2021年新北師大版數(shù)學六年級上冊全冊教案

圓

第1課時圓的認識（一）

1.結(jié)合生活實際，通過觀察、操作等活動認識圓的特征及圓的畫法，體會半

徑與直徑、半徑與圓心的關(guān)系。

2.通過小組合作學習，讓學生在畫圓的過程中認識圓的特征，培養(yǎng)學生獨立

教學目標

思考的意識和自主探究、合作創(chuàng)新的精神。

3.運用所學知識解決生活中的實際問題，感受數(shù)學與生活的密切聯(lián)系，體會

數(shù)學的應(yīng)用價值。

重點：1.探索圓各部分的名稱、特征及關(guān)系。

重點難點2.理解同一個圓內(nèi)的半徑、直徑的關(guān)系。

難點：通過動手操作，體會圓的特征。

教師：圓規(guī)、多媒體課件。

教學準備

學生：剪刀、白紙一張、圓規(guī)、直尺、圓形物體一個。

穆表學過程*

教學步驟教學內(nèi)容

師：同學們，這節(jié)課老師給大家?guī)砹艘恍┟利惖膱D案，你們想看嗎？

生：想看。

師：請同學們認真觀察，想想這些圖案有什么共同特征。

一、談話導入

生：這些圖案都是由圓形組成的。

師：這節(jié)課我們就研究一些有關(guān)圓的知識。

板書課題：圓的認識（一）

1.第一次自主探究——畫一畫。

學生進行小組合作，分工創(chuàng)造圓。

同學們以四人小組為單位，可以利用學具袋中老師給大家準備的工具，也可

以自己想辦法去創(chuàng)造圓，比一比哪個小組想到的方法最多。

師：同學們用這么多的方法都能創(chuàng)造出圓，那這些方法有什么特點嗎？

教師指導學生說一說各種畫法的特點：（1）利用圓形輪廓描圓、印圓很方便，

但圓的大小固定；（2）用線畫圓比較麻煩，但可以畫很小的圓也可以畫很大的圓；

（3）旋轉(zhuǎn)形成圓不能留下痕跡；（4）用圓規(guī)畫圓，方便且能畫一定大小的圓。

二、直觀操作通過比較，得出結(jié)論：用圓規(guī)畫圓最方便。

2.第二次自主探究——用圓規(guī)畫圓。

學生們用圓規(guī)自己嘗試畫一個圓。

讓有成功經(jīng)驗的學生展示圖案，對畫得不好的，幫助他們尋找原因.

教師邊示范邊講解：所以畫圓的時候要先確定位置，點一點，把鋼針戳在點

上，用手捏住圓規(guī)的頭，將圓規(guī)略微傾斜一點，旋轉(zhuǎn)一圈，一個圓就畫好了，請

大家也一起試試看。

學生根據(jù)老師的講解獨立畫圓。

1.學習圓各部分的名稱。

三、自主探究

（1）教師利用圓規(guī)畫一個圓，然后介紹圓的各部分名稱。

師指出圓規(guī)帶有針的一端所固定的點叫作圓心，一般用點0表示，即點。是

圓心。圓上的任一點到圓心的距離叫作半徑，如在圓上取一點4線段04是半

徑，通常用字母/■表示。經(jīng)過圓心0畫一條直線，與圓相交于點8、C,則線段

8c是圓的直徑，通常用字母d表示。

(2)指名說一說各部分的名稱分別是什么。

(3)師：請同學們用圓規(guī)畫一個圓，再標出圓心、半徑和直徑。

(4)多媒體出示各種圓，請學生找一找它們各自的半徑和直徑。

2.半徑、直徑。

(1)半徑之間的關(guān)系。

師：半徑是圓心到圓上任一點的距離，同學動手在圓里畫一畫，看看能畫多

少條半徑。

小結(jié)：在同一個圓里能畫無數(shù)條半徑。

師：再請同學們用直尺量一量圓里的半徑，你又發(fā)現(xiàn)了什么？

小結(jié)：同一個圓中所有的半徑都相等。

(2)直徑之間的關(guān)系。

師：你能說一說同一個圓里能畫多少條直徑嗎？圓的直徑都相等嗎？然后動

手畫一畫、量一量、比一比，驗證猜想。

小結(jié)：同一個圓里有無數(shù)條直徑，每條直徑都相等。

(3)半徑和直徑之間的關(guān)系。

思考：半徑和直徑之間有什么關(guān)系？

(在同一圓里，半徑的長度是直徑的一半，直徑的長度是半徑的2倍。)

師：我們可以用一個式子來表示它們之間的關(guān)系：

"=2廠或r—^

3.圓的特征。

(1)請學生以一點。為圓心，分別畫一個半徑為2厘米和4厘米的圓。

(提示：圓規(guī)兩個腳所叉開的距離就是半徑的長)

