2024高考數(shù)學(xué)?？碱}型第19講 橢圓中6種?？蓟A(chǔ)題型（解析版）

2024高考數(shù)學(xué)?？碱}型精華版第19講橢圓中6種?？蓟A(chǔ)題型

【考點(diǎn)分析】

考點(diǎn)一：橢圓的通徑

過(guò)橢圓的焦點(diǎn)與橢圓的長(zhǎng)軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其長(zhǎng)為2生b2.

考點(diǎn)二：橢圓中有關(guān)三角形的周長(zhǎng)問(wèn)題

如圖一所示：的周長(zhǎng)為24+2c

如圖一所示：AABC的周長(zhǎng)為4a

考點(diǎn)三：橢圓上一點(diǎn)的有關(guān)最值

①橢圓上到中心距離最小的點(diǎn)是短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，到中心距離最大的點(diǎn)是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).

②橢圓上到焦點(diǎn)距離最大和最小的點(diǎn)是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).

距離的最大值為a+c,距離的最小值為a-c.

考點(diǎn)四：橢圓的離心率

1

Cr22—A2h

橢圓的離心率e='（0<e<l）,/=彳=幺々=1一勺

aa"cr

考點(diǎn)五：橢圓焦點(diǎn)三角形的面積為S=〃.tan，（0為焦距對(duì)應(yīng)的張角）

2

考點(diǎn)六：中點(diǎn)弦問(wèn)題（點(diǎn)差法）

?2

中點(diǎn)弦問(wèn)題：若橢圓與直線/交于4?兩點(diǎn)，〃為他中點(diǎn)，且心s與3”斜率存在時(shí)，則心/K°M=—三;

=-

（焦點(diǎn)在X軸上時(shí)），當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，kAB-KOMp-

b2

若4?過(guò)橢圓的中心，P為橢圓上異于A3任意一點(diǎn)，kPA-KPB=一一r（焦點(diǎn)在x軸上時(shí)），當(dāng)焦點(diǎn)在y軸

上時(shí)，-會(huì)

【題型目錄】

題型一：橢圓的定義有關(guān)題型

題型二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

題型三：橢圓的離心率

題型四：橢圓中焦點(diǎn)三角形面積

題型五：橢圓中中點(diǎn)弦問(wèn)題

題型六：橢圓中的最值問(wèn)題

【典型例題】

題型一：橢圓的定義有關(guān)題型

【例1】已知AABC的周長(zhǎng)為10,且頂點(diǎn)B(-2,0),C(2,o),則頂點(diǎn)A的軌跡方程是()

2222

A.y+^=l(y*0)B.y+^=l(>^0)

【答案】A

【解析】:△ABC的周長(zhǎng)為10,頂點(diǎn)8(-2,0),C(2,0),

.?.忸C|=4,|AB|+|AC|=10-4=6>4,

???點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，

2

；?點(diǎn)A的軌跡是橢圓，a=3,c=2f：.b=9-4=5，

又因?yàn)槿c(diǎn)構(gòu)成三角形，

???橢圓的方程是[+[=1(k0).

故選：A.

【例2】如果點(diǎn)M(x,y)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總滿足關(guān)系式+(y+3)2+舊+(y-3)2=4百,則點(diǎn)M的軌跡

是().

A.不存在B.橢圓C.線段D.雙曲線

【答案】B

【解析】次+(y+3)2+次+(y-3『=4百表示平面由點(diǎn)M(x,N)到點(diǎn)(0,-3),(0,3)的距離之和為4君,而

3-(-3)=6<46，所以點(diǎn)M的軌跡是橢圓，故選：B

2

【例3】設(shè)片，6分別為橢圓?+丁=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)p在橢圓上，且忸片+尸鳥(niǎo)卜26,則/耳尸6=

（）

TlTl7T7T

A.-B.-C.—D.—

6432

【答案】D

【解析】因由+困=上叫=26所以園=6=|岡=|叫，所以/月%=90。

22

【例4】片、尸2是橢圓C：品+匕=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在橢圓C上，1061=6,過(guò)￡作N￡P(guān)月的

