平面匯交力系

關于平面匯交力系若各力的作用線在同一平面內且匯交于一點,則稱為平面匯交力系.平面匯交力系第2頁,共76頁，2024年2月25日，星期天

在工程實際中，平面匯交力系的實例是很多例如:起重機的吊鉤受鋼繩拉力Tl、T2和

T3的作用第3頁,共76頁，2024年2月25日，星期天例如:磚砌基座上的鍋爐受重力G和反力

NA和NB的作用

在工程實際中，平面匯交力系的實例是很多第4頁,共76頁，2024年2月25日，星期天2.1求平面匯交力系的合力1幾何法:⑴兩個匯交力的合成:

應用平行四邊形法則(力三角形法)第5頁,共76頁，2024年2月25日，星期天合力等于兩分力的矢量和或幾何和，如圖所示。OAF1BF2CR合力的大小和方向由F2和F1所構成的平行四邊形的對角線表示合力的作用點即為原來兩力的交點。第6頁,共76頁，2024年2月25日，星期天

在用力的平行四邊形法則求合力時，只要畫出其中任一半，即力三角形成夠了．如圖所示．因此力的平行四邊形法則又稱為力三角形法OAF1CF2ROBF1CF2R第7頁,共76頁，2024年2月25日，星期天(2)平面匯交力系的合成:應用力的多邊形法則:

設剛體上受到F1、F2、F3及F4等許多力的作用，它們的作用線在同一平面內，正匯交于O點。(如圖所示)第8頁,共76頁，2024年2月25日，星期天(2)平面匯交力系的合成:應用力的多邊形法則:

設剛體上受到F1、F2、F3及F4等許多力的作用，它們的作用線在同一平面內，正匯交于O點。(如圖所示)F1A1F2F3A2A4A3O

F4求合力時，連續(xù)利用力的三角形法則，依次求出合力R1,R2,R3和R.第9頁,共76頁，2024年2月25日，星期天求整個力系的合力，中間的合力R1R2可以不必畫出，可順次將力Fl、F2、F3…等首尾相接，最后將F1的起點和F4的終點連接起來，即得合力R(如圖)。AF1BF2CF3DF4ERR1R2AF1BF2CF3DF4ER第10頁,共76頁，2024年2月25日，星期天所得出的多邊形ABCDE稱為力多邊形，AE稱為力多邊形的封閉邊。AF1BF2CF3DF4ERR1R2AF1BF2CF3DF4ER第11頁,共76頁，2024年2月25日，星期天平面匯交力系的合成結果是一個力它的作用線:過交匯點大小和方向:由力多邊形的封閉邊表示用矢量公式表示為:第12頁,共76頁，2024年2月25日，星期天畫力多邊形時，各力的次序是任意的，改變各力的次序，只影響力多邊形的形狀，而不影響合力R的大小和方向AF1BF2CF3DF4ERAF1BF2CF3DF4ER第13頁,共76頁，2024年2月25日，星期天畫力多邊形時，各力的次序是任意的，改變各力的次序，只影響力多邊形的形狀，而不影響合力R

的大小和方向AF1BF2CF3DF4EREAF1BF2CF3DF4ER第14頁,共76頁，2024年2月25日，星期天畫力多邊形時，各力的次序是任意的，改變各力的次序，只影響力多邊形的形狀，而不影響合力R的大小和方向AF1BF2CF3DF4ERAF1BF2CF3DF4ER第15頁,共76頁，2024年2月25日，星期天

已知平面匯交力系受力圖求合力時，按比例作矢量合成圖。此法多用于理論推導，求解實際問題時不方便、不準確，特別當分力多于兩個以上時，更不用此法求解。！第16頁,共76頁，2024年2月25日，星期天⑴力在軸上的投影ABFabFXαABFabFXαXX①力在軸上投影的大小:等于此力的模乘以此力與投影(不一定是與投影軸的正向)所夾銳角的余弦2解析法求平面匯交力系的合力第17頁,共76頁，2024年2月25日，星期天ABFabFXαABFabFXαXX②力在軸上投影的正負:則可直接觀察確定:當α為銳角時,力的投影為正;當α為鈍角時,力的投影為負.第18頁,共76頁，2024年2月25日，星期天⑵力在坐標軸上的投影XYOABFaba’b’FXFYαβ當力F在直角坐標軸分解為FX和FY兩分力時，這兩分力的大小分別等于力在兩軸上的投影的絕對值。第19頁,共76頁，2024年2月25日，星期天⑶合力投影定理:合力在任一軸上的投影等于各分力在同軸正投影的代數(shù)和.這就是合力投影定理.XYOABF1CF2DF3Rabcd合力的投影為:ad各分力投影的代數(shù)和為:ab+bc+cd=第20頁,共76頁，2024年2月25日，星期天⑷解析法平面匯交力系的合力:①將分力投影在直角坐標軸上;②求分力在坐標軸上的代數(shù)和:RX=∑FXRY=∑FY③合力的大小和方向用R,

