函數(shù)奇偶性公開課

關(guān)于函數(shù)奇偶性公開課教學(xué)目標(biāo)奇函數(shù)的概念；偶函數(shù)的概念；函數(shù)奇偶性的判斷；【重點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的概念【難點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的判斷【教法】自學(xué)輔導(dǎo)法、討論法、講授法【學(xué)法】歸納——討論——練習(xí)【教學(xué)手段】多媒體電腦與投影儀第2頁,共51頁，2024年2月25日，星期天兩個(gè)分別關(guān)于X軸、y軸或原點(diǎn)o對(duì)稱的點(diǎn)，其坐標(biāo)各具有什么特征呢？溫故知新第3頁,共51頁，2024年2月25日，星期天第4頁,共51頁，2024年2月25日，星期天xyoxyo

觀察下列兩個(gè)函數(shù)圖象并思考以下問題：（1）這兩個(gè)函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？（2）當(dāng)自變量x取一對(duì)相反數(shù)時(shí),相應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)值如何?

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第5頁,共51頁，2024年2月25日，星期天我們得到:1這兩個(gè)函數(shù)圖象都關(guān)于y軸對(duì)稱.2從函數(shù)值對(duì)應(yīng)表可以看到:當(dāng)自變量x取一對(duì)相反數(shù)時(shí),相應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)值相同.即點(diǎn)(x,f(x))在圖象上,相應(yīng)的點(diǎn)(-x,f(x))也在函數(shù)圖象上。能否利用函數(shù)解析式來描述函數(shù)圖象的特征呢？第6頁,共51頁，2024年2月25日，星期天Y=x2-xx當(dāng)x1=1,x2=-1時(shí)，f(-1)=f(1)當(dāng)x1=2,x2=-2時(shí)，f(-2)=f(2)對(duì)任意x，f(-x)=f(x)第7頁,共51頁，2024年2月25日，星期天偶函數(shù)的圖象關(guān)于Y軸對(duì)稱.yxo函數(shù)y=x2的圖像

偶函數(shù)的圖像特征第8頁,共51頁，2024年2月25日，星期天偶函數(shù)的特征:①解析式的基本特征：f(-x)=f(x)②圖像特征:關(guān)于y軸對(duì)稱.

設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)閿?shù)集D，如果對(duì)于任意的都有且f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù).1.偶函數(shù)的概念概念形成第9頁,共51頁，2024年2月25日，星期天再觀察下列函數(shù)的圖象，它們又有什么樣的特點(diǎn)規(guī)律呢？yxOx0-x0

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第10頁,共51頁，2024年2月25日，星期天例如：對(duì)于函數(shù)f(x)=x3-xx概念形成(X,f(x))(-X,-f(x))返回第11頁,共51頁，2024年2月25日，星期天奇函數(shù)的圖像特征函數(shù)y=x3的圖像xyO奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.第12頁,共51頁，2024年2月25日，星期天奇函數(shù)的特征:①解析式的基本特征：f(-x)=-f(x)②圖像特征:關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.2.奇函數(shù)的概念概念形成

設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)閿?shù)集D，如果對(duì)于任意的都有且f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù).第13頁,共51頁，2024年2月25日，星期天下列函數(shù)是偶函數(shù)嗎?xy1xy1xy1-1。第14頁,共51頁，2024年2月25日，星期天(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的先決條件。

[a,b][-b,-a]xo對(duì)于奇、偶函數(shù)定義的幾點(diǎn)說明:(2)如果一個(gè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么我們就說函數(shù)f(x)具有奇偶性.(3)

函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì).第15頁,共51頁，2024年2月25日，星期天一個(gè)函數(shù)f(x)是偶函數(shù)的充要條件是,它的圖象是以y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形;