角平分線的垂線，垂足為M，貝II。例I的長(zhǎng)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【詳解】如圖，直線與直線P居相交于點(diǎn)M由于是鳥(niǎo)的平分線，且PM_L/=；N,

所以三角形KPN是等腰三角形，所以尸耳=可，點(diǎn)”為月N中點(diǎn)，因?yàn)?。?8的中點(diǎn)，

所以0M是三角形耳工N的中位線，所以|OM|=g怩N|,其中隹N|=|「周一仍￡|=2歸周一2a=2|尸制一6,

因歸用=6,所以住N|=6,所以|?；?3,所以選C

【例5】已知橢圓。：《+f=1,點(diǎn)”與C的焦點(diǎn)不重合，若加關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A,B,線

2516

段MN的中點(diǎn)在C上，則|4V|+|8Nh（）

A.10B.15C.20D.25

【答案】C

【解析】設(shè)MN的中點(diǎn)為G,橢圓的左右焦點(diǎn)分別為片，工，則G為MN的中點(diǎn)，寫為的中點(diǎn)，所以

|4可=2|6周，同理忸M=2|Gg|,所以忸可=2（（G6|+|G閭）=4a=20

【例6】方程N(yùn)+b，2=2表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的一個(gè)充分但不必要條件是（）

A.攵>0B.1<A:<2C.k>lD.0<左<1

【答案】B

22

工上=12

【解析】方程/+妗2=2可變形為：萬(wàn)十萬(wàn)一％表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則有：0（一<2,

I%

解得k>l.易知當(dāng)1<％<2時(shí)，k>l,當(dāng)k>l時(shí)未必有1v%<2,所以1<攵<2是k>l的充分但不必要

條件.故選B.

【例7】點(diǎn)片，尸2為橢圓C：[+[=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，則耳丹周長(zhǎng)的取值范

圍為（）

A.（2,6）B.[4,6）

C.（4,6）D.[4,8）

【答案】C

?）9

【解析】由橢圓C：三+X=1,得：a=2,c=\,

43

當(dāng)點(diǎn)P在橢圓上時(shí)，△PGK周長(zhǎng)最大，為2a+2c=6,

當(dāng)點(diǎn)「在x軸上時(shí)，去最小值，為4c=4,

又因點(diǎn)P為橢圓C內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，

所以月尸2周長(zhǎng)的取值范圍為（4,6）.

故選：C.

【例8】橢圓與+（=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳，工，點(diǎn)P在橢圓上，如果的中點(diǎn)在y軸上，那么|P耳|

是|可|的（）

A.7倍B.6倍C.5倍D.4倍

【答案】C

A23

【解析】由題意知：PF21F.F2,所以|P用=7=?=1,因歸用+|尸園=2。=6,所以歸6|=5,所

【題型專練】

1.已知△ABC的周長(zhǎng)為20,且頂點(diǎn)B（0,-4）,C（0,4）,則頂點(diǎn)A的軌跡方程是（）

x2y2、蘭+2

A.—+^--=1(x^O)B.1（X和）

36202036

C.土+2_=1(x/o)D.—+^-=1(x,0)

620206

【答案】B

【解析】:△ABC的周長(zhǎng)為20,頂點(diǎn)8(0,-4),C(0,4),

，BC=8,4B+4C=20-8=12,

：12>8...點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，.?.點(diǎn)A的軌跡是橢圓,

：。=6,c=4.?.按=20,

22

.??橢圓的方程是工+匕=l(xwo)故選B.

2036''

r22

2.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓J+v2L=1焦距為8,兩個(gè)焦點(diǎn)為《，居，弦AB過(guò)點(diǎn)門，則A4B用的周長(zhǎng)為（）

a225

A.20B.28C.2^/^TD.4741

【答案】D

【解析】由題意知。2=25，因?yàn)?=戶+o2,所以/=25+16,解得a="T，所以AABF2的周長(zhǎng)

為4a=4，^1，故選：D

3.（2021新高考1卷）已知小尸2是橢圓。：：+?=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)〃在。上，貝閭的

最大值為（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【解析】因制+.閭=2a=6N2版而甌，所以耳卜慳閭49

1V2

4.已知橢圓土+工=1的左、右焦點(diǎn)分別為匕，鳥(niǎo)，點(diǎn)M在橢圓上，若|M耳1=4,則/耳加耳=（）

92

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】c

【解析】

【分析】

根據(jù)橢圓方程求得怩周=24，由橢圓的定義，得+閭=2a=6,求得|好|=4,所以段=2,

在△耳M鳥(niǎo)中，再由余弦定理列出方程，求得cosNKMg=-即可求解.

