高三高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)練習(xí)51平面向量的概念及線性運(yùn)算

511．已知a，b是兩個非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則下列說法正確的是()A．a(chǎn)＋b＝0B．a(chǎn)＝bC．a(chǎn)與b共線反向D．存在正實(shí)數(shù)λ，使a＝λb【解析】因?yàn)閍，b是兩個非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則a與b共線同向，故D正確．【答案】D2．已知向量a，b，c中任意兩個都不共線，但a＋b與c共線，且b＋c與a共線，則向量a＋b＋c等于()A．a(chǎn)B．bC．c D．0【解析】依題意，設(shè)a＋b＝mc，b＋c＝na，則有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na.又a與c不共線，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0，選D.【答案】D3．在△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝c，則下列等式成立的是()A．c＝2b－a B．c＝2a－bC．c＝eq\f(3a,2)－eq\f(b,2) D．c＝eq\f(3b,2)－eq\f(a,2)【解析】因?yàn)樵凇鰽BC中，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\f(3,2)eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))，所以c＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a.【答案】D4．已知平面內(nèi)一點(diǎn)P及△ABC，若eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，則點(diǎn)P與△ABC的位置關(guān)系是()A．點(diǎn)P在線段AB上 B．點(diǎn)P在線段BC上C．點(diǎn)P在線段AC上 D．點(diǎn)P在△ABC外部【解析】由eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))得eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))，即eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(AP,\s\up6(→))，所以點(diǎn)P在線段AC上．【答案】C5．(2017·北京高考)設(shè)m，n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】方法一由題意知|m|≠0，|n|≠0.設(shè)m與n的夾角為θ.若存在負(fù)數(shù)λ，使得m＝λn，則m與n反向共線，θ＝180°，∴m·n＝|m||n|cosθ＝－|m||n|<0.當(dāng)90°<θ<180°時，m·n<0，此時不存在負(fù)數(shù)λ，使得m＝λn.故“存在負(fù)數(shù)λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要條件．故選A.方法二∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.∴當(dāng)λ<0，n≠0時，m·n<0.反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0?cos〈m，n〉<0?〈m，n〉∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，當(dāng)〈m，n〉∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))時，m，n不共線．故“存在負(fù)數(shù)λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要條件．故選A.【答案】A6．在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，BE與AC相交于點(diǎn)F，若eq\o(EF,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AD,\s\up6(→))(m，n∈R)，則eq\f(m,n)的值為()A．－2 B．－eq\f(1,2)C．2 D.eq\f(1,2)【解析】設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(EF,\s\up6(→))＝ma＋nb，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－a，由向量eq\o(EF,\s\up6(→))與eq\o(BE,\s\up6(→))共線可知存在非零實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(EF,\s\up6(→))＝λeq\o(BE,\s\up6(→))，即ma＋nb＝eq\f(1,2)λb－λa，又a與b不共線，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－λ，,n＝\f(1,2)λ，))消去λ得eq\f(m,n)＝－2.故選A.【答案】A7．設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝________.【解析】∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b與a＋2b平行，則存在唯一的實(shí)數(shù)μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，則得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝μ，,1＝2μ，))解得λ＝μ＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)8．(2018·濱州模擬)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，若起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)的向量a，b，c滿足c＝xa＋yb(x，y∈R)，則x＋y＝________．【解析】如圖，取單位向量i，j，則a＝i＋2j，b＝2i－j，c＝3i＋4j.∴c＝xa＋yb＝x(i＋2j)＋y(2i－j)＝(x＋2y)i＋(2x－y)j，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝3，,2x－y＝4，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(11,5)，,y＝\f(2,5)，))∴x＋y＝eq\f(13,5).【答案】eq\f(13,5)9．設(shè)a，b不共線，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b，若A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)p的值是________．【解析】∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a－b.又∵A，B，D三點(diǎn)共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共線．設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))，∴2a＋pb＝λ(2a－b)．∵a，b不共線，∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.【答案】－110．已知△ABC和點(diǎn)M滿足eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0.若存在實(shí)數(shù)m，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))成立，則m＝________．【解析】∵eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，∴M為△ABC的重心．如圖所示，連接AM并延長交BC于點(diǎn)D，則D為BC的中點(diǎn)．∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→)).又eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，即eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(AM,\s\up6(→))，∴m＝3.【答案】311．如圖，在△ABC中，D，E分別為BC，AC邊上的中點(diǎn)，G為BE上一點(diǎn)，且GB＝2GE，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，試用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AG,\s\up6(→)).【解析】eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.12．設(shè)a，b是不共線的兩個非零向量．(1)若eq\o(OA,\s\up6(→))＝2a－b，eq\o(OB,\s\up6(→))＝3a＋b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝a－3b，求證：A，B，C三點(diǎn)共線；(2)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a－3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a－kb，且A，C，D三點(diǎn)共線，求k的值．【解析】(1)證明由已知得，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝3a＋b－2a＋b＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝a－3b－3a－b＝－2a－4b，故eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2eq\o(AB,\s\up6(→))，又eq\o(BC,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))有公共點(diǎn)B，所以A，B，C三點(diǎn)共線．(2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq