北京市懷柔區(qū)2016-2017學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷(理科)版含解析

2016-2017學(xué)年北京市懷柔區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1．在空間，可以確定一個平面的條件是（）A．兩條直線 B．一點和一條直線C．三個點 D．一個三角形2．直線x﹣y﹣1=0的傾斜角是（）A． B． C． D．3．若橢圓+=1上的一點P到橢圓一個焦點的距離為3，則P到另一焦點的距離為（）A．7 B．5 C．3 D．24．在空間，下列命題正確的是（）A．平行直線的平行投影重合B．平行于同一直線的兩個平面平行C．垂直于同一平面的兩個平面平行D．垂直于同一平面的兩條直線平行5．已知雙曲線﹣=1的離心率為，則m=（）A．7 B．6 C．9 D．86．已知A（﹣2，0），B（2，0），動點P（x，y）滿足，則動點P的軌跡為（）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．兩條平行直線7．某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的側(cè)面積為（）A．8 B．16 C．10 D．68．設(shè)點M（x0，1），若在圓O：x2+y2=1上存在點N，使得∠OMN=45°，則x0的取值范圍是（）A．[﹣1，1] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．把答案填在題中橫線上．9．原點到直線4x+3y﹣1=0的距離為．10．拋物線y2=2x的準(zhǔn)線方程是．11．已知，，則=．12．過點（1，0）且與直線x﹣2y﹣2=0平行的直線方程是．13．大圓周長為4π的球的表面積為．14．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，則堆放的米約有斛（結(jié)果精確到個位）．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．15．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC=2，G，F(xiàn)分別是AD，PB的中點．（Ⅰ）求證：CD⊥PA；（Ⅱ）證明：GF⊥平面PBC．16．已知直線經(jīng)過直線3x+4y﹣2=0與直線2x+y+2=0的交點P，并且垂直于直線x﹣2y﹣1=0．（Ⅰ）求交點P的坐標(biāo)；（Ⅱ）求直線的方程．17．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，E、F分別是BB1和CD的中點．（Ⅰ）求AE與A1F所成角的大??；（Ⅱ）求AE與平面ABCD所成角的正切值．18．已知直線l過點（2，1）和點（4，3）．（Ⅰ）求直線l的方程；（Ⅱ）若圓C的圓心在直線l上，且與y軸相切于（0，3）點，求圓C的方程．19．如圖，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC=∠BAD=90°．F為PA中點，PD=，AB=AD=CD=1．四邊形PDCE為矩形，線段PC交DE于點N．（Ⅰ）求證：AC∥平面DEF；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣P的大??；（Ⅲ）在線段EF上是否存在一點Q，使得BQ與平面BCP所成角的大小為？若存在，求出Q點所在的位置；若不存在，請說明理由．20．已知圓O：x2+y2=1的切線l與橢圓C：x2+3y2=4相交于A，B兩點．（Ⅰ）求橢圓C的離心率；（Ⅱ）求證：OA⊥OB；（Ⅲ）求△OAB面積的最大值．

2016-2017學(xué)年北京市懷柔區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1．在空間，可以確定一個平面的條件是（）A．兩條直線 B．一點和一條直線C．三個點 D．一個三角形【考點】平面的基本性質(zhì)及推論．【分析】在A中，兩條異面直線不能確定一個平面；在B中，若點在直線上，由不能確定一個平面；在C中，如果共點共線，不能確定一個平面；在D中，一個三角形確定一個平面．【解答】解：在A中，兩條相交線和兩條平行線都能確定一個平面，但兩條異面直線不能確定一個平面，故A錯誤；在B中，直線與直線外一點確定一個平面，若點在直線上，由不能確定一個平面，故B錯誤；在C中，不共線的三點確定一個平面，如果共點共線，不能確定一個平面，故C錯誤；在D中，因為一個三角形的三個頂點不共線，所以一個三角形確定一個平面，故D正確．故選：D．2．直線x﹣y﹣1=0的傾斜角是（）A． B． C． D．【考點】直線的傾斜角．【分析】根據(jù)直線方程求出斜率，根據(jù)斜率得出對應(yīng)的傾斜角．【解答】解：直線y=x﹣1的斜率是1，所以傾斜角為．故選：B．3．若橢圓+=1上的一點P到橢圓一個焦點的距離為3，則P到另一焦點的距離為（）A．7 B．5 C．3 D．2【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得a的值，即可得2a=10，由橢圓的定義分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，橢圓的方程為：+=1，則有a==5，即2a=10，橢圓上任一點到兩個焦點距離之和為10，若P到橢圓一個焦點的距離為3，則P到另一焦點的距離為10﹣3=7；故選：A．4．在空間，下列命題正確的是（）A．平行直線的平行投影重合B．平行于同一直線的兩個平面平行C．垂直于同一平面的兩個平面平行D．