【詳解】

22__________

解：由題意，橢圓方程3+]~=1,可得a=3,6=c=Ja2-b。=出,

所以焦點(diǎn)不-e,o）,g“7,o），

又由橢圓的定義，可得|M附+|5|=2a=6,因?yàn)镮M耳1=4,所以段=2,

在用中，由余弦定理可得忻用之=\MFf+\MF2^一2|5|眼用cosN耳Mg,

22

所以（2阪＞=4+2-2X4X2COSZF}MF2,解得cosN6M弓=-g,

又由N￡M6e（0,180）,所以N耳Mg=120.

故選:C.

5.設(shè)的，鳥(niǎo)為橢圓卷+?=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，若線段P6的中點(diǎn)在y軸上，則器J的值為（）

A.aB-?CID-?

13

【答案】C

【解析】

【分析】

..4111P川

由中位線定理以及橢圓方程得出PE=；,再由橢圓的定義得出歸周，再求高的值.

3IWI

【詳解】

由橢圓的定義可知，歸國(guó)+|「段=2"=6,由中位線定理可知，PF21FtF2,將x=?代入與+?=1中,

解得y=±g,即|P用=：歸用=6-9藍(lán)，故摺gH

DDDDI**11，1?1?

故選：C

6.已知曲線C:mx1+ny~=1

A.若〃?>〃>（）,則c是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上

B.若加>〃>o,則。是橢圓，其焦點(diǎn)在工軸上

c.若〃?=〃>o,則c是圓，其半徑為?

D.若m=0,〃>o,則c是兩條直線

【答案】AD

22

二+上一111

【解析】由題意得：11一，所以當(dāng)相>〃>0,則o〈一〈一，所以表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，所

mn

mn

,,1_1

以A對(duì)，B錯(cuò),當(dāng)m=〃>0時(shí)，曲線C為廠+?=—，所以表不圓，半徑為-/=,當(dāng)機(jī)=0,〃>0時(shí):

nyin

,11

曲線C為y2=—,所以y=±—尸，所以表示兩條直線，故選：AD

n7n

7.已知橢圓卷+?=1的左焦點(diǎn)為F,點(diǎn)尸在橢圓上且在x軸的上方，若線段尸尸的中點(diǎn)在以原點(diǎn)。為圓心,

|。耳為半徑的圓上，則直線PF的斜率是（）

A.75B.2加C.y/15D.-715

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)線段尸鳥(niǎo)的中點(diǎn)為M,連接W、MFX,利用圓的幾何性質(zhì)可得出IP工，求得|P制=|耳段=2c=2,

利用桶圓的定義可求得|年|,可判斷出尸°的形狀，即可得解.

【詳解】

22

在橢圓?+（=1中，。=2,b=6，c=Ja2-b2=1，

設(shè)線段P入的中點(diǎn)為例，連接尸匕、MF、,則片居為圓。的一條直徑，則耳尸鳥(niǎo)，

因?yàn)镸為尸尸2的中點(diǎn)，則|P制=|4段=2c=2,則忸閭=2a—|P周=2,

所以，△月耳心為等邊三角形，由圖可知，直線P巴的傾斜角為

故選：C.

8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若^ABC的頂點(diǎn)A(0-2)和C(0,2),頂點(diǎn)8在橢圓片+反=1上，則smA+：nC

128sinB

的值是()

A.百B.2C.2/D.4

【答案】A

【解析】

【分析】

由題設(shè)易知AC為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，結(jié)合橢圓定義及焦點(diǎn)三角形性質(zhì)有|A8|+|C8|=2a,|AC|=2c,最后

應(yīng)用正弦定理的邊角關(guān)系即可求目標(biāo)式的值.