(2)請學生分別畫出幾個半徑是3厘米的圓，圓心不唯一。

(3)讓學生思考：圓的大小與什么有關(guān)系？圓的位置與什么有關(guān)系？

小結(jié)：圓心確定圓的位置，半徑(直徑)決定圓的大小。

4.試一試。(教材第3頁)

師：車輪為什么是圓的呢？請同桌之間合作做一做，想一想。

(1)分別用硬紙板做成圓形、正方形、橢圓形“車輪”。

(2)找出三種“車輪”的中心/點并做上記號。

(3)將做好的硬紙板“車輪”沿直尺滾一滾，分別描出/點留下的痕跡。

師：從描出的痕跡可以看出“圓形車輪”的中心到直尺的距離始終不變，這

使得“車輪”在運動的過程中很平穩(wěn)，不顛簸，所以選擇將車輪制成圓形。

想一想為什么描出的圓心痕跡是直線？

提示：圓心到圓周上任意一點的距離都相等，等于圓的半徑長度。

1.練一練。

（1）完成課本第3頁的第2題。

首先讓學生討論如何能使畫出的圓的半徑為1.5厘米，然后再實際操作。

（2）完成課本第3頁的第3題。

本題通過讓學生根據(jù)半徑與直徑之間的關(guān)系填空，幫助學生進一步感悟圓的

本質(zhì)特征，提高學生靈活運用數(shù)學知識解決生活中簡單實際問題的能力。

四、鞏固新知

2.想一想。

（1）井蓋為什么是圓的？

（圓形的井蓋邊緣到圓心的距離處處相等，無論井蓋怎樣旋轉(zhuǎn)，井蓋都不會掉

到井中。方形的一邊要比其對角線短，一旦井蓋翻轉(zhuǎn)，就有可能掉入井中。）

（2）篝火晚會時人們?yōu)槭裁丛隗艋鹚闹車蓤A形？

（圓的半徑是相等的，當人們圍成圓形時，火堆就是圓心，那么每個人與火堆

的距離相等，可以讓每個人都看得清楚。）

五、課堂小結(jié)師：同學們，這節(jié)課你們自己運用了哪些學習方法？學到了哪些知識？

冢I節(jié)設(shè)計金

第1課時圓的認識（一）

(r/\

\0cl1圓心----0

'------J半徑----r

直徑——d

同一個圓里，半徑的長度是直徑的一半，直徑的長度是半徑的2倍。

圓心確定圓的位置，半徑（直徑）決定圓的大小。

第2課時圓的認識（二）

1.通過折紙活動，探索并發(fā)現(xiàn)圓是軸對稱圖形。

2.進一步理解軸對稱圖形的特征，體會圓的對稱性。

教學目標3.通過折紙找圓心、驗證圓是軸對稱圖形等活動，發(fā)展空間觀念。

4.運用所學知識解決生活中的實際問題，感受數(shù)學與生活的密切聯(lián)

系，體會數(shù)學的應(yīng)用價值。

重點：體會圓的對稱性。

重點難點

難點：進一步理解軸對稱圖形的特征，體會圓的對稱性。

教師：教學圓規(guī)、多媒體課件。

教學準備

學生：正方形、等邊三角形、圓形等紙片。

薪表學過程。

教學步驟教學內(nèi)容

1.什么是軸對稱圖形？軸對稱圖形有何特點？（在平面內(nèi)，如果一個圖形

對折后能完全重合，那么這樣的圖形叫做對稱圖形；對稱軸：折痕所在的這

條直線。）

軸對稱圖形的特點：對稱軸兩側(cè)的對應(yīng)點到對稱軸距離相等。

一、復習導入

2.導入新課。

師：這個單元我們認識了一個新的幾何圖形——圓，圓是軸對稱圖形

嗎？今天這節(jié)課我們就來研究圓的對稱性。

板書課題：圓的認識（二））

1.理解圓是軸對稱圖形。

二、探究新知

（1）引導學生動手操作：將已準備好的圓對折，多折幾次,認真思考。

(2)讓學生說說自己的發(fā)現(xiàn)：圓形紙片對折后能完全重合，圓是軸對稱圖

形。

2.圓的對稱軸。

(1)學生動手操作：用一個圓形紙片，折一折。

(2)學生通過操作和交流發(fā)現(xiàn)：直徑所在的直線是圓的對稱軸，圓有無數(shù)

條對稱軸。

(3)比較發(fā)現(xiàn)。

師：同學們，我們一共學習了多少種圖形？我們所學過的這些圖形中有

哪些是軸對稱圖形呢？這些圖形中分別有幾條對稱軸？

學生畫出所學過的圖形，并數(shù)一數(shù)它們都有幾條對稱軸，然后填表。

正方長方等腰三角等腰梯

圖形名稱圓...

