選擇性必修第三冊(cè)教師用書(shū)第八章8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用

8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用必備知識(shí)·素養(yǎng)奠基1.一元線性回歸模型一元線性回歸模型的完整表達(dá)式為QUOTE其中Y稱為因變量或響應(yīng)變量,x稱為自變量或解釋變量;a,b為模型的未知參數(shù),e是Y與bx+a之間的隨機(jī)誤差.具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量,其樣本點(diǎn)散布在某一條直線y=bx+a的附近,可以用一次函數(shù)y=bx+a來(lái)描述兩個(gè)變量之間的關(guān)系嗎?提示:不能.2.最小二乘法與經(jīng)驗(yàn)回歸方程(1)最小二乘法=x+稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式,其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線.這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法,求得的,叫做b,a的最小二乘估計(jì).(2)經(jīng)驗(yàn)回歸方程的系數(shù)計(jì)算公式經(jīng)驗(yàn)回歸方程的計(jì)算公式的計(jì)算公式=

x+=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTE(3)經(jīng)驗(yàn)回歸方程的性質(zhì)①經(jīng)驗(yàn)回歸方程一定過(guò)點(diǎn)__(QUOTE,QUOTE)__;

②一次函數(shù)=x+的單調(diào)性由的符號(hào)決定,函數(shù)遞增的充要條件是

>0__;

③的實(shí)際意義:當(dāng)x增大一個(gè)單位時(shí),增大個(gè)單位.正相關(guān)、負(fù)相關(guān)與的符號(hào)有何關(guān)系?提示:Y與x正相關(guān)的充要條件是>0,Y與x負(fù)相關(guān)的充要條件是<0.3.殘差(1)殘差:對(duì)于響應(yīng)變量Y,通過(guò)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值,通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的稱為預(yù)測(cè)值,觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值稱為殘差.(2)決定系數(shù):R2=1-越接近1,表示回歸的效果越好.1.思維辨析(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)經(jīng)驗(yàn)回歸方程一定過(guò)樣本中的某一個(gè)點(diǎn).()(2)選取一組數(shù)據(jù)中的部分點(diǎn)得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程與由整組數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是同一個(gè)方程.()(3)在經(jīng)驗(yàn)回歸模型中,R2越接近于1,表示解釋變量和響應(yīng)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng).()(4)在畫(huà)兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖時(shí),響應(yīng)變量在x軸上,解釋變量在y軸上.()提示:(1)×.經(jīng)驗(yàn)回歸方程一定過(guò)點(diǎn)(QUOTE,QUOTE),可能過(guò)樣本中的某個(gè)或某些點(diǎn),也可能不過(guò)樣本中的任意一個(gè)點(diǎn).(2)×.選取一組數(shù)據(jù)中的部分點(diǎn)得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程與由整組數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程不一定是同一個(gè)方程.(3)√.(4)×.在畫(huà)兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖時(shí),解釋變量在x軸上,響應(yīng)變量在y軸上.2.若某地財(cái)政收入x與支出Y滿足經(jīng)驗(yàn)回歸方程=x++ei(單位:億元)(i=1,2,…),其中=0.8,=2,|ei|<0.5,如果今年該地區(qū)財(cái)政收入10億元,年支出預(yù)計(jì)不會(huì)超過(guò)()A.10億元 B.9億元C.10.5億元 D.9.5億元【解析】選C.=0.8×10+2+ei=10+ei,因?yàn)閨ei|<0.5,所以9.5<<10.5.3.若施肥量x(kg)與水稻產(chǎn)量Y(kg)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=5x+250,當(dāng)施肥量為80kg時(shí),預(yù)計(jì)水稻產(chǎn)量約為_(kāi)_______kg.

