非線性有限元分析（學(xué)習(xí)總結(jié)報告）

非線性有限元分析〔學(xué)習(xí)總結(jié)報告〕非線性有限元博士爭論生專業(yè)課課程報告名目第一章緒言(1)非固體力學(xué)非線性問題的分類[1](1)非線性問題的分析過程[1](2)非線性有限元分析的根本原理(2)鋼筋混凝土非線性分析的特點、現(xiàn)狀及趨勢(3)(4)2.1[3,4,5](4)2.2[3,4,5](6)收斂標(biāo)準(8)位移收斂準則(8)不平衡力收斂準則(8)能量收斂準則(9)構(gòu)造負剛度的處理[4,5](9)第三章材料的本構(gòu)關(guān)系(13)鋼筋的本構(gòu)關(guān)系(13)單向加載下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系(13)反復(fù)加載下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系(14)混凝土的本構(gòu)關(guān)系(14)單向加載下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系(14)重復(fù)加載下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系(14)反復(fù)加載下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系(14)恢復(fù)力模型的分類(14)恢復(fù)力的獲得方法(15)第四章非線性有限元在構(gòu)造倒塌反響中的應(yīng)用(17)鋼筋混凝土構(gòu)造倒塌反響爭論現(xiàn)狀(17)鋼筋混凝土的有限元模型(17)分別式模型(18)組合式模型(19)整體式模型(20)倒塌反響中RC構(gòu)造有限元分析方法的選擇(20)隱式有限單元法(21)顯式有限單元法(22)鋼筋混凝土框架構(gòu)造的倒塌反響分析(22)基于隱式有限單元法的倒塌分析(22)基于顯式有限單元法的倒塌分析(23)顯式有限法在倒塌反響分析中的問題(24)第一章緒言非固體力學(xué)非線性問題的分類[1]從本質(zhì)上講，全部固體力學(xué)問題都是非線性的，很少有解析解，線性彈性力學(xué)問題只是實際問題的一種簡化假定。在有限元分析中，線性化假設(shè)通常包含以下內(nèi)容：第一，節(jié)點位移為微小量；其次，材料是線性彈性的：第三，物體運動或變形過程中，邊界條件的性質(zhì)保持不變。上述三個假設(shè)中的任何一個不滿足，都屬于非線性問題。有鑒于此，我們通常把固體力學(xué)非線性問題分成三大類，即材料非線性、幾何非線性和邊界條件非線性。一、材料非線性材料非線性是指材料的物理定律是非線性的，簡潔地說，就是材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是非線性的。通常，位移重量仍假設(shè)為無限小量，即應(yīng)變位移間滿足線性關(guān)系。材料非線性問題一般分成兩大類，第一類是非線性彈性問題，橡皮、塑料、巖石等材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系在很小的應(yīng)變下就表現(xiàn)出明顯的非線性性質(zhì)。非線性彈性問題的一個重要特點是全部變形卸載后都是可以恢復(fù)的。另一類是具有不行逆的塑性變形的材料非線性問題，如彈塑性問題、粘彈塑性問題等，巖土工程中的軟粘土和屈服以后的鋼材都屬于這類材料。