2015-01-02-解答-13高等代數(shù)1期末試卷

裝訂線 裝訂線PAGE6PAGE72013學(xué)年第一學(xué)期高等代數(shù)Ⅰ(A卷)一、選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）1.下列關(guān)于多項(xiàng)式理論的說法中正確的是(C).A.零多項(xiàng)式整除任意多項(xiàng)式B.零多項(xiàng)式不整除零多項(xiàng)式C.零多項(xiàng)式只能整除零多項(xiàng)式D.零多項(xiàng)式的次數(shù)為零分析：任意多項(xiàng)式整除零多項(xiàng)式；零多項(xiàng)式只能整除零多項(xiàng)式；零多項(xiàng)式是唯一不定義次數(shù)的多項(xiàng)式2.設(shè)有維向量組（I）：和（II）：，則(C).A.向量組（I）線性無關(guān)時(shí)，向量組（II）線性無關(guān)B.向量組（I）線性無關(guān)時(shí)，向量組（II）線性相關(guān)C.向量組（I）線性相關(guān)時(shí)，向量組（II）線性相關(guān)D.向量組（I）線性相關(guān)時(shí)，向量組（II）線性無關(guān)分析：部分相關(guān)，則整體相關(guān)；整體無關(guān)，則部分無關(guān)3.設(shè)為矩陣，齊次線性方程組僅有零解的充要條件是(B).A.的列向量線性相關(guān)B.的列向量線性無關(guān)C.的行向量線性相關(guān)D.的行向量線性無關(guān)分析：齊次線性方程組僅有零4.設(shè)為級(jí)方陣，，且，則有().A.或B.C.D.分析：矩陣乘法不滿足交換律，消去律，即，5.設(shè)和都是級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣,通過非退化線性替換能將實(shí)二次型化為實(shí)二次型的充分必要條件是(D).A.與具有相同的秩B.與具有相同的符號(hào)差C.與具有相同的正慣性指數(shù)D.與具有相同的負(fù)慣性指數(shù),并且A與B具有相同的符號(hào)差分析：非退化線性變換保證二次型的矩陣合同，即A與B合同，在實(shí)數(shù)域上相當(dāng)于二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）1.設(shè)四級(jí)行列式的第四列元素分別為，且它們對(duì)應(yīng)的余子式分別為，則=__________.注意：行列式按本行（列）展開的值為，串行（列）展開的值為“0”內(nèi)容見課本78頁定理3.，展開需用代數(shù)余子式。2.設(shè)向量組線性相關(guān)，則注意：這時(shí)，即3.設(shè)為級(jí)方陣,且滿足,這里表示級(jí)單位矩陣,那么分析：4.已知矩陣方程,則＝.分析：5.若是正定二次型，則的取值范圍.1.5CM三、判別題（本大題共5小題，每小題2分，共10分）1.5CM（請(qǐng)?jiān)谀阏J(rèn)為正確的小題對(duì)應(yīng)的括號(hào)內(nèi)打“√”，否則打“”）1.（√）有理數(shù)域?yàn)樽钚〉臄?shù)域.2.（）設(shè)是兩個(gè)級(jí)方陣，則.注意：行列式只有乘積公式，無所謂的加法，減法公式3.（）若兩個(gè)向量組等價(jià)，則它們所包含的向量的個(gè)數(shù)相同.注意：兩個(gè)向量組A,B等價(jià)4.（）若矩陣的所有級(jí)子式全為零，則的秩為.注意：的秩為至少有一個(gè)級(jí)子式不為零，所有級(jí)子式全為零5.（√）合同變換不改變實(shí)矩陣的對(duì)稱性和正定性.得分1.5CM四、解答題（本大題共5小題，每小題7分，共35分）1.5CM1.設(shè)求.解用輾轉(zhuǎn)相除法，得（6分）所以，.（7分）2.計(jì)算行列式.解：行列式特點(diǎn)：每一行的和相等為，（2分）（5分）.（7分）3.求向量組的一個(gè)極大無關(guān)組，并將其余向量用此極大無關(guān)組線性表示.解將向量按列排成矩陣，并對(duì)它作等行變換化為行最簡形矩陣.最簡形（4分）所以,，是所求的一個(gè)極大無關(guān)組，（6分）且.（7分）4.討論取何值時(shí)，線性方程組(1)有唯一解；(2)無解；(3)有無窮多個(gè)解，并求出此方程組的通解.解對(duì)增廣矩陣作行變換化為階梯形.階梯形（2分）(1)當(dāng)且時(shí)，方程組有唯一解；(2)當(dāng)時(shí)，，方程組無解;(3)當(dāng)時(shí)，方程組有無窮多個(gè)解.（5分）此時(shí)最簡型，得一般解(為自由未知量)，令得通解為為任意常數(shù).（7分）注意：此題和12年四（3），11年四（3）為同類型題。13年和11年答案是同一種做法；12年是一種做法。5.作非退化線性替換化實(shí)二次型為規(guī)范形.解二次型的矩陣為(1)分令，作非退化線性變換，（6分）得所求實(shí)二次型的規(guī)范形為.（7分）說明：一步到位化二次型為規(guī)范形的步驟：A作行變換，接著”A和E”作相同的列變換，當(dāng)A化為對(duì)角元為“1，-1”的對(duì)角陣時(shí)，E化為“C”此法比同時(shí)作行列變換正確率高！推薦！1.5CM五、證明題（本大題共4小題，共25分）1.5CM1.（本小題7分）證明：維向量組線性無關(guān)的充要條件是任一維向量都可由線性表出.證明必要性.設(shè)線性無關(guān)，對(duì)任一維向量，因?yàn)槭莻€(gè)維向量，必線性相關(guān)，而是線性無關(guān)的，故可由線性表出.（4分）充分性.設(shè)任一維向量都可由線性表出，則單位向量組可由線性表出，又可由線性表出，所以向量組與向量組等價(jià)，故有相同的秩，即線性無關(guān).（7分）2.（本小題6分）設(shè)是級(jí)方陣且，證明：存在一個(gè)非零矩陣使得.證明：由知，齊次線性方程組有非零解，（2分）作,其中均為零向量,則，（4分）于是（6分）3.（本小題6分）.證明因?yàn)?，?分）又由，從而，綜合可知.另法證明：由（與可逆矩陣相乘不改變矩陣的秩）4.（本小題6分）設(shè).證明：如果與合同，與合同，則與合同.證明由于與合同，與合同，存在可逆陣使得