【詳解】

由題設(shè)知：A,C為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，而8在橢圓上，

所以|AB|+|C8|=2a=46,\AC\=2c=4,

由,正弦定理邊角關(guān)系知：s—inA—+si—nC=|-AB|+|C—B|=r6：

sin3|AC\

故選：A

9.已知J工是橢圓C：：+[=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)〃在C上，則|M/訃|M段的最大值為()

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【解析】由題，a2=9,b2=4,則|M制+|M段=2?=6,

所以四國(guó).阿眉4（也M㈣]=9（當(dāng)且僅當(dāng)用=3時(shí)，等號(hào)成立）.故選：C.

10.已知橢圓《+1=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳、鳥(niǎo),點(diǎn)尸在橢圓上且在X軸的下方，若線段P%的中點(diǎn)在

以原點(diǎn)。為圓心，。工為半徑的圓上，則直線尸鳥(niǎo)的傾斜角為（）

A-B.工C.巴D.空

6433

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)線段尸鳥(niǎo)的中點(diǎn)為M，連接尸耳、用耳，利用圓的幾何性質(zhì)可得出月MLP/"求得|P娟=|耳同=2C=2,

利用橢圓的定義可求得歸國(guó)，可判斷出△尸片鳥(niǎo)的形狀，即可得解.

【詳解】

22

在橢圓1+3=1中，4=2,b=￡,C=yla2-b2=1-

設(shè)線段產(chǎn)入的中點(diǎn)為M,連接「耳、MF、,則"行為圓O的一條直徑，則代，

因?yàn)镸為P5的中點(diǎn),則|為制=|耳國(guó)=2c=2,則忸聞=2a-|P周=2,

所以，△尸打入為等邊三角形，由圖可知，直線尸鳥(niǎo)的傾斜角為

故選：C.

11.已知4為橢圓1+總=1上一點(diǎn)，尸為橢圓一焦點(diǎn)，AF的中點(diǎn)為尸，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，若儂=2則|AF|=

（）

A.8B.6C.4D.2

【答案】B

【解析】不妨設(shè)橢圓夫+9=1左焦點(diǎn)為F，右焦點(diǎn)為E,

因?yàn)锳E的中點(diǎn)為戶，EF的中點(diǎn)為。，所以|4目=2|。升=4,

又由|蜴+|AF|=2a=10,可得網(wǎng)=]0-4=6.故選:B.

12.已知橢圓C：[+[=l的左右焦點(diǎn)分別是小鳥(niǎo)，過(guò)F2的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，且|人用+忸用=8,

則k身=（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】A

【解析】由橢圓C:工+匯=1知：。=3,

94

由橢圓的定義得:\AFl\+\AF2\=2a=6,\BFl\+\BF2\=2a=6,

所以k用+忸制+|A8|=4q=12,

又因?yàn)閨A耳|+忸用=8,

所以|AB|=4,

故選：A

題型二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

22

【例1】已知橢圓E：》+左=1（。>6>0）右焦點(diǎn)為（血,0）,其上下頂點(diǎn)分別為G,C2,點(diǎn)A（l,0）,ACt±AC2,

則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

0022

RJ廠1

A.—+—=1D.---1--------=1

3443

C.x2+=1D.—+/=1

3

【答案】D

【分析】由橢圓的幾何性質(zhì)可知上下頂點(diǎn)坐標(biāo)，再由向量數(shù)量積可得從，即可得到答案.

【詳解】根據(jù)題意可知，G（。，①，G（o,-b）；

所以AC|=（-1力），AC2=（-1,-&）,

又AC|_LAC2，所以AC1.AC2=l—〃=0,可得〃=1

在橢圓中，c=&，又"=從+°2,所以“2=3

2

即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+V=1.

3

故選：D.

