非線(xiàn)性有限元分析（學(xué)習(xí)總結(jié)報(bào)告）

非線(xiàn)性有限元分析〔學(xué)習(xí)總結(jié)報(bào)告〕非線(xiàn)性有限元博士爭(zhēng)論生專(zhuān)業(yè)課課程報(bào)告名目第一章緒言(1)非固體力學(xué)非線(xiàn)性問(wèn)題的分類(lèi)[1](1)非線(xiàn)性問(wèn)題的分析過(guò)程[1](2)非線(xiàn)性有限元分析的根本原理(2)鋼筋混凝土非線(xiàn)性分析的特點(diǎn)、現(xiàn)狀及趨勢(shì)(3)(4)2.1[3,4,5](4)2.2[3,4,5](6)收斂標(biāo)準(zhǔn)(8)位移收斂準(zhǔn)則(8)不平衡力收斂準(zhǔn)則(8)能量收斂準(zhǔn)則(9)構(gòu)造負(fù)剛度的處理[4,5](9)第三章材料的本構(gòu)關(guān)系(13)鋼筋的本構(gòu)關(guān)系(13)單向加載下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系(13)反復(fù)加載下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系(14)混凝土的本構(gòu)關(guān)系(14)單向加載下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系(14)重復(fù)加載下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系(14)反復(fù)加載下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系(14)恢復(fù)力模型的分類(lèi)(14)恢復(fù)力的獲得方法(15)第四章非線(xiàn)性有限元在構(gòu)造倒塌反響中的應(yīng)用(17)鋼筋混凝土構(gòu)造倒塌反響爭(zhēng)論現(xiàn)狀(17)鋼筋混凝土的有限元模型(17)分別式模型(18)組合式模型(19)整體式模型(20)倒塌反響中RC構(gòu)造有限元分析方法的選擇(20)隱式有限單元法(21)顯式有限單元法(22)鋼筋混凝土框架構(gòu)造的倒塌反響分析(22)基于隱式有限單元法的倒塌分析(22)基于顯式有限單元法的倒塌分析(23)顯式有限法在倒塌反響分析中的問(wèn)題(24)第一章緒言非固體力學(xué)非線(xiàn)性問(wèn)題的分類(lèi)[1]從本質(zhì)上講，全部固體力學(xué)問(wèn)題都是非線(xiàn)性的，很少有解析解，線(xiàn)性彈性力學(xué)問(wèn)題只是實(shí)際問(wèn)題的一種簡(jiǎn)化假定。在有限元分析中，線(xiàn)性化假設(shè)通常包含以下內(nèi)容：第一，節(jié)點(diǎn)位移為微小量；其次，材料是線(xiàn)性彈性的：第三，物體運(yùn)動(dòng)或變形過(guò)程中，邊界條件的性質(zhì)保持不變。上述三個(gè)假設(shè)中的任何一個(gè)不滿(mǎn)足，都屬于非線(xiàn)性問(wèn)題。有鑒于此，我們通常把固體力學(xué)非線(xiàn)性問(wèn)題分成三大類(lèi)，即材料非線(xiàn)性、幾何非線(xiàn)性和邊界條件非線(xiàn)性。一、材料非線(xiàn)性材料非線(xiàn)性是指材料的物理定律是非線(xiàn)性的，簡(jiǎn)潔地說(shuō)，就是材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是非線(xiàn)性的。通常，位移重量仍假設(shè)為無(wú)限小量，即應(yīng)變位移間滿(mǎn)足線(xiàn)性關(guān)系。材料非線(xiàn)性問(wèn)題一般分成兩大類(lèi)，第一類(lèi)是非線(xiàn)性彈性問(wèn)題，橡皮、塑料、巖石等材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系在很小的應(yīng)變下就表現(xiàn)出明顯的非線(xiàn)性性質(zhì)。非線(xiàn)性彈性問(wèn)題的一個(gè)重要特點(diǎn)是全部變形卸載后都是可以恢復(fù)的。另一類(lèi)是具有不行逆的塑性變形的材料非線(xiàn)性問(wèn)題，如彈塑性問(wèn)題、粘彈塑性問(wèn)題等，巖土工程中的軟粘土和屈服以后的鋼材都屬于這類(lèi)材料。