極限的運(yùn)算法則

極限的運(yùn)算法則高

等

數(shù)

學(xué)

極限的運(yùn)算法則1.1極限的四則運(yùn)算法則

，則定理1.1設(shè)(1)(2)特別地，(3)。說明:

(1)使用這些運(yùn)算法則的前提是自變量的同一變化過程中和的極限都存在；

(2)上述運(yùn)算法則對于等其他變化過程也同樣成立;

(3)法則1,2可推廣到有限個(gè)函數(shù)的情況，于是有

例1.1求。解。例1.2求。

解由于當(dāng)時(shí)，，分母的極限不為0，由商的極限運(yùn)算法則，得。注意：從例1.1、例1.2可以看出，求多項(xiàng)式當(dāng)時(shí)的極限時(shí),只要用代替多項(xiàng)式中的x,即對于有理分式函數(shù)

(其中，為多項(xiàng)式),當(dāng)分母時(shí)，依商式極限運(yùn)算法則,有

：例1.3求。解當(dāng)時(shí)，，分母的極限是0,不能直接使用商的極限運(yùn)算法則。通常的方法是設(shè)法消去分母為零的因式，然后再利用有理運(yùn)算法則。。例1.4求。解當(dāng)

時(shí)，，不能直接用商的極限運(yùn)算法則，但可采用分母有理化消去分母中的零因子。

例1.5求。解

當(dāng)時(shí),分式的分子、分母都趨向于無窮大，極限都不存在，故不能直接使用商的極限運(yùn)算法則。當(dāng)時(shí)，

。因此，求時(shí)，可以首先將分式的分子與分母同除以分子、分母中自變量的最高次冪，然后再用極限運(yùn)算法則，即。例1.6求。解仿照例1.5，分子、分母同除以分子、分母中自變量的最高次冪，得

。例1.7求。解由于當(dāng)

時(shí)，括號(hào)中兩項(xiàng)均無限變大，極限都不存在，故不能直接使用減法運(yùn)算法則，考慮消去分母為零的因式。

1.2復(fù)合函數(shù)的極限法則定理1.2

設(shè)函數(shù)與滿足如下兩個(gè)條件：（1）、；（2）、當(dāng)時(shí)，，且，則

。

該定理可以形象地解釋為“極限可以放到函數(shù)號(hào)里面進(jìn)行”。例1.8求。解令，從而可把看作是由復(fù)合而成的。

所以例1.9求。解令，從而可把看作是由

，，，復(fù)合而成的。所以1.3函數(shù)極限的性質(zhì)選學(xué)內(nèi)容

(1)唯一性：當(dāng)時(shí)

的極限是唯一的;

(2)局部有界性：在的某個(gè)去心領(lǐng)域內(nèi),函數(shù)

有界;

(3)局部保號(hào)性：當(dāng)時(shí),在的某個(gè)去心領(lǐng)域內(nèi)，

；

(4)保序性：又設(shè)

且在

的某個(gè)去心領(lǐng)域內(nèi)恒有，則必有。

1.4兩個(gè)重要準(zhǔn)則選學(xué)內(nèi)容定理1.3(夾逼準(zhǔn)則)若函數(shù)在點(diǎn)a的某去心領(lǐng)域內(nèi)滿足條件

則函數(shù)必收斂,且

1.4兩個(gè)重要準(zhǔn)則選學(xué)內(nèi)容定理1.3′(數(shù)列的夾逼準(zhǔn)則)設(shè)數(shù)列滿足條件

則數(shù)列必收斂,且

例1.10