常微分方程奇解和包絡(luò)

關(guān)于常微分方程奇解和包絡(luò)一、包絡(luò)和奇解1包絡(luò)的定義定義1：對(duì)于給定的一個(gè)單參數(shù)曲線族：

曲線族(1)的包絡(luò)是指這樣的曲線,它本身不包含在曲線(1)中,但過(guò)這曲線的每一點(diǎn)有(1)中的一條曲線和它在這點(diǎn)相切.第2頁(yè),共26頁(yè)，2024年2月25日，星期天對(duì)于給定的一個(gè)單參數(shù)曲線族：

其中為參數(shù).若存在一條曲線滿足下列條件:(1)(2)對(duì)任意的

存在唯一的使得且與在有相同的切線.則稱(chēng)為曲線族的一條包絡(luò)線,簡(jiǎn)稱(chēng)為包絡(luò).或定義：第3頁(yè),共26頁(yè)，2024年2月25日，星期天例如單參數(shù)曲線族：（其中R是常數(shù)，c是參數(shù)）表示圓心為（c,0）而半徑等于R的一族圓.如圖R從圖形可見(jiàn),此曲線族的包絡(luò)顯然為:第4頁(yè),共26頁(yè)，2024年2月25日，星期天注:并不是每個(gè)曲線族都有包絡(luò).例如:單參數(shù)曲線族:(其中c為參數(shù))表示一族同心圓.

如圖從圖形可見(jiàn),此曲線族沒(méi)有包絡(luò).第5頁(yè),共26頁(yè)，2024年2月25日，星期天問(wèn)題:對(duì)于給定的單參數(shù)曲線族:

如何判斷它是否有包絡(luò)?如果有包絡(luò),如何求?根據(jù)定義,假設(shè)該單參數(shù)曲線族有包絡(luò)則對(duì)任意的存在唯一的使得于是得到對(duì)應(yīng)關(guān)系:第6頁(yè),共26頁(yè)，2024年2月25日，星期天從而得到二元函數(shù)使得若可用參數(shù)形式表示為:記則于是,第7頁(yè),共26頁(yè)，2024年2月25日，星期天上任取一個(gè)固定點(diǎn)M,則M在某一條曲線上.由于與在M點(diǎn)有相同的切線,而與在M點(diǎn)的切線的斜率分別為與所以,有從而由于在上不同的點(diǎn)也在不同的上,即因此現(xiàn)在第8頁(yè),共26頁(yè)，2024年2月25日，星期天因此,包絡(luò)線任意一點(diǎn)M不僅要滿足而且還要滿足把聯(lián)立方程組:中消去參數(shù)c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲線稱(chēng)為曲線族的c-判別曲線第9頁(yè),共26頁(yè)，2024年2月25日，星期天2包絡(luò)的求法曲線族(1)的包絡(luò)包含在下列兩方程注:第10頁(yè),共26頁(yè)，2024年2月25日，星期天解:記則即例1:的包絡(luò).求曲線族第11頁(yè),共26頁(yè)，2024年2月25日，星期天因此c-判別曲線包括兩條曲線(2)和(3),第12頁(yè),共26頁(yè)，2024年2月25日，星期天xyO第13頁(yè),共26頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2:求直線族:的包絡(luò).這里是參數(shù),是常數(shù).解:記則消去參數(shù)得的c-判別曲線:經(jīng)驗(yàn)證是曲線族的包絡(luò).如圖:第14頁(yè),共26頁(yè)，2024年2月25日，星期天Oxy第15頁(yè),共26頁(yè)，2024年2月25日，星期天3奇解定義2:微分方程的某一解稱(chēng)為奇解,如果在這個(gè)解的每一點(diǎn)還有方程的另外一個(gè)解存在.注:一階微分方程的通解的包絡(luò)一定是奇解;反之微分方程的奇解(若存在)也是微分方程的包絡(luò).例如:第16頁(yè),共26頁(yè)，2024年2月25日，星期天第17頁(yè),共26頁(yè)，2024年2月25日，星期天4奇解的求法方程的奇解包含在由方程組注:第18頁(yè),共26頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3:求微分方程的奇解.解:從消去p(實(shí)際上p=0),得到p-判別曲線即由于方程的通解為:第19頁(yè),共26頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、克萊羅（Clairaut）方程1定義3:形如的方程，稱(chēng)為克萊羅(Clairaut)方程.第20頁(yè),共26頁(yè)，2024年2月25日，星期天為求它的解,令得經(jīng)化簡(jiǎn),得2克萊羅(Clairaut)方程的求解這是y已解出的一階微分方程.第21頁(yè),共26頁(yè)，2024年2月25日，星期天如果則得到于是,Clairaut方程的通解為:如果它與等式聯(lián)立,則得到Clairaut方程的以p為參數(shù)的解:或其中c為參數(shù).消去參數(shù)p便得方程的一個(gè)解.第22頁(yè),共26頁(yè)，2024年2月25日，星期天結(jié)果:Clairaut方程的通解是一直線族,此直線族的包絡(luò)或是Clairaut方程的奇積分曲線,所對(duì)應(yīng)的解是奇解.如果令則因此,求得此解的過(guò)程正好與從通解中求包絡(luò)的手續(xù)一樣.易驗(yàn)證,此參數(shù)曲線恰為通解的包絡(luò)第23頁(yè),共26頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4:求解方程解:這是Clairaut方程,

因而它有通解:其中因?yàn)樗詮闹邢?shù)c,得到原方程的奇解:第24頁(yè),共26頁(yè)，2024年2月25日，星