2023年屆新高考數(shù)學(xué)題型全歸納之排列組合專題06染色問題含解析

20236染色問題1.如以下圖的幾何體由三棱錐尸-力與三棱柱4qG組合而成，現(xiàn)用3種不同顏色對(duì)這個(gè)幾何體的外表涂色〔底面44G不涂色〕，要求相鄰的面均不同色，則不同的涂色方案共有〔 〕A.6種C.12種

B.9種D.36種例2.如圖，用四種不同的顏色給圖中的4B,C,D,E,F,G七個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法有〔 〕A.192種 B.336種 C.600種 D.624種例3.6種不同的顏色，給圖中的6個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同的涂色方法共有〔〕A.720種 B.1440種 C.2880種 D.的20種例4.將5種不同的花卉種植在如以下圖的四個(gè)區(qū)域中，每個(gè)區(qū)域種植一種花卉，且相鄰區(qū)域花卉不同，則不同的種植方法種數(shù)是〔 〕.22/D、A.420 B.180 C.64 D.25例5.用紅、黃、藍(lán)、綠、橙五種不同顏色給如以下圖的5塊區(qū)域力、B、C、D、E涂色,要求同一區(qū)域用同一種顏色，有共公邊的區(qū)域使用不同顏色，則共有涂色方法〔 〕A.120種 B.720種 C.840種 D.960種例6.如圖，某傘廠生產(chǎn)的太陽傘的傘篷是由太陽光的七種顏色組成，七種顏色分別涂在傘篷的八個(gè)區(qū)域內(nèi),且恰有一種顏色涂在相對(duì)區(qū)域內(nèi)，則不同顏色圖案的此類太陽傘最多有〔 〕.A.40320種 B.5040種 C.20230種 D.2520種7.如以下圖，將四棱錐S-/4灰刀的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，假設(shè)只有5種色可供使用，則不同的染色方法種數(shù)為〔 〕A.240 B.360 C.420 D.960例8.如以下圖，將33x33方格紙中每個(gè)小方格染三種顏色之一，使得每種顏色的小方格的個(gè)數(shù)相等.假設(shè)相鄰兩個(gè)小方格的顏色不同，稱他們的公共邊為“分割邊”，則分割邊條數(shù)的最小值為〔〕56 C.64 D.78例9.如圖給三棱柱的頂點(diǎn)染色，定義由同一條棱連接的兩個(gè)頂點(diǎn)叫相鄰頂點(diǎn)，規(guī)定相鄰頂點(diǎn)4種顏色可供選擇，則不同的染色方法有.例10.現(xiàn)用五種不同的顏色，要對(duì)如圖中的四個(gè)局部進(jìn)展著色，要求公共邊的兩塊不能用同一種顏色，共有種不同著色方法例11.如以下圖的五個(gè)區(qū)域中，中心區(qū)E域是一幅圖畫，現(xiàn)要求在其余四個(gè)區(qū)域中涂色，有四種顏色可供選擇.要求每個(gè)區(qū)域只涂?種顏色且相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為.例12.從紅、黃、藍(lán)、黑四種顏色中選出3種顏色，給如以下圖的六個(gè)相連的圓涂色，假設(shè)每種顏色只能涂?jī)蓚€(gè)圓，且相鄰兩個(gè)圓所涂顏色不能一樣，則不同的涂色方案的種數(shù)是.34oooooo55個(gè)局部種植花，要求相鄰兩局部種植不同顏色的花，4種顏色不同的花，則不同的種植方法有種例14.現(xiàn)有五種不同的顏色，要對(duì)圖形中的四個(gè)局部進(jìn)展著色，要求有公共邊的兩塊不能用同?種顏色,不同的涂色方法有種.15.53個(gè)涂紅色，2個(gè)涂黃色，假設(shè)恰有兩個(gè)相鄰的小正方形涂紅色，則不同的涂法共有種〔用數(shù)字作答〕.例16.