專題2.3 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式【九大題型】（舉一反三）（人教A版2019必修第一冊）（解析版）

專題2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式【九大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1不含參的一元二次不等式的解法】 1【題型2含參的一元二次不等式的解法】 3【題型3解簡單的分式不等式】 4【題型4由一元二次不等式的解確定參數(shù)】 6【題型5一元二次不等式恒成立問題】 7【題型6一元二次不等式有解問題】 8【題型7一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用】 10【題型8二次函數(shù)的零點(diǎn)問題】 13【題型9三個(gè)“二次”關(guān)系的應(yīng)用】 15【知識(shí)點(diǎn)1一元二次不等式】1．一元二次不等式一般地，我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均為常數(shù)，a≠0.2．一元二次不等式的解法(1)解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟：①通過對不等式變形，使二次項(xiàng)系數(shù)大于零；②計(jì)算對應(yīng)方程的判別式；③求出相應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程沒有實(shí)根；④根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關(guān)位置寫出不等式的解集．(2)解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟：①若二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，則需對二次項(xiàng)系數(shù)大于0、等于0與小于0進(jìn)行討論；②若求對應(yīng)一元二次方程的根需用公式，則應(yīng)對判別式Δ進(jìn)行討論；③若求出的根中含有參數(shù)，則應(yīng)對兩根的大小進(jìn)行討論．【題型1不含參的一元二次不等式的解法】【例1】（2023春·天津紅橋·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）一元二次不等式x-1x+2>0的解集為（

）A．-∞,-2∪C．-∞,-1∪【解題思路】由一元二次不等式的解法直接求解即可.【解答過程】∵x-∴x>1或故不等式的解集為-∞故選：A.【變式1-1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）不等式x2<4xA．x0<x<4C．x0<x<2【解題思路】先移項(xiàng)，再提取公因式，即得不等式的解集.【解答過程】不等式x2<4x解得0<x即不等式x2<4x故選：A.【變式1-2】（2022秋·高一單元測試）若集合A=x|x2+2xA．xB．xC．RD．{x|-3<【解題思路】化解集合，根據(jù)交集定義計(jì)算.【解答過程】A=x|x2∴A∩B={故選：D.【變式1-3】（2023春·湖南邵陽·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）不等式x2-5A．{x|2<{C．{x|x>3} D【解題思路】根據(jù)一元二次不等式的解法，即可求解.【解答過程】由不等式x2-5x+6>0，可得(所以不等式的解集為{x|x故選：D.【題型2含參的一元二次不等式的解法】【例2】（2022秋·湖南益陽·高一?？计谥校┤?<m<1，則不等式x-A．x1m<C．xx>m【解題思路】根據(jù)一元二次方程x-m【解答過程】一元二次方程x-mx因?yàn)?<m<1，所以因此不等式x-mx故選：D.【變式2-1】（2022秋·廣東佛山·高一?？茧A段練習(xí)）不等式x2-2A．xa<x<aC．xa<x<【解題思路】解含有參數(shù)的一元二次不等式，求出解集.【解答過程】x2-2顯然a<a+1故選：A.【變式2-2】（2022秋·安徽·高一校聯(lián)考期中）對于給定實(shí)數(shù)a，不等式ax-1xA．x-1<xC．xx>-1 D【解題思路】分類討論a的值，解不等式，即可得答案.【解答過程】由ax-1x①當(dāng)a=0時(shí)，原式?x+1>0?②當(dāng)a≠0時(shí),原式⑴當(dāng)a>0時(shí)，原式?x-1ax⑵當(dāng)a<0時(shí)，原式?i當(dāng)-1<a<0時(shí)，1a<-1ii當(dāng)a=-1時(shí)，解得xiii當(dāng)a<-1時(shí)，1a>-1，解得x由上可知，不等式解集不可能為R.故選：D.【變式2-3】（2022秋·湖北武漢·高一校聯(lián)考期中）關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為{A．{x∣-2<xC．{x∣x>2或x<-1}【解題思路】根據(jù)不等式的解集可知a<0，由根與系數(shù)的關(guān)系得出b，c與a的關(guān)系，代入待求不等式即可求解【解答過程】因?yàn)殛P(guān)于x的不等式ax2可知a<0且ax2根據(jù)跟與系數(shù)得關(guān)系可得-1+2=-b帶入bx2-ax-c<0解得-2<故選：A.【題型3解簡單的分式不等式】【例3】（2022秋·高一校考課時(shí)練習(xí)）不等式1-xx≥0A．x|0≤x≤1C．x∣x≤0或x≥1 D【解題思路】把分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，即可解得.【解答過程】由原式得x(1-x)≥0且x即不等式的解集為x|0<故選：B.【變式3-1】（2022秋·四川成都·高一校考期中）不等式x-3xA．xx<2或x≥3C．xx≤2或x≥3【解題思路】直接解分式不等式即可.【解答過程】由x-3x-2所以不等式的解集為：xx<2或故選：A.【變式3-2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）不等式x+1x-A．-1,-12C．-1,-12【解題思路】寫出不等式的等價(jià)形式，再利用數(shù)軸標(biāo)根法求出不等式的解集.【解答過程】不等式x+1x-利用數(shù)軸標(biāo)根法可得-1≤x<-12

