2020小學(xué)奧數(shù)五年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)專項(xiàng)訓(xùn)練：不定方程的整數(shù)解

2020小學(xué)奧數(shù)五年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)專項(xiàng)訓(xùn)練：不定方程的

整數(shù)解

□

第七講從不定方程l/n=1/x+1/y的整數(shù)解談起

對(duì)于形如工二工+工的方程，尋找整數(shù)x、y使之滿足方程，稱為求不定方

nxy

求不定方程的整數(shù)解.這里n是取定的一個(gè)自然數(shù).對(duì)于方程

111人、

7=-*■—，（1）

oxy

顯見x=y=12是一個(gè)整數(shù)解.還有沒有別的解？如何求解？有人憑直

覺能看出一些解來，但數(shù)學(xué)要求我們有一個(gè)成熟的方法去處理同一類問

題。

由2=1+工，兩邊減去!，得：

6xyx

111

6'x=y，

通分：因此y=a，這里x-6大于o.為了使右端的分?jǐn)?shù)形

oxyx-6

式更簡(jiǎn)明，我們不妨把x-6看成一個(gè)整體，即令t=x-6,那么x=t+6.因

丫=6x[6+t）=*+6,由于遙整數(shù)，上式右邊也是整數(shù)，所以婦丐也

此ttt

必須是整數(shù)，這樣我們推知：t是62的因數(shù)（約數(shù)）。

由于是求不定方程2=1+1的整數(shù)解，這樣，原先“漫無邊際”的找兩

oxy

個(gè)未知數(shù)x、y的困難問題，轉(zhuǎn)換成找簡(jiǎn)單的62的因子t的問題了.

一個(gè)完全平方數(shù)的因子必然是奇數(shù)個(gè)，如62有因子6、1和36,2

和18,3和12,4和9.6稱為自補(bǔ)的因子.后面的2和18等都稱為互補(bǔ)

因子，這樣，不妨記為：

==1=1

tg6,ti=1,t/=36；t229t218；t3=12；

t4'=9也即一=、J,,,,—=tj,

匕t4

62,

x=6+t,y=—+6=ty+6,

+

7=—工的所有解表示成!=工―+「Li'

6xy66+to+t

這里t和是62=36的互補(bǔ)因子（當(dāng)t=1/=6時(shí)自補(bǔ)因子也包括

在內(nèi)），所以

）=的全部整數(shù)解為，

oxy

1_11(11)

6-12+121+

111(11]

6=7+425+6+36)

111(11

t=2,tg=18,—=—+----;I-------+--------

36824(6+26+18

島+木）

10+15，16+4+6+9)

由于x、y地位對(duì)等，-=i的解與1=2，工=＜的情況我們都看

x7y42x42y7

成一種了。

以上情況推廣到一般情況：求不定方程

—=—+—（2）v

nxy

的整數(shù)解，只要找出n2的全部成組互補(bǔ)因子t和,則

就可得到全部解。

例如，求不定方程：

_1_■_1+_1

12xy

（即n=12）的整數(shù)解，首先分解4=（22?3）2=24?32,它的

因子根據(jù)分解式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可以排成一個(gè)表。

2021222324

3°124816

3136122448

329183672144

按照互補(bǔ)或自補(bǔ)因子配對(duì)有：(1,144),(2,72),(3,

48),(4,36),(6,24),(8,18),(16,9),(12,12)。

所以W+工共有8種解fl的因,個(gè)數(shù)+1=8］：

12xyI2}

11111111

13156'1484‘1560‘1648’

11111111

---+----;----+----;----+----;----+----;

1836203021282424

以上是討論工=工+工的全部解自然會(huì)想到如果把上式的工再分解成兩個(gè)

nxyx

“單位分?jǐn)?shù)”(分子為1分母為整數(shù))的和，那么我們相當(dāng)于求：

1111

mxyz的整數(shù)解，例如求解

1111

-=—+---1---,

6xyz

可以利用已經(jīng)解過的g=L+1的5種解，再把其中二分解成1+L例如！=

6xyyyz6

J_+_L=_L1_L如此等等。

121212+7+42'又皿1奪奪。

總之，求解1=工+工+工也是有路可循的了.特別，如n是質(zhì)數(shù)，n=p,

nxyz

LF+q-tr+W:.除了P=2〃卜，p+i是合數(shù).再分裂一萬，例如

p2P2Pp+lp+pp+1

，利用(P+1)2有因子1和(p+D\因此二=4r+/,

P+1P+2(p+1)+(p+1)

—=----+------------+-----------------（4）

Pp+2p（p+D（P+D（P+2）

1111111

伊文口，—=—+----+-----=—+——+——,

353x44x551220

——1=—1+--1---卜--1--=1—+1—+1—.