奇、偶函數(shù)的性質(zhì):一個(gè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)充要條件是,它的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形.第16頁,共51頁，2024年2月25日，星期天思考：如何判斷一個(gè)函數(shù)的奇偶性呢？（1）圖像法（2）定義法第17頁,共51頁，2024年2月25日，星期天例1.根據(jù)下列函數(shù)圖象,判斷函數(shù)奇偶性.yxyxyx-12yx-11偶奇非奇非偶奇圖象法第18頁,共51頁，2024年2月25日，星期天定義法課本例4第19頁,共51頁，2024年2月25日，星期天用定義法判斷函數(shù)奇偶性解題步驟:(1)先確定函數(shù)定義域,并判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;(2)求f(-x)，找f(x)與f(-x)的關(guān)系;若f(-x)=f(x),則f(x)是偶函數(shù);若f(-x)=-f(x),則f(x)是奇函數(shù).(3)作出結(jié)論.f(x)是偶函數(shù)或奇函數(shù)或非奇非偶函數(shù)或即是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。給出函數(shù)判斷定義域是否對(duì)稱結(jié)論是f(-x)與f(x)否第20頁,共51頁，2024年2月25日，星期天練習(xí).判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x)=x3+2x；(2)f(x)=2x4+3x2；解:∵f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x)=-f(x)∴f(x)為奇函數(shù)．∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2∴f(x)為偶函數(shù)．函數(shù)定義域?yàn)镽．解:函數(shù)定義域?yàn)镽．=f(x)定義法第21頁,共51頁，2024年2月25日，星期天課堂小結(jié)1奇偶性定義:對(duì)于函數(shù)f(x),在它的定義域內(nèi)，①若有f(-x)=-f(x),則f(x)叫做奇函數(shù)；②若有f(-x)=f(x),則f(x)叫做偶函數(shù)。

2圖象性質(zhì):奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;

偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.3判斷奇偶性方法：圖象法，定義法。

4定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的前提第22頁,共51頁，2024年2月25日，星期天奇偶函數(shù)定義圖像性質(zhì)定義域?qū)ΨQ圖像法、定義法第23頁,共51頁，2024年2月25日，星期天必做題:課本P582(1)、（２）選做題：練習(xí)冊(cè)Ａ組２(10)、（14）作業(yè)第24頁,共51頁，2024年2月25日，星期天

檢測(cè)題一、填空：1、如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有——那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù).2、奇函數(shù)的圖象關(guān)于——對(duì)稱。二、判斷：1、偶函數(shù)的圖形不一定關(guān)于y軸對(duì)稱。（）2、y=x是奇函數(shù)。（）三、判斷下列函數(shù)的奇偶性第25頁,共51頁，2024年2月25日，星期天再見！第26頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2.奇偶函數(shù)圖象的性質(zhì):(2)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.反過來,如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,那么這個(gè)函數(shù)為偶函數(shù).奇偶函數(shù)圖象的性質(zhì)可用于：①判斷函數(shù)的奇偶性.②簡(jiǎn)化函數(shù)圖象的畫法,(1)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.反過來,如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,那么這個(gè)函數(shù)為奇函數(shù).第27頁,共51頁，2024年2月25日，星期天(6)f(x)=x+1解:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽．∵f(-x)=f(x)=0，又f(-x)=-f(x)=0，∴f(x)為既奇又偶函數(shù)．(5)f(x)=0(x

R)根據(jù)奇偶性,函數(shù)可劃分為四類:奇函數(shù);偶函數(shù);既奇又偶函數(shù);非奇非偶函數(shù).解:函數(shù)定義域?yàn)镽．∵f(-x)=-x+1，-f(x)=-x-1,∴f(-x)≠f(x),且f(-x)≠–f(x).∴f(x)為非奇非偶函數(shù).第28頁,共51頁，2024年2月25日，星期天判定函數(shù)的奇偶性的步驟：(1)先求函數(shù)的定義域；①若定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù).②若定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間,進(jìn)入第二步;(2)計(jì)算f(－x)化向f(x)的解析式；①若等于f(x),則函數(shù)是偶函數(shù),②若等于－f(x),則函數(shù)是奇函數(shù),③若不等于,則函數(shù)是非奇非偶函數(shù)(3)結(jié)論.有時(shí)判定f(-x)=±f(x)比較困難,可考慮判定f(-x)±f(x)=0或判定f(x)/f(-x)=±1.

第29頁,共51頁，2024年2月25日，星期天(4)f(x)=|x+1|-|x-1|∴f(x)既是偶函數(shù),又是奇函數(shù).解:函數(shù)的定義域?yàn)閧-1,1},第30頁,共51頁，2024年2月25日，星期天復(fù)習(xí)回顧1.兩個(gè)定義:對(duì)于f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,

如果都有f(-x)=-f(x)?f(x)為奇函數(shù).