故選：C.【變式3-3】（2023·全國·高三對口高考）已知a>0,b>0，則不等式-A．x<-1a或x>1C．-1a<x<0或0<【解題思路】先把不等式-b<【解答過程】因?yàn)?b<1解1x>-b，即1x+b=1+bx解1x<a，即1x-a=1-ax綜上得x<-1b故選：B.【題型4由一元二次不等式的解確定參數(shù)】【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式x2-a+1xA．[－4，3] B．[－4，2]C．[－1，3] D．[－2，2]【解題思路】原不等式可化為x-ax-1≤0，后通過討論a【解答過程】原不等式可化為x-當(dāng)a＜1時(shí)，不等式的解集為[a，1]，此時(shí)只要a≥-4即可，即-當(dāng)a＝1時(shí)，不等式的解為x＝1，此時(shí)符合要求；當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為[1，a]，此時(shí)只要a≤3即可，即1<綜上可得：-4≤故選：A.【變式4-1】（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知不等式x2+ax+4<0的解集為空集，則實(shí)數(shù)A．a(chǎn)a≤-4或a≥4C．a(chǎn)a<-4或a>4【解題思路】利用Δ≤0求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解答過程】因?yàn)椴坏仁絰2+ax+4<0的解集為空集，所以故選：B.【變式4-2】（2023秋·湖南郴州·高一統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次不等式x2-3x+2<0的解集為{A．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】根據(jù)三個(gè)二次的關(guān)系，再結(jié)合韋達(dá)定理可求.【解答過程】依題意可得，m,n分別是關(guān)于x的一元二次方程x2故選：A.【變式4-3】（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高一期末）若關(guān)于x的不等式x2-(m+3)x+3A．5<m≤6 B．5≤m≤6 C．【解題思路】由題設(shè)可得x-3x-m<0【解答過程】不等式x2-m當(dāng)m>3時(shí)，不等式解集為3,m，此時(shí)要使解集中恰有3個(gè)正整數(shù)，這3個(gè)正整數(shù)只能是4，5，6，故當(dāng)m=3時(shí)，不等式解集為?當(dāng)m<3時(shí)，不等式解集為m,3，顯然解集中不可能有故實(shí)數(shù)m的取值范圍為6,7．故選：C.【題型5一元二次不等式恒成立問題】【例5】（2023春·湖南長沙·高二統(tǒng)考期末）若不等式mx2+mx-4<2xA．-2,2 B．-10,2 C．-∞【解題思路】化簡已知不等式，對m進(jìn)行分類討論，結(jié)合一元二次不等式的知識(shí)求得m的取值范圍.【解答過程】依題意，不等式mx2+即不等式m-當(dāng)m=2時(shí)，不等式可化為-當(dāng)m<2時(shí)，=m+10m綜上所述，m的取值范圍是-10,2故選：B.【變式5-1】（2023秋·遼寧·高三校考期末）若對任意的x∈(0,+∞),x2A．(-2,2) B．(2,+∞) C．(-∞【解題思路】變形給定不等式，分離參數(shù)，利用均值不等式求出最小值作答.【解答過程】?x∈(0,+∞),x2-mx+1>0?則m<2，所以m的取值范圍是(-故選：C.【變式5-2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）若不等式x2-2x+5≥A．-1,4 B．C．-∞,-1∪【解題思路】求出二次函數(shù)的最小值，從而可得關(guān)于a的不等式，求出其解后可得其取值范圍.【解答過程】x2-2故a2-3故選：A.【變式5-3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）若對于任意x∈[m,m+1]，都有xA．(-23,0)C．[-23,0]【解題思路】由函數(shù)f(x)=x2+mx-1為開口向上的二次函數(shù)，要使任意x【解答過程】由題可得f(x)=x解得:-2故選：B.【題型6一元二次不等式有解問題】【例6】（2023·全國·高一專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式x2-4x-A．a(chǎn)a≥-2 B．a(chǎn)a≤-2 C．【解題思路】直接利用判別式即可研究不等式的解的情況.【解答過程】若關(guān)于x的不等式x2-則Δ=16+42+a故選：C.【變式6-1】（2023春·湖南長沙·高一校考期中）若?x∈0,4，使得不等式x2-A．a(chǎn)>-1 B．a(chǎn)>1 C．a(chǎn)>8【解題思路】由題意可轉(zhuǎn)化為?x∈0,4，使a>-【解答過程】因?yàn)?x∈0,4所以?x∈0,4令f(x)=-因?yàn)閷ΨQ軸為x=1，x所以f(所以a>-8所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為-8,+故選：D.【變式6-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若存在實(shí)數(shù)x，使得mx2-m-A．-∞,2 BC．-∞,2【解題思路】分別在m=0、m>0和m【解答過程】①當(dāng)m=0時(shí)，不等式化為2x<0②當(dāng)m>0時(shí)，y只需Δ=m-③當(dāng)m<0時(shí)，y則必存在實(shí)數(shù)x，使得mx綜上所述：實(shí)數(shù)m的取值范圍為-∞故選：C.