22

【例2】己知橢圓C：￡+￡=ig>6>0）,橢圓C的一頂點(diǎn)為A,兩個(gè)焦點(diǎn)為耳，F(xiàn)2,ZXAKg的面積為G，

焦距為2,過(guò)匕，且垂直于AK的直線與橢圓C交于D,E兩點(diǎn)，則AAOE的周長(zhǎng)是（）

A.4近B.8C.2719D.16

【答案】B

【分析】先根據(jù)的面積為后焦距為2,求得橢圓方程為//】，然后根據(jù)已知條件及等邊三

角形的性質(zhì)，再利用等腰三角形的三線合一定理及橢圓的定義，結(jié)合三角形的周長(zhǎng)公式即可求解.

【詳解】因?yàn)?人耳鳥(niǎo)的面積為6,焦距為2,所以。=1/=6,

所以a=病下'=2,故橢圓方程為9+9=1，

假設(shè)A為橢圓C的上頂點(diǎn)，因?yàn)閮蓚€(gè)焦點(diǎn)為K，尸2，

所以|A用=|A閭=。=2,忻閭=2c=2,故|A￡|=|A閭=|耳閭,

所以4鳥(niǎo)為等邊三角形，又因?yàn)檫^(guò)雨，且垂直于的直線與橢圓C交于。，E兩點(diǎn),

所以|明=|。閭，|4目=但國(guó)，

由橢圓的定義可知：\DF2\+\DFt\=2a=2x2=4,

隹|+|即=2a=2x2=4,

所以VAZ>￡的周長(zhǎng)為

|40|+|4@+|0目=|￡）段+怛周+|￡）制+但制=40=4'2=8,

故選：B.

【例3】如圖，已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O,F（-2遍,0）為橢圓C的左焦點(diǎn)，尸為橢圓C上一點(diǎn)，滿足|0P|=|0F|,

且I尸尸1=4,則橢圓C的方程為（）

【答案】D

【分析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為廠，連接巴％由|OP|=I。用=|。尸|可得尸/FP尸'，可求得歸尸|=8,由橢圓的

定義可求得。=6,利用“力,c之間的關(guān)系可求得從，即可得到答案

【詳解】如圖，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為尸，則尸(26,0),連接尸尸，

因?yàn)閨OP|=|OF|=|OF'|,所以尸，

所以歸曰=J|FF'|2—|尸尸『=J(4@-2=8,

由橢圓的定義可得2a=1PF|+\PF'\=\2,則。=6,

又因?yàn)閏=|0/q=2石，所以從=/-c2=6'-(2舟=16,

【例4】阿基米德(公元前287年一公元前212年)不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼

近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸與短半軸的乘積.若橢圓C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在

y軸上，且橢圓C的離心率為半，面積為12萬(wàn)，則橢圓C的方程為()

2oB.44=102

A.——+—=1c.E+J1D=I

188188-T4

【答案】C

【分利用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

r2

【詳解】可設(shè)橢圓C的方程為￡+5=1(“>b>0),

a

c5/5

e=—=——

a3〃2=18

由題意可得：，abn=\2Tt,解得：,從=8,

1222

b"-a~-c/=10

所以橢圓C的方程為《+《=1.

818

故選：C

22

【例5】過(guò)橢圓C：三右焦點(diǎn)產(chǎn)的直線/：工-〉-2=0交C于A,區(qū)兩點(diǎn)，P為AB的中

點(diǎn)，且OP的斜率為則橢圓C的方程為()

2

X/工22

A.—+2_=1B.—+-^-=1

8495

C.—+^-=1D.工+工=1

73106

【答案】A

【分析】由/與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)可得半焦距c,設(shè)出點(diǎn)4,8坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法求出標(biāo),從的關(guān)系即可計(jì)算作

答.

【詳解】依題意，焦點(diǎn)F(2,0),即橢圓C的半焦距c=2,設(shè)4(不y),3(和為),「(%,%),

2

則有已，兩式相減得：b\xl+x2)(xl-x2)+a(y]+y2)(yl-y2)=O,

[Zrx；+。~蘇=a~h~

而占+%=2%,%+丫2=2%，且兒=一不，即有-助2(占-々)+。2(%-%)=0，

又直線/的斜率上二&=1,因此有，而"一"=02=4,解得"=84=4,經(jīng)驗(yàn)證符合題意，

王一工2

22

所以橢圓C的方程為J+匕=1.