形形形形

有幾條對1(等邊三無

421...

稱軸角形3條)數(shù)

師：平行四邊形為什么不是軸對稱圖形？

(對折后兩邊不重合)

3.應(yīng)用圓的對稱性。

師：你有辦法找出一個圓的圓心嗎？

小組交流反饋：將圓對折一次后，再對折，兩條折痕相交的這一點就是

圓心。

(兩條折痕就是圓的兩條直徑，直徑均經(jīng)過圓心，但兩條直線只能相交于

一點，所以這一點只能是圓心。)

4.畫出下列圖形的對稱軸。

5.找出教材第5頁下面各圖形的對稱軸。

1.完成“練一練”第1?3題。

進一步鞏固學生對圓的相關(guān)知識的掌握。

2.“練一練”第4題：你們發(fā)現(xiàn)了什么？

(1)正方形旋轉(zhuǎn)90。與原圖形重合。

三、鞏固練習(2)等邊三角形旋轉(zhuǎn)120。與原圖形重合。

(3)圓無論旋轉(zhuǎn)多少度都與原圖形重合。

(4)圓有很好的旋轉(zhuǎn)對稱性。

補充：一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)一定的角度(小于周角)后與原圖形重

合，這樣的圖形稱為旋轉(zhuǎn)對稱圖形。

這節(jié)課我們又學習了圓的另一種特征——圓的對稱性。圓是軸對稱圖

四、課堂小結(jié)

形，圓的對稱軸有無數(shù)條，直徑所在的直線是圓的對稱軸。

板書設(shè)計生

第2課時圓的認識(二)

圓有無數(shù)條對稱軸，對稱軸是直徑所在的直線。

一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)一定的南度(小于周角)后與原圖形重合，這樣的圖形稱為旋轉(zhuǎn)對稱圖形。

第3課時欣賞與設(shè)計

1.結(jié)合欣賞與繪制圖案的過程，體會圓在圖案設(shè)計中的應(yīng)用，并

教學目標

能用圓規(guī)設(shè)計簡單的圖案。

2.通過觀察、操作、想象、圖案設(shè)計等活動，進一步體會圓的特

征。

3.感受數(shù)學美，發(fā)展想象力和創(chuàng)造力。

重點：欣賞基本圖形構(gòu)成的美麗圖案。

重點難點

難點：會用基本圖形及所學過的數(shù)學方法設(shè)計漂亮的圖案。

教師：圖片、教學圓規(guī)、多媒體課件。

教學準備

學生：圓規(guī)、直尺等。

教學步驟教學內(nèi)容

1.同學們，這個學期的數(shù)學課上我們認識了一個新朋友，它就是圓。想一

想生活中哪些物品上有圓呢？

2.欣賞教材第7頁中四幅美麗的圖案(風車、太極、心臟、螺旋線)，感受

圖案的美和在生活中的應(yīng)用。

一、欣賞圖案

3.這四幅圖給我們展示了一種曲線的美，而這些曲線都是圓的一部分，我

們發(fā)現(xiàn)應(yīng)用圓能設(shè)計出很多漂亮的圖案。你們想不想知道這些圖案是怎么設(shè)計

的？想不想自己設(shè)計出美麗的圖案呢？今天這節(jié)課我們就一起來看看，動手做

一做。(板書課題)

1.風車圖。

(1)說一說，這個圖案是怎樣形成的？

(是由1個大圓和4個相同的小半圓組成的)

(2)大圓的半徑(直徑)和小圓的半徑(直徑)有什么關(guān)系？

(大圓的半徑是小圓的2倍)

(3)大圓里的兩條直徑之間有什么關(guān)系？(相互垂直)

(4)你知道這個圖案是怎樣畫出來的嗎？試著畫一畫。

方法：先畫一個大的圓，再在大圓中畫出兩條相互垂直的直徑，這時，可

以看到大圓的四條半徑，最后分別以這四條半徑為直徑畫出四個小半圓即可。

在畫小半圓的時候，也可以先畫出其中一個，然后以大圓的圓心為中心點旋轉(zhuǎn)

90度畫一個小半圓，再旋轉(zhuǎn)90度畫一個，以此類推。

二、探究畫法

過程：

2.太極圖。

(1)它是怎樣形成的？它和風車圖有什么區(qū)別和聯(lián)系？(它是由1個大圓和

2個小的半圓組成的。太極圖中大圓的直徑也是小圓的2倍，但是和風車圖不

一樣的是在太極圖中沒有畫出直徑，包含的半圓數(shù)也不一樣。)

