高中數(shù)學第2章圓與方程本章達標檢測蘇教版選擇性必修第一冊

PAGEPAGE16本章達標檢測(滿分:150分;時間:120分鐘)一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.方程x2+y2+2x+4y+1=0表示的圓的圓心坐標為 ()A.(2,4)B.(-2,-4)C.(-1,-2)D.(1,2)2.若圓心坐標為(2,-1)的圓截直線x-y-1=0所得的弦長為22,則這個圓的方程是 ()A.(x-2)2+(y+1)2=2B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x-2)2+(y+1)2=8D.(x-2)2+(y+1)2=163.如果實數(shù)x、y滿足x2+y2-6x+4=0,那么yx的最大值是 (A.23B.255C.54.趙州橋是一座位于河北省石家莊市趙縣城南洨河之上的石拱橋,因趙縣古稱趙州而得名.趙州橋始建于隋代,是世界上現(xiàn)存年代久遠、跨度最大、保存最完整的石拱橋.小明家附近的一座橋是仿趙州橋建造的圓拱橋,已知在某個時間段這座橋的水面跨度是20米,拱頂離水面4米,當水面上漲2米后,橋在水面的跨度為 ()A.10米B.102米C.66米D.65米5.若圓x2+y2-2ax+2y+1=0與圓x2+y2=1關(guān)于直線y=x-1對稱,過點C(-2a,a)的圓P與y軸相切,則圓心P的軌跡方程為 ()A.y2-4x+4y+8=0B.y2+2x-2y+2=0C.y2-2x-y-1=0D.y2+4x-2y+5=06.若圓M:x2+y2+ax+by-ab-6=0(a>0,b>0)平分圓N:x2+y2-4x-2y+4=0的周長,則2a+b的最小值為 ()A.8B.9C.16D.207.已知圓C的圓心為原點O,且與直線x+y+42=0相切.點P在直線x=8上,過點P引圓C的兩條切線PA,PB,切點分別為A,B,如圖所示,則直線AB恒過的定點的坐標為 ()A.(2,0)B.(0,2)C.(1,0)D.(0,1)8.已知實數(shù)x、y滿足x2+(y-2)2=1,則ω=x+3yxA.(3,2]B.[1,2]C.(0,2]D.3二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多個選項符合題目要求,全部選對的得5分,部分選對的得3分,有選錯的得0分)9.已知圓C1:(x-2cosθ)2+(y-2sinθ)2=1與圓C2:x2+y2=1,則下列說法正確的是 ()A.對于任意的θ,圓C1與圓C2始終相切B.對于任意的θ,圓C1與圓C2始終有四條公切線C.當θ=π6時,圓C1被直線l:3x-y-1=0截得的弦長為D.P,Q分別為圓C1與圓C2上的動點,則PQ的最大值為410.已知圓C:(x-1)2+(y-2)2=25,直線l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,則下列命題正確的是 ()A.直線l恒過定點(3,1)B.y軸被圓C截得的弦長為46C.直線l與圓C恒相交D.直線l被圓C截得的弦長最長時,直線l的方程為2x-y-5=011.已知實數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0,則下列說法錯誤的是 ()A.y-x的最大值為6-2B.x2+y2的最大值為7+43C.yx的最大值為D.x+y的最大值為2+312.如果A(2,0),B(1,1),C(-1,1),D(-2,0),CD是以OD為直徑的圓上一段圓弧,CB是以BC為直徑的圓上一段圓弧,BA是以OA為直徑的圓上一段圓弧,三段弧構(gòu)成曲線Ω,那么下面說法正確的是 ()A.曲線Ω與x軸圍成的圖形的面積為3πB.CB與BA的公切線方程為x+y-2-1=0C.BA所在圓與CB所在圓的交點弦所在直線的方程為x-y=0D.直線y=x截CD所在圓所得的弦長為2三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.將答案填在題中橫線上)13.已知點A(a,2)在圓x2+y2-2ax-3y+a2+a=0的外部,則a的取值范圍為.

14.設集合A={(x,y)|x2+(y-1)2=1},B={(x,y)|(x-t)2+y2=9},且A∩B≠?,則實數(shù)t的取值范圍是.

15.在平面直角坐標系xOy中,已知圓C1:x2+y2=2,圓C2:(x-17)2+(y-17)2=8,若過第四象限的直線l是兩圓的公切線,且兩圓在公切線的同一側(cè),則直線l的方程為.