四色猜測(cè)是近代數(shù)學(xué)難題之一，四色猜測(cè)的內(nèi)容是：“任何一張地圖最多用四種顏色就能使具有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色”，如圖，一張地圖被分成了五個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域只使用一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇〔四種顏色不愿定用完〕，則滿足四色猜測(cè)的不同涂色種數(shù)為17.1,2,3,4,5的五塊區(qū)域染上紅、黃、綠三種顏色中的一種，使得相鄰區(qū)域〔有公共邊〕的顏色不同，則不同的染色方法有種2例18.某城市在中心廣場(chǎng)建筑一個(gè)花圃，花闞分為6個(gè)局部.現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每局部栽種一種且相鄰局部不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有種.〔用數(shù)字作答〕19.4B,C,D,E尸六個(gè)區(qū)域進(jìn)展染色，每個(gè)區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色.假設(shè)有4種顏色可供選擇，則共有一種不同的染色方案.例20.如圖，用4種不同的顏色對(duì)圖中5個(gè)區(qū)域涂色〔4種顏色全部使用〕,要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色,相鄰的區(qū)域不能涂一樣的顏色，則不同的涂色方法有種.〔用數(shù)字作答〕例21.給如圖染色，滿足條件每個(gè)小方格染?種顏色，有公共邊的小方格顏色不能一樣，則用4種顏色染色的方案有_5種顏色染色的方案共有_種.例22.如圖，用四種不同的顏色給三棱柱48C-48”C”的六個(gè)頂點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂?種顏色.假設(shè)每個(gè)底面的頂點(diǎn)涂色所使用的顏色不一樣，則不同的涂色方法共有種；假設(shè)每條棱的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同的6染色問題例1.如以下圖的幾何體由三棱錐尸-48c與三棱柱48C-4qG組合而成，現(xiàn)用3種不同顏色對(duì)這個(gè)兒何體的外表涂色〔底面431cl不涂色〕，要求相鄰的面均不同色，則不同的涂色方案共有〔 A.6種 B.9種C.12種 D.36種【解析】先涂三棱錐尸一力8c的三個(gè)側(cè)面，有C；C；C：=6種狀況，然后涂三棱柱的三個(gè)側(cè)面，有C；C：C；=2種情6x2=12種不同的涂法.應(yīng)選：C.例2.如圖，用四種不同的顏色給圖中的4B,C,D,E,F,G七個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法有〔 〕A.192種 B.336種 C.600種 D.624種【解析】EF,G4,3,2種涂法，當(dāng)力與尸一樣時(shí)，力有1種涂色方法，此時(shí)/有2種涂色方法，①假設(shè)。與尸一樣，則。有13種涂色方法；2種涂色方法.4x3x2x1x2x0x3+1x2)=240種涂色方法.G一樣時(shí)，/1種涂色方法，①假設(shè)。與尸一樣，則。有122種涂色方法；C2821種涂色方法.4x3x2xlx(lx2x2+2x2x1)=192種涂色方法.當(dāng)月既不同于下又不同于G時(shí)、再有1種涂色方法.8與尸一樣，則。與月一樣時(shí)，。有2種涂色方法，。與/不同時(shí)，。和。均只有1種涂色方法；881種涂色方法，C12種涂色方法；(力)假設(shè)。與尸不同，則必與力一樣，。有1種涂色方法，此時(shí)。有2種涂色方法.故此時(shí)共有4x3x2xlxlx[(lx2lxl)4-lx(lx2lx2)168種涂色方法.240+192+168=600種涂色方法.應(yīng)選：C.例3.現(xiàn)有6種不同的顏色，給圖中的6個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同的涂色方法共有( )A.720種【解析】