(2)太極圖中兩個半圓有什么特點？仔細觀察，說一說它是怎么畫出來

的？

(3)學生嘗試畫一畫，教師巡視指導。

3.心臟線、螺旋線。

(1)通過剛剛的觀察、畫圖，說一說你畫的時候有什么感覺？(里面的曲線

二、探究畫法

看著簡單畫起來不太容易，雖然畫不好，但是你沒白畫，因為你邊畫邊有自己

(續(xù))的感受。)

(2)誰能再來說說這兩幅圖由幾個大圓幾個小圓組成，它們的設(shè)計過程是

什么？同桌互相說說，然后按這種方法畫一畫。想一想能運用我們學過的平

移、旋轉(zhuǎn)來畫嗎？

(3)學生自由討論，動筆畫一畫。

(4)教師根據(jù)學生的匯報，利用課件展示每幅圖案是怎樣由一個簡單的圖

形經(jīng)過設(shè)計得到的。

(5)觀察教材第7頁下方的兩幅圖，你能畫出這兩幅圖案嗎？

(6)真高興同學們有一雙善于發(fā)現(xiàn)的眼睛！同學們，現(xiàn)在請大家展開豐富

的想象，運用我們學過的知識設(shè)計一些由圓組成的圖案吧！

1.出示圖案比賽的活動要求：

(1)用圓規(guī)設(shè)計一幅自己喜歡的圖案。

(2)個人先獨立創(chuàng)作，再相互交流，交流時每幅作品都要說出自己的設(shè)計

理念：自己是怎么想的，為什么要這么設(shè)計，怎樣設(shè)計的等。

(3)看誰設(shè)計得好。

2.開展圖案設(shè)計比賽活動。

三、設(shè)計圖案

3.全班匯報交流。

4.展示優(yōu)秀作品。

5.以圓為基本圖形，添上幾筆，設(shè)計成生活中的簡單物品或標志。

6.學生獨立設(shè)計，交流展示。

7.小結(jié)：不同大小、不同位置的圓相互組合可以畫出精美的圖案。利用這

些圖形通過平移、旋轉(zhuǎn)、對稱的方法也可以設(shè)計出美麗的圖案。

師：通過這節(jié)課的學習，你有什么收獲？能說說在我們的生活中還有哪些

四、課堂小結(jié)

美麗的圖案嗎？

機書設(shè)用-6

第3課時欣賞與設(shè)計

欣賞：看一看設(shè)計：畫一畫做一做

用不同大小、不同位置的圓相互組合可以畫出精美的圖案。利用這些圖形通過平移、旋轉(zhuǎn)、

對稱的方法也可以設(shè)計出美麗的圖案。

第4課時圓的周長

1.認識圓的周長，能用滾動、繞線等方法測量圓的周長。

2.在測量活動中探索發(fā)現(xiàn)圓的周長與直徑的關(guān)系，理解圓周率的意義與圓周

教學目標

長的計算方法。

3.能正確認計算圓的周長，并運用圓的周長解決一些簡單的實際問題。

重點：探索發(fā)現(xiàn)圓的周長與直徑的關(guān)系。

重點難點

難點：運用圓周長的知識解決一些簡單的實際問題。

教師：多媒體課件。

教學準備

學生：每小組一根小繩、一個米尺、四個大小不同的圓片、計算器。

淵表至邊卷。

教學步驟教學內(nèi)容

師：同學們喜歡童話故事嗎？今天，老師帶來了一個阿凡提的故事。國王多次

受到阿凡提的捉弄，非常惱火。有一天，他又想出了一個新招，想為難阿凡提。國

一、情境導入王從全國精選出一頭身強力壯的小花驢要和阿凡提的小黑驢賽跑，并且規(guī)定小花驢

必須沿著圓形路線跑，小黑驢沿著正方形路線跑。(課件出示小花驢與小黑驢賽跑

的情境)