角度α,β表示RYYXRXRαβ第21頁,共76頁，2024年2月25日，星期天大小方向RYYXRXRαβ第22頁,共76頁，2024年2月25日，星期天

例1一吊環(huán)受到三條鋼絲繩的拉力，如圖所示,已知F1=2000N，水平向左；F2＝2500N，與水平成30°角；F3＝l500N,鉛直向下.試用解析法求合力的大小及方向，F(xiàn)1F2F3YX第23頁,共76頁，2024年2月25日，星期天

解:⑴取坐標軸如圖。分別計算各力的投影。F2X=-F2cos30°=-2500×0.866=-2170NF3X=0F1F2F3YXF1X=-F1=2000N第24頁,共76頁，2024年2月25日，星期天F1Y=0F2Y=-F2sin30°=-2500×0.5=-1250NF3Y=-F3=-1500N

解:⑴取坐標軸如圖。分別計算各力的投影。F1F2F3YX第25頁,共76頁，2024年2月25日，星期天YXORXRRYRX=∑FX=-2000–2170+0=-4170NRY=∑FY=0–1250-1500=-2750N⑵合力的大小:第26頁,共76頁，2024年2月25日，星期天YXORXRRYRX=∑FX=-4170NRY=∑FY=-2750N⑵合力的方向:由于RX和RX都是負值，所以合力只應在第三象限α=33.5°

α第27頁,共76頁，2024年2月25日，星期天2.2平面匯交力系的平衡條件

及應用1平衡的幾何條件:要使平面匯交力系成為平衡力系，力的多邊形自行封閉．必要充分條件第28頁,共76頁，2024年2月25日，星期天設剛體上作用一平面匯交力系(圖)。現(xiàn)按力的多邊形法則合成:F1F2F3F4若第一個力的起點與最后一個力的終點恰好互相連接而構成一個自行封閉的力多邊形，即表示力系的合力R等于零，則此力系為平衡力系.第29頁,共76頁，2024年2月25日，星期天例剛體上作用一平面匯交力系,五個力大小相等,彼此夾72°角F4F3F2F1F5F1F2F3F4F5力多邊形為正五邊形,力矢量自行閉合第30頁,共76頁，2024年2月25日，星期天用作圖法求解平面匯交力系的平衡問題:⑴按比例先畫出封閉的力多邊形⑵用尺和量角器在圖上直接量得所要求的未知量也可采用數(shù)解法，即根據(jù)圖形的邊角關系，用三角公式計算出所要求的未知量。第31頁,共76頁，2024年2月25日，星期天

起重機吊起的減速箱蓋重W＝900N，兩根鋼絲繩AB和AC與沿垂線的夾角分別為α＝45°，β

＝30°試求箱蓋勻速吊起時，鋼絲繩AB和AC的張力。例1第32頁,共76頁，2024年2月25日，星期天

例1起重機吊起的減速箱蓋重W＝900N，兩根鋼絲繩AB和AC與沿垂線的夾角分別為α＝45°，β

＝30°試求箱蓋勻速吊起時，鋼絲繩AB和AC的張力。⑴選箱蓋為研究對象，畫它的受力圖解:⑵三個力必匯交于吊環(huán)中心A。⑶畫力三角形第33頁,共76頁，2024年2月25日，星期天⑴選箱蓋為研究對象，畫它的受力圖解:⑵三個力必匯交于吊環(huán)中心A。⑶畫力三角形bcTABaTACW45°30°

如果力三角形的幾何關系不復雜，可以選用數(shù)解法，運用三角公式來計算:第34頁,共76頁，2024年2月25日，星期天bcTABaTACW45°30°

如果力三角形的幾何關系不復雜，可以選用數(shù)解法，運用三角公式來計算:TABTAC第35頁,共76頁，2024年2月25日，星期天bcTABaTACW45°30°