16.如圖所示,已知以點A(-1,2)為圓心的圓與直線l1:x+2y+7=0相切.過點B(-2,0)的動直線l與圓A交于M,N兩點,Q是MN的中點,直線l與l1交于點P.(1)當|MN|=219時,直線l的方程為;

(2)BQ·BP=.(第一個空3分,第二個空2分)

四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)已知圓C的方程為x2+y2-2x+4y+1=0.(1)求圓C的圓心坐標及半徑;(2)若直線l經(jīng)過(2,0),并且被圓C截得的弦長為23,求直線l的方程.18.(本小題滿分12分)已知圓C:x2+y2+mx+my-4=0關(guān)于直線x+y+1=0對稱.(1)求圓C的標準方程;(2)是否存在直線與圓C相切,且在x軸,y軸上的截距相等?若存在,求出該直線的方程;若不存在,請說明理由.19.(本小題滿分12分)如圖,已知△ABC的AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0,M(2,0)滿足BM=MC,點T(-1,1)在AC邊所在直線上且滿足AT·AB=0.(1)求AC邊所在直線的方程;(2)求△ABC外接圓的方程;(3)求過點N(-2,0)的△ABC外接圓的切線方程.20.(本小題滿分12分)已知圓C的圓心在x軸上,且圓C經(jīng)過點A(-1,0),B(1,2).(1)求線段AB的垂直平分線的方程;(2)求圓C的標準方程;(3)已知直線l:y=kx+1與圓C相交于M、N兩點,且MN=22,求直線l的方程.

21.(本小題滿分12分)已知圓C:(x+3)2+(y-4)2=16,直線l:(2m+1)x+(m-2)y-3m-4=0(m∈R).(1)若圓C截直線l所得的弦AB的長為211,求m的值;(2)若圓C與直線l相離,設MN為圓C的動直徑,作MP⊥l,NQ⊥l,垂足分別為P,Q,當m變化時,求四邊形MPQN面積的最大值.

