2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題押題及解析

2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題

1.如圖1,拋物線產(chǎn)一孚/+竽X+2火與X軸相交于4、8兩點(diǎn)(點(diǎn)/在點(diǎn)B的右側(cè))，

與y軸相交于點(diǎn)C,對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)，，與/C相交于點(diǎn)廠

(1)點(diǎn)P是線段ZC上方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作P?！?C交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)°,

當(dāng)面積最大時(shí)，點(diǎn)M、N在y軸上(點(diǎn)”在點(diǎn)N的上方)，MN=a，點(diǎn)、G在直

線/C上，求PM+NG+^GA的最小值.

(2)點(diǎn)E為8c中點(diǎn)，EF_Lx軸于尸，連接E”，將△EFH沿EH翻折得4E尸H,如圖

所示，再將沿直線8c平移，記平移中的為△￡尸"/A在平移過程中，

直線與x軸交于點(diǎn)R,則是否存在這樣的點(diǎn)R,使得△夫尸“為等腰三角形？若存在，

求出R點(diǎn)坐標(biāo).

解：⑴如圖1,拋物線產(chǎn)一殺2+孥x+2b與x軸相交于48兩點(diǎn)(點(diǎn)N在點(diǎn)2

的右側(cè))，

：.A(6,0)；B(-2,0)；C(0,2V3),

直線ZC的解析式為：丫=-苧尢+2通，

,.?tanNC4O=塔，

NC4O=30°

過尸點(diǎn)作尸T'//QT,交AC于T,

設(shè)P(TH,-ni2+w+2A/3)>T'(TH,-+2^3),

則PT'=-m2+^^-m+2y/3—(—^-m+2y/3)=一與(w-3)

O□5OZ

?：PQ〃AC,

第1頁共18頁

???四邊形Q7T'P是平行四邊形，

:.QT=PT',

當(dāng)面積最大時(shí)，，。最大，即尸〃最大，

即機(jī)=3時(shí)，△40〃面積最大，

此時(shí)尸點(diǎn)坐標(biāo)為(3,季).

過點(diǎn)G作GEJ_x軸于E,作x軸關(guān)于直線4c的對(duì)稱直線/,E的對(duì)稱點(diǎn)為E',將尸例

沿y軸向下平移百個(gè)單位至P'N,作點(diǎn)P'關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P",過P"作P'S，/

于S,則有

PM+NG吟GA=P"N+NG+GE'》P"S

373

???P(3,—),P"與P關(guān)于y軸對(duì)稱

“3V3

:.P”(-3,—),

2

VZCAO=30°,直線/與x軸關(guān)于直線力。對(duì)稱

：.ZCAS=ZCAO=30°,

：.ZSAO=60°

直線I的解析式為^二公;+6,則k=-tanZSAO=-tan60°=—V3

.?.尸一百了+4將力(6,0)代入得：0=—75x6+6,解得：b=65

?二直線/的解析式為y=-\/3x4-6V3,

?:P"S1.1

:?/P〃"=90°

9373

過點(diǎn)尸〃作P〃K〃工軸交ZS于K,則K(-,—),

22

9

z\

-l3)=125

2xz

YP"K〃工軸

:./P"KS=ZSAO=60°

P"S

*.*-----=sinZSL40

PHK

：.P"S=P"K?sin/"O=協(xié)1160°=

：.PM+NG+\GA的最小值=會(huì)??；

第2頁共18頁

(2)；產(chǎn)一32+竽x+2百=—噂(x-2)2+竽

???拋物線對(duì)稱軸為直線x=2,

：.H(2,0),

由(1)知：A(6,0)；5(-2,0)；C(0,2V3),

?.?點(diǎn)E為8c中點(diǎn)，EFLx軸于F,

：.E(-1,V3),F(-1,0)

1

，沿直線8c平移，各個(gè)點(diǎn)橫縱坐標(biāo)變化為石，設(shè)XEF”沿直線8C平移后

的AE'F"H'各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為

E'(-\+t,V3+V3z),H'(2+f,V3r)

則直線￡'H'解析式為卜=一聿+孥+竽/,令y=0,貝Ux=2+4f

：.R(2+430),

：.H'R2=[(2+t)-(2+4/)]2+(V3f-0)2=12尸，

H'F'2=[2+/-1)]2+(何—挈)2=4?-6Z+9,

F'R2=(2+4”#+(0—學(xué)/=16?+⑵+9,

?.?△R產(chǎn)，'為等腰三角形，

：.H'R2=H，F(xiàn)'2或"'F'2=p解或/R2=H，R2,

①當(dāng)屋="，尸，2時(shí)，貝i]i2p=4p-6什9,解得：“=-|,/2=,

此時(shí)，R(-4,0)或H(5,0)

②當(dāng)"F，2=尸，小時(shí)，則"-6什9=16於+12什9,解得：f=0或-J,

，=0不符合題意，七一*與①重復(fù)

③當(dāng)尸'd=卬小時(shí)，田+⑵+9=12p，解得：八=，2=-|，與①重復(fù)

綜上所述，點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(-4,0)或R(5,0).

第3頁共18頁

圖1

2.如圖1,拋物線C：yuaf+fev經(jīng)過點(diǎn)Z(-4,0)、8(-1,3)兩點(diǎn)，G是其頂點(diǎn)，將

拋物線C繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180°,得到新的拋物線C'.

(1)求拋物線C的函數(shù)解析式及頂點(diǎn)G的坐標(biāo)；

(2)如圖2,直線/：y=依-當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)力,。是拋物線C上的一點(diǎn)，設(shè)。點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

m連接。。并延長(zhǎng)，交拋物線C'于點(diǎn)E,交直線/于點(diǎn)“，若DE=2EM,

求m的值；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接ZG、AB,在直線QE下方的拋物線C上是否存在

點(diǎn)、P,使得NDEP=NG4B?若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

第4頁共18頁

解：⑴將N(-4,0)、8(-1,3)代入產(chǎn)a7+6x中，得｛:",普=。

解司：二:

二拋物線C解析式為：y=-x2-4x,

配方，得：y—~~4x—-(x+2)-+4,...頂點(diǎn)為：G(-2,4)；

(2)；拋物線C繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°,得到新的拋物線C'.

，新拋物線C'的頂點(diǎn)為：G'(2,-4),二次項(xiàng)系數(shù)為：a'=1

???新拋物線C的解析式為：7=(x-2)2-4=7-4x

將4(-4,0)代入y—kx—差中，得0=-4k—差，解得k=—5,

???直線/解析式為尸-|工-3

設(shè)。(〃?，-陽2-4加)，???Q、E關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱，

：.OD=OE

?；DE=2EM

：.OM=2OD,

過點(diǎn)。作。尸_Lx軸于R過/作軸于R,

：.ZOFD=ZORM,

,/ZDOF=ZMOR

:AODFsAOMR

ORRMOM

?,-—--------o

??———4

OFDFOD

：?OR=2OF,RM=2DF

:.M(-2加,2〃/+8〃？)

第5頁共18頁

A2m2+Sm=一耳?(-2m)一可，

解得：加1=-3,加2=一引

?：m<-2

的值為：-3；

(3)由(2)知：加=-3,

：.D(-3,3),E(3,-3),(9E=3V2,

如圖3,連接8G,在△48G中，\'AB2=(-1+4)2+(3-0)2=18,BG2=2,AG2=

20

：.AB2+BG2=AG2

...△/8G是直角三角形，ZABG=90°,

?6/nAD鹿1

..tan/G/8=^=運(yùn)，'

?；/DEP=NGAB

1

tanZZ)￡P(guān)=tanZGAB=可

在x軸下方過點(diǎn)。作。〃_LOE,在OH上截取?！?3?！?VL

過點(diǎn)E作歹軸于7,連接E〃交拋物線。于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求的點(diǎn)；

■:EQ3,-3),

???ZEOT=45°

?.?/EOH=90°

：.ZHOT=45°

：.H(-1,-1),設(shè)直線E”解析式為丁=川+小

直線EH解析式為y=-3-

13

解方程組，y=R_],

y=—x2—4x

.7+>/73_,..\'"73-7

..x=--廠或丁一，

點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為：答或四二.

