第2課時　函數(shù)的最大(小)值2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步備課系列（人教A版2019必修第二冊）

3.2.1

單調(diào)性與最大(小)值第2課時

函數(shù)的最大(小)值自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑思想方法

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)函數(shù)的最大值、最小值1.觀察下面兩個函數(shù)的圖象,回答下列問題:(1)比較兩個函數(shù)的圖象,它們是否都有最高點(diǎn)?(2)通過觀察圖①你能發(fā)現(xiàn)什么?提示:(1)題圖①中函數(shù)y=-x2的圖象上有一個最高點(diǎn);題圖②中函數(shù)y=-x的圖象上沒有最高點(diǎn).(2)對任意x∈R,都有f(x)≤f(0).提示:(1)題圖①中函數(shù)y=x2的圖象有一個最低點(diǎn).題圖②中函數(shù)y=x的圖象沒有最低點(diǎn).(2)對任意x∈R,都有f(x)≥f(0).2.觀察下面兩個函數(shù)的圖象,回答下列問題.

(1)比較兩個函數(shù)的圖象,它們是否都有最低點(diǎn)?(2)通過觀察圖①你能發(fā)現(xiàn)什么?3.4.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]上的圖象如圖所示,則該函數(shù)的最小值、最大值分別是(

)

A.f(-2),0 B.0,2C.f(-2),2 D.f(2),2解析:由題圖可知,該函數(shù)的最小值為f(-2),最大值為f(1)=2.答案:C【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)任何函數(shù)都有最大(小)值.(×

)(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最值一定是f(a)或f(b).(×

)(3)若對任意x∈D,都有f(x)≤M,則M是函數(shù)f(x)的最大值.(×

)(4)如果一個函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,那么函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的最大值是f(a).(√

)

合作探究·釋疑解惑探究一

利用函數(shù)的圖象求函數(shù)的最值【例1】

作出函數(shù)y=|x-2|(x+1)的圖象,說明函數(shù)的單調(diào)性,并判斷其是否存在最大值和最小值.分析:去絕對值→分段函數(shù)→作圖→識圖→結(jié)論反思感悟圖象法求最值的步驟

(1)如圖所示,在給定的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出f(x)的圖象;

(2)由圖象指出當(dāng)x取什么值時f(x)有最值.解:(1)由題意知,當(dāng)x∈[-1,2]時,f(x)=-x2+3,其圖象為二次函數(shù)圖象的一部分;當(dāng)x∈(2,5]時,f(x)=x-3,其圖象為一次函數(shù)圖象的一部分.故函數(shù)f(x)的圖象如圖所示:

(2)由圖象可知,當(dāng)x=0時,f(x)有最大值3;當(dāng)x=2時,f(x)有最小值-1.探究二

利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值【例2】

已知函數(shù)(1)判斷f(x)在區(qū)間[1,2]上的單調(diào)性;(2)根據(jù)f(x)的單調(diào)性求出f(x)在區(qū)間[1,2]上的最值.分析:(1)證明單調(diào)性的流程:取值→作差→變形→判斷符號→結(jié)論;(2)借助函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系,寫出函數(shù)的最值.解:(1)設(shè)x1,x2是區(qū)間[1,2]上的任意兩個實(shí)數(shù),且x1<x2,∵x1<x2,∴x1-x2<0.∵1≤x1<x2≤2,∴x1x2>0,1<x1x2<4,即x1x2-4<0.∴f(x1)>f(x2),即f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減.(2)由(1)知f(x)的最小值為f(2),

