靜電場中的導體和電介質講解

大學物理教案〔主講人：劉國松〕大學物理教案〔主講人：劉國松〕體和電介質 備注引言：一、導體、電介質、半導體導體：導電性能很好的材料；例如：各種金屬、電解質溶液。電介質〔絕緣體半導體:導電性能介于導體和絕緣體之間的材料；二、本章內容簡介三、本章重點和難點重點導體的靜電平衡性質；空腔導體及靜電屏蔽；電容、電容器；難點導體靜電平衡下電場強度矢量、電勢和電荷分布的計算；第一節(jié)靜電場中的導體一、靜電感應靜電平衡靜電感應金屬導體的電構造由電子構成，晶格不動，相當于骨架，而自由電子可自由運動，布滿整個導體，是公有化的。例如：金屬銅中的自由電子密度為： 。n 81028m3。Cu觀上呈電中性。靜電感應當導體處于外電場E0中時，電子受力后作定向運動，而消滅負電荷，在另一側因相對缺少負電荷而消滅正電荷。這就是靜電感應現象，消滅的電荷叫感應電荷。靜電平衡不管導體原來是否帶電和有無外電場的作用，導體內部和外表都沒有電荷的宏觀定向運動的狀態(tài)稱為導體的靜電平衡狀態(tài)。-11-備注〔a〕自由電子定向運動 〔b〕靜電平衡狀態(tài)靜電平衡條件〔靜電平衡態(tài)下導體的電性質〕，都與導體外表垂直。在靜電平衡時，導體內上的電勢處處相等，導體是一個等勢體。E0，則自由電子將沿導體外表有宏觀定向運動，導體未到達靜電平衡狀態(tài)，和命題條件沖突。 dU

0,dU0由于E

0，所以dl

，即導體為等勢體，導體外表內 為等勢面。二、靜電平衡時導體上電荷的分布實心導體〔1〕布于導體外外表。 內證明：在導體內包圍P點作閉合曲面S，由靜電平衡條件E 0，所以由內高斯定理：

qE dSS 內

內0

，得 q 0。內處于靜電平衡的導體，其外表上各點的電荷面密度與外表鄰近處場強大小成正比。內證明：在導體外表任取無限小面積元ΔS，認為它是電荷分布均勻的帶電平面，電荷面密度為，作高斯面〔如圖：扁平圓柱面很小，由高斯定理：

EdS EEdS EEEE S0SE S表 表

cos2E表

SS0由此得

E E表0 ，即

n0 。留意和結論：★E；n★ 為導體外表的外法線方向單位矢量；★E 由導體上及導體外全部電荷所產生的 合場強而非僅由導表體外表該點處的電荷面密度所產生。例如：孤立的半徑為R的均勻帶電球面，球面外鄰近處P 點的場強大小為qEP4R2q0

0由整個球面上電荷共同產生。-11-帶電球四周有點電荷q1時，同一P點處的場強由球面上原有電荷q和 備注點電荷q1

EEE E

EP nP q

感應電荷,仍舊滿足 0 。σ與該外表曲率σσ1R。尖端放電離的放電現象，稱為尖端放電。空腔導體空腔導體內部無帶電體性質：①空腔內部及導體內部電場強度處處為零，它們形成等電勢區(qū)。②空腔內外表不帶任何電荷。上述性質可用高斯定律證明。下面說明性質②。在導體內做一高斯面，依據靜電平衡，導體內部場強處處為零，所以導體內外表電荷的代數和為零。如內外表某處面電荷密度σ>0,σ<0，兩者之間就必有電力線相連，就有電勢差存在，這與導體內場強為零相沖突。所以導體內外表處處e=0。這些結論不受腔外電場的影響，腔外電場與腔外外表電荷在腔內場強總奉獻為零。腔內有帶電體①導體中場強為零。的電荷分布。③空腔的內外表所帶電荷與腔內帶電體所帶電荷等量異號。④導體接地，則空腔內帶電體的電荷變化將不再影響導體外的電場。證明：〔弄清感應電荷的數量?！橙?、靜電屏蔽electrostaticshielding如圖，在空腔導體外，還有一帶負電的帶電體B，由于靜電感應，空腔導體外外表上的電荷及帶電體B上的電荷將重分布。靜電平衡時：〔1〕B使外外表上電荷重分布；內外表、腔內帶電體的電荷分布不變；導體空腔局部的電場等于零；導體接地，腔內電場不影響腔外，腔內各點相對地的電勢不再變化?？傊涨粚w〔無論接地與否〕將使腔內空間不受外電場的影響，而接地空腔導體將使外部空間不受空腔內的電場的影響，稱之為靜電屏蔽現象。例P61-P62。例題1：課本P62-P63，請自學。2：一半徑為rr