師：緊張的比賽結(jié)束了。今天的比賽誰獲勝了？

生：國王的小花驢獲得了勝利。

二、探究新知師：可是，對于這場比賽小黑驢感到很委屈，阿凡提也大喊比賽不公平。同學

們，這樣的比賽公平嗎？說說你是怎樣想的。

同學們小組討論，得出：小黑驢跑的是正方形的一圈，就是正方形的周長，小

花驢跑的是圓的一周，就是圓的周長。

師：對！就是圓的周長，這便是我們今天這節(jié)課要學習的內(nèi)容。（板書課題）誰

能說一下什么叫圓的周長？同桌可以交流一下。

得出結(jié)論：圍成圓的曲線叫圓的周長。

1.發(fā)現(xiàn)測量圓的周長的不同方法。

師：同學們把準備的圓拿出來，說說圓的周長指的是哪一部分的長度，同桌互

相比畫一下。

師：想一想，圓的周長怎樣測量？把你的好方法在小組內(nèi)交流一下。

生1：我把圓沿著尺子滾動一周，這一周的距離就是圓的周長。

生2：我的方法是用線繞圓一周，線的長度就是圓的周長。

生3：我覺得直接用米尺繞圓一周就可以讀出圓的周長。

師：滾動、繞線、拉直——化曲為直。

2.探究發(fā)現(xiàn)圓周率和圓的周長計算公式。

有些圓的周長沒辦法用繞線和滾動的方法測量出來，能找到一種更簡便、更科

學的辦法來解決這個問題嗎？

.師：正方形的周長和邊長有關(guān)系，周長是邊長的4倍，那么圓的周長和什么

有關(guān)系呢？

生：圓的周長和圓的直徑有關(guān)系，直徑越長圓越大，所以周長也就越大。

師：那大家來猜一猜，周長和直徑有什么樣的關(guān)系呢？

生1：周長是直徑的2倍。

生2：我覺得圓的周長是直徑的3倍。

師：大家猜得可真起勁呀！那到底圓的周長和直徑有什么關(guān)系呢？怎么才能知

道？

生：動手量一量，算一算。

每組拿出大小不同的3個圓，你們可以用自己喜歡的方法去測量，聽好要求：

（1）小組同學分工，選好測量員、記錄員、匯報員；（2）記錄員要及時把測量員測量

的數(shù)據(jù)記錄在書的表格中；（3）可以用科學計算器幫忙算一算周長和直徑的商。

師：好，現(xiàn)在我們來交流一下你們的實驗結(jié)果。大家仔細觀察分析，看能發(fā)現(xiàn)

什么。

同川田X/廟中、即以古久,向小,周長與直徑的商（保留兩位小

圓的周長（厘米）圓的直徑（厘米）北八'

______________________________________________________________

生1:我發(fā)現(xiàn)這三個圓的大小雖然不一樣，但圓的周長和直徑的商都是三點

幾。

生2：所有圓的周長都是直徑的3倍多一些。

二、探究新知

（續(xù)）師：說得真好。圓不論大小，它的周長都是直徑的三倍多一些（課件直觀展示

三倍多一點）。這是個固定不變的數(shù)，你們的這個發(fā)現(xiàn)和許多大數(shù)學家的發(fā)現(xiàn)不謀

師：人們通常把圓的周長和直徑的比值叫作圓周率，用字母〃表示：圓的周長

+直徑=圓周率。計算時通常取3.14。

師：我們通過圓的周長除以直徑得到了兀，也就是圓周率（板書。%/=萬），你能

通過圓的直徑求它的周長嗎？用字母表示出來。通過半徑能求圓的周長嗎？

生回答，師板書：C+d=兀-C=nd-C+TT=d

d=2/fC=27tL02乃=r

三、學以致用1.一輛自行車車輪的外直徑是0.65米，自行車滾動一周的距離是多少米？（得

數(shù)保留兩位小數(shù))

(1)學生嘗試解題。

(2)反饋矯正。

2.判斷題。

(1)大圓的圓周率比小圓的圓周率大。()

(2)圓的周長是它直徑的7T倍。()

(3)乃就等于3.14。()