84

故選：A

22

【例6】已知耳，工分別是橢圓二+4=1(。>6>0)的左、右焦點(diǎn)，A,B分別為橢圓的上，下頂點(diǎn)，過(guò)橢圓

ab

的右焦點(diǎn)尸2的直線交橢圓于c，。兩點(diǎn)，/C。的周長(zhǎng)為8,且直線AC,8c的斜率之積為-：，則橢圓的

4

方程為（）

2>>227?

A.—+y==IB.F—=IC.Fy=lD.—+—=l

232443

【答案】c

【分析】由△耳c。的周長(zhǎng)為8,可得44=8,解得a=2.設(shè)C（x-yj,可得x；=4（lj）,由于直線AC,

BC的斜率之積為可得修=代入化簡(jiǎn)可得從.即可得出.

【詳解】解：△FC。的周長(zhǎng)為8,；.4a=8,解得。=2.

2

設(shè)C（E,%）,則X：=4（1—今"）,

???直線AC,BC的斜率之積為?衛(wèi)=-；,.,.4（y；-〃）+x；=0,

4玉百4

化為4（），：-戶）+4（1-今）=0,可得4=1.

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：—+/=1.

4

故選：C

【例7】已知橢圓C的焦點(diǎn)為片（-1,0）,r（l,0）,過(guò)戶2的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若|AK|=3|EB|,51ABi=4|班|,

則C的方程為（）

A.y+/=lb-f4=,

x2y1

c=1

43>f4

【答案】A

【分析】由已知可設(shè)怩臼=〃，則|A閭=3〃,|%|=；|AB|=5〃，得I前1=3”,在△A/^中求得cos/MB=0,

從而可求解.

【詳解】如圖，由已知可設(shè)后卻=〃，則|A用=3〃,忸制=》AB|=5〃，

由橢圓的定義有為=|幽|+|即|=6〃,:.|"；|=2〃-|伍|=3〃.

在詞國(guó)中，由余弦定理推論得cosZFAB=9"H渭'=0.

t

所以心=90°,則1A用2+m寫（=\F}F^=9儲(chǔ)+9/=4.

得3〃=&，所以〃=及，又c=l,得6=1

故C的方程為*+/=1

22

1.已知《、鳥(niǎo)是橢圓C：f+與=1的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，B在x軸上，ABAF,=O

a

且2AM=AB+Ag.若坐標(biāo)原點(diǎn)。到直線A3的距離為3,則橢圓C的方程為（）

二+匚1

A.—+y2=1B.

4.43

22X2V2

c.JJD.----F--二1

1691612

【答案】D

【分析】根據(jù)題干條件得到A8_LA%片為8工的中點(diǎn)，作出輔助線，利用相似得到|Ag|=4,即環(huán)4,結(jié)

合直角三角形的性質(zhì)得到c=2,求出/，得到橢圓方程.

【詳解】因?yàn)???你=0,所以AB_LA鳥(niǎo),

因?yàn)?A耳=43+伍，所以A耳-AB=AE-A6,即36=百眉,

所以《為BF?的中點(diǎn)，

B03

又因?yàn)椤?=。8=。，所以*=］，

Dr24

過(guò)點(diǎn)0作OMJ_AB于點(diǎn)M,則|OM|=3,

根據(jù)RQBOMRt_B^A,可得瑞=簿=?，所以|A&|=4,

因?yàn)锳為上頂點(diǎn)，所以|4周=|你|=4

根據(jù)雙曲線定義可知:\AFt\+\AF2\=2a=8,所以。=4,

由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得：|耳段=|A￡|=4,即2c=4,

所以c=2,故。2=q2-c2=i6-4=12,

2.己知橢圓C:J+￡=l（q>%>0）,其左、右焦點(diǎn)分別為《，F(xiàn)?,離心率為點(diǎn)尸為該橢圓上一點(diǎn)，且

滿足尸鳥(niǎo)=三，若H的內(nèi)切圓的面積為兀，則該橢圓的方程為（）

A.上+《=1B.工+反=1C.《+《=1D.二+其=1

129161224183224

【答案】A

7T

【分析】由離心率的值，可得“，c的關(guān)系，由三角形的內(nèi)切圓的面積，求出內(nèi)切圓的半徑，再由/月尸鳥(niǎo)=；

及余弦定理可得1ml忖瑪|的值，進(jìn)而求出△月尸鳥(niǎo)的面積，再由心6%=，|”|+歸用+|耳片）"，可得。的

值，進(jìn)而求出橢圓的方程.