;f(x)的最大值為f(1),f(1)=1+4=5,故f(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值為4,最大值為5.本例已知條件不變,判斷f(x)在區(qū)間[1,3]上的單調(diào)性,并求f(x)在區(qū)間[1,3]上的最值.解:任取x1,x2∈[1,3],且x1<x2,由本例當(dāng)1≤x1<x2≤2時,f(x1)>f(x2),f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減;當(dāng)2<x1<x2≤3時,x1x2>0,4<x1x2<9,即x1x2-4>0,故f(x1)<f(x2),即f(x)在區(qū)間(2,3]上單調(diào)遞增.反思感悟1.利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)最值的一般步驟:(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性;(2)利用函數(shù)的單調(diào)性寫出函數(shù)的最值.2.函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系:(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增(減),則f(x)在區(qū)間[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增(減),在區(qū)間(b,c]上單調(diào)遞減(增),則f(x)在區(qū)間[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)與f(c)中較小(大)的一個.(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上一定有最值.(4)求最值時一定要注意所給區(qū)間的開閉,若是開區(qū)間,則不一定有最大(小)值.探究三

與函數(shù)的最值有關(guān)的應(yīng)用問題(1)設(shè)該商品的日銷售額為y元,請寫出y關(guān)于t的函數(shù)解析式.(2)求該商品的日銷售額的最大值,并指出哪一天的銷售額最大.分析:讀題→提取信息→建?！饽！鉀Q實(shí)際問題解:(1)當(dāng)t<25,t∈N*時,y=(t+20)(-t+40)=-t2+20t+800;當(dāng)25≤t≤30,t∈N*時,y=45(-t+40)=-45t+1

800.(2)當(dāng)0<t<25,t∈N*時,y=-t2+20t+800=-(t-10)2+900,故當(dāng)t=10時,y有最大值900;當(dāng)25≤t≤30,t∈N*時,y=-45t+1

800單調(diào)遞減,即當(dāng)t=25時,y有最大值675.故所求日銷售額的最大值為900元,11月10日日銷售額最大.反思感悟解函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟(1)審題.弄清題意,分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系.(2)建模.將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言,用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.(3)解模.求解數(shù)學(xué)模型,得到數(shù)學(xué)結(jié)論.(4)還原.將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)際問題的答案.(5)反思回顧.對于數(shù)學(xué)模型得到的解,必須驗(yàn)證這個解對實(shí)際問題的合理性.【變式訓(xùn)練2】

某租賃公司擁有汽車100輛,當(dāng)每輛車的月租金為3000元時,可全部租出,每輛車的月租金每增加50元,未租出的車將會增加一輛,租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元,未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元.(1)當(dāng)每輛車的月租金為3600元時,能租出多少輛?(2)當(dāng)每輛車的月租金為多少元時,租賃公司的月收益最大?最大月收益是多少?思想方法利用數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想求二次函數(shù)的最值【典例】

求函數(shù)y=x2-2ax-1在區(qū)間[0,2]上的最值.審題視角:對稱軸x=a→與定區(qū)間[0,2]的相對位置關(guān)系→結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與圖象求解解:y=(x-a)2-1-a2.當(dāng)a<0時,區(qū)間[0,2]是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,如圖①.故函數(shù)在x=0處取得最小值-1,在x=2處取得最大值3-4a.當(dāng)0≤a≤1時,結(jié)合函數(shù)圖象(如圖②)知,函數(shù)在x=a處取得最小值-a2-1,在x=2處取得最大值3-4a.當(dāng)1<a≤2時,結(jié)合圖象(如圖③)知,函數(shù)在x=a處取得最小值-a2-1,在x=0處取得最大值-1.當(dāng)a>2時,區(qū)間[0,2]是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間,如圖④.函數(shù)在x=0處取得最大值-1,在x=2處取得最小值3-4a.綜上,當(dāng)a<0時,函數(shù)在區(qū)間[0,2]上的最小值為-1,最大值為3-4a;當(dāng)0≤a≤1時,函數(shù)在區(qū)間[0,2]上的最小值為-a2-1,最大值為3-4a;當(dāng)1<a≤2時,函數(shù)在區(qū)間[0,2]上的最小值為-a2-1,最大值為-1;當(dāng)a>2時,函數(shù)在區(qū)間[0,2]上的最小值為3-4a,最大值為-1.方法點(diǎn)睛1.探求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題,一般要先作出y