如果力三角形的幾何關系不復雜，可以選用數(shù)解法，運用三角公式來計算:如果在畫力三角形時，主動力W是按比例尺畫出，則可在力三角形中直接量出結果TAB=460NTAC=660N第36頁,共76頁，2024年2月25日，星期天平面匯交力系平衡力系中各個力在兩個坐標軸上投影的代數(shù)和分別等于零。平面匯交力系平衡的解析條件由:得:該式為平面匯交力系的平衡方程2平面匯交力系平衡的解析條件(平衡方程)第37頁,共76頁，2024年2月25日，星期天2平面匯交力系平衡的解析條件(平衡方程)在列平衡方程時注意:①坐標軸是可以任意選取的，②可以列出任意數(shù)目的平衡方程，③獨立的平衡方程只有兩個,

因而可以求解兩個未知量。第38頁,共76頁，2024年2月25日，星期天

支架如圖所示，出AB和AC桿組成。A、B、C三點均為鉸鏈連接，在A點懸掛重力PkN的重物.桿自重忽略不計.求AB和AC桿所受的力。BCAP例2第39頁,共76頁，2024年2月25日，星期天解(1)根據(jù)題意，選銷釘A為研究對象。(2)畫受力圖。顯然這是一個平面匯交的平衡力系。BAACSAC’SACSAB’SABBCAP30°60°ASAB’’SAC’’T第40頁,共76頁，2024年2月25日，星期天解(1)根據(jù)題意，選銷釘A為研究對象。(2)畫受力圖。顯然這是一個平面匯交的平衡力系。BCAP30°60°ASAB’’SAC’’T⑶列平衡方程式，求末知量。選坐標軸如圖所示。YX第41頁,共76頁，2024年2月25日，星期天BCAP30°60°ASAB’’SAC’’T⑶列平衡方程式，求末知量。選坐標軸如圖所示。YX∑X=0∑Y=0SAB’’=0.5TSAC’’=0.866T60°-SAB’’+Tcos60°=0SAC’’-Tcos30°=0第42頁,共76頁，2024年2月25日，星期天BCAP30°60°ASAB’’SAC’’TYX60°SAB’’SAC’’均為正值，表示假定指向與實際相同.AB受拉伸，AC受壓縮?！芚=0∑Y=0SAB’’=0.5TSAC’’=0.866T-SAB’’+Tcos60°=0SAC’’-Tcos30°=0第43頁,共76頁，2024年2月25日，星期天

桿AC，BC在C處鉸接，另一端均與墻面鉸接.如圖所示.Fl

和F2

作用在銷釘C上，F(xiàn)1=445(N)，F(xiàn)2=535(N)，不計桿重，試求兩桿所受的力。30°ABCF2F134

解：1．取銷釘C為研究對象畫受力圖,此為平’面匯交力系的平衡問題。例3第44頁,共76頁，2024年2月25日，星期天30°ABCF2F134CF2F134SACSBCXY2.選力系匯交點C為坐標原點.建立坐標如圖所示.3．列平衡方程第45頁,共76頁，2024年2月25日，星期天CF2F134SACSBC2.選力系匯交點C為坐標原點.建立坐標如圖所示.XY3．列平衡方程∑Y=0∑X=030°第46頁,共76頁，2024年2月25日，星期天30°ABCF2F134解方程:SAC=207(N)SBC=164(N)CF2F134SACSBCXY30°第47頁,共76頁，2024年2月25日，星期天