【變式6-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式x2-6x+11-a<0A．-2,+∞ B．3,+∞ C．6,+【解題思路】設(shè)f(x)=x2【解答過程】設(shè)f(x)=所以要使不等式x2-6x+11-a<0即a>f(3)=2所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2,+∞故選：D.【題型7一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用】【例7】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）某旅店有200張床位．若每張床位一晚上的租金為50元，則可全部租出；若將出租收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)每晚提高10x元（x為正整數(shù)），則租出的床位會(huì)相應(yīng)減少10x張．若要使該旅店某晚的收入超過【解題思路】由題意可知該旅店某晚的收入為y元，可知(50+10x)(200-10【解答過程】設(shè)該旅店某晚的收入為y元，則y由題意y>12600，則即10000+1500x-100解得：2<x<13所以每個(gè)床位的出租價(jià)格應(yīng)定在70元到180元之間（不包括70元，180元）.【變式7-1】（2022秋·北京·高一?？茧A段練習(xí)）如圖所示，已知邊長為8m的正方形鋼板有一個(gè)角被銹蝕，其中AE=4m，CD=6m.為了合理利用這塊鋼板，將在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個(gè)矩形塊BNPM，使點(diǎn)(1)設(shè)MP=x?m，矩形BNPM的面積為S?m2(2)要使矩形BNPM的面積不小于42m2，試求x【解題思路】（1）設(shè)PN=y，利用三角形相似得到（2）依題意得到不等式S=-12(x-10)【解答過程】（1）解：設(shè)PN=y，作PQ⊥AF于Q，所以因?yàn)椤鱁DF所以EQPQ=EF所以y=-設(shè)矩形BNPM的面積為S，則S=xy=解：依題意S=-解得6≤x又4≤x所以6≤x≤8，故x的取值范圍為【變式7-2】（2022秋·江蘇連云港·高一校考階段練習(xí)）汽車在行駛中，由于慣性的作用，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”．剎車距離是分析事故的一個(gè)重要因素．在一個(gè)限速50km/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對，同時(shí)剎車，但還是相撞了．事后現(xiàn)場勘查測得甲車的剎車距離小于12m，乙車的剎車距離略超過10m，又知甲、乙兩種車的剎車距離s（單位：m）與車速x（單位：km/h）之間分別有如下關(guān)系：s甲=0.01x【解題思路】由題意列不等式求解后判斷，【解答過程】由題意得，對于甲車，0.01x即x2-10x解得0<x甲車未超過規(guī)定限速，同理對于乙車，0.005xx2-10x-2000>0，而乙車超過規(guī)定限速．答：甲車未超過規(guī)定限速，乙車超過規(guī)定限速．【變式7-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價(jià)為12萬元/輛，年銷售量為10000輛．本年度為適應(yīng)市場需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品質(zhì)量，適度增加投入成本．若每輛車投入成本增加的比例為（0<x<1），則出廠價(jià)相應(yīng)地提高比例為，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為，已知年利潤=（出廠價(jià)-投入成本）×年銷售量．（1）寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤與投入成本增加的比例的關(guān)系式；（2）為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比應(yīng)在什么范圍內(nèi)？【解題思路】（1）利用年利潤=（出廠價(jià)-投入成本）×年銷售量列出表達(dá)式即可，要注意根據(jù)實(shí)際意義注明函數(shù)的定義域；（2）通過解一元二次不等式得到所求增加比例的范圍．【解答過程】（1）由題意得：y=[12(1+0.75x)-10(1+整理得：y=-6000x（2）要保證本年度的年利潤比上年度有所增加，必須y-(12-10)×10000>0即-6000x2解得0<x<1【知識(shí)點(diǎn)2二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應(yīng)關(guān)系】1．二次函數(shù)的零點(diǎn)一般地，對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實(shí)數(shù)x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點(diǎn)．【注】：(1)二次函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，是二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(2)一元二次方程的根是相應(yīng)一元二次函數(shù)的零點(diǎn)．2．二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應(yīng)關(guān)系△>0△=0△<0y=ax2+bx+c