rr1 2 2

1相互絕緣的兩個同心導體球殼，現將+q電量賜予內球殼，求：外球殼上所帶的電荷和外球的電勢。荷及外球的電勢。轉變多少？〔+q分布在內球殼外外表，靜電感應后，外球殼內外表帶電-q，外外表帶電+q，整個外球殼總電荷為零，Q

0。由高斯定理得：外球殼-11-EqEq4πε

0rr1 r2 rrr 0 1 2q4πεr2 rr0 2 。 由靜電平衡條件得：球殼導體內部場強為零，即：E 0U外球所以有：

r2

Edlr2

q0

dr q4r02或由電勢疊加原理得：qU外求4rq02

q4r02

q4r02

q40U

r20，

Q 0 Q

q Q q外球殼接地后再絕緣，則：外球

同時外球外表 ，

外球內表

，即外球殼 。U 0內球殼接地后，得內球 。此時設內球帶正電荷為e，外球內外表帶U e

q r20 e 1q2

0電荷為-q，則

4r01

4r02

，所以得 r

不為零。U

e q

(0)因而有：

4r 4r 4r02 02 02U U

0

eq外球則有：

外球 外球

4r02

4r02。其次節(jié)電容電容器靜電平衡時導體上的電荷只能分布在外表，且與其本身的外形、構造及四周的介質有關。下面我們爭論的是導體容電本領問題。一、孤立導體的電容定義R，帶電荷為Q的孤立球形導體，則它的電勢〔相對于無限遠處的零電勢而言〕為Q4R而 V 0

V 1 Q40R該比值僅與導體的幾何外形和大小有關，與導體所帶的電量無關。由此我們定義孤立導體的電容為孤立導體所帶的電荷Q與V的比值。即：CQV電容C是反映導體容電力量的物理量。用單位電勢差所能容納的電量來表征。單位法拉F，微法m〕,皮法p〕F106F112pF二、電容器例子和概念兩個同心球殼，內球A和外球B分別帶+q和-q電量，中間充以空氣或電介質。當外殼接地后，這樣的導體組——格外靠近的中間布滿電介質的兩個導體組合，稱為電容器。兩個導體稱為電容器的極板。電容器的電容C定義：電容器的電容

QV VA

，Q為一個極板所帶電量確實定值，VA-VB為兩極板間的電勢差。-11-〔1〕電容器電容的大小取決于極板的外形、大小、相對位置以及電介質的電容率。與電容器是否帶電無關。 備注〔2〕電容器符號： ，固定電容器； ，可變電容器。電容的計算〔1〕A、B分別帶+q和-q電荷。 〔2〔2〕求兩極板間的電場分布，并由AB

A

計算兩極板間電勢差。C〔3〕由定義式

q例子：幾種常見的電容器電容的計算平板電容器d，面積為S的平行金屬板組成的平行板Q電容器板間為真空每塊極板上的電荷面密度為 S兩極板間的電場為均勻電場，無視邊緣效應，兩極板間的場強為：EQ兩極板間的電勢差為

S0 0U QdEdlEdAB

dS0 0依據電容的定義得平板電容器的電容為0CQS0U d可見，平板電容器的電容與電容器是否帶電無關，只與電容器本身的構造外形有關。1：課本P66〔請自學〕圓柱形電容器設內、外圓柱面各帶有+Q和-Q荷，則電荷線密度為r處的電場強度E大小為

Ql。在兩個圓柱E Q 12

r 2lr0E的方向垂直于圓柱軸線。于是，兩圓柱面間的電勢差為 Q dr Q RUErRB ln Bl R A

lr 2 l R0 0 A由電容的定義式可得圓柱形電容器的電容為CQ

2 l0BU lnRRBA可見，圓柱越長或兩圓柱面間的間隙越小，電容越大。當兩圓柱風光間的間隙d?RA時，有于是圓柱形電容器的電容可寫成

lnRBRBA

lnRddAR RAA A2lR SC 0 A 0d d

(圓柱體的側面積S2Rl)A這正是平板電容器的電容?？梢姡攦蓤A柱面之間的間隙遠小于圓柱體半徑時，圓柱形電容器可當作平板電容器。布置作業(yè)-11-P94第2題 P95第7題備注第十六講例題2：課本P67〔球形電容器的電容〕 兩半徑分別為R1和R2的同心金屬球殼組成球形電容器，兩球殼間為真空，求電容。解：設內外球面分別帶+q和-q電量，由高斯定理得兩極板間場強方向沿徑向，大小為：E q RrR兩極板間電勢差為：

