《余弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

《6.4.3余弦定理、正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)第一課時(shí)余弦定理【教材分析】本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書-必修第二冊(cè)》（人教A版）第六章《平面向量及其應(yīng)用》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)余弦定理及利用余弦定理的應(yīng)用。本節(jié)課在證明了余弦定理及其推論以后,教科書從余弦定理與勾股定理的比較中,提出

了一個(gè)考問題“勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系,余弦定理則指出了一般

三角形中三邊平方之間的關(guān)系,如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系?”并進(jìn)而指出,“從余弦定理

以及余弦函數(shù)的性質(zhì)可知,如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么第三邊所

對(duì)的角是直角;如果小于第三邊的平方,那么第三邊所對(duì)的角是鈍角;如果大于第三邊的平方

那么第三邊所對(duì)的角是銳角。由上可知,余弦定理是勾股定理的推廣”,還要啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生注

意余弦定理的各種變形式并總結(jié)余弦定理的適用題型的特點(diǎn)，在解題時(shí)正確選用余弦定理達(dá)

到求解，求證目的啟發(fā)學(xué)生在證明余弦定理時(shí)能與向量數(shù)量積的知識(shí)產(chǎn)生聯(lián)系，在應(yīng)用向量

知識(shí)的同時(shí)注意使學(xué)生體會(huì)三角函數(shù)、正弦定理、向量數(shù)量積等多處知識(shí)之間的聯(lián)系。【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.掌握余弦定理的證明方法，牢記公式；B.掌握余弦定理公式的變式，會(huì)靈活應(yīng)用余弦定理解決兩類解三角形問題；C.掌握給出三邊判斷三角形的形狀問題；D.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力。.數(shù)學(xué)抽象：余弦定理的推導(dǎo)過程；.邏輯推理：余弦定理的證明；.數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用余弦定理解三角形；.直觀想象：數(shù)形結(jié)合法；【教學(xué)重點(diǎn)】：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)用；【教學(xué)難點(diǎn)】：利用向量的數(shù)量積推導(dǎo)余弦定理的思想方法及利用余弦定理求解三角形的思路。【教學(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖一、復(fù)習(xí)回顧，溫故知新1.向量的減法：通過復(fù)習(xí)所學(xué)知識(shí)，

建立知識(shí)間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類比推理的能力?！敬鸢浮縊A建立知識(shí)間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類比推理的能力?！敬鸢浮縊A-OB=BA。相同起點(diǎn)，尾尾相連，指向被減向量?！敬鸢浮縜-b=|a||b|cos03.證明三角形全等的方法有哪些?【答案】ASA，AAS，SAS，SSS。二、探索新知探究1.在三角形ABC中，三個(gè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，怎樣用a，b和C表示c？【解析】如圖，設(shè)CB=a,CA=反AuB=c，那么3=a-b，c=c?b=b-b?b-b=「?b+b?b-2b?bIJk=a2+b2-2abcosC所以c2=a2+b2-2abcosC。同理可證：a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosB余弦定理：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC應(yīng)用：已知兩邊和一個(gè)夾角，求第三邊.思考1：余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個(gè)角之間的關(guān)系，應(yīng)用余弦定理，我們可以解決已知三角形的三邊確定三角形的角的問題，怎么確定呢？通過探究，由向量證明余弦定理，提高學(xué)生分析問題、概括能力。通過思考，推導(dǎo)余弦定理的推論，提高學(xué)生解決問題的能力。,b2+c2-a2通過探究，由向量證明余弦定理，提高學(xué)生分析問題、概括能力。通過思考，推導(dǎo)余弦定理的推論，提高學(xué)生解決問題的能力。由余弦定理變形得c0sA二