【詳解】由離心率6=得上==,即c=x”.

2a22

因?yàn)椤髌琍8的內(nèi)切圓的面積為兀，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為小所以兀產(chǎn)=無(wú)，解得廠=1,

由橢圓的定義可知?dú)w制+歸閭=為，

2

在△耳Pg中，ZFtPF2=^,由余弦定理得|尸用氣|"『_2|尸/訃歸周<osN耳用,

即歸用2+1尸圖2Tp用?〔尸用=山閭2，

二（|尸用+|「周丫一3|年;|忖周=比工『，

/.3|P^|-|PE,|=4a2-4c2=3a2,可得忸耳卜|叫|=",

所以如生=；|尸"|，［尸曰,風(fēng)1=￥",

113

而如=5（|g|+|P用+|耳工|H=5（2a+2c）"="+c=/a,

所以可得=2.°,解得a=26,c=G，

42

由/=從+＜?,得b=3,

所以該橢圓的方程為工+f=1.

129

故選：A.

3.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為6（-行,0）,乙（逐,0）,M是橢圓上一點(diǎn)，若崎，〃工，|岫卜|知用=8,則該橢

圓的方程是（）

A.￡+f=1B.蘭+￡=1C.￡+亡=1D.《+￡=1

72279449

【答案】C

【分析】首先設(shè)|5|=利，|叫|=〃，再利用焦點(diǎn)三角形是直角三角形，列式求利+〃，即可求得〃力的值.

【詳解】設(shè)|MF；|=m,1Ml=〃，因?yàn)镸耳_Lg,|嗎|.|崢|=8,忸悶=2石，所以病+”2=20,mn=8,

所以（"?+〃）2=〃/+"2+2"?〃=36,所以〃?+n=2?=6,所以。=3.因?yàn)閏=后，所以匕二？=2.所

以橢圓的方程是二+￡=1.

94

故選：C

4.已知小TO）,吊（1,0）是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)心且垂直于x軸的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn)，|43|=3,

則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

【答案】C

【分析】方法一：構(gòu)造入耳并利用/+從=02,從而求出得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；方法二：若

22

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為「+馬=1（。＞6＞0）,則過(guò)焦點(diǎn)且垂直于x釉的直線與橢圓相交所得的線段為橢圓的通

a~h

7A2

徑，其長(zhǎng)為絲，并利用/+〃=02,求出從而得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

a

22

【詳解】方法一：由題意，設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程二+4=1（。＞人＞0）連接AG，如圖所示.

ab

IT.”

由題意,得|A段心IGKI=2.在放Z\A居《中，?、?

222

又|A/J=2a-|A6|=2a-1（2）.由①②，得“=2,所以6=合7=3,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+二=1.

243

y2..2I.24/7

方法二：由題意，設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為鼻+1=1（。＞6＞0）,則［陰=生=3,即"==，又=1,

ab-a2

所以。=2或a=-；（舍去），所以〃=4,b2=3,

22

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+匕=1.

43

故選：C.

22

5.已知橢圓C：方=l（a＞人＞0）的右焦點(diǎn)為（四,0）,右頂點(diǎn)為A,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)04的中點(diǎn)且與

坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓C于M,N兩點(diǎn),若四邊形OMAN是正方形，則C的方程為（）

2222

rvX

A.—+y2=1B.—+^-=CD.—+-v^-=1

353-*J97

【答案】A

【分析】待定系數(shù)法去求橢圓C的方程

【詳解】由橢圓方程可知A（〃,0）,由四邊形。MAN是正方形可知M

2

又點(diǎn)M在橢圓。上，則有，解得a=3,

又橢圓C的右焦點(diǎn)為（3,0）,則,=血,

結(jié)合橢圓中片-廿=。2,解得標(biāo)=3,b2=l,則橢圓C的方程為三+/=1.