0

1 2。2 R q

q 1 1U 2

dr

12q 4RR

1 R 1 0

4 R R0 1 2C

01 212由定義得：0 U12

RR2 1

R2 SRRdR

C 0 1 0〔1)當2器一樣。

1 1時，0

d d ，和平板電容1〔2〕當R21

C時0時

40

R，孤立球形電容器。例題3：課本P68〔傳輸線的分布電容，自學〕三、電容器的并聯和串聯電容器的并聯qq，VVqi，CCii i Cii i

i 并聯電路總電容量增大，電容組耐壓值不變。電容器的串聯聯qq1Vi

qq，2 iV，i11C Ci i串聯電路總電容量削減，電容組耐壓值增大。但如其中一個被擊穿，其余電容器會相繼被擊穿。第三節(jié)靜電場中的電介質重點：電介質的極化和極化強度矢量；電位移矢量；有介質時的高斯定理；有介質時電場強度的計算。難點：電位移矢量〔氣〔液、云母〔固。我們先從試驗現象入手爭論電介質和靜電場的相互作用規(guī)律。一、電介質對電容的影響相對電容率試驗事實相對電容率〔1〕如下圖，平板電容器極板間為真空時的電容為C

。假設對該電容器0UQ=CU

0 0 0-11-電源，維持極板上的電荷Q不變，并使兩極板間布滿均勻的各向同性的電介質，由試驗可測得兩極板間電壓

UU 備注0 r。由平板電容器電容公式得：C

C，即在維持電容器兩極板的電荷不變時，布滿電介質r 0的電容器的電容為真空電容的 r倍。其中對電容率。

r為是一個沒有單位的、大于1的純數，稱為電介質的相0rr定義：電介質的電容率0rr電場強度的變化

、都是表征電介質性質的。把UU 0 r

Ud得

dU d0 rEE0即 r可見，在兩極板電荷不變的條件下，布滿均勻的各向同性的電介質的平板電容器中，電介質內的電1場強度為原來真空時電場強度的 r。當極板上加肯定的電壓時，極板間就有肯定的電場強度，電壓越大，電場強度也越大。當電場強度增大到某一最大值Eb時，電介質中分子發(fā)生電離，從而使電介質失去絕緣性，即電介質被擊穿了。電介質能承受的最大電場強度Eb稱為電介質的擊穿場強，相應兩極板的電壓稱為擊穿電壓。與U E U。與b b

的關系為EUb b

d 。不同電介質的擊穿場強是不同的。上述試驗說明：插入電介質后兩極板間電壓削減，電場減弱了。電場減弱的緣由可用電介質與外電場的相互影響，下面從微觀構造上來解釋。二、電介質的極化電介質的電構造電子被原子核緊緊束縛；在靜電場中電介質中性分子中的正、負電荷僅產生微觀相對運動；在靜電場與電介質相互作用時，電介質分子簡化為電偶極子。電介質由大量微小的電偶極子組成；電介質在外電場中→極化→產生極化電荷→產生附加電場→作用于電介質→到達靜電平衡。電介質的內部構造有極分子，無外電場時，分子的正、負電荷中心不重合，分子具有固有電偶極矩。例如：H2O HClCO SO2。無極分子，無外電場時，分子的正、負電荷中心重合，分子沒有固有電偶極矩CO2H2N2 O2 He。3電介質的極化〔Polarization〕Displacementpolarization主要是電子發(fā)生位移。OrientationpolarizationPolarizationcharge〔boundcharge〕下面看看外電場中的電介質極化的宏觀效果：在外電場中，均勻介質內部各處仍呈電中性，但在介質外表荷能用傳導方法將其引走。象稱為電介質的極化〔如何定量描述？〕電暈現象的解釋見課本P75，請自學。-11-三、電極化強度備注宏觀上，電介質極化程度用電極化強度矢量來描述。1.電極化強度矢量 ppi定義：