44

第6頁共18頁

圖3

圖1

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/的坐標(biāo)是（一遮，0）,點(diǎn)8的坐標(biāo)是（0,1）.點(diǎn)8

和點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.點(diǎn)P是直線位于y軸右側(cè)部分圖象上一點(diǎn)，連接CP,已知S

S，

△BPC=2^ABC

（1）求直線NC的解析式；

（2）如圖2,△NOC沿著直線NC平移得△/'O'C,平移后的點(diǎn)4,與點(diǎn)C重合點(diǎn)

第7頁共18頁

廠為直線ZC上的一動(dòng)點(diǎn),

當(dāng)PF+#C的值最小時(shí)，請(qǐng)求出尸C'的最小值及此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo);

(3)如圖3,將△尸8c沿直線以翻折得△尸8G,點(diǎn)N為平面內(nèi)任意一動(dòng)點(diǎn)，在直線RJ

上是否存在點(diǎn)M,使得以點(diǎn)M、N、P、G為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出

點(diǎn)"的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

73

將點(diǎn)/、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式:y=mx+n得/°=一6m+n,解得:m=一手

m=-1n=-1

故直線/C的表達(dá)式為：y=-%-1；

(2)過點(diǎn)C'作直線/〃X軸，過點(diǎn)尸作P尸11,垂足為點(diǎn)F,交/C于點(diǎn)尸,

An一

tan/480=第=b，故/48。=60°,NB4O=30°,

1

VZOAB=30°=ZFC'F',:.FF=討',

11

貝IJPF+尹C'=PF+FF'=PF',即此時(shí)，PF+^FC最小，最小值為尸F(xiàn)',

圖2

第8頁共18頁

S^BPC=￥4BC，貝|Jlxp|=

y/33

故點(diǎn)P（——，一），

22

AC=CC'=2,則點(diǎn)C，（V3,-2）,

V3

則點(diǎn)r（―-2）,

2

一83、

點(diǎn)F（—,—5）＞

22

1

PF+抑J，最〃、值P產(chǎn)'7

2;

(3)存在，理由:

①當(dāng)GMIPAI時(shí),

貝I]GH=GSsinZGBH=2Xsin60°=遮,

故點(diǎn)G（-V3,2）；

M、N、P、G為頂點(diǎn)的四邊形是矩形,

/o

點(diǎn)〃位置如下圖所示，設(shè)點(diǎn)〃(如文+1),

y/3s+tV3

將點(diǎn)/、8的坐標(biāo)代入一次函數(shù)：y=sx+t得:0=—解得：卜=可,

t=1

1=1

故直線43的表達(dá)式為：尸冬葉1…①,

??,GA/，Z5,則設(shè)直線GM的表達(dá)式為：y=—瓜+b,

將點(diǎn)G的坐標(biāo)代入上式得：2=-國(guó)x(-V3)+b,解得:-1,

第9頁共18頁

故：直線GA/的表達(dá)式為：y=—V3x-1

聯(lián)立①②并解得：X=-亭，

叵1

故點(diǎn)M(一弓~，5)；

②當(dāng)GM_LG尸時(shí)，

同理可得：點(diǎn)M(—苧，-1);

綜上，點(diǎn)、M(一卓，一)或(一邛^，—

4.如圖，在Rt/L42C中，ZACB=90°,。為月8邊上的一點(diǎn)，以/。為直徑的00交BC

于點(diǎn)￡,交4C于點(diǎn)尸，過點(diǎn)C作CG_L/8交Z8于點(diǎn)G,交AE于點(diǎn)H,過點(diǎn)E的弦EP

交48于點(diǎn)。(EP不是直徑)，點(diǎn)。為弦EP的中點(diǎn)，連結(jié)8P,8P恰好為的切線.

(1)求證：8c是。。的切線.

(2)求證：EF=ED.

3

(3)若sin//8C=^,/C=15,求四邊形C〃0￡的面積.

(1)證明：連接OP,

,：AD為直徑，點(diǎn)Q為弦EP的中點(diǎn),

PELAB,點(diǎn)Q為弦EP的中點(diǎn)，

：.AB垂直平分EP,

:.PB=BE,

'：OE=OP,OB=OB,

：,/\BEO^/\BPOCSSS'),

.\ZBEO=ZBPO,

?.?8尸為。。的切線，

第10頁共18頁

AZBP0=9Q°,

：.ZBEO=90°,

：?OE工BC,

???8C是OO的切線.

