜即/=0,則雙曲線的方程可設(shè)為常!=%

2222

(3)若所求雙曲線與雙曲線5k=1有公共漸近線，其方程可設(shè)為臺方論>0,焦點(diǎn)在x軸

上;九<0,焦點(diǎn)在y軸上).

(4)焦點(diǎn)到漸近線的距離總是b.

5.拋物線焦點(diǎn)弦的常用結(jié)論

設(shè)AB是過拋物線y2=2px(p>0)焦點(diǎn)F的弦，若A(xi,yi),B(x2,y2),a為直線AB的傾斜角,

且yi>0>y2,則

⑴焦半徑IAFEI+MTJJBFUXZ+^TJ

21-cosa21+cosa.

p22

(2)XIX2=—,yiy2=-p.

(3)弦長|AB|=xi+x2+p=懸.

(4)2-+=-=.

V\FA\