(a>0)的圖象ax2+bx+c=0

(a>0)的根有兩個(gè)不相等

的實(shí)數(shù)根

x1,x2（x1<x2）有兩個(gè)相等

的實(shí)數(shù)根

沒有實(shí)數(shù)根ax2+bx+c>0

(a>0)的解集或Rax2+bx+c<0

(a>0)的解集{x|x1<x<x2}【注】：(1)對于一元二次不等式的二次項(xiàng)系數(shù)為正且存在兩個(gè)根的情況下，其解集的常用口訣是：大于取兩邊，小于取中間．(2)對于二次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)(即a<0)的不等式，可以先把二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，再對照上述情況求解．【題型8二次函數(shù)的零點(diǎn)問題】【例8】（2022秋·江蘇泰州·高一校考階段練習(xí)）關(guān)于x的函數(shù)y=x2-mx+m的兩個(gè)零點(diǎn)均在區(qū)間[1,3]【解題思路】根據(jù)零點(diǎn)的分布以及判別式性質(zhì)列不等式組即可求解.【解答過程】設(shè)f因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=所以有Δ=m2-即m故答案為：(4,9【變式8-1】（2022秋·江蘇鹽城·高一?？茧A段練習(xí)）已知不等式ax2+bx+1>0的解集為x-2<x【解題思路】根據(jù)一元二次不等式的解集及根與系數(shù)關(guān)系求參數(shù)a、b，再由韋達(dá)定理求y=x【解答過程】由題設(shè)，易知：-2,7是ax2+bx+1=0對于y=x2故答案為：-5【變式8-2】（2023春·安徽馬鞍山·高一?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)y=-x2+bx+c只有一個(gè)零點(diǎn)，不等式-A．-4 B．-3 C．-2【解題思路】根據(jù)函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)可得Δ=b2+4【解答過程】函數(shù)y=-x2不等式-x2+即x2-bx設(shè)方程x2-bx則x1+x∴x2-x整理得b2+4c-故選：D.【變式8-3】（2022秋·江蘇南京·高一階段練習(xí)）已知二次函數(shù)y=x－2－1013y－12－6－20－2則下列結(jié)論正確的是（

）A．a(chǎn)>0 B．該二次函數(shù)的零點(diǎn)為C．關(guān)于x的不等式ax2+bx+【解題思路】由二次函數(shù)性