a2+c2—b2cosB 2acaa2+b2-c2cosC 2ab應(yīng)用：已知三條邊求角度。思考2：勾股定理指出了直角三角形中的三條邊之間的關(guān)系，余弦定理則指出了三角形的三條邊與其中一個(gè)角之間的關(guān)系，你能說說這兩個(gè)定理之間的關(guān)系嗎？【解析】a2-b2+c2-2bccosA,a2-b2+c2探究2：當(dāng)角C為直角時(shí)，有c2-a2+b2，當(dāng)角C為銳角時(shí)，這三者的關(guān)系是什么？鈍角呢？【結(jié)論】當(dāng)角C為銳角時(shí)，a2+b2>c2；當(dāng)角C為鈍角時(shí)，a2+b2<c2；當(dāng)角C為直角時(shí)，a2+b2-c2。一般地，三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的幾個(gè)元素求其它元素的過程叫做解三角形。例1.在AABC中，已知6=60皿，。=34加，A-41。，解這個(gè)三角形（角度精準(zhǔn)到1°，邊長精確到1cm.）解：由余弦定理，得a2-b2+c2-2bccosA-602+342—2義60義34*cos41°氏1676.78所以a241，由余弦定理的推論，得八a2+c2—b2342+412—602 763cosB -- ，利用計(jì)算器，可得2ac 2義34*41 2788B氏106°通過思考與探究，進(jìn)一步推導(dǎo)余弦定理的變形結(jié)論，提高學(xué)生的觀察、概括能力。通過例題的講解，讓學(xué)生進(jìn)一步理解余弦定理，提高學(xué)生解決與分析問題的能力。

所以，C=180。―（A+B）氏180?！?1。+106。）=33。，一 .一3a/3例2.在AABC中，已知&=7,b=8,銳角C滿足sinC=，求B。（精準(zhǔn)到1。）解：因?yàn)楦蕵?biāo)匚二方卜佳。為幌窗r所以CQfiCsin2C—1I[..） LyY141 14由氽弦定理，汨二=42十/一如占舊仁=49+&4-2乂了乂8＞：釘=9.14所以上士工，陳樂科/”一一5+49-64 1進(jìn)而口達(dá).L一一〒利用計(jì)算翡.可得B&gf三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.在^ABC中，a=7,b=4小，c=，13,則^ABC的最小角為（ ）n n n na.5 B-7 c-t D-1i【答案】B【解析】由三角形邊角關(guān)系可知，角C為^ABC的最小角，則cosC=a2+b2—c272+（4鏡）2—（yi3）2而 n痂啡r通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。2ab— 2X7X4鎘 .2，所以^6,故選艮.在4ABC中，已知&2=匕2+。2+匕圓則角A等于（ ）A.60° B.45° C.120° D.30°【答案】C一一一一. .b2+c2—a2 1 . . 【解析】由cosA— 2bc——2，..A—120.故選C。.在^ABC中，若a—2bcosC,則4ABC的形狀為 .【答案】等腰三角形【解析】??.a—2bcosC—2b?a2±b2—2—a2±b2―2,2ab a...a2—a2+b2—c2,即b2—c2,b—c,???△ABC為等腰三角形.4.在^ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,人勒已知B—C,2b—/