3

故選：A

22

6.已知橢圓＜7：2+a=1（。＞/?＞°）的左焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)尸的直線x-y+a=o與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)

A8,若P為線段A3的中點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線。尸的斜率為-g,則橢圓C的方程為（）

22

A.—+/=1B.'+匕=1

342

【答案】B

b2

【分析】先求得焦點(diǎn)，也即求得。，然后利用點(diǎn)差法求得，從而求得。力，也即求得橢圓C的方程.

【詳解】直線x-），+&=0過(guò)點(diǎn)網(wǎng)一&,0）,所以c=&，

設(shè)4（為，％），3（孫必），

由1+岑=1,4+岑=1兩式相減并化簡(jiǎn)得?止&

ab“ab~a玉+/-x2

即_*=D"=2〃=〃+C2,

所以〃=c=>/2,a=2,

所以橢圓C的方程為《+《=1.

42

故選：B

7.阿基米德既是古希臘著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近”的方法得到橢圓的面積除以圓

22

周率乃等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓C：￡+方=1（。>b>0）的左，右焦點(diǎn)分別是F1,F?,

P是C上一點(diǎn)，戶用=3儼周，有產(chǎn)廣拳C的面積為12%,則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

【答案】C

【分析】由|助|=3歸閭，/月尸工=?根據(jù)橢圓的定義及余弦定理可得“，c的關(guān)系，根據(jù)“逼近法”求橢圓的

面積公式，及〃=〃+,2,即可求得匕的值，進(jìn)而可得C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

o1

【詳解】由橢圓的定義可知|P4|+|M|=2a,又|P用=3|P段，所以歸用=3,儼曰=；〃.又4；P鳥(niǎo)=《7r,

忻國(guó)丁|叫，照『一2|叫.|叫cos/EPg,所以4c2=#+*_#,所以a=

b=\la2-c2a4a

=/c?.又橢圓的面積為12乃，所以方C?%“r=12〃解得，=7,a2=16,Z?2=9.

故選：C.

22

8.已知橢圓C：T+3?=13>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為B,尸2,左、右頂點(diǎn)分別為"，N,過(guò)心的直線

/交C于A,8兩點(diǎn)（異于M、N）,AABB的周長(zhǎng)為4岔，且直線AM與AN的斜率之積為一|,則橢圓C的

標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

【答案】D

【分析】先利用周長(zhǎng)為4a求得。值，得到M,N坐標(biāo)，再設(shè)點(diǎn)4%,%）,利用直線AM與AN的斜率之積構(gòu)

建關(guān)系，結(jié)合4%,%）滿足已知方程，解得從=2,即得結(jié)果.

【詳解】由AABB的周長(zhǎng)為4月，可知|A￡|+|Ag|+|班|+|85|=44=46,解得a=6，則

設(shè)點(diǎn)A（%,%）,由直線AM與AN的斜率之積為一］,可得一包方,一"方=-1"，即為2=-^（/2-3）①.

3X。+V5%—V533

又竽+$=1,所以城W1一爭(zhēng)②，

由①②解得從=2,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為《+廿=1.

32

故選：D.

9.已知橢圓C的焦點(diǎn)為耳（-1,0）,9（1，0），過(guò)工的直線交于C與4,B,若|伍卜2后月，|陰=忸同,則

C的方程為（）

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件利用橢圓定義及余弦定理列出方程求出即可得解.

【詳解】依題意，設(shè)橢圓方程為￡+￡=1（〃>%>0）,

《b~

由橢圓定義知，|%|=2。一忸段，因|A用=2優(yōu)卻，|A3卜忸制，則3|8工|=2所|8耳|,解得|8號(hào)=g%

于是得忸司=5。，|AK|=a,\AFt\=a,顯然點(diǎn)A在y軸上，如圖，

在Rt,04居中，|。工|=1,COSZAFO=—,在48片居中，|￡居|=2,cosNBEa=-,

2aa

由余弦定理得862=3嚀+6居2-23KW居cos/B/y；,B|J(2^=(1^2+4-2--a-2-(--),解得"=3,