吉林省吉林市昌邑區(qū)第九中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

名校調(diào)研系列卷·九年級(jí)第四次月考試卷數(shù)學(xué)（人教版）期末一、選擇題（每小題2分，共12分）1.下列函數(shù)中，是關(guān)于的反比例函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的定義．熟練掌握：形如（為常數(shù)且）的函數(shù)是反比例函數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)反比例函數(shù)的定義，進(jìn)行判斷作答即可．【詳解】解：A.是正比例函數(shù)，A錯(cuò)誤，故不符合要求；B.是反比例函數(shù)，B正確，故符合要求；C.不反比例函數(shù)，C錯(cuò)誤，故不符合要求；D.不是反比例函數(shù)，D錯(cuò)誤，故不符合要求；故選：B．2.已知二次函數(shù)，那么該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是（）A.直線 B.直線C.直線 D.直線【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)式的性質(zhì)，的對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．【詳解】解：二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線，故選：C．3.下面是四種火鍋的平面設(shè)計(jì)圖，其中既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的知識(shí)，把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，能夠與原圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，熟練掌握軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，能夠與原圖形重合，是中心對(duì)稱圖形，沿一條直線折疊，直線兩旁的部分不能夠互相重合，不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；B、繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，不能夠與原圖形重合，不是中心對(duì)稱圖形，沿一條直線折疊，直線兩旁的部分不能夠互相重合，不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；C、繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，能夠與原圖形重合，是中心對(duì)稱圖形，沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，是軸對(duì)稱圖形，符合題意；D、繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，不能夠與原圖形重合，不是中心對(duì)稱圖形，沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；故選：C．4.若關(guān)于的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式：根據(jù)一元二次方程有實(shí)數(shù)根，可以判斷，求出m的取值范圍即可．【詳解】解：∵一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴，∴解得：，故選：D．5.如圖，在與中，，要使與相似，還需滿足下列條件中的（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查相似三角形的判定，關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．由相似三角形的判定，逐項(xiàng)判定即可．【詳解】解：A、兩三角形兩邊對(duì)應(yīng)成比例，但兩邊夾角和不一定相等，不能判定與相似，故此選項(xiàng)不符合題意；B、由，只能推出，不能判定與相似，故此選項(xiàng)不符合題意；C、，，不能判定與相似，故此選項(xiàng)不符合題意；D、由兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，可判定與相似，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．6.如圖，在半徑為5的中，弦長(zhǎng)5，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由條件判定是等邊三角形，得到，然后由圓周角定理推出，即可獲得答案．【詳解】解：∵，，∴，∴是等邊三角形，∴，∴．故選：A．二、填空題（每小題3分，共24分）7.已知與相似且面積比為，則與周長(zhǎng)比為________．【答案】【解析】【分析】此題考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方解答即可．【詳解】解：∵，∴與的面積比等于相似比的平方，∵，∴與的相似比為．故答案為：．8.若反比例函數(shù)的圖象在每個(gè)象限內(nèi)，函數(shù)值隨自變量的增大而減小，則常數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象在每個(gè)象限內(nèi)的函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，得出，即可求解．【詳解】解：依題意，，故答案為：．9.如果一元二次方程經(jīng)過(guò)配方后，得，那么a=________.【答案】-6【解析】【詳解】∵，∴，∴a=-6.10.如圖，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，若，則的度數(shù)為_________．【答案】##40度

【解析】【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，由三角形的內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．11.如圖，若拋物線上的，它的對(duì)稱軸對(duì)稱，則當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸，由拋物線的對(duì)稱性可求拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，再根據(jù)拋物線的圖象可求當(dāng)時(shí)，x的取值范圍．【詳解】解：∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為，∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是得到拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)．12.如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A向y軸作垂線，垂足為點(diǎn)B，點(diǎn)C、D在x軸上，且，則四邊形ABCD的面積為______．【答案】【解析】【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則四邊形是矩形，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義可得，然后證明四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形面積的求法計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，，，四邊形是矩形，，點(diǎn)是反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，，又，四邊形是平行四邊形，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)以及反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，熟練掌握反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．