(2)證明：9：ZBEO=ZACB=90°,

：.AC//OEf

：.ZCAE=ZOEA,

?：OA=OE,

：.ZEAO=ZAEOf

：.ZCAE=ZEAO,

：.EF=ED.

(3)解：??1。為的O。直徑，點(diǎn)。為弦改的中點(diǎn),

：.EPLAB,

?；CG_L45,

：.CG//EP,

?；NACB=NBEO=90°,

：.AC//OE,

：.ZCAE=ZAEOf

?：OA=OE,

???NEAQ=NAEO,

：.ZCAE=ZEAO,

VZACE=ZAQE=90°,AE=AE,

：./\ACE^/\AQE(AAS)f

**?CE=QE,

VZAEC^ZCAE=ZEAQ+ZAHG=90°,

：?/CEH=/AHG,

?.*/AHG=/CHE,

：.ZCHE=ZCEH,

:.CH=CE,

.CH=EQ,

第11頁共18頁

???四邊形CHQE是平行四邊形,

,:CH=CE,

???四邊形是菱形，

AG3

VsinZ.ABC=sinNACG—=一,

AC5

,?ZC=15,

：.AG=9,

：.CG=y/AC2-AG2=12,

/\ACE注LAQE,

：.AQ=AC=\5,

:?QG=6,

:.晦=（12-HQ）2+62,

解得:“苧，

5.如圖，△28C中，AB=AC,。。是△/8C的外接圓，8。的延長(zhǎng)線交邊NC于點(diǎn)D

(1)求證：/BAC=2N4BD；

(2)當(dāng)△88是等腰三角形時(shí)，求N8C。的大小；

(3)當(dāng)工。=2,?！?gt;=3時(shí)，求邊8c的長(zhǎng).

第12頁共18頁

圖1

*：AB=AC,

：.AB=AC,

J.OALBC,

???ZBAO=ZCAO,

*：OA=OB,

：.NABD=/BAO,

：./BAC=2/ABD.

(2)解：如圖2中，延長(zhǎng)/。交8C于〃.

①若BD=CB,則ZC=4BDC=NABD+/BAC=3NABD,

*：AB=AC,

：.NABC=NC,

：.NDBC=2NABD,

第13頁共18頁

???/O8C+NC+N80c=180°,

???8N4BD=180°,

：.ZC=3ZABD=61.5°.

②若CD=CB,則NC8O=N88=3NZ8。，

???ZC=4ZABDf

VZr>BC+ZC+ZCDB=180°,

：.\OZABD=1SO°,

AZBCD=4ZABD=72°.

③若DB=DC,則。與4重合，這種情形不存在.

綜上所述，NC的值為67.5°或72°?

(3)如圖3中，作力石〃8c交8。的延長(zhǎng)線于瓦

圖3

^AEAD2

則一=—=

BCDC3

A。AE4

—=—=一，設(shè)O8=CZ4=4a,OH=3a,

OHBH3

9：BH1=AB1-AH2=OB2-OH2,

???25-49。2=16。2-9。2,

.225

??〃=彌'

4

:.BC=2BH=挈

6.已知，如圖：△ZBC是等腰直角三角形，48c=90°,AB=\O,。為△48C外一點(diǎn),

連接Z。、BD,過。作。垂足為“，交4c于E.

(1)若是等邊三角形，求。E的長(zhǎng)；

第14頁共18頁

Q

(2)若BD=4B,且tan/印加氣，求。E的長(zhǎng).

【解答】解：(1)是等邊三角形，48=10,

二408=60°,/￡>=”=10,

:DHLAB,

:.AH=%B=5,

：.DH=yjAD2-AH2=V102-52=5V3,

???△Z8C是等腰直角三角形，

：.ZCAB=45°,即N4E〃=45°,

AAEH是等腰直角三角形，

：.EH=AH=5,

：.DE=DH-EH=5V3-5；

2

(2)'：DHLAB,且

可設(shè)BH=3k,貝UDH=4k,

根據(jù)勾股定理得：DB=5k,

,:BD=4B=IQ,

.?.5%=10解得：k=2,

：.DH=8,BH=6,AH=4,

又,：EH=AH=4,

:.DE=DH-EH=4.