a,貝UcosA= .【答案】13【解析】由8=&2b=*a,可得b—c--2a,i, va2+|a2—a2b2+c2—a2 4 4 1所以cosA-2bc—譙也—3.2X^2-aX號(hào)a5.在^ABC中，已知&-5,b-3,角C的余弦值是方程5x2+7x—6—0的根，求第三邊c的長.【解析】5x2+7x—6-0可化為（5x—3）?（x+2）-0,..x--,x—2（舍去）,5 2*?COSC^T.5根據(jù)余弦定理，C2—a2+b2—2abcosC52+32—2X5X3X3-16,5??c-4,即第三邊長為4.四、小結(jié).余弦定理及其推論；.利用余弦定理的解三角形。五、作業(yè)習(xí)題6.4 6(1)(2)題通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力。【教學(xué)反思】本課中,教師立足于所創(chuàng)設(shè)的情境,通過學(xué)生自主探索、合作交流,親身經(jīng)歷了提出問題解決問題、應(yīng)用反思的過程,學(xué)生成為余弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”,切身感受了創(chuàng)造的苦和樂,知識(shí)目標(biāo)、能力目標(biāo)、情感目標(biāo)均得到了較好的落實(shí),為今后的定理教學(xué)提供了一些有用的借鑒。創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境是“情境問題反思應(yīng)用”教學(xué)的基礎(chǔ)環(huán)節(jié),教師必須對(duì)學(xué)生的身心特點(diǎn)、知識(shí)水平、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)等因素進(jìn)行綜合考慮,對(duì)可用的情境進(jìn)行比較,選擇具有較好的教育功能的情境?！?.4.3余弦定理、正弦定理》導(dǎo)學(xué)案第1課時(shí)余弦定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】.掌握余弦定理的證明方法，牢記公式；.掌握余弦定理公式的變式，會(huì)靈活應(yīng)用余弦定理解決兩類解三角形問題；.掌握給出三邊判斷三角形的形狀問題；.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)用；【教學(xué)難點(diǎn)】：利用向量的數(shù)量積推導(dǎo)余弦定理的思想方法及利用余弦定理求解三角形的思路?！局R(shí)梳理】余弦定理文字表述三角形中任何一邊的平方，等于 減去這兩邊與它們— 的兩倍公式表達(dá)a2= ,b2= ,C2= 。變形cosA= ；cosB= ；cosC= o【學(xué)習(xí)過程】一、探索新知探究1.在三角形ABC中，三個(gè)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,怎樣用a,b和C表示c?余弦定理：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即 應(yīng)用：已知兩邊和一個(gè)夾角，求第三邊．思考1：余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個(gè)角之間的關(guān)系，應(yīng)用余弦定理，我們可以解決已知三角形的三邊確定三角形的角的問題，怎么確定呢？思考2：勾股定理指出了直角三角形中的三條邊之間的關(guān)系，余弦定理則指出了三角形的三條邊與其中一個(gè)角之間的關(guān)系，你能說說這兩個(gè)定理之間的關(guān)系嗎？探究2：當(dāng)角C為直角時(shí)，有c2=a2+b2，當(dāng)角C為銳角時(shí)，這三者的關(guān)系是什么？鈍角呢？一般地，三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的幾個(gè)元素求其它元素的過程叫做解三角形。例1.在AABC中，已知匕=60皿，c=34cm，A=41。，解這個(gè)三角形（角度精準(zhǔn)到1。，邊長精確到1cm.）3v;3 .例2.在AABC中，已知&=7，b=8，銳角C滿足sinC=7“，求B。（精準(zhǔn)到1。）【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】.在AABC中，a=7,b=4x：3,c=x/1L則AABC的最小角為（nB.T.在AABC中，已知&2=匕2+。2+bc,則角A等于（A．60° B．45° C．120°D．30.在AABC中，若a=2bcosC,則AABC的形狀為.在^ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,孰已知B=C,2b=\/3a,則cosA5.在^ABC中，已知&=5,b=3,角C的余弦值是方程5x2+7x—6=0的根，求第三邊c的長.參考答案：探究1.如圖，設(shè)CB=a,CA=b,AB='c，那么3=a—力,c=c-c=a~a?a~a=a-a+方方-2a?b\J\=a2+b2—2abcosC所以c2=a2+b2—2abcosC。同理可證：a2=b2+c2—2bccosAb2=a2+c2—2accosB余弦定理：a2=b2+c2—2bccosAb2=a2+c2—2accosBc2=a2+b2—2abcosC,b2+c2—a2思考1.由余弦定理變形得cosA= 2bcaa2+c2—b2cosB= 2ac「a2+b2—c2cosC 2ab思考2.a2=b2+c2—2bccosA,a2-b2+c2探究2.【結(jié)論】當(dāng)角C為銳角時(shí)，a2+b2>c2；當(dāng)角C為鈍角時(shí)，a2+b2<c2；當(dāng)角C為直角時(shí)，a2+b2-c2。

例1.解：由余弦定理，得a2=b2+c2—2bccosA=602+342—2義60義34*cos41°氏1676.78所以a241,由余弦定理的推論，得a2a2+c2-b2 342+412-602cosB= = 2ac 2義34義41763 一訴丁，利用計(jì)算器，可得B氏106°2788所以，C:180。一（A+B）口180。一（41所以，C:180。一（A+B）口180。一（41。+106°）;33°例2.因?yàn)槠啡f「卜nr為糊陶.所以儂JT嚕）/由余弦定理，相1=臚十"一￡2gC=43+64-2X7X8X^-=9t所以上=3.避而CQ5Bg:_9十49一,___1Era~_2X3X7="7'利用計(jì)算器.可得達(dá)標(biāo)檢測(cè).【答案】B【解析】由三角形邊角關(guān)系可知，一. 一一.一, a2+b2一C2角C為4ABC的最小角，則cosC=Zb2ab754皿l（Q=承所以。.