13.為了測(cè)量樹木的高度，小壯把老師教學(xué)用的直角三角板直立于地面進(jìn)行測(cè)量．如圖，點(diǎn)A，B，Q在同一水平線上，和均為直角，與相交于點(diǎn)D．測(cè)得，則樹高_(dá)_______m．【答案】6【解析】【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意可知：，從而可以得到，然后代入數(shù)據(jù)計(jì)算，即可得到的長(zhǎng)．【詳解】解：由題意可得，，，，，即，解得，∴樹高，故答案為：6．14.如圖，在，，，，以為直徑的半圓交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是__________．（結(jié)果保留）【答案】【解析】【分析】本題考查利用扇形面積公式求解不規(guī)則圖形面積，連接，過(guò)作于，根據(jù)直角三角形角所對(duì)直角邊等于斜邊一半及勾股定理求出，，，結(jié)合扇形面積公式即可得到答案；【詳解】解：連接，過(guò)作于，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，故答案為：．三、解答題（每小題5分，共20分）15.解方程：【答案】，．【解析】【分析】先找出a，b，c，再求出，根據(jù)公式即可求出答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，．考點(diǎn)：解一元二次方程-公式法．16.已知關(guān)于的反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求的值；（2）判斷該反比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的象限．【答案】（1）；（2）第一、三象限．【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)關(guān)系式及反比例函數(shù)的性質(zhì)；（1）根據(jù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)的意義，代入計(jì)算即可；（2）根據(jù)反比例函數(shù)符號(hào)進(jìn)行判斷即可．【小問(wèn)1詳解】解：圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，解得：．【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)時(shí)，，，雙曲線的兩支分別位于第一、三象限．17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，請(qǐng)?jiān)谒o平面直角坐標(biāo)系中以原點(diǎn)為位似中心，在第三象限畫出的位似，使它與的相似比為．【答案】見解析【解析】【分析】本題主要考查坐標(biāo)系中的位似變化，根據(jù)位似的性質(zhì)作圖即可．【詳解】解：如圖所示，即為所求；18.當(dāng)當(dāng)和叮叮玩紙牌游戲：如圖是同一副撲克牌中的4張黑桃牌的正面，將這4張牌洗勻后正面朝下放在桌上，當(dāng)當(dāng)先從中抽出一張，叮叮從剩余的3張牌中也抽出一張，比較兩人抽出的牌面上的數(shù)字，數(shù)字大者獲勝．該游戲是否公平？請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法說(shuō)明理由．【答案】公平．理由見詳解【解析】【分析】畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，找出當(dāng)當(dāng)抽出的牌面上的數(shù)字大的結(jié)果數(shù)和叮叮抽出的牌面上的數(shù)字大的結(jié)果數(shù)，然后計(jì)算她們獲勝的概率，再根據(jù)概率的大小判斷該游戲是否公平．【詳解】解：公平．理由如下：畫樹狀圖為：共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中當(dāng)當(dāng)抽出的牌面上的數(shù)字大的結(jié)果數(shù)為6，叮叮抽出的牌面上的數(shù)字大的結(jié)果數(shù)為6，所以當(dāng)當(dāng)獲勝的概率叮叮獲勝的概率，所以該游戲公平．【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果，再?gòu)闹羞x出符合事件或的結(jié)果數(shù)目，然后利用概率公式計(jì)算事件或事件的概率．熟練掌握列表法與樹狀圖法是本題的關(guān)鍵．四、解答題（每小題7分，共28分）19.某打印店要完成一批電腦打字任務(wù)，如果每天完成100頁(yè)，需8天完成任務(wù)．（1）每天完成的頁(yè)數(shù)與所需天數(shù)之間是什么函數(shù)關(guān)系？（2）若要求5天完成，求每天應(yīng)完成多少頁(yè)？【答案】（1）；（2）160頁(yè)．【解析】【分析】此題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用；（1）運(yùn)用每天完成的頁(yè)數(shù)所需天數(shù)總頁(yè)數(shù)進(jìn)行求解；（2）將代入（1）所得函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解．【小問(wèn)1詳解】解：由題意，得，整理，得，∴每天完成的頁(yè)數(shù)與所需天數(shù)之間是反比例函數(shù)關(guān)系【小問(wèn)2詳解】由題意，得，解得，∴每天應(yīng)完成160頁(yè).20.如圖，在正方形中，是上的點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)．求證：．【答案】答案見解析【解析】【分析】根據(jù)，為的中點(diǎn)，可以得出，即可求證．【詳解】證明：，為的中點(diǎn)，，又，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定定理，熟練掌握相似三角形的判定定理是解答本題的關(guān)鍵．21.如圖，為的直徑，如果圓上的點(diǎn)恰使，求證：直線與相切．【答案】見詳解【解析】【分析】由等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理得出，則，再由切線的判定即可得出結(jié)論．【詳解】證明：如圖，連接，，，為的直徑，，，，，即，，是的半徑，直線與相切．點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定、圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握?qǐng)A周角定理和切線的判定是解題的關(guān)鍵．22.如圖，拋物線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，對(duì)稱軸是．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】根據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線列出方程組，解方程組求出、的值即可；因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，連接與直線交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求，求出直線與直線的交點(diǎn)即可．