平面向量知識歸納(文檔良心出品)

平面向量的雞毛蒜皮一、向量概念1、向量：既有大小，又有方向的量．零向量：長度為的向量;零向量和任意向量平行或垂直.平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行．相等向量：長度相等且方向相同的向量．相反向量：長度相等且方向相反的向量．單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是)；2、向量加法運算：=1\*GB2⑴三角形法則的特點：首尾相連．=2\*GB2⑵平行四邊形法則的特點：共起點．3、向量減法運算：=1\*GB2⑴三角形法則的特點：共起點，連終點，方向指向被減向量．坐標運算：設，，則．設、兩點的坐標分別為，，則．4、向量數(shù)乘運算：=1\*GB2⑴實數(shù)與向量的積是一個向量的運算叫做向量的數(shù)乘，記作．=1\*GB3①，=2\*GB3②當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，．平面向量基本定理：如果、是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量，有且只有一對實數(shù)、，使．6、平面向量的數(shù)量積：，;注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量.=1\*GB2⑴．零向量與任一向量的數(shù)量積為．=2\*GB2⑵性質：=1\*GB3①．=2\*GB3②．=3\*GB3③．(3)坐標運算：設兩個非零向量，，則．(4)(5)（或者，注意考慮分母為0的情況）．(6)在上的投影為，它是一個實數(shù)，但不一定大于0.例子：已知，，且，則向量在向量上的投影為______（答：）的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積.;;二、三角形“四心”燜鍋三條中線定相交，交點位置真奇巧，交點命名為“重心”，重心性質要明了，重心分割中線段，數(shù)段之比聽分曉；長短之比二比一，靈活運用掌握好．——重心之歌三角對應三頂點，角角都有平分線，三線相交定共點，叫做“內心”有根源；點至三邊均等距，可作三角形內切圓，此圓圓心稱“內心”，如此定義理當然．——內心之歌（1）重心——中線的交點：重心將中線長度分成2：1；（2）垂心——高線的交點：高線與對應邊垂直；（3）內心——角平分線的交點（內切圓的圓心）：角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；（4）外心——中垂線的交點（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點的距離相等，；（5）旁心：略1、已知O是平面上一定點，A,B,C是平面上不共線的三個點，動點P滿足：，，則的軌跡一定通過的重心.，則的軌跡一定通過的重心.（3），，則動點的軌跡一定通過的垂心．（4），，則動點的軌跡一定通過的內心．（5），，則動點的軌跡一定通過的外心。2、奔馳定理已知O是平面上一定點，A,B,C是平面上不共線的三個點，若,則三角形OBC,OAC,OAB,ABC面積之比為：.以下是奔馳定理關于四心的推論：（1）O是的重心；為的重心.（2）O是的垂心；；（3）O是的外心（或）；；（4）O是的內心是的內心.三、向量里一點點可能會遇到的結論1、三角形的外心、重心、垂心三點共線——“歐拉線”；若O、H分別是△ABC的外心和垂心.求證：.設O、G、H分別是銳角△ABC的外心、重心、垂心.求證：三點共線定理：A，B，C三點共線，O為平面上任意一點，則極化恒等式：極化恒等式的三角形模式：如右圖，假如點D是BC中點，則角平分線定理：假如AD是角平分線，則;直角三角形內接圓半徑；(c是斜邊)重心真的很神奇，若三角形ABC重心為G，則，；重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等，即重心到三條邊的距離與三條邊的長成反比；重心到三角形3個頂點距離的平方和最小.7、線段的定比分點：設點P是直線PP上異于P、P的任意一點，若存在一個實數(shù)，使，則叫做點P分有向線段所成的比，P點叫做有向線段的以定比為的定比分點；(1)設、，分有向線段所成的比為，則.(2)點M為平面內的任一點，則，特別地為的中點；8、一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用；9、，特別地，當同向或有例子：已知，則的范圍是[3,7].（可以直接用9的結論，也可以平方）的面積公式很多，例如;;；海倫公式等等.在向量里，有一種行列式表示，可以簡化計算，中，則.證明：.平面向量問題解題策略向量的分解，合并（線性運算），三點共線定理；向量的幾何化，數(shù)形結合；向量的實數(shù)化（已知夾角，長度，數(shù)量積）向量的坐標化（圖形特殊化，長度特殊化，建立坐標系）練習題(高考真題)設向量a，b滿足|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，則a·b＝1.2、已知向量，，則9.3、已知向量a=，b=,若ma+nb=,則實數(shù)的值為__-3___.4、已知兩個單位向量a,b的夾角為60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,則t=2.5、已知A，B，C為圓O上的三點，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，則eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角為90o．6、設為所在平面內一點，則（A）（A）(B)（C）(D)7、設向量，不平行，向量與平行，則實數(shù)______.8、設四邊形ABCD為平行四邊形，，.若點M，N滿足，，則（C）（A）20（B）15（C）9（D）69、（11年10）已知a與b均為單位向量，其夾角為，有下列四個命題,其中的真命題是（A）（A）（B）（C）（D）10、若平面向量滿足:;則的最小值是.11、已知是單位向量,.若向量滿足12、在平面直角坐標系中，O為原點，A(－1，0)，B(0，eq\r(3))，C(3，0)，動點D滿足|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝1，則|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|的最大值是___1＋eq\r(7)_____．13、已知圓O的半徑為1，PA,PB為該圓的兩條切線，A,B為切點，則的最小值為.14、已知點，，在圓上運動，且，若點的坐標為，則的最大值為（7）15、,M是BC中點，AM=3,BC=10,則-16.（極化恒等式可以一試）16、[2014·惠州調研]已知△ABC中，角A為銳角，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.設向量m＝(cosA，sinA)，n＝(cosA，－sinA)，且m與n的夾角為eq\f(π,3).(1)計算m·n的值并求角A的大