3.“練一練”的1?5題。

4.思考題：如果將赤道的長度增加10米，這時的赤道與原赤道之間的縫隙，

能不能鉆過一輛高度為1.5米的桑塔納轎車呢？

四、課堂小結(jié)師：這節(jié)課你學到了什么？有什么收獲？

，二板書設(shè)計

第4課時圓的周長

圓的周長+直徑=圓周率

C+d=%fC=兀dfC+7i=d

d—2〃fC=27nC+2TT=r

第5課時圓周率的歷史

1.閱讀圓周率的發(fā)展簡史，感受數(shù)學知識的探索過程，了解圓周率

研究史上的相關(guān)知識及做出重要貢獻的人物和研究方法。

2.通過自主搜集圓周率的相關(guān)資料、交流體驗，培養(yǎng)收集信息、整

教學目標

合信息，提高質(zhì)疑、理解的能力。

3.在閱讀理解過程中，體驗數(shù)學研究方法發(fā)展的過程、極限思想

等，為今后的數(shù)學學習提供一定的參考價值。

重點：了解有關(guān)圓周率的歷史。

重點難點

難點：了解歷史上測算圓周率的方法。

教師：有關(guān)圓周率歷史、多媒體課件。

教學準備

學生：收集圓周率的歷史。

公表學過程e

教學步驟教學內(nèi)容

師：回憶一下，怎樣計算一個圓的周長？

師：在計算圓的周長的時候，需要用到圓周率。說到圓周率，我們

知道它是圓的周長和直徑之間固定的倍數(shù)關(guān)系，這是一個無限不循環(huán)小

數(shù)，這么復雜的一個數(shù)，它是怎么來的呢？是一個人研究的結(jié)果嗎？都

有哪些研究方法呢？人們什么時候就發(fā)現(xiàn)了圓周率？圓周率發(fā)展的歷史

一、交流信息

是怎么樣的呢？

帶著這些疑問，許多同學早就閱讀了課本上的關(guān)于圓周率的歷史資

料，在課外也搜集了關(guān)于圓周率歷史的信息，今天這節(jié)課，讓我們一起

來交流一下大家搜集到的各種信息，共同了解關(guān)于圓周率的研究歷史。

學生分小組交流信息，教師板書課題：圓周率的歷史。

師：圓周率的研究歷史經(jīng)歷的時間是很長的，我們搜集到的信息也

是很豐富的，老師建議讓我們這樣來分享這些信息吧：把圓周率的歷史

二、分享信息分為三個時期一一測量計算時期、推理計算時期、新方法時期，可以

嗎？

師：那大家先分小組商量一下怎么匯報，推薦代表，比一比，哪個

小組匯報得清楚。

學生分小組商量，教師板書：測量計算時期、推理計算時期、新方

法時期。

師：在匯報的時候請介紹清楚代表人物、基本方法、大約年代、主

要成就。

1.測量計算時期。

輪子是古代的重要發(fā)明，由于輪子的普遍應(yīng)用，人們很容易想到一

個問題：一個輪子滾一圈可以滾多遠？輪子越大，滾得越遠，那么滾的

距離與輪子的直徑之間有沒有什么關(guān)系呢？最早是通過測量的方法來探

究它們之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)圓的周長總是直徑的3倍多?，F(xiàn)在有關(guān)圓周率

的最早記載約在2000年前，中國的《周髀算經(jīng)》就有記載：圓三徑

*O

方法是通過輪子轉(zhuǎn)一圈的長度，觀察到圓的周長和直徑之間的聯(lián)