【小問(wèn)1詳解】由題意得，，解得，，拋物線的解析式為：；【小問(wèn)2詳解】點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，連接與直線交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸的交點(diǎn)為，設(shè)直線的解析式為：，，解得，，，直線的解析式為：，則直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為：點(diǎn)的坐標(biāo)為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和最短路徑問(wèn)題，掌握待定系數(shù)法求解析式的一般步驟和軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．五、解答題（每小題8分，共16分）23.如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，連接，已知點(diǎn)的坐標(biāo)是，．（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系式；（2）根據(jù)圖象，直接寫出不等式的解集；（3）點(diǎn)為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的一點(diǎn)，若，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）反比例函數(shù)的關(guān)系式為，一次函數(shù)的關(guān)系式為；（2）或；（3）．【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)．（1）根據(jù)反比例函數(shù)過(guò)點(diǎn)得反比例函數(shù)的關(guān)系式為，根據(jù)得B的縱坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，計(jì)算得，根據(jù)，兩點(diǎn)在上得，進(jìn)行計(jì)算即可得；（2）根據(jù)函數(shù)圖象即可得；（3）設(shè)，根據(jù)得，根據(jù)得，即可得，進(jìn)行計(jì)算得，根據(jù)點(diǎn)P為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的一點(diǎn)得，進(jìn)行計(jì)算即可得．【小問(wèn)1詳解】解：∵反比例函數(shù)過(guò)點(diǎn)，∴，∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為，∵，∴B的縱坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，解得，∴，∵，兩點(diǎn)在上，解得：∴一次函數(shù)的關(guān)系式為．【小問(wèn)2詳解】解：根據(jù)函數(shù)圖象得，或．【小問(wèn)3詳解】解：設(shè)，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∵點(diǎn)P為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的一點(diǎn)，∴，解得，∴．24.【問(wèn)題背景】中，，，為上的動(dòng)點(diǎn)，小熙拿含角的透明三角板，使角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)，三角板可繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．圖①圖②【用數(shù)學(xué)的眼光觀察】（1）如圖①，當(dāng)三角板的兩邊分別交、于點(diǎn)、時(shí)，以下結(jié)論正確的是：________；①；②；③；④．【用數(shù)學(xué)的思維思考】（2）將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖②情形時(shí)，三角板的兩邊分別交的延長(zhǎng)線、邊于點(diǎn)、．與相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）②③④；（2），理由見解析．【解析】【分析】此題主要考查了相似三角形的判定．（1）找出與的對(duì)應(yīng)角，其中，得出，從而解決問(wèn)題；（2）利用（1）小題證明方法可證：；【詳解】（1）解：∵，，∴，又∵∴，又∵，∴，故③正確；∴，故②正確；∴，故④正確；故答案為：②③④．（2），理由：∵，，∴，∵，∴，，∴，∴.六、解答題（每小題10分，共20分）25.如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)不與點(diǎn)重合時(shí)，作交邊于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，以為直角邊向右作等腰，使，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）線段的長(zhǎng)為________（用含的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（3）連接，當(dāng)與相似時(shí)，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）先求出，可得，，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)可知：，即有，可得；（2）先表示出，可得，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)可知：，即有；當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，先證明，即有，可得，問(wèn)題隨之得解；（3）先得出，，即有，當(dāng)時(shí)，可得，，可得出，即有，t可求出；當(dāng)時(shí)，可證明，進(jìn)而有，結(jié)合，可得四邊形是正方形，結(jié)合，t可求出．【小問(wèn)1詳解】∵在中，，，，∴，∴，，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)可知：，∴，∵，∴是直角三角形，∴，故答案為：；【小問(wèn)2詳解】∵在中，，，∴，∴，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)可知：，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，如圖，∵等腰中，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴；【小問(wèn)3詳解】∵等腰中，，，∴，，∴，當(dāng)時(shí)，如圖，∴，，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴；當(dāng)時(shí)，如圖，∴，，∵，，∴，∴，結(jié)合，可得四邊形是正方形，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴舍去，綜上：時(shí)，與；【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)以及軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，注重分類討論的思想，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．26.如圖，已知拋物線（、是常數(shù)）的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線的對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)為拋物線與軸的正半軸的交點(diǎn)，作直線，點(diǎn)是拋物線上的任意一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，以、為鄰邊作矩形．（1）填空：________，________；（2）當(dāng)點(diǎn)在