2023-2024學年人教A版必修第二冊 平面 學案

8.4空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系8.4.1平面學習任務(wù)1．了解平面的概念，掌握平面的畫法及表示方法．(數(shù)學抽象、直觀想象)2．掌握關(guān)于平面基本性質(zhì)的三個基本事實．(數(shù)學抽象、邏輯推理)3．會用符號表示點、直線、平面之間的位置關(guān)系．(邏輯推理)生活中的一些物體給我們以平面的感覺，如平靜的湖面、整潔的教室桌面、美麗的大草原等，你能說出平面的一些幾何特征嗎？知識點1平面平面的描述性概念幾何里所說的“平面”，就是從生活中一些物體中抽象出來的．平面是向四周無限延展的畫法水平放置常把平行四邊形的一邊畫成橫向豎直放置常把平行四邊形的一邊畫成豎向記法(1)用希臘字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并將它寫在代表平面的平行四邊形的一個角內(nèi)(2)用代表平面的平行四邊形的四個頂點的大寫英文字母表示，如平面ABCD(3)用代表平面的平行四邊形的相對的兩個頂點的大寫英文字母表示，如平面AC，平面BD1．課桌面、黑板面、海面是平面嗎？[提示]雖然課桌面、黑板面、海面給我們以平面的形象，但是平面是無限延展的，所以它們不是平面．2．我們常用平行四邊形表示平面，所以平行四邊形就是一個平面，這句話對嗎？[提示]不對，我們通常用平行四邊形表示平面，但平面是無限延展的，所以平行四邊形不是一個平面．3．幾何中的平面有什么特點？[提示](1)平面是平的；(2)平面是沒有厚度的；(3)平面是無限延展而沒有邊界的．知識點2點、直線、平面之間的位置關(guān)系(1)直線在平面內(nèi)的概念：如果直線l上的所有點都在平面α內(nèi)，就說直線l在平面α內(nèi)．(2)直線、平面都可以看成點的集合．點P在直線l上，記作P∈l；點P在直線l外，記作P?l；點P在平面α內(nèi)，記作P∈α；點P在平面α外，記作P?α；直線l在平面α內(nèi)，記作l?α；直線l不在平面α內(nèi)，記作l?α．4．“線段AB在平面α內(nèi)，直線AB不全在平面α內(nèi)”這一說法是否正確？為什么？[提示]不正確．∵線段AB在平面α內(nèi)，∴線段AB上的所有點都在平面α內(nèi)，∴線段AB上的A，B兩點一定在平面α內(nèi)，∴直線AB在平面α內(nèi)．知識點3平面的基本事實及推論(1)基本事實基本事實內(nèi)容圖形符號基本事實1過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面A，B，C三點不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α基本事實2如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l(2)基本事實的推論推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面(圖①)．推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面(圖②)．推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面(圖③)．5．經(jīng)過三點有多少個平面？[提示]當三點不共線時，由基本事實1可知，經(jīng)過這三點有且只有一個平面．而當三點共線時，經(jīng)過這三點有無數(shù)個平面．6．三個基本事實各有什么作用？[提示](1)基本事實1是確定平面的依據(jù)．(2)基本事實2是判斷直線在平面內(nèi)的依據(jù)．(3)基本事實3可以①判定兩個平面相交；②作兩個平面的交線；③證明點共線或線共點．如圖，點A________平面ABC；點A______平面BCD；BD________平面ABD；平面ABC∩平面BCD＝________．[答案]∈??BC類型1立體幾何三種語言的相互轉(zhuǎn)化【例1】用符號表示下列語句，并畫出圖形．(1)平面α與β相交于直線l，直線a與α，β分別相交于點A，B；(2)點A，B在平面α內(nèi)，直線a與平面α交于點C，點C不在直線AB上．[解](1)用符號表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如圖．(2)用符號表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C?AB，如圖．三種語言的轉(zhuǎn)換方法(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示．(2)要注意符號語言的意義．如點與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”，直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”．[跟進訓練]1．用符號語言表示下列語句，并畫出圖形．(1)三個平面α，β，γ相交于一點P，且平面α與平面β相交于PA，平面α與平面γ相交于PB，平面β與平面γ相交于PC；(2)平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于AC．