2X7X4\'3 2 6故選B..【答案】Cb2+c2-a2 1【解析】由cosA= 2bC—=-2，；*=120.故選C。.【答案】等腰三角形【解析】?「a=2bcosC=2b?az+b2—c2az+b2—c22abAa2=a2+b2—c2,即b2=c2,b=c,???△ABC為等腰三角形..【答案】13【解析】由8=武2b=%；3a,可得b=c=辛a,2i ■|a2+?a2—a2D2+c2—a2 4 4 1所以。然A=2bc=g婦=32X^-aXa.【解析】5x2+7x—6=0可化為（5x—3）-（x+2）=0,3??.X1=5,x2=—2（舍去），「3C=5.根據(jù)余弦定理，C2=az+b2—2abcosC3.=52+32—2X5X3X-=16,5??.c=4,即第三邊長為4.《6.4.3余弦定理、正弦定理》同步練習(xí)第一課時(shí)余弦定理一、選擇題TOC\o"1-5"\h\z.在中，已知石=4招，c=?忑,J=120°,則a等于（ ）A.2a/21B.6 C.2⑨或6 D.245+6由.△MB。的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知儀=姻，c=2, 二:則6=（ ）A.血 B.# C.2 D.3.在△一二「中，若一：=-.=1:'一飛匚一二，則最大角的余弦值是（ ）

A.B.C.A.B.C..已知銳角三角形的三邊長分別為1,3,a,則a的取值范圍是（ ）A.8<a<10 B.2梃屈C.242<a<10 D.<a<8.(多選題)在中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若— ,則角3的值為（ ）A.TLn—B-%或至TCA.TLn—B-%或至TC2瓦D.——36.（多選題）設(shè)SC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=2,c=2%?：3,cosA=^^,且b〈c,貝ij(2A.b=2B.b=2J2 C.B=60。D.B=30。、填空題.已知96。中，3a2-2ab+3b2—3c2=0，則|cosC=.在^ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a2=b2+bc+c2，則A=.已知a,b,c為△ABC的三邊，B=120°,則az+c2+ac—b2=..設(shè)△HBQ的內(nèi)角人比C的對(duì)邊分別為小耳。.若八區(qū),且coiC=0;則A=,△延C是三角形.「7「7cosB=—9.設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且二一二二？■二一（I）求a，c的值;(II)求sin(A-B)的值．.在9^。中，BC=a,AC=b，已知a,b是方程x2—2<3x+2=0的兩個(gè)根，且2cos(A+B)=1.(1)求角C的大?。?2)求AB的長.《6.4.3余弦定理、正弦定理》同步練習(xí)答案解析第一課時(shí)余弦定理一、選擇題.在中，已知萬=4后，￡=2抬，上4=120口，則a等于( )A.25B.6 C.2⑨或6D.2業(yè)+力【答案】A【解析】4出由余弦定理得1 +1-IbccosA=48+12-2XX2壯X(-g)=84,所以白205.故選A.ZXdSC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知口=狀，c=2,co^4=j則B=( )A.￡ B.73 C.2 D.3【答案】D

【答案】C【解析】由余弦定理得==U,解得匚可知角2最大2x7xS14則8》另=,+'一*~=一L故選C.74.已知銳角三角形的三邊長分別為1,3,a,則a的取值范圍是（ ）A.8<a<10 B.2梃<a<屈C.272<a<10 D.<a<8【答案】B【解析】1十口〉3則?冷,1十口〉3則?冷,即口匚3若a是最大邊，貝1?『十^A/，即3<a<痂；若3是最大邊,□n33>比>2&；當(dāng)a=3時(shí)符合題意，綜上20<a<府，故選B..（多選題）在△TEC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若(M+J-&1)tanS= ,則角￡的值為(幾A.~6其幾A.~6其—5國B-%或至元c.—D.【答案】CD【解析】因?yàn)椋↗+l—= 所以如匚匚□與陽亞3=屈仁，即同口巴二號(hào)，所以因=§或8=3-,故選CD..（多選題）設(shè)SC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c八 八?廠 3 ^3一 —， 、a=2,c=2<3,cosA=—，且b(c,貝U( )^2

A.b=2b=2<2A.b=2b=2<2B=60。B=30?！敬鸢浮緼D【解析】由余弦定理得4=b2+12—6bnb2—6b+8=0,由b<c得b=2,由a=2,cosA=亙，所以B=A=30。，故選AD。2二、填空題.已知96。中，3a2-2ab+3b2—3c2=0，貝|cosC=.1【答案】3【解析】7 2ab aa2+b2-c21a2+b2-c2= ,cosC= =—.3 2ab3.在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a2=b2+bc+c2，則A=.【答案】120?！窘馕觥坑深}意可知，cosA=b2+二2=-bc=-1，所以A=1200.2bc 2bc 2.已知a,b,c為△ABC的三邊，B=120°,則az+c2+ac—b2=.【答案】0【解析】?/b2=a2+c2—2accosB=a2+c2—2accos120°=a2+c2+ac,...a2+c2+ac—b2=0..設(shè)△