B.1440種 C.2880種 D.4320種依據(jù)題意分步完成任務(wù)：3616種不同方法；131515種不同方法；43、12414種不同方法;23、1、43313種不同方法；51、22414種不同方法;61、2、53313種不同方法；所以不同的涂色方法：6x5x4x3x4x3=4320種.應(yīng)選：D.例4.將5種不同的花卉種植在如以下圖的四個(gè)區(qū)域中，每個(gè)區(qū)域種植一種花卉，且相鄰區(qū)域花卉不同，則不同的種植方法種數(shù)是〔 〕.A.420【解析】

B.180 C.64 D.25由題意，由于規(guī)定一個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，可分步進(jìn)展區(qū)域/5種涂法，84種涂法，A,325x4x3x2=120種，/135x4x3=60種，180種不同的涂色方案.應(yīng)選：B.例5.用紅、黃、藍(lán)、綠、橙五種不同顏色給如以下圖的5塊區(qū)域/、B、。、D、E涂色,要求同一區(qū)域用同一種顏色，有共公邊的區(qū)域使用不同顏色，則共有涂色方法〔 〕A.120種【解析】

B.720種 C.840種 D.960種5種顏色可選，84種顏色可選，。有3種顏色可選，假設(shè)。同色，E4種顏色可選；CB同色，E4種顏色可選；假設(shè)C與A、4都不同色，則。有2種顏色可選，此時(shí)E4種顏色可選，故共有5x4x3x(4+4+2x4)=960種.5種顏色時(shí)，有4=120種涂色方法；4ZC,BC,AE,BE,5H=600共有44=240種涂色方法，120+600+240=960種涂色方法.應(yīng)選：D.例6.如圖，某傘廠生產(chǎn)的太陽傘的傘篷是由太陽光的七種顏色組成，七種顏色分別涂在傘篷的八個(gè)區(qū)域內(nèi)，且恰有一種顏色涂在相對(duì)區(qū)域內(nèi)，則不同顏色圖案的此類太陽傘最多有( ).A.40320種 B.5040種 C.20230種 D.2520種【解析】先從7種顏色中任意選擇一種，涂在相對(duì)的區(qū)域內(nèi)，有C=7種方法,再將剩余的6種顏色全部涂在剩余的6個(gè)區(qū)域內(nèi)，共有4種方法，由于圖形是軸對(duì)稱圖形，所以上述方法正好重復(fù)一次,7乂屋所以不同的涂色方法，共有二區(qū)=2520種不同的涂法.2應(yīng)選：D.例7.如以下圖，將四棱錐SXASD的每?個(gè)頂點(diǎn)染上?種顏色，并使同?條棱上的兩端異色，假設(shè)只有5種色可供使用，則不同的染色方法種數(shù)為〔 〕A.240 B.360 C.420 D.960【解析】由題設(shè)，四棱錐S/8Q?的頂點(diǎn)S、月、8所染的顏色互不一樣，它們共有5x4x3=60種染色方法.51,2,3,4,5,S、4、81、2、3,2,345,3種染法；4,35,25,34,2種染法.S、48已染好時(shí)，C.7種染法，故不同的染色方法有60x7=420〔種〕.應(yīng)選：C例8.如以下圖，將33x33方格紙中每個(gè)小方格染三種顏色之一，使得每種顏色的小方格的個(gè)數(shù)相等.假設(shè)相鄰兩個(gè)小方格的顏色不同，稱他們的公共邊為“分割邊”，則分割邊條數(shù)的最小值為〔〕A.33 B.56 C.64 D.78【解析】1011記分隔邊的條數(shù)為L(zhǎng),首先將方格依據(jù)按圖分三個(gè)區(qū)域，分別染成三種顏色，粗線上均為分隔邊,11111156條分隔邊，即￡=56,其次證明：￡>56,將將方格的行從上至下依次記為4,4,…,％3,列從左至右依次記為瓦，鳥，…鳥3,行4中方格〔4〕,列與中方格消滅的顏色個(gè)數(shù)記為“BJ,三種顏色分別記為對(duì)于一種顏色,，設(shè)〃值〕J4J色方格時(shí)，=否則5〔4，引=。類似的定義所以〕〕+b〔B,S〕］=〔j〕，i=! i=l/=1 〕j=\由于染c,色的格有;x33?=363個(gè)，設(shè)含有J色方格的行有〃個(gè)，列有6個(gè)，則勺色的方格確定再這個(gè)。b列的穿插方格中，從而ab363，所以〃〔cj=々+方>2y/ab2J36338=>n〔cj〕>39〔j=1,2,3〕①，由于在行4中有〃〔4〕種顏色的方格，于是至少有條分隔邊，類似的，在列印中有〃〔4〕種顏色的方格，于是至少有〃〔與〕-1條分隔邊，則八233〃4〕一

￡〔瓦〕T〕=3〔〃〔4+〃〔瓦〕卜66②r=l /=1 /=IZr=l /=1 /=IJ=I

〔 CJ-66③下面分兩種情形爭(zhēng)論，⑴有一行或一列全部方格同色,G33GJ36311q色方格，于是“4)211+3344④由①③④得八〃億)+“°2)+〃同-66244+39+39-66=56,⑵沒有一行也沒有一列的全部方格同色，則對(duì)任意1</<33均有〃(4“2,〃(與)N2,從而，由式②知：33L>^(/?(^)+//(5.))-66>33x4-66=66>56,?=i綜上，分隔邊條數(shù)的最小值為56.應(yīng)選：B.例9.如圖給三棱柱48。-。斯的頂點(diǎn)染色，定義由同一條棱連接的兩個(gè)頂點(diǎn)叫相鄰頂點(diǎn)，規(guī)定相鄰頂點(diǎn)4種顏色可供選擇，則不同的染色方法有.【解析】首先先給頂點(diǎn)4鳳。染色，有彳=24種方法，再給頂點(diǎn)。染色，①假設(shè)它和點(diǎn)3染同一種顏色，點(diǎn)E和點(diǎn)。染一樣2種方法，假設(shè)點(diǎn)E和點(diǎn)。染不同顏色，則點(diǎn)E有21種方法,則的染色方法一2+2xl=431種方法，點(diǎn)￡C顏色E111種方法；假設(shè)最終后與。一樣，則歹有2種方法，則共有2種方法；點(diǎn)。與點(diǎn)。顏色一樣，則點(diǎn)。有1種方法，則點(diǎn)￡2種方法，則點(diǎn)尸有22x2=4種B1+2+4=7種方法,所以點(diǎn)D,E,F4+7=1124x11=264種方法.故答案為：264例10.現(xiàn)用五種不同的顏色，要對(duì)如圖中的四個(gè)局部進(jìn)展著色，要求公共邊的兩塊不能用同一種顏色，共有種不同著色方法先排1,有5 種方法;n,iv,in11,1V4x45x4x4=80種.U,IV4x3x35x4x3x3=180種.80+180=260L故答案為：260例11.如以下圖的五個(gè)區(qū)域中，中心區(qū)E域是一幅圖畫，現(xiàn)要求在其余四個(gè)區(qū)域中涂色，有四種顏色可供選擇.要求每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色且相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為.【解析】分三種狀況:用四種顏色涂色，有團(tuán)=24種涂法；用三種顏色涂色，有2團(tuán)=48種涂法;用兩種顏色涂色，有4=12種涂法；24+48+12=84.故答案為：84例12.從紅、黃、藍(lán)、黑四種顏色中選出3種顏色，給如以下圖的六個(gè)相連的圓涂色，假設(shè)每種顏色只能涂?jī)蓚€(gè)圓，且相鄰兩個(gè)圓所涂顏色不能一樣，則不同的涂色方案的種數(shù)是.OOOCXDO【解析】從紅、黃、藍(lán)、黑四種顏色中選出3種顏色有4種選法.由于每種顏色只能涂?jī)蓚€(gè)圓，且相鄰兩個(gè)圓所涂顏色不能一樣，分兩類：一類是，前三個(gè)圓用3種顏色，有團(tuán)=6種方法，后3個(gè)圓也有3種顏色，有C；C；=4種方法，此時(shí)不同6x4=24方法；3232C；C；=6方法.4x(24+6)=120種方法.故答案為：120例13.如圖一個(gè)正方形花圃被分成5份.假設(shè)給這5個(gè)局部種植花，要求相鄰兩局部種植不同顏色的花，現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠4種顏色不同的花, 則不同的種植方法有【解E局部種植，有4種不同的種植方法;4局部種植，又3種不同的種植方法;對(duì)。