系，通過測量、計算出圓的周長總是直徑的3倍多。由于當時測量條件

的簡陋，測量過程有著許多實際的困難，從而限制了測量的精度。

2.推理計算時期。

隨著時代的不斷發(fā)展，人們計算圓周率的精確程度越來越高。在圓

周率的推算歷史上，有很多代表人物，比如古希臘的阿基米德、中國的

劉徽、祖沖之。其中，阿基米德用的方法是利用圓內(nèi)接正多邊形和圓外

切正多邊形從兩個方向上逐漸逼近圓來進行研究；劉徽用的是“割圓

術(shù)”，即用圓內(nèi)接正多邊形從一個方向逐漸逼近圓；祖沖之是在劉徽

“割圓術(shù)”方法基礎(chǔ)之上繼續(xù)推算，具體運用的方法已經(jīng)不是很清楚

了。

師：他們是怎樣在不測量的情況下推算出圓周率的呢？你能介紹一

下嗎？

多媒體演示方法：

①阿基米德的方法：

出示圓的內(nèi)接六邊形、外切正六邊形圖形；接著出示圓的內(nèi)接正十

二邊形、外切正十二邊形圖形。

師：圓的周長處于內(nèi)外兩個正六邊形之間，同樣，也會處在內(nèi)外兩

個正十二邊形之間，這樣，越來越接近圓的周長。

②劉徽的方法：

他由圓內(nèi)接正六邊形算起，逐漸把邊數(shù)加倍，算出正12邊形、正

24邊形、正48邊形、正96邊形……的面積，這些面積會逐漸地接近圓

面積。這是一種非常重要的數(shù)學思想。按照這樣的思路，劉徽把圓內(nèi)接

正多邊形的面積一直算到了正192邊形，并由此而求得了圓周率。

③祖沖之用什么方法得到那么精確的圓周率，已經(jīng)很難知道了，但

可以肯定劉徽的方法給了他很大的啟發(fā)和影響。

二、分享信息（續(xù)）師：能介紹一下，他們的成績或者是結(jié)論嗎？

生1：阿基米德在《圓的度量》中，利用圓的外切與內(nèi)接96邊形，

求得圓周率萬為：等七爺，這是數(shù)學史上最早的，明確指出誤差限度

的乃值。

生2：劉徽得到圓周率的近似值是3.14。

生3：祖沖之算出乃的值在3.1415926到3.1415927之間，并且得到

了乃的兩個分數(shù)形式的近似值：約率為與，密率為霽。（約率表示精確

度較差的圓周率，密率表示精確度較高的圓周率）

師：你知道他們分別是哪個年代的嗎？

生：阿基米德和劉徽大約是同時代的人，不過阿基米德研究圓周率

的時間比劉徽稍微早一些，但劉徽運用的方法和他不同。祖沖之大約在

1500多年前。

師：他們?nèi)齻€人對于圓周率的貢獻是很大的，在數(shù)學的歷史上書寫

了濃墨重彩的一筆，劉徽和祖沖之也是我們中國的驕傲，大家想一想，

祖沖之把圓周率精確到小數(shù)點后7位，這一成就在世界上領(lǐng)先了約1000

年！

引導學生閱讀教材第12、13頁關(guān)于阿基米德、劉徽和祖沖之的介

紹。

3.新方法時期。

師：由于計算工具的限制，可以說，祖沖之的成就已經(jīng)把圓周率的

精確程度推到了極致，計算量太大了。但是，隨著電子計算機的出現(xiàn)，

這個問題順利解決了，〃小數(shù)點后面的精確數(shù)字發(fā)展到成千上萬、甚至

幾萬億位。2000年，圓周率已經(jīng)可以計算到小數(shù)點后12411億位。

出示圖片。

1師.：學習了本節(jié)課的內(nèi)容，你有哪些感受，同桌之間相互交流。

三、課堂小結(jié)你還知道哪些有關(guān)圓周率的知識？

2.班級展示收集到的其他關(guān)于圓周率的歷史資料。

工板書設(shè)計-I

第5課時圓周率的歷史

1.測量計算時期。2.推理計算時期。3.新方法時期。

第6課時圓的面積（一）

1.了解圓的面積的含義，經(jīng)歷圓的面積計算公式的推導過程，掌

握圓的面積的計算公式。

2.能正確運用圓的面積公式計算圓的面積，并能運用圓面積的知

教學目標

識解決一些簡單的實際問題。

3.在估一估和探究圓面積公式的過程中，體會“化曲為直”的數(shù)

學思想，初步感受極限思想。

重點：圓面積概念的建立，公式的推導及應(yīng)用。

重點難點難點：理解把圓轉(zhuǎn)化為平行四邊形的思想方法，進而推導出圓的

面積計算公式。

教師：多媒體課件。

教學準備

學生：圓形紙片

教學步驟教學內(nèi)容

1.正方形的周長怎么計算？長方形呢？平行四邊形呢？

2.正方形、長方形、平行四邊形的面積怎么計算？

一、復習導入3.前面的課程我們學習了圓的特征。知道了如何計算圓的周長，誰

來說一說。那么圓的面積如何計算呢？今天這節(jié)課我們就一起來探究

圓的面積。（板書課題）

交流：如何得到一個圓的面積呢？想一想，并與同伴交流。

方法一：圓里面畫一個最大的正方形，可以求出正方形的面積。

師：圓的面積等于這個正方形的面積嗎？

生：不相等。

二'討論探究

師：為什么呢？

生：因為這個圓的面積還要加上正方形外面的4個小塊。

師：通過觀察我們知道圓的面積大于圓內(nèi)正方形的面積，如果用

正方形的面積代替圓的面積，那么剩下的面積該怎么辦？還有沒有更

加合理的方法呢？

方法二：數(shù)方格的方法。

生：我在圓內(nèi)畫方格，每個方格大小一樣，如教材第14頁所示，

然后數(shù)一數(shù)有多少方格，乘以每個小格的面積，就能知道這個圓的面

積了。

師：我們看到這種方法會遇到兩種困難，一種是畫格子很麻煩，

數(shù)格子也很繁瑣，另外不是整格的該怎么辦呢？還有其他方法嗎？

師指出剛剛同學們提出的方法對于估算圓的面積很好，但是實際

生活中往往要有一個精確的結(jié)果，接下來我們就一起來探討。

1.由舊知引入新知。

師：同學們，我們在學習推導幾何圖形的面積公式時，總是把新

的圖形經(jīng)過分割、拼合等方法將它們轉(zhuǎn)化成為我們熟悉的圖形，大家

還記得我們以前學習的平行四邊形、三角形、梯形面積分別是由哪些

圖形的面積推導來的嗎？今天我們能不能用這樣的方法推導出圓的面

三、探索規(guī)律積計算公式呢？

2.探索圓的面積公式。

(1)學生操作。

師：拿出我們剪好的圖形和小組同學一起剪一剪、拼一拼，看看

能拼成一個什么圖形，并考慮你拼成的圖形與原來的圓形有什么關(guān)

系.(學生開始操作，教師巡視指導)