575x66x773042

1111111

----卜-----卜----=一+---卜--.

797x88x995672

在這些基本訓(xùn)練基礎(chǔ)上，我們很容易把整數(shù)1分拆為若干個(gè)單位分

數(shù)之和。

分成兩部分，唯一方式：l=：+g,

分成三部分，只有3種方式：明顯的有1=：+；+：,先有i=g+￡,再

借用：=六+占=45+與這兩種分解形式（因?yàn)??有互補(bǔ)因子

(1,4),(2,2).可有

111111

1=—+—+—=—+—+—

244236

111

1=一+一+一,

并且可斷言只有這三種形式.為證明這一論斷，先介紹“推廣的抽屜

原理”（稱之為平均值原理更確切）：一個(gè)（正）數(shù)，分放于幾個(gè)抽屜

中，必有一個(gè)抽屜內(nèi)存放的數(shù)大于或等于平均值.（注意，這里的數(shù)不局

限于整數(shù)）

1分拆為三個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和，必有一部分而》;的單位分?jǐn)?shù)只有

只有1和;不妨設(shè)則?或」問題轉(zhuǎn)化成：

23xyzx2x3

1=—+—+—3^1=—++-0

2yz3yz

對(duì)于前一種情況，i-<=q=L+L再用推廣的抽屜原理，」中，不

22yzyz

妨設(shè)1>工，必有一個(gè)）;1只有。和;3兩種情況（顯然工/J）,對(duì)于

yz4y43y2

y=5和—,分別必有-=工和7歸類成1=3+與+/和1=3+彳+彳的情況。

34z64236244

對(duì)于后一種情況，1-2=1+」，同樣用推廣的抽屜原理，有又

3yzy2

所以;=4由91+工得也歸類成三種形式之中

yx3333yzz333

故推斷正確。

在某些問題研究中，并不要求馬上找出全部解，只要能將一個(gè)單位

分?jǐn)?shù)分拆為兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和即可，這里我們介紹另一種技巧，先看

—⑸

nn+1n（n+1）

（我們這里是在討論單位分?jǐn)?shù)問題時(shí)用到（5）式.其實(shí)（5）式又可

以改變形式寫成：

111

n（n+1）nn+1*

它在計(jì)算中也有巧妙應(yīng)用，為保持原問題討論的連續(xù)性，它的具體

應(yīng)用請(qǐng)看習(xí)題）。

公式（5）在將整數(shù)1分裂成若干個(gè)單位分?jǐn)?shù)和的求解中，用起來很

方便.例如可將1分裂為3個(gè)分母不等的單位分?jǐn)?shù)之和。

11111111

1=-4--------+

22232x3,236

而且，只要不計(jì)較分母太大看起來不直觀，我們可以把1分裂成任

意多個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和，如

（2項(xiàng)）

111

=-+-+-(須)

236

1111

—+—十一十一（4項(xiàng)）

24126

1

6項(xiàng))

2412742

111111

—+—+——+——+—+——（6項(xiàng)）

252012742

11111111

=—+—+-^―++-^―+（8項(xiàng)）

2630201285642

J+L_L+_L+LL_L+1（9項(xiàng)）

263020129725642

1111111111

=—+―+--+---+--+---+--+'+--+--（10項(xiàng)）。

263020121090725642

如果要求你用兩種不同的方式把1寫成10個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和，你不妨在分裂成

11

9項(xiàng)時(shí)，另選一種方式用公式L----+-------,如選」----+-,即可。

nn+1n(n+1)“20214201

實(shí)際上，公式111只是最初講的1=1+工1

，+，----+----7的

n+1n(n+1)nxyn+tn+t

特殊情況，只是把1的互補(bǔ)因子選為1和r而己所以基本功在于1=2+1的

nxy

分解。

上述基本分解還有一種簡(jiǎn)便一些的算法，它不必分解n2的因子，而

求分解曲所有因子，還以數(shù)字12為例：l=i+把12(注意不是12，

只要12xy

)的所有因子由小到大排列：1、2、3、4、6、12,6個(gè)因子任取2

個(gè)配成一個(gè)組合，共有15種:

(1,2),(1,3),(1,4),(1,6),(1,12)

(2,3),(2,4)，(2,6)，(2,12)

(3,4),(3,6),(3,12)

(4,6),(4,12)

(6,12)

對(duì)于每一組合(a,b),寫成1=3+工，則有：

a+ba+b

1_ab

12=12(a+b)+12(a+b)

11

=---------------+---------------

(-)(a+b)卓)(a+b)

ab

例如3),分現(xiàn)附+4

前南

1111

6^5+4^5=30+20

所以4=1+工有15種方式，但這里有重復(fù)，如由Q,2)配出的M

12xy12132x(71+2)

和由(2,4)配出的《=7T芻J是相同的.只要在因子的配組中篩去這

1212x(2+4)

種情況即可.