二、幾何非線性幾何非線性問題一般指的是大位移問題，或者構(gòu)造內(nèi)部的應(yīng)變較大，或者構(gòu)造經(jīng)受了較大的剛體位移(如平動或轉(zhuǎn)動)但應(yīng)變重量仍假設(shè)為微小，此時假定應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系仍舊是線性的。大多數(shù)的大位移問題都屬于后者，只有在材料消滅塑性變形時，以及類似橡皮這樣的材料才會遇到大的應(yīng)變。一般的，幾何非線性問題的應(yīng)變和位移間不再滿足線性關(guān)系。幾何非線性問題的另一個表現(xiàn)是，平衡方程必需相對于預(yù)先未知的變形后的幾何位置給出。實際上，全部問題的平衡都是在變形后的位置上到達的，因此必需用己變形的位置寫出它的平衡方程。在彈性力學(xué)中，由于假設(shè)位移很小，且假定問題的根本特征不因變形而轉(zhuǎn)變，因此不需要嚴格區(qū)分平衡方程是基于變形前還是變形后的位置寫出的。必需理解，位移的大小并不是區(qū)分幾何線性和非線性的惟一標(biāo)準。壓桿失穩(wěn)后的變形爭論、板殼大撓度問題等均屬于幾何非線性問題。三、邊界非線性邊界非線性問題的非線性效應(yīng)是由于邊界條件隨物體的運動發(fā)生變化所引起的。其中最典型的例子是接觸問題和隨動荷載問題。實際上，幾乎全部力學(xué)問題都或多或少地存在邊界非線性，特別是在支座連接處。只是大局部狀況下，由于這種非線性對構(gòu)造的內(nèi)力和變形影響很小而被無視了。而機械加工過程中的邊界非線性效應(yīng)往往是不行無視的。關(guān)于非線性問題的分類，有兩點是必需留意的：第一，不行能存在一個明確、不變的定量標(biāo)準可以作為材料、幾何或邊界非線性的推斷依據(jù)。分析人員必需依據(jù)實際的工程問題進展推斷。其次，實際的非線性問題很難簡潔地歸納為某一類非線性，一般的狀況是，物體的位移和應(yīng)變都不是無限小量，本構(gòu)關(guān)系也是非線性的，同時邊界條件也可能隨變形的進展而轉(zhuǎn)變，這就大大地增加了問題分析的困難。為簡化分析，抓住主要的非線性影響因素，必需將一些對物體運動和變形影響不大的非線性因素線性簡化。非線性問題的分析過程[1]應(yīng)用有限元法分析線性問題和非線性問題，其根本步驟大體一樣，但由于非線性的引入，具體分析過程中會有所不同：單元分析。與線性問題相比，非線性問題在單元剛度形成時有很大差異：當(dāng)僅為材料非線性問題時，應(yīng)使用材料的非線性本構(gòu)關(guān)系；而當(dāng)僅為幾何非線性問題時，在計算應(yīng)變—位移矩陣[B]時，應(yīng)計及位移的高階導(dǎo)數(shù)項的影響。同時，對于全部的積分，應(yīng)考慮單元體積的變化。在兼有幾何非線性和材料非線性的兩種非線性問題，即是大位移、大應(yīng)變的狀況，而應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系也是非線性的，則應(yīng)考慮這兩種非線性的耦合效應(yīng)。整體分析。整體分析中單元剛度矩陣的組集和邊界條件的處理，大體上也同于線性問題，只是對整體的剛度方程通常是寫成增量形式。方程組求解。非線性有限元分析最終歸結(jié)為求解非線性方程組，與線性方程組的求解有很大差異。長期以來，人們做了大量的爭論工作歸結(jié)出兩類構(gòu)造非線性分析方法。一類是極限分析方法，這一方法假設(shè)材料為剛塑性，無視材料的彈性變形和強化效應(yīng)。按這種理論求解構(gòu)造的極限荷載、應(yīng)力分布區(qū)及構(gòu)造的滿足塑性流淌法則和機動條件的破壞機構(gòu)，方法簡潔明白，但它不能得到構(gòu)造從加載到破壞全過程的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)及其進展規(guī)律，也不能反映裂縫的分布與進展。另外這種方法無法進展極限狀態(tài)變形及極限狀態(tài)后的大變形計算，不能滿足抗震工程進展的需要。現(xiàn)在最流行的非線性分析方法是有限元分析，這種方法以彈塑性變形理論為根底，能夠給出構(gòu)造內(nèi)力和變形進展的全過程，能描述裂縫的形成和擴展，以及構(gòu)造的破壞過程及形態(tài)。非線性有限元分析的根本原理有限元分析是以變分原理和加權(quán)余量法為理論根底，以下以材料非線性為根底簡潔的介紹下非線性有限元的根本原理。假設(shè)把構(gòu)造離散成有限個單元的集合體，并取出任意單元e，則單元e上任意點的位移函數(shù)為：efNδδ=〔1.1〕式中，N為單元形函數(shù)矩陣，eδ為單元結(jié)點的位移假設(shè)把構(gòu)造分為M個計算單元，則每一個單元的總勢能泛函[2]可表示為：{}[]{}{}{}{}12TTpeeeeeeeVkVVff∏=-+(1.2)式中{}eV為單元位移列陣，[]ek為單元剛度矩陣，{}ef為單元荷載列陣，{}pef為塑性變形引起的單元附加荷載列陣；則構(gòu)造總的勢能泛函為{}[]{}{}{}12TTVGVVF∏=-〔1.3〕利用變分原理可得構(gòu)造方程：[]{}{}GVF=〔1.4〕其中，[]G為構(gòu)造總體剛度矩陣，由單元剛度矩陣組裝而成；{}V為構(gòu)造總的結(jié)點位移向量；{}F為經(jīng)過移值轉(zhuǎn)化而成的結(jié)點荷載向量。在線彈性有限元分析中，〔1.4〕式的[]G為常值矩陣，當(dāng)構(gòu)造變形過大，進入材料非線性階段后，單元剛度不再是常數(shù)而是變形的函數(shù)，因此，[]G也為{}V的函數(shù)，隨著{}V的變化而變化，〔1.4〕式即變?yōu)椋簕}{}GVVF= 〔1.5〕上式即為由材料非線性，建立的有限元方程。鋼筋混凝土非線性分析的特點、現(xiàn)狀及趨勢鋼筋混凝土構(gòu)造的有限元分析有與其他固體力學(xué)有限元分析所不同的特點，主要表現(xiàn)在以下幾個方面：(l〕需要模擬混凝土的開裂和裂縫進展過程，特別是在反復(fù)荷載作用下裂縫的開裂和閉合過程。(2〕需要在模型中適當(dāng)?shù)胤从充摻钆c混凝土之間的粘結(jié)和滑移機理。(3〕需要模擬混凝土材料在到達峰值應(yīng)力以后的性能，由于一個部位的混疑土到達峰值應(yīng)力并不能說明整個構(gòu)造到達極限狀態(tài)。同理，也應(yīng)模擬鋼筋屈服以后的性能。(4〕對于簡單的鋼筋棍凝土構(gòu)造，材料非線性問題與幾何非線性問題同時存在，使得計算分析的難度大大增加。(5〕分析結(jié)果猛烈地依靠于混凝土材料和鋼筋材料的本構(gòu)關(guān)系以及鋼筋與混凝土之間粘結(jié)滑移的本構(gòu)關(guān)系。其次章非線性方程組的數(shù)值解法求解非線性問題的計算方法可分為三類：增量法、迭代法及混合法。2.1[3,4,5]線性或是非線性有限元問題最終都是歸結(jié)為一組代數(shù)方程組：{}[][]KPδ=〔2.1〕其中，[]K為構(gòu)造總剛度距陣；{}δ移列陣；[]P為節(jié)點荷載列陣。在線彈性構(gòu)造中[]K是常量，在非線性問題中，[]K是{}δ[][][][][]TeennKkBDBdv==∑∑?〔2.2〕在線彈性材料中[]eD是常量，在材料非線性問題中[][]{}eDfσ=〔2.3〕增量法就是把方程〔2.1〕改寫為增量形式{}[][]KddPδ=〔2.4〕假定在每一增量步內(nèi)材料是線彈性的，每一次迭代對剛度矩陣進展修改作為下一次迭代的剛度。1.Euler折線法設(shè)荷載分為n個增量：[]1niiPP==?∑〔2.5〕則，每一個荷載增量產(chǎn)生一個位移[]iδ?，經(jīng)過n步迭加后[][][][]11niinnnPPδδδ=-?==+??∑〔 2.6〕其迭代過程如下：{}[][][][][][]1111[][]nnnnnnnnnKPKPδδδδδ----??===+?? 〔2.7〕如圖〔2-1〕所示，其具體實施步驟為：施加第n步荷載增量[]nP?，利用〔2.7〕第一式算出這步荷載增量下的位移增量{}nδ?利用〔2.7〕第三式計算第n步荷載時的總位移[]nδ，由本構(gòu)矩陣計算應(yīng)力[][][]1nnnσσσ-=+?〔2.8〕由〔2.8〕1[]nK-，做為下次迭代的[]nK推斷是不是最終一步荷載，假設(shè)不是連續(xù)前面的實施過程2.修正的Euler折線法歐拉折線法隨著荷載級數(shù)的增加，其折線偏離曲線的程度越來越大，計算精度降低。修正的歐拉折線法取每一步荷載增量的始、末剛度的某種加權(quán)平均代替起始剛度來計算本步荷載增量的位移，即[][]”1(1)innθδθδθδ〔2.9〕其中，θ01θ≤≤，12θ=，[]1nδ-為前一級荷載的位移，”nδ為n級荷載的總位移。利用[]iθδ+推求剛度[]iKθ+，然后用下式求本步荷載增量下的位移：2-1歐拉折線法2-2[][][][][][]11ninnnnKPθδδδδ-+-??==+ 〔2.10〕其計算如圖2-22.2[3,4,5]割線剛度迭代法這種迭代方法是迭代方法中比較簡潔的一種，其迭代過程如圖2-3所示，可將方程寫為如下形式1nnKPδδ-=〔2.11〕首先取00δ=，算出[]00KK=，代入上式，有110KPδ-=〔2.12〕作為第一次近似值，有了節(jié)點位移可計算出單元應(yīng)力及材料性質(zhì)矩陣：1111,eBDDεδε==〔2.13〕形成單元剛度矩陣，有11eeTVKBDBdVε=?〔2.14〕其中1Dε是應(yīng)力－應(yīng)變曲線割線的斜率，所以稱上式為單元的割線剛度矩陣。由單元的割線剛度矩陣，組裝成整個構(gòu)造的方程組如下12KPδ=〔2.15〕由上式解出2δ，作為其次次近似，重復(fù)步驟〔2.13〕、〔2.14〕、〔2.15〕直至11121maxmaxiinniniiinrrδδψδδ++inδiψ分別表示向量nδ和ψ的第i個重量，1r和2r是依據(jù)精度要求給定的小量。切線剛度迭代法切線剛度迭代法是在每次迭代中以變化的切線剛度作為迭代剛度，其迭代過程如圖2-4所表示。首先取初始剛度矩陣[]0K，求得位移的第一次近似值：110KPδ-=〔2.16〕由初始位移求得單元應(yīng)變、應(yīng)力，進而求得單元的節(jié)點荷載[]1P。用相應(yīng)于[]1δ[]1K，在荷載[][][]11PPP?=-作用下求得位移增量[]2δ，即[][][][][][]111211PPPKPδ-??=-= 〔2.17〕從而求得位移的其次次近似值為：[][][]212δδδ=+?〔2.18〕重復(fù)以上步驟，直到[]1kδ+與[]kδ的差值到達一個給定的限值。3.等剛度迭代法前面兩種迭代方法都是變剛度迭代，每次迭代后都要重形成構(gòu)造剛度矩陣，并且要建立的方程組，所以其在計算效率方面是很低的，為此有學(xué)者提出示：等剛度迭代法其計算步驟如下：用式〔2.16〕求出位移的第一次近似值[]1δ由本構(gòu)關(guān)系求得單元的相當(dāng)節(jié)點力為[][][]1TPBdVσ=?〔2.19〕得到[][][]11PPP?=-12342-5圖2-3割線剛度法圖2-4切線剛度迭代法4321△δ3△δ2△δ1123由[][][]11PPP?=-作用于構(gòu)造求得附加位移為：[][][]1201KPδ-?=?，從而得其次次位移的近似值為：[][][]212δδδ=+?〔4〕重復(fù)以上步驟直到[]1kδ+與[]kδ收斂標(biāo)準在迭代法中為了中止迭代過程，必需確定一個收斂的標(biāo)準。在迭代法中，常用到三種收斂準則。位移收斂準則假設(shè)給定一個充分小的正數(shù)ε，當(dāng)1111||||||||jjjnnnuuu?-+++=-≤ε〔2.20〕1jnu常用矢量范數(shù)表示收斂準則，即1||||jnu?+≤1||||jnuα+〔2.21〕式中α0≤α≤5％.由上述可得111||||||||jjnnuu??+++-≤ε1〔2.22〕2.3.2.不平衡力收斂準則不平衡力為1111{}{}{}jjjnnnffR?-+++=-〔2.23〕不平衡力收斂準則為1||{}||jnf?+≤1011||{}{}||nnfRα++-〔2.24〕或1||{}||jnf?+≤1||{}||jnfα+〔2.25〕由上述可得111||{}||||{}||jjnnff??+++-≤ε2〔2.26〕2.3.3.能量收斂準則這個收斂準則為11({}){}jTjnnVf??++≤111({}){}jTnnVfα??++〔2.27〕由此可得111111({}){}({}){}jTjjTjnnnnVfVf++++++-≤ε3〔2.28〕量收斂準則是一個比較好的準則，它能同時掌握位移增量及不平衡力。在應(yīng)用上述收斂準則時應(yīng)留意以下一些問題。依據(jù)具體狀況合理地選擇收斂準則。例如，當(dāng)物體硬化嚴峻時，位移增量微小變化將引起不平衡力的很大偏差，這種狀況不能選擇位移收斂準則。又例如，當(dāng)物體軟化嚴峻或接近抱負塑性時，不平衡力的微小變化將引起位移增量的很大偏差，這種狀況不能選用不平衡力收斂準則。式中α及εi分別為容許誤差及小數(shù)，與收斂準則及具體狀況有關(guān)，可根據(jù)具體狀況、收斂準則及精度要求進展合理的選擇。3〕同一種算法用于分析不同的非線性問題時，其非線性不肯定相同，甚至不收斂。4〕收斂性是針對與時間無關(guān)的非線性問題爭論的，假設(shè)對與時間有關(guān)的非線性問題，還必需考慮解的穩(wěn)定性。5〕||||u為向量u的范數(shù)，滿足以下條件：①|(zhì)|||u≥0②||||||||||||uuαα=?③||||uv+≤||||||||uv+目前，常用到的范數(shù)有三種，1||||u為1-范數(shù)，2||||u為2-范數(shù)，||||u∞為∞-范數(shù)。構(gòu)造負剛度的處理[4,5]有些材料如混凝土其σε-曲線由上升段和下降段組成，當(dāng)承受前面介紹的方法進展非線性方程組的求解時，在下降段都將消滅剛度正不定，即消滅負剛度的狀況，使迭代無法進展，為此需要介紹幾種處理負剛度的算法。逐步搜尋法對于只要求極值荷載的狀況，可以承受此方法逐步搜尋頂點的算法，計算如下：施加一步荷載增量P?假設(shè)計算發(fā)散，改用12P?增量，假設(shè)計算收斂，則再加14P?，如此一步步靠近頂點假設(shè)加12P14P?，如此即牢靠近頂虛加剛性彈簧如圖2－6所示1K為構(gòu)造原來的剛度矩陣，K表示虛加彈簧的剛度矩陣，2K表示兩者疊加后的構(gòu)造剛度矩陣，在加虛彈簧前，原構(gòu)造的剛度矩陣1K在經(jīng)過頂點后會消滅非正定，這就使迭代無法收斂，加虛彈簧后，可以保證2K始終都是正定矩陣。由于彈簧的剛度在迭代中保持不變，所以很簡潔得到下降段的解。