22.(本小題滿分12分)為解決城市的擁堵問題,某城市準備對現(xiàn)有的一條穿城公路MON進行分流,已知穿城公路MON自西向東到達城市中心點O后轉(zhuǎn)向東北方向即∠AOB=3π4.現(xiàn)準備修建一條城市高架道路L,L在MO上設一出入口A,在ON上設一出入口B.假設高架道路L在AB部分為直線段,且要求市中心O到直線AB的距離為10km.(1)求兩站點A,B之間距離的最小值;(2)公路MO段上距離市中心30km處有一古建筑群C,為保護古建筑群,設立一個以C為圓心,5km為半徑的圓形保護區(qū),問如何在古建筑群C和市中心O之間設計出入口A,才能使高架道路L及其延伸段不經(jīng)過保護區(qū)(不包括臨界狀態(tài))?答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)練一、單項選擇題1.C由x2+y2+2x+4y+1=0可得(x+1)2+(y+2)2=4,所以圓心坐標為(-1,-2).故選C.2.B設圓的半徑為r,∵圓心到直線x-y-1=0的距離d=|2+1-1∴2r2-d2=2r2-2∴圓的方程為(x-2)2+(y+1)2=4.故選B.3.Dx2+y2-6x+4=0即(x-3)2+y2=5,它表示圓心為(3,0),半徑為5的圓,yx的幾何意義是圓上一點(x,y)與點(0,0)連線的斜率當過原點的直線與圓相切時,斜率最大,即yx最大令此時直線的傾斜角為α,則tanα=52即yx的最大值為5故選D.4.C根據(jù)題意,建立圓拱橋模型,如圖所示.設圓O半徑為R米,當水面跨度是20米,拱頂離水面4米時,水面為AB,M為線段AB的中點,即AB=20米,OM=(R-4)米,利用勾股定理可知,AM2=AB22=OA2-OM2,即100=R2-(R-4)2,解得R=當水面上漲2米后,即水面到達CD,N為線段CD的中點,此時ON=(R-2)米,故CD=2CN=2R2-(R-2)故選C.5.D由條件可知x2+y2-2ax+2y+1=0的半徑為1,并且兩已知圓圓心連線的斜率是-1,由x2+y2-2ax+2y+1=0得(x-a)2+(y+1)2=a2,其圓心為(a,-1),半徑為|a|,所以-1a=-1,a設P(x,y),由條件可知PC=|x|,即(x+2)兩邊平方后,整理得y2+4x-2y+5=0.故選D.6.A兩圓方程相減得(a+4)x+(b+2)y-ab-10=0,此為相交弦所在直線的方程,圓N的標準方程是(x-2)2+(y-1)2=1,圓心為N(2,1),代入相交弦所在直線的方程,得2(a+4)+b+2-ab-10=0,則1a+2因為a>0,b>0,所以2a+b=(2a+b)1a+2b=4+ba+4ab≥4+2ba×4ab=8,當且僅當ba=7.A依題意得圓C的半徑r=4212+12=4,所以圓C的方程為x因為PA,PB是圓C的兩條切線,所以OA⊥AP,OB⊥BP,所以A,B在以OP為直徑的圓上,設點P的坐標為(8,b),b∈R,則線段OP的中點坐標為4,b2,所以以OP為直徑的圓的方程為(x-4)2+y-b22=42+b22,b∈R,化簡得x2+y2-8x-by=0,b∈R,因為AB為兩圓的公共弦,所以直線AB的方程為8x+by=16,b∈R,即8(8.B如圖所示:設P(x,y)為圓x2+(y-2)2=1上的任意一點,則點P到直線x+3y=0的距離PM=x+點P到原點的距離為PO=x2所以ω=x+3yx2+設圓x2+(y-2)2=1與直線y=kx相切,則2k2+1=1,解得k所以∠POM的最小值為30°,最大值為90°,所以12≤sin∠POM≤所以1≤ω=2sin∠POM≤2.故選B.二、多項選擇題9.ACD由已知得C1(2cosθ,2sinθ),C2(0,0),C1C2=(2cosθ)2+(2sinθ)2=2,當θ=π6時,C1(3,1),C1到已知直線l的距離d=|3×3-1-1|(3由于兩圓外切,且C1C2=2,因此PQmax=C1C2+1+1=4,D正確.故選ACD.10.ABC直線l的方程整理得m(2x+y-7)+x+y-4=0,由2x+y-7=0,x+在圓C的方程中,令x=0,得1+(y-2)2=25,解得y=2±26,則y軸被圓C截得的弦長為46,B正確;(3-1)2+(1-2)2=5<25,故P(3,1)在圓內(nèi),所以直線與圓一定相交,C正確;直線l被圓C截得的弦長最長時,直線過圓心(1,2),則2m+1+2(m+1)-7m-4=0,解得m=-13,故直線l的方程為13x+23y-53=0,即x+2故選ABC.11.CD對于A,設z=y-x,則y=x+z,z表示直線y=x+z的縱截距,當此直線與圓x2+y2-4x+1=0,即(x-2)2+y2=3有公共點時,|2+z|2≤3,解得-6-2≤z≤6-2,所以y-x的最大值為6-2,故A中說法正確;對于B,x2+y2的幾何意義是圓上的點與原點的距離的平方,易知原點與圓心的距離為2,則原點與圓上的點的最大距離為2+3,所以x2+y2的最大值為(2+3)2=7+43,故B中說法正確;對于C,yx的幾何意義是圓上的點與原點連線的斜率,則yx的最大值為tan60°=3,故C中說法錯誤;對于D,設m=x+y,則y=-x+m,m表示直線y=-x+m的縱截距,當此直線與圓(x-2)2+y2=3有公共點時,|-2+m|2≤3,解得-6+2≤m≤6+2,所以x+12.BC連接BC,交y軸于點Q,過點B作BN⊥x軸于點N,過點C作CM⊥x軸于點M,連接QN,如圖.各段圓弧所在圓的方程分別為CD:(x+1)2+y2=1;CB:x2+(y-1)2=1;BA:(x-1)2+y2=1.