二次函數(shù)中等腰三角形的存在問題

關(guān)于二次函數(shù)中等腰三角形的存在問題學(xué)習(xí)目標(biāo)1、會(huì)準(zhǔn)確找到滿足條件的點(diǎn)。2、會(huì)運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蟪鰸M足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)

學(xué)習(xí)重點(diǎn)1、能準(zhǔn)確找到符合條件

的點(diǎn)。

2、利用等腰三角形的性

質(zhì)、勾股定理和三角

形相似等知識(shí)求點(diǎn)的

坐標(biāo)。學(xué)習(xí)難點(diǎn)利用等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)求點(diǎn)的坐標(biāo)。

第2頁,共13頁，2024年2月25日，星期天課前熱身：如圖，直線AB交x軸于A點(diǎn)，交y軸于B點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)的拋物線交x軸于另一點(diǎn)C.問：（1）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使△ABM

是以線段AB為底的等腰三角形？

基本方法：線段AB為底：作線段AB的垂直平分線，垂直平分線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)第3頁,共13頁，2024年2月25日，星期天（2）在x軸上是否存在點(diǎn)D，使△ABD是以線段AB為腰的等腰三角形？基本方法：以線段AB為腰：分別以點(diǎn)A、B為圓心，線段AB長為半徑畫弧，與x軸的交點(diǎn)第4頁,共13頁，2024年2月25日，星期天（3）在拋物線的上是否存在點(diǎn)P，使△ABP

是等腰三角形？基本方法：分別以線段AB為底和腰，

找出滿足條件的點(diǎn)數(shù)學(xué)基本思想----分類討論第5頁,共13頁，2024年2月25日，星期天典例講解如圖，已知二次函數(shù)y=﹣x2+x+3的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B．

試問：在x軸的正半軸上是否存在點(diǎn)P．使得△PAB是線段AB為底的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．第6頁,共13頁，2024年2月25日，星期天方法一：等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理解答

解：作線段AB的垂直平分線，垂足為D交x軸于點(diǎn)P,連接BP

設(shè)點(diǎn)P(a,0)

∵DP垂直平分AB,∴AP=BP

∵點(diǎn)P(a,0)，點(diǎn)A(4，0)、點(diǎn)B(0，3),

∴OP=a，OA=4，0B=3，AP=BP=4-a,

∴在RT△OPB中，

即

解得

DP第7頁,共13頁，2024年2月25日，星期天方法二：利用相似三角形解答解：作線段AB的垂直平分線，垂足為D交x軸于點(diǎn)P,

設(shè)點(diǎn)P(a,0)

∵點(diǎn)P(a,0)，點(diǎn)A(4，0)、點(diǎn)B(0，3),

∴OP=a，OA=4，0B=3，AP=BP=4-a,

在RT△OAB中,即

∴AB=5

∴AD=BD=2.5

∵PD⊥AB

∴∠ADP=90°∵∠AOB=90°

∴∠ADP=∠AOB∵∠OAB=∠DAP∴⊿0AB∽⊿DAP

即

DP第8頁,共13頁，2024年2月25日，星期天方法三：函數(shù)解答作線段AB的垂直平分線，垂足為D交x軸于點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)P(a,0)∵點(diǎn)A(4，0)、點(diǎn)B(0，3),∴OA=4，0B=3，過D作DC⊥OA于C∵OB⊥OA∴CD∥OB

∵直線AB過點(diǎn)A（4,0）和B（0,3）兩點(diǎn)∴直線AB的解析式為

設(shè)直線DP的表達(dá)式為∵AB⊥DP∵直線DP過點(diǎn)∵點(diǎn)P在DP上又在x軸上DPC第9頁,共13頁，2024年2月25日，星期天變式練習(xí)：如圖，拋物線交x軸于A、C兩點(diǎn)，交y軸于B點(diǎn)試問:在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合條件的

Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．第10頁,共13頁，2024年2月25日，星期天1.如圖，拋物線與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）兩點(diǎn)，且x1＞x2，與y軸交于點(diǎn)C（0，4），其中x1，x2是方程x2﹣2x﹣8=0的兩個(gè)根．（1）求這條拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE∥AC，交BC于點(diǎn)E，連接CP，當(dāng)△CPE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）探究：若點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使△QBC成為等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．課后作業(yè)：第11頁,共13頁，2024年2月25日，星期天2、如圖，一次函數(shù)y=﹣4x﹣4的圖象與x軸、y軸分別交于A、C兩點(diǎn)，拋物線的圖象經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)B．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，求四邊形ABDC的面積；（3）作直線MN平行于x軸，分別交線段AC、BC于點(diǎn)M、N．問在x軸上是否存在點(diǎn)P，使