強制迭代法2－7所表示，在Pδ-曲線的下降段，構(gòu)造剛度矩陣是負定的。設(shè)在A點施加一級荷載后，迭代不會收斂。假設(shè)位移增大很多到了”C點，終止迭代，施加下一級負荷載增量使位移退到C點，并求出此時的應(yīng)變，更剛度矩陣。用三角分解法分解剛度矩陣：TKLDL=〔2.29〕2－6虛加剛性彈簧2－7強制迭代則，可以查出在對角元D中會有一個負元素消滅，既可在負荷載增量下順當(dāng)往下迭代。假設(shè)在D中沒有查到負元素，則說明剛度矩陣是正定的，應(yīng)適當(dāng)增加C點的位移值；假設(shè)剛度矩陣的行列式為零，則此點即為Pδ-曲線的峰值點，這種方法缺點是計算時荷載步長要取的足夠小，否則不能得到滿足的結(jié)果。硬化剛度法用切線剛度求解時，在接近Pδ-曲線的極值點時，收斂很慢，甚至不收斂，為此可考慮把剛度放大，從而繞過極值點。弧長法用迭代法求解非線性有限元方程時，可以寫成以下迭代格式，[](1)(1)iiiiKuPRλ++=?+??????〔 2.30〕式中：i為迭代次數(shù)；λ?為荷載增量步長系數(shù)；iR為i次迭代的不平衡力。在荷載增量掌握法中是掌握λ?，在位移掌握法中是掌握u?。而在λ?u?，使得[][]22Tuudsλ??+?=，其中ds相當(dāng)于向量ir的模。由于在迭代過程中由i到1i+點按一圓弧進展，所以這種方法稱為弧長法。向量ir在同一步荷載增量的迭代中保持不變，即11iirrr+==。由于用以上按圓弧軌跡進展迭代的過程求解(1)iλ+?相當(dāng)簡單，所以有學(xué)者提出了改進的算法，用垂直于迭代向量的平面代替圓弧，這樣只要r的方向變化了，u?的方向也要變化，與的r矢量垂直。其迭代軌跡很接近圓弧，但計算格式可以有很大簡化。由垂直條件110iru+??=〔2.31〕1,2,3i=，寫成矩陣形式(1)(1)(1)(1)0Tiiuuλλ+++???=????〔 2.32〕圖2－8弧長法迭代示意圖將(1)iu+ 分為兩局部(1)(1)(1)(1)iiiiIIIuuuλ++++=??+〔 2.33〕分別求解這兩局部[](1)(1)iiIiiiIIKuPKuR++=?=??〔2.34〕從而可以解得111111TiiIITiIuuuuλλ+++= -+????? 〔2.35〕綜上所述，弧長法求解過程可以總結(jié)如下?！?〕選定一荷載參考值[]P，從而確定弧長ds。由有限元方程解出(1)λ?和1u，在第一次可取(1)1λ?=，0R=；〔2〕修改剛度矩陣，并三角化，檢查對角元，判定所在狀態(tài)是正定、負定、還是到達極值點；〔3〕求出不平衡力iR ，并由此求出(1)iIIu+ ，由[]P求出(1)iIu+ ；〔4〕由式〔2.35〕求出(1)iλ+?，從而由式〔2.33〕求出(1)iu+ ；求出即時荷載水平和位移值；檢查是否滿足精度要求，不滿足重復(fù)〔3〕〔5〕步直到滿足精度要求。第三章材料的本構(gòu)關(guān)系材料本構(gòu)關(guān)系所基于的理論模型有：線彈性理論、非線性彈性理論、彈塑性理論、內(nèi)時理論、斷裂力學(xué)理論、損傷力學(xué)理論、粘彈性和粘塑性理論等[5]。鋼筋混凝土構(gòu)造非線性有限元分析中，常用到的本構(gòu)關(guān)系有：線彈性本構(gòu)關(guān)系應(yīng)力應(yīng)變在加載過程中呈線性關(guān)系，表達式為：σEε=當(dāng)混凝土受力很小，無裂縫時，可將混凝土看成彈性勻質(zhì)材料，承受線彈性本構(gòu)關(guān)系。非線性彈性關(guān)系應(yīng)力應(yīng)變不成線性關(guān)系，但仍有一一對應(yīng)關(guān)系，卸載時原路返回，沒有剩余變形。表達式為：εσEσ=后面的幾種本構(gòu)關(guān)系均屬于非線性彈性范疇。彈塑性關(guān)系為滿足材料屈服后的塑性流淌法則，對于受荷載作用后處于較高應(yīng)力水平下的鋼筋混凝土構(gòu)造，常承受彈塑性本構(gòu)關(guān)系。常用的簡化模型有：抱負彈塑性模型，線性強化彈塑性模型，剛塑性模型。粘彈性和粘塑性的流變模型引用流變學(xué)的觀點，可以對混凝土材料的徐變和預(yù)應(yīng)力構(gòu)件中鋼筋應(yīng)力損失等現(xiàn)象作出合理的解釋。抱負彈性元件、粘性元件、抱負塑性元件是三個根本的流變元件。斷裂力學(xué)模型斷裂力學(xué)爭論含有裂縫的構(gòu)造，裂縫擴展分為張開型、剪切型和扭轉(zhuǎn)型。鋼筋的本構(gòu)關(guān)系單向加載下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線分三段：彈性段、屈服平臺和強化段。簡化的三線型模型，屈服段為水平直線，強化段可以簡化為直線，斜率取 E’=0.01E。二線型模型將屈服平臺和強化段合并為一條，斜率仍取E’=0.01E。反復(fù)加載下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系卸載段承受以E為坡度的直線。卸載后反向加載會消滅包辛格效應(yīng)，即反向再加載時不消滅屈服臺階而成為曲線的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，軟化段的方程有Kato和朱伯龍的公式，都考慮了歷史上到達過的應(yīng)變。混凝土的本構(gòu)關(guān)系單向加載下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系受壓Saenz和朱伯龍都給出了混凝土單調(diào)加載的曲線方程。受拉一般簡化為直線型〔兩折線、三段斜直線〕，也有曲線型模型，彈模取單向受壓時原點的切線模量。重復(fù)加載下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系關(guān)系式包括骨架曲線、卸載和再加載曲線方程。卸載和再加載方程可分為直線方程和曲線方程。反復(fù)加載下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系反復(fù)荷載作用下裂面重受壓時存在著骨料咬合的裂面效應(yīng)。反復(fù)荷載下混凝土的本構(gòu)關(guān)系應(yīng)考慮剛度退化和裂面效應(yīng)的影響。Yankelevsky和Reinhardt通過對單軸反復(fù)拉壓加載的混凝土σ-ε滯回曲線的爭論，依據(jù)卸載、再加載曲線的某些幾何性質(zhì)，提出了反復(fù)荷載下σ-ε關(guān)系的“焦點模型”，該模型考慮了應(yīng)變軟化及開裂后再受壓時的裂面效應(yīng)。滕智明，鄒離湘也利用過焦點模型的簡化方法，進展反復(fù)荷載下鋼筋混凝土的非線性有限元分析，結(jié)果與試驗曲線吻合較好。薛偉辰，張志鐵應(yīng)用的混凝土本構(gòu)模型[6]為以Kent和Park的混凝土σ-ε曲線為骨架曲線，并考慮剛度折減和裂面效應(yīng)的模型?；謴?fù)力模型的分類對于用于以彎曲變形為主或同時考慮彎剪變形的桿單元，常用的恢復(fù)力模型有：一維模型有可分為數(shù)學(xué)模型描述的曲線型〔如Ramberg-Osgood模型〕和分段線性化的折線型模型。一般為了簡化計算，多承受折線型模型。Clough的雙折線型模型用兩根折線表示骨架曲線，折點對應(yīng)單調(diào)受荷時的屈服點。由于鋼筋混凝土構(gòu)件單調(diào)加載至受彎破壞時一般表現(xiàn)為典型的三階段：混凝土開裂、鋼筋屈服、構(gòu)件破壞，所以 Taked、Sozen和Nielson在1970年提出退化三線型恢復(fù)力模型，取開裂點、屈服點為折線的折點的三折線做包絡(luò)線，考慮了開裂引起的剛度降低，是構(gòu)造平面動力分析時應(yīng)用最廣的一種恢復(fù)力模型。為了爭論構(gòu)造軟化段的抗力性能，朱伯龍、潘士劫等提出四折線型模型，用以爭論構(gòu)造的倒塌反響。二維模型即屈服面模型，它是建立在一維單向模型上的，一般由一維模型擴展而來。最簡潔的是雙線型模型，該模型不考慮剛度退化，且彎矩空間內(nèi)只有屈服面，沒有開裂面。TakizawaAoyama于1976年應(yīng)用塑性理論提出了考慮剛度退化的三線型模型，在彎矩空間內(nèi)既有屈服面又有開裂面。杜宏彪和沈聚敏也用過由一維退化三折線型滯回規(guī)則擴展成的二維模型，并在模型中考慮了剛度耦合作用?；謴?fù)力的獲得方法恢復(fù)力模型有兩大要素——骨架曲線與滯回模型。骨架線是恢復(fù)力模型的外包線，包含鋼筋混凝土構(gòu)件的開裂點、屈服點和破壞點。滯回模型反映加載、卸載或?qū)掖畏磸?fù)變形后構(gòu)件的性能，如能量吸取、耗散及剛度、強度蛻化等。由于材料性質(zhì)、受力方式及構(gòu)件類型的不同，恢復(fù)力特性是簡單的，必需通過大量試驗爭論作出力-變形的關(guān)系曲線，再將它加以簡化，得到能用數(shù)學(xué)方式表達的模型。直接對實際構(gòu)造進展恢復(fù)力特性測定很困難，一般是實行構(gòu)造中常用的梁、柱、墻體等典型桿件，典型節(jié)點，或者進一步承受框架層間單元作為試驗對象，制作出恢復(fù)力模型，然后組合成分析用的構(gòu)造恢復(fù)力模型。對桿件試驗所得的骨架曲線，考慮開裂點、屈服點、屈服前后剛度變化以及剛度退化等特征，用分段線性化的方法將它簡化為多段折線或變?yōu)榭捎脭?shù)學(xué)公式表達的平滑曲線，即得供工程使用的恢復(fù)力模型。在進展鋼筋混凝土構(gòu)造非線性分析時，無論選擇何種恢復(fù)力模型，均需確定其骨架曲線的主要特征點，這通常是利用單調(diào)加載的荷載-變形曲線來確定的。為此可通過計算機數(shù)值迭代做截面的全過程分析，求其荷載-變形曲線主要有兩種方法：基于材料滯回本構(gòu)關(guān)系的有限元方法單向劃分為條分模型，雙向劃分即為網(wǎng)格模型。條分模型中，將構(gòu)件橫截面劃分為很多小單元，考慮小單元單向受力，并依據(jù)單軸下材料的應(yīng)力-應(yīng)變滯回關(guān)系來確定應(yīng)力大小。擴展至網(wǎng)格模型時，分別考慮兩個方向彎矩平衡條件和軸向力平衡條件，由此得到截面的雙向滯回曲線，計算時假定截面變形符合平截面假定。這種方法所得結(jié)果較為準確，但運算量很大，耗時太多。依據(jù)試驗結(jié)果進展抱負化，提出構(gòu)件的恢復(fù)力模型。這種方法雖然仍需要將截面劃分為小單元，但是不用從材料層次就考慮滯回特性。在計算前要先規(guī)定構(gòu)件的力和變形關(guān)系，依據(jù)材料單調(diào)加載的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系確定骨架曲線的特征點，而滯回特性則由選定的恢復(fù)力模型確定，這些恢復(fù)力模型都是依據(jù)眾多試驗數(shù)據(jù)抱負化得到的，對表達截面的滯回特性很有代表性，因而這種方法使用便利，計算有效，只是精度較差。用此方法進展構(gòu)造或構(gòu)件受力分析時主要有兩點缺