如果都有f(-x)=f(x)?f(x)為偶函數(shù).一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)?它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.一個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)?它的圖象關(guān)于y

軸對(duì)稱.2.兩個(gè)性質(zhì):3.判斷函數(shù)奇偶性的步驟

①考查函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②判斷f(-x)＝±f(x)之一是否成立；③作出結(jié)論.第31頁,共51頁，2024年2月25日，星期天例3.已知f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2－2x,求當(dāng)x＜0時(shí),f(x)的解析式,并畫出此函數(shù)f(x)的圖象.xyo解:∵f(x)是奇函數(shù),∴f(-x)=－f(x).∵當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2－2x,∴當(dāng)x＜0時(shí),-x>0,f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,即-f(x)=(x2+2x),∴f(x)=-x2-2x.第32頁,共51頁，2024年2月25日，星期天偶函數(shù)定義：

如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x）=f(x)。那么f(x)就叫偶函數(shù)。第33頁,共51頁，2024年2月25日，星期天奇函數(shù)定義：如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x）=-f(x)那么f(x)就叫奇函數(shù)。思考:偶函數(shù)與奇函數(shù)圖象有什么特征呢?第34頁,共51頁，2024年2月25日，星期天判斷函數(shù)奇偶性步驟:(1)先確定函數(shù)定義域,并判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;(2)確定f(x)與f(-x)的關(guān)系;(3)作出結(jié)論.若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,則f(x)是偶函數(shù);若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,則f(x)是奇函數(shù).第35頁,共51頁，2024年2月25日，星期天思考1：函數(shù)f(x)=2x+1是奇函數(shù)嗎？是偶函數(shù)嗎？xy012f(x)=2x+1-1分析：函數(shù)的定義域?yàn)镽

但是f(-x)=2(-x)+1=-2x+1

∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x)∴f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。（也稱為非奇非偶函數(shù)）如右圖所示：圖像既不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱也不關(guān)于y軸對(duì)稱。思考：思考2：完成課本頁的練習(xí)第36頁,共51頁，2024年2月25日，星期天小結(jié)：奇偶性定義:對(duì)于函數(shù)f(x),在它的定義域內(nèi)，把任意一個(gè)x換成-x，(x,-x均在定義域內(nèi)）①若有f(-x)=-f(x),則f(x)叫做奇函數(shù)；②若有f(-x)=f(x),則f(x)叫做偶函數(shù)。定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件。性質(zhì):奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;

偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.判斷奇偶性方法：圖象法，定義法。第37頁,共51頁，2024年2月25日，星期天yx-11-11-xx第38頁,共51頁，2024年2月25日，星期天引例1.已知函數(shù)f(x)=x2,求f(-2),f(2),f(-1),f(1),及f(-x),并畫出它的圖象．解:f(-2)=(-2)2=4f(2)=4f(-2)=f(2)f(-1)=(-1)2=1f(1)=1f(-1)=f(1)f(-x)=(-x)2=x2f(-x)=f(x)思考:(1)這兩個(gè)函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？

(2)從解析式上如何體現(xiàn)上述特征？第39頁,共51頁，2024年2月25日，星期天第40頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2.已知f(x)=x3,畫出它的圖象,并求出f(-2),f(2),

f(-1),f(1)及f(-x)解:f(-2)=(-2)3=-8,f(2)=8f(-2)=-f(2)f(-1)=(-1)3=-1,f(1)=1f(-1)=-f(1)f(-x)=(-x)3=-x3f(-x)=-f(x)思考:通過練習(xí),你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?(-x,-y)(x,y)第41頁,共51頁，2024年2月25日，星期天注意：

(1)函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì);而函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì).(2)由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，則-x也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)．第42頁,共51頁，2024年2月25日，星期天例2.判斷下列函數(shù)的奇偶性:解:(1)對(duì)于函數(shù)，其定義域?yàn)椋驗(yàn)閷?duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x,都有所以函數(shù)為奇函數(shù)。（1）

（2）先確定定義域,再驗(yàn)證f(x)與f(-x)之間的關(guān)系.

(3)

第43頁,共51頁，2024年2月25日，星期天（5）（4）

定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件。定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f(x)為非奇非偶函數(shù)。解：（4）（5）,故函數(shù)f(x)為既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)。第44頁,共51頁，2024年2月25日，星期天例3.判斷下列函數(shù)的奇偶性

定義域?qū)ΨQ的非零常數(shù)函數(shù)僅是偶函數(shù),而零函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).第45頁,共51頁，2024年2月25日，星期天Y=x2-xx當(dāng)x1=1,x2=