水平力P作用在剛架的B點.如題圖所示。如不計剛架重量,試求支座A和D的約束反力。Pa2aABCDRDRA

解：1幾何法．取剛架為研究對象.受力如圖所示.圖中反力的指向為假設方向。例4第48頁,共76頁，2024年2月25日，星期天PABCDRDRA2．畫力三角形。因為力系平衡所以力三角形自行封閉,力的箭頭首尾相接。如果不能滿足首尾相接的條件，說明原來假設的力的方向有誤，則應把受力圖中力的指向改正過來[力三角形見圖]第49頁,共76頁，2024年2月25日，星期天2．畫力三角形。因為力系平衡所以力三角形自行封閉,力的箭頭首尾相接。如果不能滿足首尾相接的條件，說明原來假設的力的方向有誤，則應把受力圖中力的指向改正過來[力三角形見圖]PRDRA21PRDRA21第50頁,共76頁，2024年2月25日，星期天PRDRA213列算式:由自行封閉的力三角形中的幾何關系求反力的大?。?1頁,共76頁，2024年2月25日，星期天解，2解析法:1．取剛架為研究對象，受力如圖所示:2．選力系匯交點C為坐標原點，建立坐標軸:XYPABCDRDRA123．列平衡方程:第52頁,共76頁，2024年2月25日，星期天PABCDRDRAXY12第53頁,共76頁，2024年2月25日，星期天

在簡支梁AB的中點C作用一個傾斜45°的力F，力的大小等于20(KN)，如題圖所示。若梁重不計，試求二支座的反力。ABCF45°ABCF45°45°

解一：幾何法:1．取梁AB為研究對象，受力如圖所示。未知力的指向可由力三角形中“首尾相接”的條件確定其正確的指向45°RBORA例5第54頁,共76頁，2024年2月25日，星期天2．畫力三角形。在力三角形中標注出必要的幾何關系，如圖所示。45°αβFRBRA3．列算式:

由力三角形的幾何關系求反力的大?。瓵BCF45°45°RBORA31第55頁,共76頁，2024年2月25日，星期天45°αβFRBRA3．列算式:

由力三角形的幾何關系求反力的大小．第56頁,共76頁，2024年2月25日，星期天解二：解析法1．取梁AB為研究對象，畫受力圖，如圖所示。ABCF45°45°RBRA312．選力系匯交點0為坐標原點，建立坐標如圖:YXO3．列平衡方程第57頁,共76頁，2024年2月25日，星期天3．列平衡方程∑X=0∑Y=0

ABCF45°45°RBRA31YXO

RA=22.4(KN)RB=10(KN)第58頁,共76頁，2024年2月25日，星期天

結構由兩彎桿ABC和DE構成。構件重量不計，圖中的長度單位為cm。已知F=200(N)，試求支座A和E的約束反力.AECBDF4668AECBDF4668REORA解：解析法1.取整體研究，受力如圖所示例6第59頁,共76頁，2024年2月25日，星期天2.建立坐標軸.3．列平衡方程YXAECBDF4668REORAθ43RA=RE=167N第60頁,共76頁，2024年2月25日，星期天

解：幾何法;1．取整體為研究對象，受力如圖所示。反力RA、RE的方位由高寬比3：4表示。AECBDF4668REORAθ432．畫力三角形。力三角形是一個等腰三角形。第61頁,共76頁，2024年2月25日，星期天AECBDF4668REORAθ432．畫力三角形。力三角形是一個等腰三角形。RERAF433．列算式：由力三角形的幾何關系求支座反力的大小。第62頁,共76頁，2024年2月25日，星期天2．畫力三角形。力三角形是一個等腰三角形。RERAF433．列算式：由力三角形的幾何關系求支座反力的大小。

第63頁,共76頁，2024年2月25日，星期天

重為G的圓柱擱在傾斜的板AB與墻面之間，如題圖所示。若板與鉛垂線的夾角是30°,圓柱與板的接觸點D是AB的中點，BC繩在水平位置，各接觸點是光滑的.試求繩BC的拉力T和A鉸的約束反力NA的大小。例730°ABCEDG第64頁,共76頁，2024年2月25日，星期天EG30°ABCEDG

解：1．取圓柱為研究對象，畫受力圖.并建立坐標，列平衡方程。NENDXY30°第65頁,共76頁，2024年2月25日，星期天30°ABCEDG30°ABD2．取板AB為研究對象，畫受力圖TNDO再作力三角形，由力三角形的幾何關系求T和RA的大小:RA30°30°第66頁,共76頁，2024年2月25日，星期天2．取板AB為研究對象，畫受力圖再作力三角形，由力三角形的幾何關系求T和RA的大小:30°ABDTNDORA30°30°TRAND30°30°第67頁,共76頁，2024年2月25日，星期天2．取板AB為研究對象，畫受力圖再作力三角形，由力三角形的幾何關系求T和RA的大小:TRAND30°30°第68頁,共76頁，2024年2月25日，星期天例8

壓緊機構如圖