二、幾何非線(xiàn)性幾何非線(xiàn)性問(wèn)題一般指的是大位移問(wèn)題，或者構(gòu)造內(nèi)部的應(yīng)變較大，或者構(gòu)造經(jīng)受了較大的剛體位移(如平動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng))但應(yīng)變重量仍假設(shè)為微小，此時(shí)假定應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系仍舊是線(xiàn)性的。大多數(shù)的大位移問(wèn)題都屬于后者，只有在材料消滅塑性變形時(shí)，以及類(lèi)似橡皮這樣的材料才會(huì)遇到大的應(yīng)變。一般的，幾何非線(xiàn)性問(wèn)題的應(yīng)變和位移間不再滿(mǎn)足線(xiàn)性關(guān)系。幾何非線(xiàn)性問(wèn)題的另一個(gè)表現(xiàn)是，平衡方程必需相對(duì)于預(yù)先未知的變形后的幾何位置給出。實(shí)際上，全部問(wèn)題的平衡都是在變形后的位置上到達(dá)的，因此必需用己變形的位置寫(xiě)出它的平衡方程。在彈性力學(xué)中，由于假設(shè)位移很小，且假定問(wèn)題的根本特征不因變形而轉(zhuǎn)變，因此不需要嚴(yán)格區(qū)分平衡方程是基于變形前還是變形后的位置寫(xiě)出的。必需理解，位移的大小并不是區(qū)分幾何線(xiàn)性和非線(xiàn)性的惟一標(biāo)準(zhǔn)。壓桿失穩(wěn)后的變形爭(zhēng)論、板殼大撓度問(wèn)題等均屬于幾何非線(xiàn)性問(wèn)題。三、邊界非線(xiàn)性邊界非線(xiàn)性問(wèn)題的非線(xiàn)性效應(yīng)是由于邊界條件隨物體的運(yùn)動(dòng)發(fā)生變化所引起的。其中最典型的例子是接觸問(wèn)題和隨動(dòng)荷載問(wèn)題。實(shí)際上，幾乎全部力學(xué)問(wèn)題都或多或少地存在邊界非線(xiàn)性，特別是在支座連接處。只是大局部狀況下，由于這種非線(xiàn)性對(duì)構(gòu)造的內(nèi)力和變形影響很小而被無(wú)視了。而機(jī)械加工過(guò)程中的邊界非線(xiàn)性效應(yīng)往往是不行無(wú)視的。關(guān)于非線(xiàn)性問(wèn)題的分類(lèi)，有兩點(diǎn)是必需留意的：第一，不行能存在一個(gè)明確、不變的定量標(biāo)準(zhǔn)可以作為材料、幾何或邊界非線(xiàn)性的推斷依據(jù)。分析人員必需依據(jù)實(shí)際的工程問(wèn)題進(jìn)展推斷。其次，實(shí)際的非線(xiàn)性問(wèn)題很難簡(jiǎn)潔地歸納為某一類(lèi)非線(xiàn)性，一般的狀況是，物體的位移和應(yīng)變都不是無(wú)限小量，本構(gòu)關(guān)系也是非線(xiàn)性的，同時(shí)邊界條件也可能隨變形的進(jìn)展而轉(zhuǎn)變，這就大大地增加了問(wèn)題分析的困難。為簡(jiǎn)化分析，抓住主要的非線(xiàn)性影響因素，必需將一些對(duì)物體運(yùn)動(dòng)和變形影響不大的非線(xiàn)性因素線(xiàn)性簡(jiǎn)化。非線(xiàn)性問(wèn)題的分析過(guò)程[1]應(yīng)用有限元法分析線(xiàn)性問(wèn)題和非線(xiàn)性問(wèn)題，其根本步驟大體一樣，但由于非線(xiàn)性的引入，具體分析過(guò)程中會(huì)有所不同：?jiǎn)卧治?。與線(xiàn)性問(wèn)題相比，非線(xiàn)性問(wèn)題在單元?jiǎng)偠刃纬蓵r(shí)有很大差異：當(dāng)僅為材料非線(xiàn)性問(wèn)題時(shí)，應(yīng)使用材料的非線(xiàn)性本構(gòu)關(guān)系；而當(dāng)僅為幾何非線(xiàn)性問(wèn)題時(shí)，在計(jì)算應(yīng)變—位移矩陣[B]時(shí)，應(yīng)計(jì)及位移的高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的影響。同時(shí)，對(duì)于全部的積分，應(yīng)考慮單元體積的變化。在兼有幾何非線(xiàn)性和材料非線(xiàn)性的兩種非線(xiàn)性問(wèn)題，即是大位移、大應(yīng)變的狀況，而應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系也是非線(xiàn)性的，則應(yīng)考慮這兩種非線(xiàn)性的耦合效應(yīng)。整體分析。整體分析中單元?jiǎng)偠染仃嚨慕M集和邊界條件的處理，大體上也同于線(xiàn)性問(wèn)題，只是對(duì)整體的剛度方程通常是寫(xiě)成增量形式。方程組求解。非線(xiàn)性有限元分析最終歸結(jié)為求解非線(xiàn)性方程組，與線(xiàn)性方程組的求解有很大差異。長(zhǎng)期以來(lái)，人們做了大量的爭(zhēng)論工作歸結(jié)出兩類(lèi)構(gòu)造非線(xiàn)性分析方法。一類(lèi)是極限分析方法，這一方法假設(shè)材料為剛塑性，無(wú)視材料的彈性變形和強(qiáng)化效應(yīng)。按這種理論求解構(gòu)造的極限荷載、應(yīng)力分布區(qū)及構(gòu)造的滿(mǎn)足塑性流淌法則和機(jī)動(dòng)條件的破壞機(jī)構(gòu)，方法簡(jiǎn)潔明白，但它不能得到構(gòu)造從加載到破壞全過(guò)程的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)及其進(jìn)展規(guī)律，也不能反映裂縫的分布與進(jìn)展。另外這種方法無(wú)法進(jìn)展極限狀態(tài)變形及極限狀態(tài)后的大變形計(jì)算，不能滿(mǎn)足抗震工程進(jìn)展的需要?，F(xiàn)在最流行的非線(xiàn)性分析方法是有限元分析，這種方法以彈塑性變形理論為根底，能夠給出構(gòu)造內(nèi)力和變形進(jìn)展的全過(guò)程，能描述裂縫的形成和擴(kuò)展，以及構(gòu)造的破壞過(guò)程及形態(tài)。非線(xiàn)性有限元分析的根本原理有限元分析是以變分原理和加權(quán)余量法為理論根底，以下以材料非線(xiàn)性為根底簡(jiǎn)潔的介紹下非線(xiàn)性有限元的根本原理。假設(shè)把構(gòu)造離散成有限個(gè)單元的集合體，并取出任意單元e，則單元e上任意點(diǎn)的位移函數(shù)為：efNδδ=〔1.1〕式中，N為單元形函數(shù)矩陣，eδ為單元結(jié)點(diǎn)的位移假設(shè)把構(gòu)造分為M個(gè)計(jì)算單元，則每一個(gè)單元的總勢(shì)能泛函[2]可表示為：{}[]{}{}{}{}12TTpeeeeeeeVkVVff∏=-+(1.2)式中{}eV為單元位移列陣，[]ek為單元?jiǎng)偠染仃?，{}ef為單元荷載列陣，{}pef為塑性變形引起的單元附加荷載列陣；則構(gòu)造總的勢(shì)能泛函為{}[]{}{}{}12TTVGVVF∏=-〔1.3〕利用變分原理可得構(gòu)造方程：[]{}{}GVF=〔1.4〕其中，[]G為構(gòu)造總體剛度矩陣，由單元?jiǎng)偠染仃嚱M裝而成；{}V為構(gòu)造總的結(jié)點(diǎn)位移向量；{}F為經(jīng)過(guò)移值轉(zhuǎn)化而成的結(jié)點(diǎn)荷載向量。在線(xiàn)彈性有限元分析中，〔1.4〕式的[]G為常值矩陣，當(dāng)構(gòu)造變形過(guò)大，進(jìn)入材料非線(xiàn)性階段后，單元?jiǎng)偠炔辉偈浅?shù)而是變形的函數(shù)，因此，[]G也為{}V的函數(shù)，隨著{}V的變化而變化，〔1.4〕式即變?yōu)椋簕}{}GVVF= 〔1.5〕上式即為由材料非線(xiàn)性，建立的有限元方程。鋼筋混凝土非線(xiàn)性分析的特點(diǎn)、現(xiàn)狀及趨勢(shì)鋼筋混凝土構(gòu)造的有限元分析有與其他固體力學(xué)有限元分析所不同的特點(diǎn)，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(l〕需要模擬混凝土的開(kāi)裂和裂縫進(jìn)展過(guò)程，特別是在反復(fù)荷載作用下裂縫的開(kāi)裂和閉合過(guò)程。(2〕需要在模型中適當(dāng)?shù)胤从充摻钆c混凝土之間的粘結(jié)和滑移機(jī)理。(3〕需要模擬混凝土材料在到達(dá)峰值應(yīng)力以后的性能，由于一個(gè)部位的混疑土到達(dá)峰值應(yīng)力并不能說(shuō)明整個(gè)構(gòu)造到達(dá)極限狀態(tài)。同理，也應(yīng)模擬鋼筋屈服以后的性能。(4〕對(duì)于簡(jiǎn)單的鋼筋棍凝土構(gòu)造，材料非線(xiàn)性問(wèn)題與幾何非線(xiàn)性問(wèn)題同時(shí)存在，使得計(jì)算分析的難度大大增加。(5〕分析結(jié)果猛烈地依靠于混凝土材料和鋼筋材料的本構(gòu)關(guān)系以及鋼筋與混凝土之間粘結(jié)滑移的本構(gòu)關(guān)系。其次章非線(xiàn)性方程組的數(shù)值解法求解非線(xiàn)性問(wèn)題的計(jì)算方法可分為三類(lèi)：增量法、迭代法及混合法。2.1[3,4,5]線(xiàn)性或是非線(xiàn)性有限元問(wèn)題最終都是歸結(jié)為一組代數(shù)方程組：{}[][]KPδ=〔2.1〕其中，[]K為構(gòu)造總剛度距陣；{}δ移列陣；[]P為節(jié)點(diǎn)荷載列陣。在線(xiàn)彈性構(gòu)造中[]K是常量，在非線(xiàn)性問(wèn)題中，[]K是{}δ[][][][][]TeennKkBDBdv==∑∑?〔2.2〕在線(xiàn)彈性材料中[]eD是常量，在材料非線(xiàn)性問(wèn)題中[][]{}eDfσ=〔2.3〕增量法就是把方程〔2.1〕改寫(xiě)為增量形式{}[][]KddPδ=〔2.4〕假定在每一增量步內(nèi)材料是線(xiàn)彈性的，每一次迭代對(duì)剛度矩陣進(jìn)展修改作為下一次迭代的剛度。1.Euler折線(xiàn)法設(shè)荷載分為n個(gè)增量：[]1niiPP==?∑〔2.5〕則，每一個(gè)荷載增量產(chǎn)生一個(gè)位移[]iδ?，經(jīng)過(guò)n步迭加后[][][][]11niinnnPPδδδ=-?==+??∑〔 2.6〕其迭代過(guò)程如下：{}[][][][][][]1111[][]nnnnnnnnnKPKPδδδδδ----??===+?? 〔2.7〕如圖〔2-1〕所示，其具體實(shí)施步驟為：施加第n步荷載增量[]nP?，利用〔2.7〕第一式算出這步荷載增量下的位移增量{}nδ?利用〔2.7〕第三式計(jì)算第n步荷載時(shí)的總位移[]nδ，由本構(gòu)矩陣計(jì)算應(yīng)力[][][]1nnnσσσ-=+?〔2.8〕由〔2.8〕1[]nK-，做為下次迭代的[]nK推斷是不是最終一步荷載，假設(shè)不是連續(xù)前面的實(shí)施過(guò)程2.修正的Euler折線(xiàn)法歐拉折線(xiàn)法隨著荷載級(jí)數(shù)的增加，其折線(xiàn)偏離曲線(xiàn)的程度越來(lái)越大，計(jì)算精度降低。修正的歐拉折線(xiàn)法取每一步荷載增量的始、末剛度的某種加權(quán)平均代替起始剛度來(lái)計(jì)算本步荷載增量的位移，即[][]”1(1)innθδθδθδ〔2.9〕其中，θ01θ≤≤，12θ=，[]1nδ-為前一級(jí)荷載的位移，”nδ為n級(jí)荷載的總位移。利用[]iθδ+推求剛度[]iKθ+，然后用下式求本步荷載增量下的位移：2-1歐拉折線(xiàn)法2-2[][][][][][]11ninnnnKPθδδδδ-+-??==+ 〔2.10〕其計(jì)算如圖2-22.2[3,4,5]割線(xiàn)剛度迭代法這種迭代方法是迭代方法中比較簡(jiǎn)潔的一種，其迭代過(guò)程如圖2-3所示，可將方程寫(xiě)為如下形式1nnKPδδ-=〔2.11〕首先取00δ=，算出[]00KK=，代入上式，有110KPδ-=〔2.12〕作為第一次近似值，有了節(jié)點(diǎn)位移可計(jì)算出單元應(yīng)力及材料性質(zhì)矩陣：1111,eBDDεδε==〔2.13〕形成單元?jiǎng)偠染仃嚕?1eeTVKBDBdVε=?〔2.14〕其中1Dε是應(yīng)力－應(yīng)變曲線(xiàn)割線(xiàn)的斜率，所以稱(chēng)上式為單元的割線(xiàn)剛度矩陣。由單元的割線(xiàn)剛度矩陣，組裝成整個(gè)構(gòu)造的方程組如下12KPδ=〔2.15〕由上式解出2δ，作為其次次近似，重復(fù)步驟〔2.13〕、〔2.14〕、〔2.15〕直至11121maxmaxiinniniiinrrδδψδδ++inδiψ分別表示向量nδ和ψ的第i個(gè)重量，1r和2r是依據(jù)精度要求給定的小量。切線(xiàn)剛度迭代法切線(xiàn)剛度迭代法是在每次迭代中以變化的切線(xiàn)剛度作為迭代剛度，其迭代過(guò)程如圖2-4所表示。首先取初始剛度矩陣[]0K，求得位移的第一次近似值：110KPδ-=〔2.16〕由初始位移求得單元應(yīng)變、應(yīng)力，進(jìn)而求得單元的節(jié)點(diǎn)荷載[]1P。用相應(yīng)于[]1δ[]1K，在荷載[][][]11PPP?=-作用下求得位移增量[]2δ，即[][][][][][]111211PPPKPδ-??=-= 〔2.17〕從而求得位移的其次次近似值為：[][][]212δδδ=+?〔2.18〕重復(fù)以上步驟，直到[]1kδ+與[]kδ的差值到達(dá)一個(gè)給定的限值。3.等剛度迭代法前面兩種迭代方法都是變剛度迭代，每次迭代后都要重形成構(gòu)造剛度矩陣，并且要建立的方程組，所以其在計(jì)算效率方面是很低的，為此有學(xué)者提出示：等剛度迭代法其計(jì)算步驟如下：用式〔2.16〕求出位移的第一次近似值[]1δ由本構(gòu)關(guān)系求得單元的相當(dāng)節(jié)點(diǎn)力為[][][]1TPBdVσ=?〔2.19〕得到[][][]11PPP?=-12342-5圖2-3割線(xiàn)剛度法圖2-4切線(xiàn)剛度迭代法4321△δ3△δ2△δ1123由[][][]11PPP?=-作用于構(gòu)造求得附加位移為：[][][]1201KPδ-?=?，從而得其次次位移的近似值為：[][][]212δδδ=+?〔4〕重復(fù)以上步驟直到[]1kδ+與[]kδ收斂標(biāo)準(zhǔn)在迭代法中為了中止迭代過(guò)程，必需確定一個(gè)收斂的標(biāo)準(zhǔn)。在迭代法中，常用到三種收斂準(zhǔn)則。位移收斂準(zhǔn)則假設(shè)給定一個(gè)充分小的正數(shù)ε，當(dāng)1111||||||||jjjnnnuuu?-+++=-≤ε〔2.20〕1jnu常用矢量范數(shù)表示收斂準(zhǔn)則，即1||||jnu?+≤1||||jnuα+〔2.21〕式中α0≤α≤5％.由上述可得111||||||||jjnnuu??+++-≤ε1〔2.22〕2.3.2.不平衡力收斂準(zhǔn)則不平衡力為1111{}{}{}jjjnnnffR?-+++=-〔2.23〕不平衡力收斂準(zhǔn)則為1||{}||jnf?+≤1011||{}{}||nnfRα++-〔2.24〕或1||{}||jnf?+≤1||{}||jnfα+〔2.25〕由上述可得111||{}||||{}||jjnnff??+++-≤ε2〔2.26〕2.3.3.能量收斂準(zhǔn)則這個(gè)收斂準(zhǔn)則為11({}){}jTjnnVf??++≤111({}){}jTnnVfα??++〔2.27〕由此可得111111({}){}({}){}jTjjTjnnnnVfVf++++++-≤ε3〔2.28〕量收斂準(zhǔn)則是一個(gè)比較好的準(zhǔn)則，它能同時(shí)掌握位移增量及不平衡力。在應(yīng)用上述收斂準(zhǔn)則時(shí)應(yīng)留意以下一些問(wèn)題。依據(jù)具體狀況合理地選擇收斂準(zhǔn)則。例如，當(dāng)物體硬化嚴(yán)峻時(shí)，位移增量微小變化將引起不平衡力的很大偏差，這種狀況不能選擇位移收斂準(zhǔn)則。又例如，當(dāng)物體軟化嚴(yán)峻或接近抱負(fù)塑性時(shí)，不平衡力的微小變化將引起位移增量的很大偏差，這種狀況不能選用不平衡力收斂準(zhǔn)則。式中α及εi分別為容許誤差及小數(shù)，與收斂準(zhǔn)則及具體狀況有關(guān)，可根據(jù)具體狀況、收斂準(zhǔn)則及精度要求進(jìn)展合理的選擇。3〕同一種算法用于分析不同的非線(xiàn)性問(wèn)題時(shí)，其非線(xiàn)性不肯定相同，甚至不收斂。4〕收斂性是針對(duì)與時(shí)間無(wú)關(guān)的非線(xiàn)性問(wèn)題爭(zhēng)論的，假設(shè)對(duì)與時(shí)間有關(guān)的非線(xiàn)性問(wèn)題，還必需考慮解的穩(wěn)定性。5〕||||u為向量u的范數(shù)，滿(mǎn)足以下條件：①|(zhì)|||u≥0②||||||||||||uuαα=?③||||uv+≤||||||||uv+目前，常用到的范數(shù)有三種，1||||u為1-范數(shù)，2||||u為2-范數(shù)，||||u∞為∞-范數(shù)。構(gòu)造負(fù)剛度的處理[4,5]有些材料如混凝土其σε-曲線(xiàn)由上升段和下降段組成，當(dāng)承受前面介紹的方法進(jìn)展非線(xiàn)性方程組的求解時(shí)，在下降段都將消滅剛度正不定，即消滅負(fù)剛度的狀況，使迭代無(wú)法進(jìn)展，為此需要介紹幾種處理負(fù)剛度的算法。逐步搜尋法對(duì)于只要求極值荷載的狀況，可以承受此方法逐步搜尋頂點(diǎn)的算法，計(jì)算如下：施加一步荷載增量P?假設(shè)計(jì)算發(fā)散，改用12P?增量，假設(shè)計(jì)算收斂，則再加14P?，如此一步步靠近頂點(diǎn)假設(shè)加12P14P?，如此即牢靠近頂虛加剛性彈簧如圖2－6所示1K為構(gòu)造原來(lái)的剛度矩陣，K表示虛加彈簧的剛度矩陣，2K表示兩者疊加后的構(gòu)造剛度矩陣，在加虛彈簧前，原構(gòu)造的剛度矩陣1K在經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)后會(huì)消滅非正定，這就使迭代無(wú)法收斂，加虛彈簧后，可以保證2K始終都是正定矩陣。由于彈簧的剛度在迭代中保持不變，所以很簡(jiǎn)潔得到下降段的解。強(qiáng)制迭代法2－7所表示，在Pδ-曲線(xiàn)的下降段，構(gòu)造剛度矩陣是負(fù)定的。設(shè)在A點(diǎn)施加一級(jí)荷載后，迭代不會(huì)收斂。假設(shè)位移增大很多到了”C點(diǎn)，終止迭代，施加下一級(jí)負(fù)荷載增量使位移退到C點(diǎn)，并求出此時(shí)的應(yīng)變，更剛度矩陣。用三角分解法分解剛度矩陣：TKLDL=〔2.29〕2－6虛加剛性彈簧2－7強(qiáng)制迭代則，可以查出在對(duì)角元D中會(huì)有一個(gè)負(fù)元素消滅，既可在負(fù)荷載增量下順當(dāng)往下迭代。假設(shè)在D中沒(méi)有查到負(fù)元素，則說(shuō)明剛度矩陣是正定的，應(yīng)適當(dāng)增加C點(diǎn)的位移值；假設(shè)剛度矩陣的行列式為零，則此點(diǎn)即為Pδ-曲線(xiàn)的峰值點(diǎn)，這種方法缺點(diǎn)是計(jì)算時(shí)荷載步長(zhǎng)要取的足夠小，否則不能得到滿(mǎn)足的結(jié)果。硬化剛度法用切線(xiàn)剛度求解時(shí)，在接近Pδ-曲線(xiàn)的極值點(diǎn)時(shí)，收斂很慢，甚至不收斂，為此可考慮把剛度放大，從而繞過(guò)極值點(diǎn)?；￠L(zhǎng)法用迭代法求解非線(xiàn)性有限元方程時(shí)，可以寫(xiě)成以下迭代格式，[](1)(1)iiiiKuPRλ++=?+??????〔 2.30〕式中：i為迭代次數(shù)；λ?為荷載增量步長(zhǎng)系數(shù)；iR為i次迭代的不平衡力。在荷載增量掌握法中是掌握λ?，在位移掌握法中是掌握u?。而在λ?u?，使得[][]22Tuudsλ??+?=，其中ds相當(dāng)于向量ir的模。由于在迭代過(guò)程中由i到1i+點(diǎn)按一圓弧進(jìn)展，所以這種方法稱(chēng)為弧長(zhǎng)法。向量ir在同一步荷載增量的迭代中保持不變，即11iirrr+==。由于用以上按圓弧軌跡進(jìn)展迭代的過(guò)程求解(1)iλ+?相當(dāng)簡(jiǎn)單，所以有學(xué)者提出了改進(jìn)的算法，用垂直于迭代向量的平面代替圓弧，這樣只要r的方向變化了，u?的方向也要變化，與的r矢量垂直。其迭代軌跡很接近圓弧，但計(jì)算格式可以有很大簡(jiǎn)化。由垂直條件110iru+??=〔2.31〕1,2,3i=，寫(xiě)成矩陣形式(1)(1)(1)(1)0Tiiuuλλ+++???=????〔 2.32〕圖2－8弧長(zhǎng)法迭代示意圖將(1)iu+ 分為兩局部(1)(1)(1)(1)iiiiIIIuuuλ++++=??+〔 2.33〕分別求解這兩局部[](1)(1)iiIiiiIIKuPKuR++=?=??〔2.34〕從而可以解得111111TiiIITiIuuuuλλ+++= -+????? 〔2.35〕綜上所述，弧長(zhǎng)法求解過(guò)程可以總結(jié)如下。〔1〕選定一荷載參考值[]P，從而確定弧長(zhǎng)ds。由有限元方程解出(1)λ?和1u，在第一次可取(1)1λ?=，0R=；〔2〕修改剛度矩陣，并三角化，檢查對(duì)角元，判定所在狀態(tài)是正定、負(fù)定、還是到達(dá)極值點(diǎn)；〔3〕求出不平衡力iR ，并由此求出(1)iIIu+ ，由[]P求出(1)iIu+ ；〔4〕由式〔2.35〕求出(1)iλ+?，從而由式〔2.33〕求出(1)iu+ ；求出即時(shí)荷載水平和位移值；檢查是否滿(mǎn)足精度要求，不滿(mǎn)足重復(fù)〔3〕〔5〕步直到滿(mǎn)足精度要求。第三章材料的本構(gòu)關(guān)系材料本構(gòu)關(guān)系所基于的理論模型有：線(xiàn)彈性理論、非線(xiàn)性彈性理論、彈塑性理論、內(nèi)時(shí)理論、斷裂力學(xué)理論、損傷力學(xué)理論、粘彈性和粘塑性理論等[5]。鋼筋混凝土構(gòu)造非線(xiàn)性有限元分析中，常用到的本構(gòu)關(guān)系有：線(xiàn)彈性本構(gòu)關(guān)系應(yīng)力應(yīng)變?cè)诩虞d過(guò)程中呈線(xiàn)性關(guān)系，表達(dá)式為：σEε=當(dāng)混凝土受力很小，無(wú)裂縫時(shí)，可將混凝土看成彈性勻質(zhì)材料，承受線(xiàn)彈性本構(gòu)關(guān)系。非線(xiàn)性彈性關(guān)系應(yīng)力應(yīng)變不成線(xiàn)性關(guān)系，但仍有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，卸載時(shí)原路返回，沒(méi)有剩余變形。表達(dá)式為：εσEσ=后面的幾種本構(gòu)關(guān)系均屬于非線(xiàn)性彈性范疇。彈塑性關(guān)系為滿(mǎn)足材料屈服后的塑性流淌法則，對(duì)于受荷載作用后處于較高應(yīng)力水平下的鋼筋混凝土構(gòu)造，常承受彈塑性本構(gòu)關(guān)系。常用的簡(jiǎn)化模型有：抱負(fù)彈塑性模型，線(xiàn)性強(qiáng)化彈塑性模型，剛塑性模型。粘彈性和粘塑性的流變模型引用流變學(xué)的觀點(diǎn)，可以對(duì)混凝土材料的徐變和預(yù)應(yīng)力構(gòu)件中鋼筋應(yīng)力損失等現(xiàn)象作出合理的解釋。抱負(fù)彈性元件、粘性元件、抱負(fù)塑性元件是三個(gè)根本的流變?cè)?。斷裂力學(xué)模型斷裂力學(xué)爭(zhēng)論含有裂縫的構(gòu)造，裂縫擴(kuò)展分為張開(kāi)型、剪切型和扭轉(zhuǎn)型。鋼筋的本構(gòu)關(guān)系單向加載下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線(xiàn)分三段：彈性段、屈服平臺(tái)和強(qiáng)化段。簡(jiǎn)化的三線(xiàn)型模型，屈服段為水平直線(xiàn)，強(qiáng)化段可以簡(jiǎn)化為直線(xiàn)，斜率取 E’=0.01E。二線(xiàn)型模型將屈服平臺(tái)和強(qiáng)化段合并為一條，斜率仍取E’=0.01E。反復(fù)加載下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系卸載段承受以E為坡度的直線(xiàn)。卸載后反向加載會(huì)消滅包辛格效應(yīng)，即反向再加載時(shí)不消滅屈服臺(tái)階而成為曲線(xiàn)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，軟化段的方程有Kato和朱伯龍的公式，都考慮了歷史上到達(dá)過(guò)的應(yīng)變?；炷恋谋緲?gòu)關(guān)系單向加載下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系受壓Saenz和朱伯龍都給出了混凝土單調(diào)加載的曲線(xiàn)方程。受拉一般簡(jiǎn)化為直線(xiàn)型〔兩折線(xiàn)、三段斜直線(xiàn)〕，也有曲線(xiàn)型模型，彈模取單向受壓時(shí)原點(diǎn)的切線(xiàn)模量。重復(fù)加載下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系關(guān)系式包括骨架曲線(xiàn)、卸載和再加載曲線(xiàn)方程。卸載和再加載方程可分為直線(xiàn)方程和曲線(xiàn)方程。反復(fù)加載下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系反復(fù)荷載作用下裂面重受壓時(shí)存在著骨料咬合的裂面效應(yīng)。反復(fù)荷載下混凝土的本構(gòu)關(guān)系應(yīng)考慮剛度退化和裂面效應(yīng)的影響。Yankelevsky和Reinhardt通過(guò)對(duì)單軸反復(fù)拉壓加載的混凝土σ-ε滯回曲線(xiàn)的爭(zhēng)論，依據(jù)卸載、再加載曲線(xiàn)的某些幾何性質(zhì)，提出了反復(fù)荷載下σ-ε關(guān)系的“焦點(diǎn)模型”，該模型考慮了應(yīng)變軟化及開(kāi)裂后再受壓時(shí)的裂面效應(yīng)。滕智明，鄒離湘也利用過(guò)焦點(diǎn)模型的簡(jiǎn)化方法，進(jìn)展反復(fù)荷載下鋼筋混凝土的非線(xiàn)性有限元分析，結(jié)果與試驗(yàn)曲線(xiàn)吻合較好。薛偉辰，張志鐵應(yīng)用的混凝土本構(gòu)模型[6]為以Kent和Park的混凝土σ-ε曲線(xiàn)為骨架曲線(xiàn)，并考慮剛度折減和裂面效應(yīng)的模型?；謴?fù)力模型的分類(lèi)對(duì)于用于以彎曲變形為主或同時(shí)考慮彎剪變形的桿單元，常用的恢復(fù)力模型有：一維模型有可分為數(shù)學(xué)模型描述的曲線(xiàn)型〔如Ramberg-Osgood模型〕和分段線(xiàn)性化的折線(xiàn)型模型。一般為了簡(jiǎn)化計(jì)算，多承受折線(xiàn)型模型。Clough的雙折線(xiàn)型模型用兩根折線(xiàn)表示骨架曲線(xiàn)，折點(diǎn)對(duì)應(yīng)單調(diào)受荷時(shí)的屈服點(diǎn)。