[解](1)符號語言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，圖形表示：如圖①．(2)符號語言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，圖形表示：如圖②．類型2點、線共面問題【例2】(源自蘇教版例題)已知：A∈l，B∈l，C∈l，D?l(如圖)．求證：直線AD，BD，CD共面．[思路導引]因為直線l與點D可以確定平面α，所以只需證明AD，BD，CD都在平面α內(nèi)．[證明]因為D?l，所以l與D可以確定平面α．因為A∈l，所以A∈α．又D∈α，所以AD?α．同理，BD?α，CD?α，所以AD，BD，CD在同一平面α內(nèi)，即它們共面．解決點線共面問題的基本方法[跟進訓練]2．(源自人教B版例題)證明：兩兩相交且不過同一個點的3條直線必在同一個平面內(nèi)．[解]已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C．求證：直線AB，BC，AC共面．證明：法一：因為AC∩AB＝A，所以直線AB，AC可確定一個平面α．因為B∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故BC?α．因此直線AB，BC，AC都在平面α內(nèi)，所以直線AB，BC，AC共面．法二：因為A不在直線BC上，所以點A和直線BC可確定一個平面α．因為B∈BC，所以B∈α，又A∈α，所以AB?α．同理AC?α，故直線AB，BC，AC共面．法三：因為A，B，C三點不在同一條直線上，所以A，B，C三點可以確定一個平面α．因為A∈α，B∈α，所以AB?α，同理BC?α，AC?α，故直線AB，BC，AC共面．類型3點共線、線共點問題【例3】如圖，已知平面α，β，且α∩β＝l．設(shè)梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β．求證：AB，CD，l共點(相交于一點)．[證明]因為梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的兩腰．所以AB，CD必定相交于一點．設(shè)AB∩CD＝M．又因為AB?α，CD?β，所以M∈α，M∈β．所以M∈α∩β．又因為α∩β＝l，所以M∈l．即AB，CD，l共點(相交于一點)．[母題探究]本例變?yōu)椋喝鐖D所示，在空間四邊形各邊AD，AB，BC，CD上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，如果EF，GH交于一點P，求證：點P在直線BD上．[證明]若EF，GH交于一點P，則E，F(xiàn)，G，H四點共面，又因為EF?平面ABD，GH?平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD，由基本事實3可得P∈BD．所以點P在直線BD上．1．證明三點共線的方法(1)首先找出兩個平面，然后證明這三點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)基本事實3可知，這些點都在兩個平面的交線上．(2)選擇其中兩點確定一條直線，然后證明另一點也在此直線上．2．證明三線共點的步驟(1)首先說明兩條直線共面且交于一點．(2)說明這個點在另兩個平面上，并且這兩個平面相交．(3)得到交線也過此點，從而得到三線共點．[跟進訓練]3．三個平面α，β，γ兩兩相交于三條直線，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直線a和b不平行，求證：a，b，c三條直線必相交于同一點．[證明]如圖，∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a?γ，b?γ．∵直線a和b不平行，∴a，b必相交．設(shè)a∩b＝P，則P∈a，P∈b．∵a?β，b?α，∴P∈β，P∈α．又α∩β＝c，∴P∈c．故a，b，c三條直線必相交于同一點．1．(多選)下列說法正確的是()A．平面是處處平的面B．平面是無限延展的C．平面的形狀是平行四邊形D．一個平面的厚度可以是0.001cmAB[平面是無限延展的，但是沒有大小、形狀、厚薄，AB兩種說法是正確的；CD兩種說法是錯誤的．]2．(多選)如圖所示的平行四邊形MNPQ表示的平面可記為()A．平面MN B．平面NQC．平面α D．平面MNPQBCD[平面可用希臘字母、平行四邊形的四個頂點或?qū)蔷€字母表示．]3．下列空間圖形畫法錯誤的是()ABCDD[遮擋部分應(yīng)畫成虛線或不畫，故D錯．]4．已知α與β是兩個不重合的平面，則下列推理正確的序號是________．①A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α；②A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB；③l?α，A∈l?A?α；④A∈l，l?α?A∈α．①②④[利用三個基本事實知①②④正確，若l∩α＝A，顯然有l(wèi)?α，但是A∈α，③錯誤．]回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．如何用符號表示空間點、線、面的位置關(guān)系？[提示]點、直線、平面之間的基本位置關(guān)系及語言表達文字語言符號語言圖形語言A在l上A∈lA在l外A?lA在α內(nèi)A∈αA在α外A?αl在α內(nèi)l?αl在α外l?α或l，m相交于Al∩m＝Al，α相交于Al∩α＝Aα，β相交于lα∩β＝l2．3個基本事實的內(nèi)容是什么？各有什么作用？[提示]基本事實內(nèi)容作用基本事實1過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面①確定平面的依據(jù)；②判定點、線共面基本事實2如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)判定直線是否在平面內(nèi)基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線①判定兩個平面相交的依據(jù)；②判定點在直線上課時分層作業(yè)(二十七)平面一、選擇題1．若點Q在直線b上，b在平面β內(nèi)，則Q，b，β之間的關(guān)系可記作()A．Q∈b∈β B．Q∈b?βC．Q?b?β D．Q?b∈βB[∵點Q在直線b上，∴Q∈b．又∵直線b在平面β內(nèi)，∴b?β，∴Q∈b?β．]2．(多選)下列命題中正確的是()A．三角形是平面圖形B．四邊形是平面圖形C．四邊相等的四邊形是平面圖形D．圓是平面圖形AD[根據(jù)基本事實1可知AD正確，BC錯誤．故選AD．]3．兩個平面若有三個公共點，則這兩個平面()A．相交 B．重合C．相交或重合 D．以上都不對C[若三點在同一條直線上，則這兩個平面相交或重合，若三點不共線，則這兩個平面重合．]4．如果空間四點A，B，C，D不共面，那么下列判斷中正確的是()A．A，B，C，D四點中必有三點共線B．A，B，C，D四點中不存在三點共線C．直線AB與CD相交D．直線AB與CD平行B[兩條平行直線、兩條相交直線、直線及直線外一點都分別確定一個平面，故選B．]5．三條兩兩平行的直線可以確定平面的個數(shù)為()A．0 B．1C．0或1 D．1或3D[當三條直線是同一平面內(nèi)的平行直線時，確定一個平面；當三條直線是三棱柱側(cè)棱所在的直線時，確定三個平面，故選D．]二、填空題6．設(shè)平面α與平面β相交于l，直線a?α，直線b?β，a∩b＝M，則M________l．∈[因為a∩b＝M，a?α，b?β，所以M∈α，M∈β．又因為α∩β＝l，所以M∈l．]7．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1的所有棱中，既與AB共面，又與CC1共面的棱有________條．5[由題圖可知，既與AB共面又與CC1共面的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1，共5條．]8．已知平面α與平面β、平面γ都相交，則這三個平面的交線可能有________條．1或2或3[當β與γ相交時，若α過β與γ的交線，有1條交線；若α不過β與γ的交線，有3條交線；當β與γ平行時，有2條交線．]三、解答題9．若直線l與平面α相交于點O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，求證：O，C，D三點共線．[證明]如圖，∵AC∥BD，∴AC與BD確定一個平面，記作平面β，則α∩β＝直線CD．∵l∩α＝O，∴O∈α．又∵O∈AB，AB?β，∴O∈β，∴O∈直線CD，∴O，C，D三點共線．10．設(shè)P1，P2，P3，P4為空間中的四個不同點，則“P1，P2，P3，P4中有三點在同一條直線上”是“P1，P2，P3，P4在同一個平面內(nèi)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件A[由過一條直線和直線外一點有且只有一個平面，可得P1，P2，P3，P4在同一個平面內(nèi)，故充分條件成立．由過兩條平行直線有且只有一個平面可得，當P1∈l1，P2∈l1，P3∈l2，P4∈l2，l1∥l2時，P1，P2，P3，P4在同一個平面內(nèi)，但P1，P2，P3，P4中無三點共線，故必要條件不成立．故選A．]11．如圖，α∩β＝l，A∈α，C∈β，C?l，直線AD∩l＝D，過A，B，C三點確定的平面為γ，則平面γ，β的交線必過()A．點A B．點BC．點C，但不過點D D．點C和點DD[A，B，C確定的平面γ與直線BD和點C確定的平面重合，故C，D∈γ，且C，D∈β，故C，D在γ和β的交線上．]12．(多選)如圖，ABCD-A1B1C1D1是長方體，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則下列結(jié)論正確的是()A．A，M，O三點共線B．A，M，O，A1四點共面C．A，O，C，M四點共面D．B，B1，O，M四點共面ABC[因為A，M，O三點既在平面AB1D1內(nèi)，又在平面AA1C內(nèi)，故A，M，O三點共線，從而易知ABC均正確．]13．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面A1CC1與平面BDC1的交線是________．C1M