由題意知曲線Ω與x軸圍成的圖形是一個半圓,一個矩形和兩個四分之一圓,所以圍成的圖形的面積為2×π4+π2+2=π+2,故A易知直線QN的方程為y=-x+1,公切線l平行于直線NQ,且兩直線間的距離為1,設直線l:y=-x+b(b>0),則|b-1|2=1,解得b=2+1,所以直線l:x+y-2將BA所在圓與CB所在圓的方程相減,得交點弦所在直線的方程為x-y=0,故C正確;CD所在圓的圓心為(-1,0),(-1,0)到直線y=x的距離d=22,所以直線y=x截CD所在圓所得的弦長為21-222=2故選BC.三、填空題13.答案2解析因為點A(a,2)在圓的外部,所以a所以2<a<94所以a的取值范圍為2,14.答案[-15,-3]∪[3,15]解析圓(x-t)2+y2=9的半徑大于圓x2+(y-1)2=1的半徑.當兩圓外切時,有(0-t)2+當兩圓內(nèi)切時,有(0-t)2+當t>0,即圓(x-t)2+y2=9的圓心在原點右側(cè)時,實數(shù)t的取值范圍為[3,15];當t<0,即圓(x-t)2+y2=9的圓心在原點左側(cè)時,實數(shù)t的取值范圍為[-15,-3].故實數(shù)t的取值范圍為[-15,-3]∪[3,15].15.答案3x-5y-217=0解析由圓的方程可知圓C1的圓心為C1(0,0),半徑r1=2,圓C2的圓心為C2(17,17),半徑r2=22,則kC1C2=1,C1C由題意知直線l的斜率存在,設直線l的方程為y=kx+b,直線l與圓C1,C2的切點分別為A,B,連接C1C2,AC1,BC2,過C1作C1D∥AB交BC2于點D,如圖.∵l為圓C2的切線,∴BC2⊥AB,又C1D∥AB,∴C1D⊥C2D,∴tan∠DC1C2=C2D=14∴k=tan(45°-∠DC1C2)=1-14∴直線l的方程為y=35x+b,即3x-5y+5b又直線l與圓C1相切,∴|5b|34=2,解得又直線l過第四象限,∴b=-217∴直線l的方程為3x-5y-217=0.16.答案(1)x=-2或3x-4y+6=0(2)-5解析(1)設圓A的半徑為R.∵圓A與直線l1:x+2y+7=0相切,∴R=|-1+4+7|5=25,∴圓A的方程為(x+1)2+(y-2)①當直線l的斜率不存在時,易知直線l的方程為x=-2,此時MN=219,符合題意.②當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y=k(x+2),即kx-y+2k=0.連接AQ,則AQ⊥MN.∵MN=219,∴AQ=20-19∴AQ=|k-2|k2∴直線l的方程為3x-4y+6=0.綜上,直線l的方程為x=-2或3x-4y+6=0.(2)∵AQ⊥BP,∴AQ·BP=0,∴BQ·BP=(BA+AQ)·BP=BA·BP+AQ·BP=BA·BP.當直線l的斜率不存在時,P-2,-52,則又BA=(1,2),∴BQ·BP=BA·BP=-5.當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y=k'(x+2).由y=k'(x∴BP=-5∴BQ·BP=BA·BP=-51+2k'綜上所述,BQ·BP為定值,其定值為-5.四、解答題17.解析(1)圓x2+y2-2x+4y+1=0可化為(x-1)2+(y+2)2=4, (3分)所以圓心坐標為(1,-2),半徑為2. (5分)(2)由題意及(1)得圓心到直線l的距離d=22-(當直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=2,此時直線l被圓C截得的弦長為23,符合題意; (8分)當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y=k(x-2),即kx-y-2k=0,由題意得|k+2-2k|k2+1所以直線l的方程為34x-y-64=0,即3x-4y綜上所述,直線l的方程為x=2或3x-4y-6=0. (10分)18.解析(1)由題意知圓C的圓心為C-m2,-m2,∴-m2-m∴圓C的方程為x2+y2+x+y-4=0,其標準形式為x+122+y+1(2)存在.由(1)知圓心為C-12,-12,則截距相等的切線不過原點. (8分)設截距相等的切線的方程為x+y+a=0,則-12-12+a2=經(jīng)檢驗均符合題意, (10分)∴切線方程為x+y-2=0或x+y+4=0. (12分)19.解析(1)∵AT·AB=0,∴AT⊥AB,∴AT⊥AB,又T在直線AC上,∴AC⊥AB,∴△ABC為直角三角形.又AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0,∴直線AC的斜率為-3,又∵點T(-1,1)在直線AC上,∴AC邊所在直線的方程為y-1=-3(x+1),即3x+y+2=0. (4分)(2)由x-3y-6=0,3x+∵BM=MC,∴M(2,0)為Rt△ABC斜邊上的中點,即為Rt△ABC外接圓的圓心,又AM=(2-0∴△ABC外接圓的方程為(x-2)2+y2=8. (8分)(3)易知切線的斜率存在.設切線方程為y=k(x+2),則|4k|k2+1=22,解得k=1∴切線方程為x-y+2=0或x+y+2=0. (12分)20.解析(1)設線段AB的中點為D,則D(0,1).由圓的性質(zhì),得CD⊥AB,所以kCD×kAB=-1,所以kCD=-1,所以線段AB的垂直平分線的方程是y=-x+1. (3分)(2)設圓C的標準方程為(x-a)2+y2=r2,其中C(a,0),半徑為r(r>0).由圓的性質(zhì),得圓心C(a,0)在直線CD上,則0=-a+1,解得a=1, (6分)所以圓心C(1,0),r=CA=1-(-1)=2,所以圓C的標準方程為(x-1)2+y2=4. (8分)(3)設F為線段MN的中點,則CF⊥l,FM=FN=2.設圓心C到直線l的距離為d,則d=C