由于鋼筋混凝土構(gòu)件單調(diào)加載至受彎破壞時(shí)一般表現(xiàn)為典型的三階段：混凝土開(kāi)裂、鋼筋屈服、構(gòu)件破壞，所以 Taked、Sozen和Nielson在1970年提出退化三線(xiàn)型恢復(fù)力模型，取開(kāi)裂點(diǎn)、屈服點(diǎn)為折線(xiàn)的折點(diǎn)的三折線(xiàn)做包絡(luò)線(xiàn)，考慮了開(kāi)裂引起的剛度降低，是構(gòu)造平面動(dòng)力分析時(shí)應(yīng)用最廣的一種恢復(fù)力模型。為了爭(zhēng)論構(gòu)造軟化段的抗力性能，朱伯龍、潘士劫等提出四折線(xiàn)型模型，用以爭(zhēng)論構(gòu)造的倒塌反響。二維模型即屈服面模型，它是建立在一維單向模型上的，一般由一維模型擴(kuò)展而來(lái)。最簡(jiǎn)潔的是雙線(xiàn)型模型，該模型不考慮剛度退化，且彎矩空間內(nèi)只有屈服面，沒(méi)有開(kāi)裂面。TakizawaAoyama于1976年應(yīng)用塑性理論提出了考慮剛度退化的三線(xiàn)型模型，在彎矩空間內(nèi)既有屈服面又有開(kāi)裂面。杜宏彪和沈聚敏也用過(guò)由一維退化三折線(xiàn)型滯回規(guī)則擴(kuò)展成的二維模型，并在模型中考慮了剛度耦合作用?；謴?fù)力的獲得方法恢復(fù)力模型有兩大要素——骨架曲線(xiàn)與滯回模型。骨架線(xiàn)是恢復(fù)力模型的外包線(xiàn)，包含鋼筋混凝土構(gòu)件的開(kāi)裂點(diǎn)、屈服點(diǎn)和破壞點(diǎn)。滯回模型反映加載、卸載或?qū)掖畏磸?fù)變形后構(gòu)件的性能，如能量吸取、耗散及剛度、強(qiáng)度蛻化等。由于材料性質(zhì)、受力方式及構(gòu)件類(lèi)型的不同，恢復(fù)力特性是簡(jiǎn)單的，必需通過(guò)大量試驗(yàn)爭(zhēng)論作出力-變形的關(guān)系曲線(xiàn)，再將它加以簡(jiǎn)化，得到能用數(shù)學(xué)方式表達(dá)的模型。直接對(duì)實(shí)際構(gòu)造進(jìn)展恢復(fù)力特性測(cè)定很困難，一般是實(shí)行構(gòu)造中常用的梁、柱、墻體等典型桿件，典型節(jié)點(diǎn)，或者進(jìn)一步承受框架層間單元作為試驗(yàn)對(duì)象，制作出恢復(fù)力模型，然后組合成分析用的構(gòu)造恢復(fù)力模型。對(duì)桿件試驗(yàn)所得的骨架曲線(xiàn)，考慮開(kāi)裂點(diǎn)、屈服點(diǎn)、屈服前后剛度變化以及剛度退化等特征，用分段線(xiàn)性化的方法將它簡(jiǎn)化為多段折線(xiàn)或變?yōu)榭捎脭?shù)學(xué)公式表達(dá)的平滑曲線(xiàn)，即得供工程使用的恢復(fù)力模型。在進(jìn)展鋼筋混凝土構(gòu)造非線(xiàn)性分析時(shí)，無(wú)論選擇何種恢復(fù)力模型，均需確定其骨架曲線(xiàn)的主要特征點(diǎn)，這通常是利用單調(diào)加載的荷載-變形曲線(xiàn)來(lái)確定的。為此可通過(guò)計(jì)算機(jī)數(shù)值迭代做截面的全過(guò)程分析，求其荷載-變形曲線(xiàn)主要有兩種方法：基于材料滯回本構(gòu)關(guān)系的有限元方法單向劃分為條分模型，雙向劃分即為網(wǎng)格模型。條分模型中，將構(gòu)件橫截面劃分為很多小單元，考慮小單元單向受力，并依據(jù)單軸下材料的應(yīng)力-應(yīng)變滯回關(guān)系來(lái)確定應(yīng)力大小。擴(kuò)展至網(wǎng)格模型時(shí)，分別考慮兩個(gè)方向彎矩平衡條件和軸向力平衡條件，由此得到截面的雙向滯回曲線(xiàn)，計(jì)算時(shí)假定截面變形符合平截面假定。這種方法所得結(jié)果較為準(zhǔn)確，但運(yùn)算量很大，耗時(shí)太多。依據(jù)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)展抱負(fù)化，提出構(gòu)件的恢復(fù)力模型。這種方法雖然仍需要將截面劃分為小單元，但是不用從材料層次就考慮滯回特性。在計(jì)算前要先規(guī)定構(gòu)件的力和變形關(guān)系，依據(jù)材料單調(diào)加載的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系確定骨架曲線(xiàn)的特征點(diǎn)，而滯回特性則由選定的恢復(fù)力模型確定，這些恢復(fù)力模型都是依據(jù)眾多試驗(yàn)數(shù)據(jù)抱負(fù)化得到的，對(duì)表達(dá)截面的滯回特性很有代表性，因而這種方法使用便利，計(jì)算有效，只是精度較差。用此方法進(jìn)展構(gòu)造或構(gòu)件受力分析時(shí)主要有兩點(diǎn)缺