(2)學生匯報。

生：我把圓8等分，上下各4個拼在一起，拼成的圖形可以近似

看成一個平行四邊形。

師：說得很好，大家看看自己拼成的圖形與剛才這個同學說的是

否一樣呢？

生：我是將圓16等分，上下各8個拼在一起的，拼成的圖形也近

似一個平行四邊形。

(3)操作反思。

師：現(xiàn)在請大家來觀察一下剛才兩個同學拼成的圖形，哪個更接

近平行四邊形呢？

生：等分為16份的更接近平行四邊形。

師：如果等分32份？64份呢？大家想象一下，如果把一個圓等分

的份數(shù)越多，拼成的圖形越接近什么圖形呢？

生：等分的份數(shù)越多，就越接近平行四邊形。

(4)轉(zhuǎn)化思考。

三、探索規(guī)律(續(xù))師：下面請大家觀察黑板上的板書，你能否由平行四邊形的面積

公式得到圓形面積公式呢？并說出你的理由。

生：通過觀察可以發(fā)現(xiàn)拼成的平行四邊形的底也就是圓形周長的

一半，平行四邊形的高就是圓形的半徑，因為平行四邊形面積=底又

高，所以圓形面積=圓周長的3x半徑。

師：用字母怎么表示圓的面積公式呢？

生1：S=^rXr=w2o

生2：還可以寫作^:仃2。

(5)教師小結(jié)。

師：這說明求圓的面積只需要知道半徑即可，那如果只告訴你們

圓的直徑又如何求出圓的面積呢，請大家自己把這個公式寫出來。

教師板書:5=(務(wù)打

3.應(yīng)用圓的面積公式。

師：現(xiàn)在請大家用圓的面積公式計算當一個圓的半徑是2米時，

這個圓的面積是多少。

4.滲透圓環(huán)的計算方法。

5=旗2一萬/或S=z便2一戶）

1教.材第15頁“練一練”的第1題。

學生獨立解答，集體訂正的時候要求學生說出兩幅圖中圓面積的

估算過程和依據(jù)。

四、解決問題2.教材第15頁“練一練”的第2題。比一比，看一看，發(fā)現(xiàn)規(guī)

律：圓的面積比圓外的正方形面積小，比圓內(nèi)的正方形面積大，圓的

面積在兩者之間。圓內(nèi)接正多邊形和圓外切正多邊形的邊數(shù)越多，越

接近圓。

師：同學們，通過這節(jié)課的學習，你們有什么收獲？說出來與大

五、課堂小結(jié)

家一起分享。

板書設(shè)計■

第6課時圓的面積（一）

平行四邊形的面積=底乂高

圓的面積=70*乂1=兀，

S=7tr2

d、

S=（M

第7課時圓的面積（二）

1.引導學生熟練掌握圓面積的計算公式，并能運用公式解答一

些簡單的實際問題。

教學目標2.激發(fā)學生參與整個課堂教學活動的學習興趣，培養(yǎng)學生的分

析、觀察和概括能力，發(fā)展學生的空間觀念.

3.了解圓面積的另一推導方法，進一步理解轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。

重點：正確計算圓的面積。

重點難點

難點：圓面積公式的推導。

教學準備多媒體課件。

教學步驟教學內(nèi)容

多媒體出示：綠色的農(nóng)田間，有一個噴水頭在轉(zhuǎn)動澆灌秧苗。

師：你從這幅圖中發(fā)現(xiàn)了哪些數(shù)學知識？

學生觀察并討論，然后指名回答。

生1:我發(fā)現(xiàn)噴水頭轉(zhuǎn)動一周所澆灌的形狀剛好是一個圓形。

生2：這個圓形的半徑就是噴頭噴水的距離，周長也就是噴水所走過

的路線。

一、情景導入

生3：我補充一點，這個圓形的圓心就是噴頭所在的地方。

師：同學們說得很好。請大家說說這個圓形的面積指的是哪部分

呢？

生4：被噴到水的農(nóng)田大小就是這個圓形的面積。

師：同學們說得很好，你們想知道這樣一個自動噴水頭，它噴射一

周所澆灌的農(nóng)田面積是多少嗎？今天這節(jié)課我們就來算一算它的面積。

1.已知半徑求面積。

二、探究新知

（1）什么是圓的面積？圓的面積的計算公式是什么？已知圓的半徑，

你能求出它的面積嗎？

（2）出示：如果圖中噴水半徑是3米，噴水頭轉(zhuǎn)動一周，能澆灌多大

面積的農(nóng)田？

（3）求農(nóng)田被澆灌的面積就是求什么？（半徑是3米的圓的面積）

（4）怎么列式解答呢？

（5）學生討論，然后板書。

S=3.14X32

=3.14X9

=28.26（平方米）

注意：已知半徑求圓的面積，利用圓的面積的計算公式5=乃，進行

計算。

2.已知周長求面積。

（1）多媒體出示：綠色的草地上圓形的羊圈中一群小羊在吃草。提

問：量得這個圓形羊圈的周長是125.6m。這個羊圈的面積是多少？

（2）師：要計算圓形羊圈的面積，得知道什么？

生：需要知道羊圈的半徑。

師：可是羊圈的半徑未知，怎么辦呢？

生：已知了羊圈的周長，根據(jù)周長與半徑的關(guān)系。=24，可以求得

半徑長。

師：怎么計算？

半徑：125.6+3.14+2=20（米）