對(duì)稱性及常微分方程的精確解_第1頁(yè)
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對(duì)稱性及常微分方程的精確解1根據(jù)對(duì)稱性求解一階常微分方程如何求解一階常微分方程（1）的精確解？看起來有些困難。但是，仔細(xì)觀察，不難發(fā)現(xiàn)方程具有如下對(duì)稱性也就是說對(duì)因變量和自變量作這樣的變換，微分方程仍然不變我們看如何通過變換變量求解這個(gè)方程？將變換寫為（2）可以看出，變換就是參數(shù)從0改變的結(jié)果，可以認(rèn)為是對(duì)從0平移到造成的。可以任意改變不影響這個(gè)對(duì)稱性，我們稱方程（1）具有單參數(shù)平移變換不變性。你可能有點(diǎn)不耐煩，“那有怎么樣，我要的是方程的精確解！”稍安勿躁，這包含變換變量的技巧！如果我將因變量和自變量變?yōu)橛謺?huì)怎樣？可以預(yù)見，方程（1）會(huì)變成的形式。這樣就可以求解了！為什么？我們看在變換（2）時(shí)是不變的，而在變換（2）時(shí)有，一般方程（1）會(huì)變?yōu)椋?）的形式，但是別忘了方程（1）具有變換（2）不變性，同樣地方程（3）也具有變換（2）不變性。由于和在變換（2）中不變，在變換（2）時(shí)方程（3）變?yōu)橐虼松鲜龇匠讨荒懿辉亠@含t?；卮鹜戤?。我們看一看針對(duì)方程（1）具體的表達(dá)式果然改變變量后不顯含。于是這樣就求出方程的精確解。真得感謝對(duì)稱性。是啊，對(duì)稱性是個(gè)好東西！2尋找微分方程的對(duì)稱不變解微分方程有沒有滿足對(duì)稱性(2)的解？有的，當(dāng)時(shí)就具有（2）所示對(duì)稱性。事先求解方程能否得到它？可以的?？醋儞Q（2）滿足的微分方程，如果將（2）看成包含參數(shù)的隱函數(shù)（不改變），我們知道方程（1）的對(duì)稱解也滿足這個(gè)方程，因此，對(duì)稱解同時(shí)滿足兩個(gè)微分方程消去，得到，即，即。3.一般情況作新因變量，和新自變量，原來微分方程

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