垂直于同一平面的兩條直線平行【考點】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】由空間直線與平面的位置關(guān)系及線面垂直與平行的判定與性質(zhì)定理，可以很容易得出答案．【解答】解：平行直線的平行投影重合，還可能平行，A錯誤．平行于同一直線的兩個平面平行，兩個平面可能相交，B錯誤．垂直于同一平面的兩個平面平行，可能相交，C錯誤．故選D．5．已知雙曲線﹣=1的離心率為，則m=（）A．7 B．6 C．9 D．8【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分析可得其焦點在x軸上，以及a、b的值，由雙曲線的幾何性質(zhì)可得c的值，又由該雙曲線的離心率為，結(jié)合雙曲線的離心率公式可得=，解可得m的值，即可得答案．【解答】解：雙曲線的方程為：﹣=1，則其焦點在x軸上，且a==4，b=，則c==，若其離心率為，則有e===，解可得m=9；故選：C．6．已知A（﹣2，0），B（2，0），動點P（x，y）滿足，則動點P的軌跡為（）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．兩條平行直線【考點】軌跡方程．【分析】由題意知（﹣2﹣x，y）?（2﹣x，y）=x2，即可得出動點P的軌跡．【解答】解：∵動點P（x，y）滿足=x2，∴（﹣2﹣x，y）?（2﹣x，y）=x2，∴點P的方程為y2=4即y=±2∴動點P的軌跡為兩條平行的直線．故選D．7．某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的側(cè)面積為（）A．8 B．16 C．10 D．6【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】根據(jù)三視圖可得四棱錐為正四棱錐，判斷底面邊長與高的數(shù)據(jù)，求出四棱錐的斜高，代入棱錐的側(cè)面積公式計算．【解答】解：由三視圖知：此四棱錐為正四棱錐，底面邊長為4，高為2，則四棱錐的斜高為=2，∴四棱錐的側(cè)面積為S==16．故選B．8．設(shè)點M（x0，1），若在圓O：x2+y2=1上存在點N，使得∠OMN=45°，則x0的取值范圍是（）A．[﹣1，1] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]【考點】直線和圓的方程的應(yīng)用．【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【解答】解：由題意畫出圖形如圖：點M（x0，1），要使圓O：x2+y2=1上存在點N，使得∠OMN=45°，則∠OMN的最大值大于或等于45°時一定存在點N，使得∠OMN=45°，而當(dāng)MN與圓相切時∠OMN取得最大值，此時MN=1，圖中只有M′到M″之間的區(qū)域滿足MN=1，∴x0的取值范圍是[﹣1，1]．故選：A．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．把答案填在題中橫線上．9．原點到直線4x+3y﹣1=0的距離為．【考點】點到直線的距離公式．【分析】直接由點到直線的距離公式得答案．【解答】解：由點到直線的距離公式可得，原點到直線4x+3y﹣1=0的距離d==，故答案為：．10．拋物線y2=2x的準(zhǔn)線方程是．【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】先根據(jù)拋物線方程求得p，進而根據(jù)拋物線的性質(zhì)，求得答案．【解答】解：拋物線y2=2x，∴p=1，∴準(zhǔn)線方程是x=﹣故答案為：﹣11．已知，，則=．【考點】空間向量的數(shù)量積運算．【分析】根據(jù)所給的兩個向量的坐標(biāo)，寫出兩個向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示形式，得到數(shù)量積，求出向量的模長，兩個式子相加得到結(jié)果．【解答】解：∵，∴=﹣1+2，||==2，∴=1+2故答案為：1+212．過點（1，0）且與直線x﹣2y﹣2=0平行的直線方程是x﹣2y﹣1=0．【考點】兩條直線平行的判定；直線的一般式方程．【分析】先求直線x﹣2y﹣2=0的斜率，利用點斜式求出直線方程．【解答】解：直線x﹣2y﹣2=0的斜率是，所求直線的斜率是所以所求直線方程：y=（x﹣1），即x﹣2y﹣1=0故答案為：x﹣2y﹣1=013．大圓周長為4π的球的表面積為16π．【考點】球的體積和表面積．【分析】根據(jù)球大圓周長，算出半徑R=2，再由球的表面積公式即可算出本題答案．【解答】解：設(shè)球的半徑為R，則∵球大圓周長為4π∴2πR=4π，可得R=2因此球的表面積為S=4πR2=16π故答案為：16π14．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，則堆放的米約有22斛（結(jié)果精確到個位）．【考點】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）．【分析】根據(jù)米堆的底部的弧度即底面圓周的四分之一為8尺，可求出圓錐的底面半徑，從而計算出米堆的體積，用體積除以每斛的體積即可求得斛數(shù)．【解答】解：設(shè)米堆所在圓錐的底面半徑為r尺，則×2πr=8，解得：r=所以米堆的體積為V=××πr2×5≈35.56，所以米堆的斛數(shù)是≈22，故答案為22．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．15．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC=2，G，F(xiàn)分別是AD，PB的中點．