Plim iΔV ΔV ，其中

i個分子的電偶極矩。iP稱為電極化強度。單位為：Cm2。iP與

的定量關系 ，如圖，在平板電容器兩極板間的介質內沿著P方向取一長度為dl 橫截面為dS的小圓柱體，在其內部極化可視為是均勻的。因而該圓柱體具有電 偶極矩為PdVPdldS，依據定義它可視為兩端具有電荷

”dS

的電偶極PdS.dldSdlP均勻電介質中的電極化強度的大小等于極化產生的極化電荷面密度。四、電介質中的電場強度Q與Q0的關系電介質中的電場強度

EEE E外電場E，極化電荷產生的電場E，電介質內部的合場強E為： ，E與 的方0 0 0E的值為EE0E。極化電荷與自由電荷的關系 0極板上自由電荷面密度為0

。在放人電介質以前自由電荷電場強度E0的值為E 0 0

E00其電荷面密度為。相應的電場強度E的值為E。則由上式以及前面試驗結果得0E1Err

EE0

EE0r即 0即r從而可得

10rr QQr Q0r亦即r這就是極化電荷與自由電荷的關系。電極化強度與電場強度的關系試驗規(guī)律 對均勻線性介質有：P E，χ稱為電介質的電極化率，是一個大于零的純數。0χ和相對電容率

r的關系由E0

、Pχε

0E、P代入E0

rE可得：0r

r

r1 0 0r0

r 比1比rr1。χ和r的爭論：課本P77。χ、用。

r、 三者都是表征電介質性質的物理量，知道其中之一即可求得其它兩個。并且普遍適第四節(jié)電位移有電介質時的高斯定理一、電位移矢量空間存在導體時，電場仍由自由電荷產生。高斯定理，場強環(huán)流定理仍舊適用，且形式不變。-11-存在電介質時，空間電場由自由電荷和極化電荷共同產生。產生的靜電場仍為有勢場。靜電場的環(huán)流定理仍舊成立，即

備注。Edl0。L靜電場中的高斯定理仍舊成立〔高斯面如圖，形式變?yōu)椋?/p>

dS

QS 0

0 PdS由于：S

dQS內，11EdS

1

PdS0所以：S 0

0 S00S

(EP)dS0

Q內S0內定義電場關心矢量——電位移〔electricdisplacement〕矢量： 二、有電介質時的高斯定理

D

EP0 內DdS q內由上面爭論可得：S

通過電介質中任一封閉曲面S電介質時的高斯定理。三、爭論和說明

的關系D E 對于各向同性電介質，把PE代入DEP得：00(1)

D E P E E E 0 0 0 0r留意到r

，且

r，則有：

DED的單位：Cm2

是一個關心量，打算電荷受力的仍舊E。當自由電荷的分布時，可先由高斯定E 理求出DE描述電場性質的物理量仍舊是電場強度E和電勢V。 D通量與Q有關，而D與Q、Q均有關。 0 0DED線從正自由電荷動身，終E自由電荷和極化電荷。電介質中的場強和電勢與真空中的場強和電勢的關系〔均勻電介質布滿整個電場，或電介質外表是等勢面時〕EE0r

，VV0rrr 而布滿了電介質的電容為真空中電容的CC。rr 布置作業(yè)課本P.96第13題 課本P.97第18題-11-大學物理教案〔主講人：劉國松〕 第十七講備注例1〔課本P.7，請自學例2〔課本P.8，請自學R例3〔課本P.8〕圓柱形電容器上由半徑為R1

的長直圓柱導體和與它同軸的薄導體圓筒組成，R。假設直導體與導體圓筒之間充以相對電容率為ε

的電介質。設直導體和圓筒單位長2 r度上的電荷分別為+λ和-λ。求電介質中的場強、電位移和極化強度；電介質內、外外表的極化電荷面密度；此圓柱形電容器的電容?！?〕由對稱性分析，電場為柱對稱分布，依據介質中的高斯定理，有DdS D2rlDdSS D2r。EE

E得電介質中場強為：

E2r

RrR1 20r 0r電介質中極化強度為：P

1E rrE RrR

0 2rr〔2〕

2r

1 2 E

0rrR1 2R0r 1和

1E22R

rR2 0r 2由P由e0

E和P得電介質兩外表極化