【解析】把x=80代入經(jīng)驗(yàn)回歸方程可得其預(yù)測(cè)值=5×80+250=650(kg).答案:650關(guān)鍵能力·素養(yǎng)形成類(lèi)型一求經(jīng)驗(yàn)回歸方程【典例】某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)用支出x與銷(xiāo)售額Y(單位:百萬(wàn)元)之間有如下的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù):x/百萬(wàn)元24568Y/百萬(wàn)元3040605070(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖;(2)求經(jīng)驗(yàn)回歸方程;(3)試預(yù)測(cè)廣告費(fèi)用支出為10百萬(wàn)元時(shí),銷(xiāo)售額多大?【思維·引】(1)按表中的數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)即得散點(diǎn)圖;(2)由公式求出,,寫(xiě)出經(jīng)驗(yàn)回歸方程;(3)利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程分析.【解析】(1)散點(diǎn)圖如圖所示:(2)列出下表,并用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)計(jì)算:i12345合計(jì)xi2456825yi3040605070250xiyi601603003005601380416253664145所以QUOTE=QUOTE=5,QUOTE=QUOTE=50,QUOTE=145,QUOTExiyi=1380.于是可得=QUOTE=QUOTE=6.5,=QUOTE-QUOTE=50-6.5×5=17.5.所以所求的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=6.5x+17.5.(3)根據(jù)上面求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,當(dāng)廣告費(fèi)用支出為10百萬(wàn)元時(shí),=6.5×10+17.5=82.5(百萬(wàn)元),即廣告費(fèi)用支出為10百萬(wàn)元時(shí),銷(xiāo)售額大約為82.5百萬(wàn)元.【內(nèi)化·悟】求經(jīng)驗(yàn)回歸方程前應(yīng)注意什么問(wèn)題?提示:對(duì)于性質(zhì)不明確的兩組數(shù)據(jù),要先作散點(diǎn)圖,從圖中看它們有無(wú)線性相關(guān)關(guān)系,有相關(guān)關(guān)系的求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程才有實(shí)際意義.【類(lèi)題·通】求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的步驟(1)畫(huà)散點(diǎn)圖:由樣本點(diǎn)是否呈條狀分布來(lái)判斷兩個(gè)量是否具有線性相關(guān)關(guān)系.(2)求回歸系數(shù):若存在線性相關(guān)關(guān)系,則求回歸系數(shù).(3)寫(xiě)方程:寫(xiě)出經(jīng)驗(yàn)回歸方程,并利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)說(shuō)明.【習(xí)練·破】某公司的生產(chǎn)部門(mén)調(diào)研發(fā)現(xiàn),該公司第二,三季度的月用電量Y與月份x線性相關(guān),且數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下:月份456789月用電量(千瓦時(shí))61627554656但核對(duì)電費(fèi)報(bào)表時(shí)發(fā)現(xiàn)一組數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)有誤.(1)請(qǐng)指出哪組數(shù)據(jù)有誤,并說(shuō)明理由;(2)在排除有誤數(shù)據(jù)后,求月用電量與月份之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程=x+,并預(yù)測(cè)統(tǒng)計(jì)有誤那個(gè)月份的用電量.(結(jié)果精確到0.1)【解析】(1)作散點(diǎn)圖如圖所示.因?yàn)橛秒娏颗c月份之間線性相關(guān),所以散點(diǎn)圖的樣本點(diǎn)分布在經(jīng)驗(yàn)回歸直線附近比較窄的帶狀區(qū)域內(nèi),而點(diǎn)(7,55)離其他點(diǎn)所在區(qū)域較遠(yuǎn),故(7,55)這組數(shù)據(jù)有誤.(2)排除(7,55)這一組有誤數(shù)據(jù)后,計(jì)算得QUOTE=6.4,QUOTE=30.2.因?yàn)?QUOTE≈9.98,=QUOTE-QUOTE≈-33.67,所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=9.98x-33.67,當(dāng)x=7時(shí),≈36.2,即7月份的用電量大約為36.2千瓦時(shí).類(lèi)型二線性檢驗(yàn)回歸分析【典例】某運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練次數(shù)與訓(xùn)練成績(jī)之間的數(shù)據(jù)關(guān)系如表:次數(shù)(x)3033353739444650成績(jī)(Y)3034373942464851(1)作出散點(diǎn)圖;(2)求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程;(3)作出殘差圖;(4)計(jì)算R2,并說(shuō)明運(yùn)動(dòng)員的訓(xùn)練次數(shù)對(duì)成績(jī)的影響占百分之幾.【思維·引】根據(jù)題意先作散點(diǎn)圖再求經(jīng)驗(yàn)回歸方程、殘差及R2.