對稱性在初中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

對稱性在初中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用“對稱”不僅是中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中一個重要的概念，更是一種重要的思想方法。在“對稱”中往往體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的“美”來。對稱性問題是一類用運(yùn)動的觀點(diǎn)、運(yùn)動的思想去研究圖形位置變化或圖形性質(zhì)的數(shù)學(xué)問題，有時在代數(shù)中若能運(yùn)用，就更會有獨(dú)到的效果。這類數(shù)學(xué)問題常常要運(yùn)用“動”的思想去觀察、分析、推理、猜想，在運(yùn)動中尋找不變的量，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，達(dá)到解決問題的目的。這類問題一般有兩類：一類是根據(jù)條件中的圖形運(yùn)動，研究圖形在運(yùn)動過程中或經(jīng)過運(yùn)動后的位置變化與相關(guān)性質(zhì)；另一類是條件中無圖形的運(yùn)動，要利用運(yùn)動的思想研究其有關(guān)性質(zhì)。在初中數(shù)學(xué)中，圖形的運(yùn)動的基本形式有三種：（1）平移（包括點(diǎn)的移動）；（2）圖形的翻折；（3）圖形的旋轉(zhuǎn)。無論哪種運(yùn)動都有一個極為重要的基本結(jié)論：任何圖形經(jīng)過運(yùn)動后，其形狀、大小都保持不變，即對應(yīng)邊、對應(yīng)角都相等，變化的只是圖形的位置，這在解題中是潛在的重要前提。下面通過幾個例題進(jìn)行簡單的分析說明“對稱性”在解題中的運(yùn)用。一、初中數(shù)學(xué)解題中圖形的對稱性的靈活運(yùn)用。例1、如圖1：ABC中，AB=AC,BAC=，BD平分ABC，且與AC相交于點(diǎn)D。求：AD:DC的值；ADBC（圖1）分析：讀完題目，要抓住BD平分BAC的條件，將ABD翻折過來，點(diǎn)A落在BC邊的點(diǎn)處（如圖2），這樣AD與D重合，則AD=D，問題就歸納為在DC中求D：DC的問題。ADBC解法一：如圖2在BC邊上截取一點(diǎn)，使B=BA，∵BD平分BAC，即∠ABD=∠DB，且BD=BD∴ABD≌BD∴AD=D，∠BD=∠BAC=∴∠DC=∠BD=，又∵AB=AC∴∠C=∠B=,則∠DC=在RtDC中：D：DC=tgC=tg=,∴AD:DC=FADBCE（如圖3）解法二：如圖3過D作DE⊥BC于E，DF⊥BA于F；∵BD平分BAC，∴DE=DF，同解法一，∠BAC=，∠C=∠B=得到∠FAD=，在RtDEC中DE=DCsinC=DCsin=DC，在RtDAF中DF=ADsin∠FAD=ADsin=AD∴DC=AD,∴AD:DC=[說明]無論是解法一中作輔助線的作用在于把ABD翻折過來，還是解法二種的由對稱性導(dǎo)出的角平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，都是應(yīng)用了圖形的對稱性的翻折的性質(zhì)解決問題。方法簡單便于聯(lián)想，當(dāng)然還有其它方法，請讀者自己完成。例2：設(shè)x的一個二次函數(shù)的圖象過A（0，1），B（1，3），C（-1，1）三點(diǎn)，求這個二次函數(shù)的解析式。思路如果不仔細(xì)觀察三個點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，設(shè)一般式求解，計(jì)算就很復(fù)雜，但通過觀察掌握了三個點(diǎn)的特點(diǎn)，利用點(diǎn)的“對稱”性，則達(dá)到事半功倍的效果。解A（0，1）、C（-1，1）兩點(diǎn)是拋物線上的兩個關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)，所以該拋物線對稱軸為x=EQ\A()EQEQ\F(1,2)，結(jié)合A（0，1）是拋物線y軸的