局部種植進(jìn)展分類:42種不同的種植方法,B24x3x2x2=48(種),42種不同的種植方法,1種不同的種植方法，81種不同的種植方法,4x3x2x1x1=24〔種〕72種種植方法.故答案為：72.例14.現(xiàn)有五種不同的顏色，要對(duì)圖形中的四個(gè)局部進(jìn)展著色，要求有公共邊的兩塊不能用同?種顏色,不同的涂色方法有種.1415【解析】依題意，I、II、IH區(qū)域有共同邊顏色互不一樣，I、II、III、IV挨次著色，則區(qū)域I5種著色方法，n4III3種著色方法，IVII、III相鄰，因此區(qū)域IV3種著色方法，依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的著色方法種數(shù)為5x4x3x3=180.故答案為：180例15.現(xiàn)將如以下圖的5個(gè)小正方形涂上紅、黃兩種顏色，其中3個(gè)涂紅色，2個(gè)涂黃色，假設(shè)恰有兩個(gè)相鄰的小正方形涂紅色，則不同的涂法共有種〔用數(shù)字作答〕.【解析】當(dāng)涂紅色兩個(gè)相鄰的小正方形在兩端時(shí)是有4 片=4,當(dāng)涂紅色兩個(gè)相鄰的小正方形在不在兩端時(shí)是有4；=2,4+2=6種.故答案為：6.例16.四色猜測(cè)是近代數(shù)學(xué)難題之一，四色猜測(cè)的內(nèi)容是：“任何一張地圖最多用四種顏色就能使具有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色”，如圖，一張地圖被分成了五個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域只使用一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇〔四種顏色不愿定用完〕，則滿足四色猜測(cè)的不同涂色種數(shù)為【解析】設(shè)五個(gè)區(qū)域分別為43,C,2E,依題意由公共邊的兩個(gè)區(qū)域顏色不同，用四種顏色進(jìn)展涂色則有兩個(gè)區(qū)域顏色一樣，4C,AE,8E同色，有涂色方法3團(tuán)=72；或用三種顏色涂色，則有2組顏色同色，C同色，8E同色，有涂色方法彳=24,依據(jù)分類加法原理，共有涂色方法72+24=96.故答案為：96.例17.如圖，將標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5的五塊區(qū)域染上紅、黃、綠三種顏色中的?種，使得相鄰區(qū)域〔有公共邊〕的顏色不同，則不同的染色方法有種【解析】對(duì)于],有三種顏色可以安排；23顏色一樣，有兩種安排方法，4有兩種安排，53x2x2x1=12；232有兩種，352一樣時(shí)，4524有一種，此時(shí)共有3x[2x(2+l)]=18,12+18=30種染色方法.故答案為：30.例18.某城市在中心廣場(chǎng)建筑一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)局部.現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每局部栽種一種且相鄰局部不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有種.(用數(shù)字作答)由題意，6個(gè)局部.栽種4種不同顏色的花，必有2組顏色一樣的花，2、53、64、6同色，2工=48種栽種方法；2、43、6同色，m=24種栽種方法；3、52、44、6同色，2團(tuán)=48種栽種方法；48+24+48=120種栽種方法.故答案為：120例19.給圖中力，B,GD,E尸六個(gè)區(qū)域進(jìn)展染色，每個(gè)區(qū)域只染?種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色.假設(shè)有4種顏色可供選擇，則共有一種不同的染色方案.【解析】解：要完成給圖中4、B、C、D、E、尸六個(gè)區(qū)域