（Ⅰ）求證：CD⊥PA；（Ⅱ）證明：GF⊥平面PBC．【考點】直線與平面垂直的判定；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】（I）以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用?=0，證得PA⊥CD；（Ⅱ）利用?=0，?=0，去證GF⊥平面PCB．【解答】證明：（I）以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系則A（2，0，0）B（2，2，0）C（0，2，0）P（0，0，2）F（1，1，1）=（2，0，﹣2），=（0，2，0），∴?=0，∴⊥，∴PA⊥CD；（Ⅱ）設(shè)G（1，0，0）則=（0，﹣1，﹣1），=（2，0，0），=（0，2，﹣2）∴?=0，?=0，∴FG⊥CB，F(xiàn)G⊥PC，∵CB∩PC=C，∴GF⊥平面PCB．16．已知直線經(jīng)過直線3x+4y﹣2=0與直線2x+y+2=0的交點P，并且垂直于直線x﹣2y﹣1=0．（Ⅰ）求交點P的坐標(biāo)；（Ⅱ）求直線的方程．【考點】待定系數(shù)法求直線方程．【分析】（Ⅰ）聯(lián)立方程，求交點P的坐標(biāo)；（Ⅱ）求出直線的斜率，即可求直線的方程．【解答】解：（Ⅰ）由得所以P（﹣2，2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）因為直線與直線x﹣2y﹣1=0垂直，所以kl=﹣2，所以直線的方程為2x+y+2=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣17．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，E、F分別是BB1和CD的中點．（Ⅰ）求AE與A1F所成角的大小；（Ⅱ）求AE與平面ABCD所成角的正切值．【考點】直線與平面所成的角；異面直線及其所成的角．【分析】（Ⅰ）建立坐標(biāo)系，利用向量方法求AE與A1F所成角的大??；（Ⅱ）證明∠EAB就是AE與平面ABCD所成角，即可求AE與平面ABCD所成角的正切值．【解答】解：（Ⅰ）如圖，建立坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，則A（0，0，0），E（1，0，），A1（0，0，1），F(xiàn)（，1，0）=（1，0，），=（，1，﹣1）∴=0，所以AE與A1F所成角為90°﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方體，∴BB1⊥平面ABCD∴∠EAB就是AE與平面ABCD所成角，又E是BB1中點，在直角三角形EBA中，tan∠EAB=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．已知直線l過點（2，1）和點（4，3）．（Ⅰ）求直線l的方程；（Ⅱ）若圓C的圓心在直線l上，且與y軸相切于（0，3）點，求圓C的方程．【考點】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）由兩點式，可得直線l的方程；（Ⅱ）利用圓C的圓心在直線l上，且與y軸相切于（0，3）點，確定圓心坐標(biāo)與半徑，即可求圓C的方程．【解答】解：（Ⅰ）由兩點式，可得，即x﹣y﹣1=0；（Ⅱ）∵圓C的圓心在直線l上，且與y軸相切于（0，3）點，∴圓心的縱坐標(biāo)為3，∴橫坐標(biāo)為﹣2，半徑為2∴圓C的方程為（x+2）2+（y﹣3）2=4．19．如圖，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC=∠BAD=90°．F為PA中點，PD=，AB=AD=CD=1．四邊形PDCE為矩形，線段PC交DE于點N．（Ⅰ）求證：AC∥平面DEF；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣P的大小；（Ⅲ）在線段EF上是否存在一點Q，使得BQ與平面BCP所成角的大小為？若存在，求出Q點所在的位置；若不存在，請說明理由．【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）連接FN，推導(dǎo)出FN∥AC，由此能證明AC∥平面DEF．（Ⅱ）以D為原點，分別以DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣BC﹣P的大小．（Ⅲ）設(shè)存在點Q滿足條件，且Q點與E點重合．由直線BQ與平面BCP所成角的大小為，利用向量法能求出Q點與E點重合．【解答】（本小題滿分14分）證明：（Ⅰ）連接FN，在△PAC中，F(xiàn)，N分別為PA，PC的中點，所以FN∥AC，因為FN?平面DEF，AC?平面DEF，AC?平面DEF，所以AC∥平面DEF．解：（Ⅱ）如圖，以D為原點，分別以DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，則P（0，0，），B（1，1，0），C（0，2，0），∴，=（﹣1，1，0），設(shè)平面PBC的法向量為=（x，y，z），則，取x=1，得=（1，1，），因為平面ABC的法向量=（0，0，1），所以cos＜＞==，由圖可知二面角A﹣BC﹣P為銳二面角，所以二面角A﹣BC﹣P的大小為．（Ⅲ）設(shè)存在點Q滿足條件，且Q點與E點重合．由F（），E（0，2，），設(shè)=（0≤λ≤1），整理得Q（，2λ，），=（﹣，2λ﹣1，），因為直線BQ與平面BCP所成角的大小為，所以sin=|cos