靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體和電介質(zhì)講解

大學(xué)物理教案〔主講人：劉國(guó)松〕大學(xué)物理教案〔主講人：劉國(guó)松〕體和電介質(zhì) 備注引言：一、導(dǎo)體、電介質(zhì)、半導(dǎo)體導(dǎo)體：導(dǎo)電性能很好的材料；例如：各種金屬、電解質(zhì)溶液。電介質(zhì)〔絕緣體半導(dǎo)體:導(dǎo)電性能介于導(dǎo)體和絕緣體之間的材料；二、本章內(nèi)容簡(jiǎn)介三、本章重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)導(dǎo)體的靜電平衡性質(zhì)；空腔導(dǎo)體及靜電屏蔽；電容、電容器；難點(diǎn)導(dǎo)體靜電平衡下電場(chǎng)強(qiáng)度矢量、電勢(shì)和電荷分布的計(jì)算；第一節(jié)靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體一、靜電感應(yīng)靜電平衡靜電感應(yīng)金屬導(dǎo)體的電構(gòu)造由電子構(gòu)成，晶格不動(dòng)，相當(dāng)于骨架，而自由電子可自由運(yùn)動(dòng)，布滿整個(gè)導(dǎo)體，是公有化的。例如：金屬銅中的自由電子密度為： 。n 81028m3。Cu觀上呈電中性。靜電感應(yīng)當(dāng)導(dǎo)體處于外電場(chǎng)E0中時(shí)，電子受力后作定向運(yùn)動(dòng)，而消滅負(fù)電荷，在另一側(cè)因相對(duì)缺少負(fù)電荷而消滅正電荷。這就是靜電感應(yīng)現(xiàn)象，消滅的電荷叫感應(yīng)電荷。靜電平衡不管導(dǎo)體原來是否帶電和有無外電場(chǎng)的作用，導(dǎo)體內(nèi)部和外表都沒有電荷的宏觀定向運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)稱為導(dǎo)體的靜電平衡狀態(tài)。-11-備注〔a〕自由電子定向運(yùn)動(dòng) 〔b〕靜電平衡狀態(tài)靜電平衡條件〔靜電平衡態(tài)下導(dǎo)體的電性質(zhì)〕，都與導(dǎo)體外表垂直。在靜電平衡時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)上的電勢(shì)處處相等，導(dǎo)體是一個(gè)等勢(shì)體。E0，則自由電子將沿導(dǎo)體外表有宏觀定向運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體未到達(dá)靜電平衡狀態(tài)，和命題條件沖突。 dU

0,dU0由于E

0，所以dl

，即導(dǎo)體為等勢(shì)體，導(dǎo)體外表內(nèi) 為等勢(shì)面。二、靜電平衡時(shí)導(dǎo)體上電荷的分布實(shí)心導(dǎo)體〔1〕布于導(dǎo)體外外表。 內(nèi)證明：在導(dǎo)體內(nèi)包圍P點(diǎn)作閉合曲面S，由靜電平衡條件E 0，所以由內(nèi)高斯定理：

qE dSS 內(nèi)

內(nèi)0

，得 q 0。內(nèi)處于靜電平衡的導(dǎo)體，其外表上各點(diǎn)的電荷面密度與外表鄰近處場(chǎng)強(qiáng)大小成正比。內(nèi)證明：在導(dǎo)體外表任取無限小面積元ΔS，認(rèn)為它是電荷分布均勻的帶電平面，電荷面密度為，作高斯面〔如圖：扁平圓柱面很小，由高斯定理：

EdS EEdS EEEE S0SE S表 表

cos2E表

SS0由此得

E E表0 ，即

n0 。留意和結(jié)論：★E；n★ 為導(dǎo)體外表的外法線方向單位矢量；★E 由導(dǎo)體上及導(dǎo)體外全部電荷所產(chǎn)生的 合場(chǎng)強(qiáng)而非僅由導(dǎo)表體外表該點(diǎn)處的電荷面密度所產(chǎn)生。例如：孤立的半徑為R的均勻帶電球面，球面外鄰近處P 點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小為qEP4R2q0

0由整個(gè)球面上電荷共同產(chǎn)生。-11-帶電球四周有點(diǎn)電荷q1時(shí)，同一P點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)由球面上原有電荷q和 備注點(diǎn)電荷q1

EEE E

EP nP q

感應(yīng)電荷,仍舊滿足 0 。σ與該外表曲率σσ1R。尖端放電離的放電現(xiàn)象，稱為尖端放電?？涨粚?dǎo)體空腔導(dǎo)體內(nèi)部無帶電體性質(zhì)：①空腔內(nèi)部及導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)強(qiáng)度處處為零，它們形成等電勢(shì)區(qū)。②空腔內(nèi)外表不帶任何電荷。上述性質(zhì)可用高斯定律證明。下面說明性質(zhì)②。在導(dǎo)體內(nèi)做一高斯面，依據(jù)靜電平衡，導(dǎo)體內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)處處為零，所以導(dǎo)體內(nèi)外表電荷的代數(shù)和為零。如內(nèi)外表某處面電荷密度σ>0,σ<0，兩者之間就必有電力線相連，就有電勢(shì)差存在，這與導(dǎo)體內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)為零相沖突。所以導(dǎo)體內(nèi)外表處處e=0。這些結(jié)論不受腔外電場(chǎng)的影響，腔外電場(chǎng)與腔外外表電荷在腔內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)總奉獻(xiàn)為零。腔內(nèi)有帶電體①導(dǎo)體中場(chǎng)強(qiáng)為零。的電荷分布。③空腔的內(nèi)外表所帶電荷與腔內(nèi)帶電體所帶電荷等量異號(hào)。④導(dǎo)體接地，則空腔內(nèi)帶電體的電荷變化將不再影響導(dǎo)體外的電場(chǎng)。證明：〔弄清感應(yīng)電荷的數(shù)量?！橙?、靜電屏蔽electrostaticshielding如圖，在空腔導(dǎo)體外，還有一帶負(fù)電的帶電體B，由于靜電感應(yīng)，空腔導(dǎo)體外外表上的電荷及帶電體B上的電荷將重分布。靜電平衡時(shí)：〔1〕B使外外表上電荷重分布；內(nèi)外表、腔內(nèi)帶電體的電荷分布不變；導(dǎo)體空腔局部的電場(chǎng)等于零；導(dǎo)體接地，腔內(nèi)電場(chǎng)不影響腔外，腔內(nèi)各點(diǎn)相對(duì)地的電勢(shì)不再變化。總之，空腔導(dǎo)體〔無論接地與否〕將使腔內(nèi)空間不受外電場(chǎng)的影響，而接地空腔導(dǎo)體將使外部空間不受空腔內(nèi)的電場(chǎng)的影響，稱之為靜電屏蔽現(xiàn)象。例P61-P62。例題1：課本P62-P63，請(qǐng)自學(xué)。2：一半徑為rr

rr1 2 2

1相互絕緣的兩個(gè)同心導(dǎo)體球殼，現(xiàn)將+q電量賜予內(nèi)球殼，求：外球殼上所帶的電荷和外球的電勢(shì)。荷及外球的電勢(shì)。轉(zhuǎn)變多少？〔+q分布在內(nèi)球殼外外表，靜電感應(yīng)后，外球殼內(nèi)外表帶電-q，外外表帶電+q，整個(gè)外球殼總電荷為零，Q

0。由高斯定理得：外球殼-11-EqEq4πε

0rr1 r2 rrr 0 1 2q4πεr2 rr0 2 。 由靜電平衡條件得：球殼導(dǎo)體內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)為零，即：E 0U外球所以有：

r2

Edlr2

q0

dr q4r02或由電勢(shì)疊加原理得：qU外求4rq02

q4r02

q4r02

q40U

r20，

Q 0 Q

q Q q外球殼接地后再絕緣，則：外球

同時(shí)外球外表 ，

外球內(nèi)表

，即外球殼 。U 0內(nèi)球殼接地后，得內(nèi)球 。此時(shí)設(shè)內(nèi)球帶正電荷為e，外球內(nèi)外表帶U e

q r20 e 1q2

0電荷為-q，則

4r01

4r02

，所以得 r

不為零。U

e q

(0)因而有：

4r 4r 4r02 02 02U U

0

eq外球則有：

外球 外球

4r02

4r02。其次節(jié)電容電容器靜電平衡時(shí)導(dǎo)體上的電荷只能分布在外表，且與其本身的外形、構(gòu)造及四周的介質(zhì)有關(guān)。下面我們爭(zhēng)論的是導(dǎo)體容電本領(lǐng)問題。一、孤立導(dǎo)體的電容定義R，帶電荷為Q的孤立球形導(dǎo)體，則它的電勢(shì)〔相對(duì)于無限遠(yuǎn)處的零電勢(shì)而言〕為Q4R而 V 0

V 1 Q40R該比值僅與導(dǎo)體的幾何外形和大小有關(guān)，與導(dǎo)體所帶的電量無關(guān)。由此我們定義孤立導(dǎo)體的電容為孤立導(dǎo)體所帶的電荷Q與V的比值。即：CQV電容C是反映導(dǎo)體容電力量的物理量。用單位電勢(shì)差所能容納的電量來表征。單位法拉F，微法m〕,皮法p〕F106F112pF二、電容器例子和概念兩個(gè)同心球殼，內(nèi)球A和外球B分別帶+q和-q電量，中間充以空氣或電介質(zhì)。當(dāng)外殼接地后，這樣的導(dǎo)體組——格外靠近的中間布滿電介質(zhì)的兩個(gè)導(dǎo)體組合，稱為電容器。兩個(gè)導(dǎo)體稱為電容器的極板。電容器的電容C定義：電容器的電容

QV VA

，Q為一個(gè)極板所帶電量確實(shí)定值，VA-VB為兩極板間的電勢(shì)差。-11-〔1〕電容器電容的大小取決于極板的外形、大小、相對(duì)位置以及電介質(zhì)的電容率。與電容器是否帶電無關(guān)。 備注〔2〕電容器符號(hào)： ，固定電容器； ，可變電容器。電容的計(jì)算〔1〕A、B分別帶+q和-q電荷。 〔2〔2〕求兩極板間的電場(chǎng)分布，并由AB

A

計(jì)算兩極板間電勢(shì)差。C〔3〕由定義式

q例子：幾種常見的電容器電容的計(jì)算平板電容器d，面積為S的平行金屬板組成的平行板Q電容器板間為真空每塊極板上的電荷面密度為 S兩極板間的電場(chǎng)為均勻電場(chǎng)，無視邊緣效應(yīng)，兩極板間的場(chǎng)強(qiáng)為：EQ兩極板間的電勢(shì)差為

S0 0U QdEdlEdAB

dS0 0依據(jù)電容的定義得平板電容器的電容為0CQS0U d可見，平板電容器的電容與電容器是否帶電無關(guān)，只與電容器本身的構(gòu)造外形有關(guān)。1：課本P66〔請(qǐng)自學(xué)〕圓柱形電容器設(shè)內(nèi)、外圓柱面各帶有+Q和-Q荷，則電荷線密度為r處的電場(chǎng)強(qiáng)度E大小為

Ql。在兩個(gè)圓柱E Q 12

r 2lr0E的方向垂直于圓柱軸線。于是，兩圓柱面間的電勢(shì)差為 Q dr Q RUErRB ln Bl R A

lr 2 l R0 0 A由電容的定義式可得圓柱形電容器的電容為CQ

2 l0BU lnRRBA可見，圓柱越長(zhǎng)或兩圓柱面間的間隙越小，電容越大。當(dāng)兩圓柱風(fēng)光間的間隙d?RA時(shí)，有于是圓柱形電容器的電容可寫成

lnRBRBA

lnRddAR RAA A2lR SC 0 A 0d d

(圓柱體的側(cè)面積S2Rl)A這正是平板電容器的電容?？梢?，當(dāng)兩圓柱面之間的間隙遠(yuǎn)小于圓柱體半徑時(shí)，圓柱形電容器可當(dāng)作平板電容器。布置作業(yè)-11-P94第2題 P95第7題備注第十六講例題2：課本P67〔球形電容器的電容〕 兩半徑分別為R1和R2的同心金屬球殼組成球形電容器，兩球殼間為真空，求電容。解：設(shè)內(nèi)外球面分別帶+q和-q電量，由高斯定理得兩極板間場(chǎng)強(qiáng)方向沿徑向，大小為：E q RrR兩極板間電勢(shì)差為：

0

1 2。2 R q

q 1 1U 2

dr

12q 4RR

1 R 1 0

4 R R0 1 2C

01 212由定義得：0 U12

RR2 1

R2 SRRdR

C 0 1 0〔1)當(dāng)2器一樣。

1 1時(shí)，0

d d ，和平板電容1〔2〕當(dāng)R21

C時(shí)0時(shí)

40

R，孤立球形電容器。例題3：課本P68〔傳輸線的分布電容，自學(xué)〕三、電容器的并聯(lián)和串聯(lián)電容器的并聯(lián)qq，VVqi，CCii i Cii i

i 并聯(lián)電路總電容量增大，電容組耐壓值不變。電容器的串聯(lián)聯(lián)qq1Vi

qq，2 iV，i11C Ci i串聯(lián)電路總電容量削減，電容組耐壓值增大。但如其中一個(gè)被擊穿，其余電容器會(huì)相繼被擊穿。第三節(jié)靜電場(chǎng)中的電介質(zhì)重點(diǎn)：電介質(zhì)的極化和極化強(qiáng)度矢量；電位移矢量；有介質(zhì)時(shí)的高斯定理；有介質(zhì)時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算。難點(diǎn)：電位移矢量〔氣〔液、云母〔固。我們先從試驗(yàn)現(xiàn)象入手爭(zhēng)論電介質(zhì)和靜電場(chǎng)的相互作用規(guī)律。一、電介質(zhì)對(duì)電容的影響相對(duì)電容率試驗(yàn)事實(shí)相對(duì)電容率〔1〕如下圖，平板電容器極板間為真空時(shí)的電容為C

。假設(shè)對(duì)該電容器0UQ=CU

0 0 0-11-電源，維持極板上的電荷Q不變，并使兩極板間布滿均勻的各向同性的電介質(zhì)，由試驗(yàn)可測(cè)得兩極板間電壓

UU 備注0 r。由平板電容器電容公式得：C

C，即在維持電容器兩極板的電荷不變時(shí)，布滿電介質(zhì)r 0的電容器的電容為真空電容的 r倍。其中對(duì)電容率。

r為是一個(gè)沒有單位的、大于1的純數(shù)，稱為電介質(zhì)的相0rr定義：電介質(zhì)的電容率0rr電場(chǎng)強(qiáng)度的變化

、都是表征電介質(zhì)性質(zhì)的。把UU 0 r

Ud得

dU d0 rEE0即 r可見，在兩極板電荷不變的條件下，布滿均勻的各向同性的電介質(zhì)的平板電容器中，電介質(zhì)內(nèi)的電1場(chǎng)強(qiáng)度為原來真空時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度的 r。當(dāng)極板上加肯定的電壓時(shí)，極板間就有肯定的電場(chǎng)強(qiáng)度，電壓越大，電場(chǎng)強(qiáng)度也越大。當(dāng)電場(chǎng)強(qiáng)度增大到某一最大值Eb時(shí)，電介質(zhì)中分子發(fā)生電離，從而使電介質(zhì)失去絕緣性，即電介質(zhì)被擊穿了。電介質(zhì)能承受的最大電場(chǎng)強(qiáng)度Eb稱為電介質(zhì)的擊穿場(chǎng)強(qiáng)，相應(yīng)兩極板的電壓稱為擊穿電壓。與U E U。與b b

的關(guān)系為EUb b

d 。不同電介質(zhì)的擊穿場(chǎng)強(qiáng)是不同的。上述試驗(yàn)說明：插入電介質(zhì)后兩極板間電壓削減，電場(chǎng)減弱了。電場(chǎng)減弱的緣由可用電介質(zhì)與外電場(chǎng)的相互影響，下面從微觀構(gòu)造上來解釋。二、電介質(zhì)的極化電介質(zhì)的電構(gòu)造電子被原子核緊緊束縛；在靜電場(chǎng)中電介質(zhì)中性分子中的正、負(fù)電荷僅產(chǎn)生微觀相對(duì)運(yùn)動(dòng)；在靜電場(chǎng)與電介質(zhì)相互作用時(shí)，電介質(zhì)分子簡(jiǎn)化為電偶極子。電介質(zhì)由大量微小的電偶極子組成；電介質(zhì)在外電場(chǎng)中→極化→產(chǎn)生極化電荷→產(chǎn)生附加電場(chǎng)→作用于電介質(zhì)→到達(dá)靜電平衡。電介質(zhì)的內(nèi)部構(gòu)造有極分子，無外電場(chǎng)時(shí)，分子的正、負(fù)電荷中心不重合，分子具有固有電偶極矩。例如：H2O HClCO SO2。無極分子，無外電場(chǎng)時(shí)，分子的正、負(fù)電荷中心重合，分子沒有固有電偶極矩CO2H2N2 O2 He。3電介質(zhì)的極化〔Polarization〕Displacementpolarization主要是電子發(fā)生位移。OrientationpolarizationPolarizationcharge〔boundcharge〕下面看看外電場(chǎng)中的電介質(zhì)極化的宏觀效果：在外電場(chǎng)中，均勻介質(zhì)內(nèi)部各處仍呈電中性，但在介質(zhì)外表荷能用傳導(dǎo)方法將其引走。象稱為電介質(zhì)的極化〔如何定量描述？〕電暈現(xiàn)象的解釋見課本P75，請(qǐng)自學(xué)。-11-三、電極化強(qiáng)度備注宏觀上，電介質(zhì)極化程度用電極化強(qiáng)度矢量來描述。1.電極化強(qiáng)度矢量 ppi定義：

Plim iΔV ΔV ，其中

i個(gè)分子的電偶極矩。iP稱為電極化強(qiáng)度。單位為：Cm2。iP與

的定量關(guān)系 ，如圖，在平板電容器兩極板間的介質(zhì)內(nèi)沿著P方向取一長(zhǎng)度為dl 橫截面為dS的小圓柱體，在其內(nèi)部極化可視為是均勻的。因而該圓柱體具有電 偶極矩為PdVPdldS，依據(jù)定義它可視為兩端具有電荷

”dS

的電偶極PdS.dldSdlP均勻電介質(zhì)中的電極化強(qiáng)度的大小等于極化產(chǎn)生的極化電荷面密度。四、電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度Q與Q0的關(guān)系電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度

EEE E外電場(chǎng)E，極化電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)E，電介質(zhì)內(nèi)部的合場(chǎng)強(qiáng)E為： ，E與 的方0 0 0E的值為EE0E。極化電荷與自由電荷的關(guān)系 0極板上自由電荷面密度為0

。在放人電介質(zhì)以前自由電荷電場(chǎng)強(qiáng)度E0的值為E 0 0

E00其電荷面密度為。相應(yīng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的值為E。則由上式以及前面試驗(yàn)結(jié)果得0E1Err

EE0

EE0r即 0即r從而可得

10rr QQr Q0r亦即r這就是極化電荷與自由電荷的關(guān)系。電極化強(qiáng)度與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系試驗(yàn)規(guī)律 對(duì)均勻線性介質(zhì)有：P E，χ稱為電介質(zhì)的電極化率，是一個(gè)大于零的純數(shù)。0χ和相對(duì)電容率

r的關(guān)系由E0

、Pχε

0E、P代入E0

rE可得：0r

r

r1 0 0r0

r 比1比rr1。χ和r的爭(zhēng)論：課本P77。χ、用。

r、 三者都是表征電介質(zhì)性質(zhì)的物理量，知道其中之一即可求得其它兩個(gè)。并且普遍適第四節(jié)電位移有電介質(zhì)時(shí)的高斯定理一、電位移矢量空間存在導(dǎo)體時(shí)，電場(chǎng)仍由自由電荷產(chǎn)生。高斯定理，場(chǎng)強(qiáng)環(huán)流定理仍舊適用，且形式不變。-11-存在電介質(zhì)時(shí)，空間電場(chǎng)由自由電荷和極化電荷共同產(chǎn)生。產(chǎn)生的靜電場(chǎng)仍為有勢(shì)場(chǎng)。靜電場(chǎng)的環(huán)流定理仍舊成立，即

備注。Edl0。L靜電場(chǎng)中的高斯定理仍舊成立〔高斯面如圖，形式變?yōu)椋?/p>

dS

QS 0

0 PdS由于：S

dQS內(nèi)，11EdS

1

PdS0所以：S 0

0 S00S

(EP)dS0

Q內(nèi)S0內(nèi)定義電場(chǎng)關(guān)心矢量——電位移〔electricdisplacement〕矢量： 二、有電介質(zhì)時(shí)的高斯定理

D

EP0 內(nèi)DdS q內(nèi)由上面爭(zhēng)論可得：S

通過電介質(zhì)中任一封閉曲面S電介質(zhì)時(shí)的高斯定理。三、爭(zhēng)論和說明

的關(guān)系D E 對(duì)于各向同性電介質(zhì)，把PE代入DEP得：00(1)

D E P E E E 0 0 0 0r留意到r

，且

r，則有：

DED的單位：Cm2

是一個(gè)關(guān)心量，打算電荷受力的仍舊E。當(dāng)自由電荷的分布時(shí)，可先由高斯定E 理求出DE描述電場(chǎng)性質(zhì)的物理量仍舊是電場(chǎng)強(qiáng)度E和電勢(shì)V。 D通量與Q有關(guān)，而D與Q、Q均有關(guān)。 0 0DED線從正自由電荷動(dòng)身，終E自由電荷和極化電荷。電介質(zhì)中的場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)與真空中的場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)的關(guān)系〔均勻電介質(zhì)布滿整個(gè)電場(chǎng)，或電介質(zhì)外表是等勢(shì)面時(shí)〕EE0r

，VV0rrr 而布滿了電介質(zhì)的電容為真空中電容的CC。rr 布置作業(yè)課本P.96第13題 課本P.97第18題-11-大學(xué)物理教案〔主講人：劉國(guó)松〕 第十七講備注例1〔課本P.7，請(qǐng)自學(xué)例2〔課本P.8，請(qǐng)自學(xué)R例3〔課本P.8〕圓柱形電容器上由半徑為R1

的長(zhǎng)直圓柱導(dǎo)體和與它同軸的薄導(dǎo)體圓筒組成，R。假設(shè)直導(dǎo)體與導(dǎo)體圓筒之間充以相對(duì)電容率為ε

的電介質(zhì)。設(shè)直導(dǎo)體和圓筒單位長(zhǎng)2 r度上的電荷分別為+λ和-λ。求電介質(zhì)中的場(chǎng)強(qiáng)、電位移和極化強(qiáng)度；電介質(zhì)內(nèi)、外外表的極化電荷面密度；此圓柱形電容器的電容?！?〕由對(duì)稱性分析，電場(chǎng)為柱對(duì)稱分布，依據(jù)介質(zhì)中的高斯定理，有DdS D2rlDdSS D2r。EE

E得電介質(zhì)中場(chǎng)強(qiáng)為：

E2r

RrR1 20r 0r電介質(zhì)中極化強(qiáng)度為：P

1E rrE RrR

0 2rr〔2〕

2r

1 2 E

0rrR1 2R0r 1和

1E22R

rR2 0r 2由P由e0

E和P得電介質(zhì)兩外表極化