【解析】(1)作出該運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練次數(shù)x與成績(jī)Y的散點(diǎn)圖,如圖所示.由散點(diǎn)圖可知,它們之間具有相關(guān)關(guān)系.(2)QUOTE=39.25,QUOTE=40.875,QUOTE=12656,QUOTExiyi=13180,所以=QUOTE≈1.0415,=QUOTE-QUOTE=-0.003875,所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=1.0415x-0.003875.(3)殘差分析:下面的表格列出了運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練次數(shù)和成績(jī)的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù).xY3030-1.24113334-0.365635370.551437390.468439421.385444460.177946480.09495051-1.0711作殘差圖如圖所示.由圖可知,殘差點(diǎn)比較均勻地分布在水平帶狀區(qū)域內(nèi),說(shuō)明選擇的模型比較合適.(4)計(jì)算R2≈0.9855,說(shuō)明了該運(yùn)動(dòng)員的訓(xùn)練次數(shù)對(duì)成績(jī)的影響占98.55%.【類(lèi)題·通】“R2、殘差圖”在回歸分析中的作用(1)R2是用來(lái)刻畫(huà)回歸效果的,由R2=1-可知R2越大,意味著殘差平方和越小,也就是說(shuō)模型的擬合效果就越好.(2)殘差圖也是用來(lái)刻畫(huà)回歸效果的,判斷依據(jù)是:殘差點(diǎn)比較均勻地分布在水平帶狀區(qū)域中,帶狀區(qū)域越窄,說(shuō)明模型擬合精度越高,回歸方程預(yù)報(bào)精度越高.【習(xí)練·破】為研究質(zhì)量x(單位:g)對(duì)彈簧長(zhǎng)度Y(單位:cm)的影響,對(duì)不同質(zhì)量的6個(gè)物體進(jìn)行測(cè)量,數(shù)據(jù)如表所示:x51015202530Y7.258.128.959.9010.911.8(1)作出散點(diǎn)圖并求經(jīng)驗(yàn)回歸方程;(2)求出R2并說(shuō)明回歸模型擬合的程度;(3)進(jìn)行殘差分析.【解析】(1)散點(diǎn)圖如圖.QUOTE=QUOTE×(5+10+15+20+25+30)=17.5,QUOTE=QUOTE×(7.25+8.12+8.95+9.90+10.9+11.8)≈9.487,計(jì)算得≈0.183,≈6.285.故所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=6.285+0.183x.(2)列出殘差表為yi-i0.050.005-0.08-0.0450.040.025yi-QUOTE-2.237-1.367-0.5370.4131.4132.313所以QUOTE(yi-i)2≈0.01318,QUOTE(yi-QUOTE)2=14.6783.所以,R2=1-QUOTE≈0.9991,回歸模型的擬合效果較好.(3)由殘差表中的數(shù)值可以看出第3個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大,需要確認(rèn)在采集這個(gè)樣本點(diǎn)的時(shí)候是否有人為的錯(cuò)誤,如果有的話,需要糾正,重新建立回歸模型;由表中數(shù)據(jù)可以看出殘差點(diǎn)比較均勻地落在狹窄的水平帶狀區(qū)域中,說(shuō)明選用的線性回歸模型的精度較高,由以上分析可知,彈簧長(zhǎng)度與所掛物體的質(zhì)量成線性關(guān)系.類(lèi)型三非線性經(jīng)驗(yàn)回歸問(wèn)題【典例】為了研究某種細(xì)菌隨時(shí)間x的變化繁殖個(gè)數(shù)Y的變化,收集數(shù)據(jù)如下:時(shí)間x/天123456繁殖個(gè)數(shù)Y612254995190(1)將天數(shù)做解釋變量,繁殖個(gè)數(shù)做響應(yīng)變量,作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;(2)描述解釋變量與響應(yīng)變量之間的關(guān)系.【思維·引】先由散點(diǎn)圖確定相應(yīng)的函數(shù)模型,再通過(guò)對(duì)數(shù)變換將非線性相關(guān)轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)的兩個(gè)變量來(lái)求解.【解析】(1)由表中數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖如圖所示.(2)由散點(diǎn)圖看出樣本點(diǎn)分布在一條指數(shù)函數(shù)y=c1QUOTE的圖象的周?chē)?其中c1和c2是待定系數(shù).于是令Z=lnY,則=x+(=lnc1,=c2),因此變換后的樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在直線=x+的周?chē)?因此可以用經(jīng)驗(yàn)回歸模型來(lái)擬合Z與x的關(guān)系,則變換后的樣本數(shù)據(jù)如表:x123456Z1.792.483.223.894.555.25由表中數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程=0.69x+1.115.因此細(xì)菌繁殖個(gè)數(shù)關(guān)于時(shí)間的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=e0.69x+1.115.【內(nèi)化·悟】將非線性相關(guān)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)問(wèn)題的依據(jù)是什么?提示:根據(jù)散點(diǎn)圖確定.【類(lèi)題·通】1.非線性經(jīng)驗(yàn)回歸問(wèn)題的解題步驟2.常見(jiàn)轉(zhuǎn)化類(lèi)型(1)反比例函數(shù)y=a+QUOTE可作變換t=QUOTE,得y=a+bt.(2)冪函數(shù)型y=axb(a>0)可作變換Y=lny,m=lna,t=lnx,則有Y=m+bt.(3)指數(shù)型函數(shù)y=kabx(a>0且a≠1,k>0)可作變換Y=lny,m=lnk,則有:Y=m+(blna)x.【習(xí)練·破】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)x(單位:千元)對(duì)年銷(xiāo)售量Y(單位:t)和年利潤(rùn)z(單位:千元)的影響.對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷(xiāo)售量yi(i=1,2,…,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.QUOTE(xi-QUOTE)2QUOTE(wi-QUOTE)2QUOTE(xi-QUOTE)(yi-QUOTE)QUOTE(wi-QUOTE)(yi-QUOTE)46.65636.8289.81.61469108.8表中wi=QUOTE,QUOTE=QUOTEwi.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,y=a+bx與y=c+dQUOTE哪一個(gè)適宜作為年銷(xiāo)售量Y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類(lèi)型?(給出判斷即可,不必說(shuō)明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程;(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x,y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問(wèn)題:①年宣傳費(fèi)x=49時(shí),年銷(xiāo)售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少?②年宣傳費(fèi)x為何值時(shí),年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大?附:對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回歸直線=+u的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為=QUOTE,=QUOTE-QUOTE.【解析】(1)由散點(diǎn)圖可以判斷,y=c+dQUOTE適宜作為年銷(xiāo)售量Y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類(lèi)型.(2)令w=QUOTE,先建立Y關(guān)于w的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.由于=QUOTE=QUOTE=68,=QUOTE-QUOTE=563-68×6.8=100.6,所以Y關(guān)于w的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=100.6+68w,因此Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=100.6+68QUOTE.(3)①由(2)知,當(dāng)x=49時(shí),年銷(xiāo)售量Y的預(yù)報(bào)值=100.6+68QUOTE=576.6,年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值=576.6×0.2-49=66.32.②根據(jù)(2)的結(jié)果知,年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值=0.2(100.6+68QUOTE)-x=-x+13.6QUOTE+20.12.所以當(dāng)QUOTE=QUOTE=6.8,即x=46.24時(shí),取得最大值.故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí),年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大.【加練·固】如表是某年美國(guó)舊轎車(chē)價(jià)格的調(diào)查資料.使用年數(shù)12345678910平均價(jià)格(美元)2651194314941087765538484290226204觀察表中的數(shù)據(jù),試問(wèn)平均價(jià)格與使用年數(shù)間存在什么樣的關(guān)系?【解析】設(shè)x表示轎車(chē)的使用年數(shù),Y表示相應(yīng)的平均價(jià)格,作出散點(diǎn)圖.由散點(diǎn)圖可以看出Y與x具有指數(shù)關(guān)系,令Z=lnY,變換得x12345678910Z7.8837.5727.3096.9916.6406.2886.1825.6705.4215.318作出散點(diǎn)圖:由圖可知各點(diǎn)基本上處于一直線附近,由表中數(shù)據(jù)可求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程:=8.166-0.298x.因?yàn)榕f車(chē)的平均價(jià)格與使用年數(shù)具有指數(shù)關(guān)系,所以其非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=e.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.關(guān)于回歸分析,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.回歸分析是研究?jī)蓚€(gè)具有相關(guān)關(guān)系的變量的方法B.散點(diǎn)圖中,解釋變量在x軸,響應(yīng)變量在y軸C.回歸模型中一定存在隨機(jī)誤差D.散點(diǎn)圖能明確反映變量間的關(guān)系【解析】選D.用散點(diǎn)圖反映兩個(gè)變量間的關(guān)系時(shí),存在誤差.2.關(guān)于殘差圖的描述