以上討論相應(yīng)于不定方程1=1+1對(duì)于其他分?jǐn)?shù)形式的不定方程，分

nxy

子不是1的，例如

_2=_1_+.1

3xy'

一般同學(xué)都可“猜”出94+葭當(dāng)融有

5Nb555

那么請(qǐng)問是否只有兩種方式？答：是.理由呢？因?yàn)橛赏茝V的抽屜原

理，

1和1中至少有一個(gè)(；=:X(|)),也即至少有一個(gè)或?yàn)椋莼?/p>

xy33232

為;從而歸于兩種形式.那么難度再增加一些，對(duì)不定方程==LL求整數(shù)

35xy

求整數(shù)解呢？

用“靈感來湊"，卜蕓鼻一種解，最容易的是I

j3111J5J

泊，那么還有第三種解嗎？

用推廣的抽屜原理分析：I?分拆成兩個(gè)部分，當(dāng)1*工時(shí)，（不妨設(shè)

5xy

設(shè)工〉1,即x〈y）必有工〉11只有2種可能j,從而

xyx5x（x52/34

-=14,或"馬-4,合理情況只有在前一種中的一種，所以

y53y54y15

自=的整數(shù)解只有自=J+2及=；+［兩種°

5xy5555315

例1求不定方程+1的整數(shù)解。

15xy

分析根據(jù)分?jǐn)?shù)運(yùn)算性質(zhì)，1+N通分后，分母為最小公倍數(shù)［x,y］,經(jīng)

xy

約分后分母為15,所以［x,y］為15,2X15,3X15,…，以下分情況討

論。

71137

①如［x,y］=15,x|15,y|15,又—<1,y只能取為15,此時(shí),--—"7c

yx1515

=芻=之使!不是分子為1的單位分?jǐn)?shù)，形成矛盾所以［x,y］=15（因而

155x

y=15）的情況應(yīng)排除。

1137

②婀x,y］=3。，45,60,75,9。，…，等情況.從匚可產(chǎn)分析,

析，如y大于15,

即因此13_713_7___6_2

y>15,1"

xI5-7^i5i5=155

即「1|2,

2__111

這樣，由于單位分?jǐn)?shù)大于之的只有:一種可能情況，因此必須上=1,從而

52x2

2=與4=2y=T，右端不是整數(shù)，矛盾.因而y>15也要排除。

y1523011

③y是X與y可能的最小公倍數(shù)30,45,60,…中某一個(gè)數(shù)的約

數(shù)：

并且y〉8(由于，y<15,因此9<y<14,先試y=9,空浮

1Do13y4J

羊單位分?jǐn)?shù)，

?，排除y=9.同樣，也可排除y=ll,12,13,14.只有y=10一種可

能。

當(dāng)y=10時(shí)，!=圣一4=?,故

x15106

1317

丁=_+_只有一種解x=6,y=10。

15xy

從上例看出分?jǐn)?shù)形式不定方程求整數(shù)解不是很容易的.一些國(guó)際一流

的數(shù)學(xué)家也致力于這類問題的研究.如1950年，厄爾丟斯猜想：

對(duì)于整數(shù)n〉l,不定方程4-=1'+上1+51中國(guó)=型數(shù)有整數(shù)解x、y、z.1964年

nxyz

科學(xué)家柯召、孫琦等證明了n<4X105=400000時(shí)，猜想成立.1965年

8

有人把n推進(jìn)到n<107,1978年又將n推進(jìn)到了n<10o

另有謝平斯基(Sierpinski)猜想:

例如，1984年中國(guó)數(shù)學(xué)家給出了71T=工+工+工的全部21種解，其中

121xyz

71T=4+嘉就是21種之一有些學(xué)者在具體求解時(shí)還使用電子計(jì)算機(jī)

1N1551/1

來證明.對(duì)于大多數(shù)小學(xué)生來講，現(xiàn)在功力有限，只能在最簡(jiǎn)單的情況下

一試身手。

例2求解不定方程（6）的整數(shù)解。

5xyz

分析首先應(yīng)用推廣的抽屜原理，不妨先設(shè)。x<y<z,

x3515

不小于2的單位分?jǐn)?shù)只有：1,1=^0

分情況討論：

對(duì)于方程（7）,再用推廣的抽屜原理，有

，二目=9?如不要求找出全部解,觀察可知，

y2110/20

2_=2+_L,2_=^_=A+_L=1+_L.