2022-2023學(xué)年江蘇省南京市六校聯(lián)合體高一下學(xué)期第二次聯(lián)合調(diào)研（5月）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2江蘇省南京市六校聯(lián)合體2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期第二次聯(lián)合調(diào)研（5月）數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把〖答案〗填涂在答題卡相應(yīng)位置上．1.已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，.故選：C.2.若，i是虛數(shù)單位，是z的共軛復(fù)數(shù)，則（）A.2 B.1 C.－1 D.－2〖答案〗A〖解析〗由題可知，，，所以.故選：A.3.下列說法中正確的是（）A.若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn)B.若直線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則直線l與平面平行C.若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的任意一條直線都平行D.若兩條平行直線中的一條直線與一個(gè)平面平行，那么另一條直線也與這個(gè)平面平行〖答案〗A〖解析〗根據(jù)線面平行的定義，可知A正確；若直線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則直線l與平面平行或相交，故B錯(cuò)誤；若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的任意一條直線都平行或異面，故C錯(cuò)誤；若兩條平行直線中的一條直線與一個(gè)平面平行，那么另一條直線與這個(gè)平面平行或在平面內(nèi)，故D錯(cuò)誤.故選：A.4.已知角，滿足，，則（）A. B.1 C.－3 D.3〖答案〗C〖解析〗.故選：C.5.已知m，n，l為不重合的直線，α，β，γ為不重合的平面，則下列說法正確的是（）A.m⊥l，n⊥l，則mn B.α⊥γ，β⊥γ，則α⊥βC.mα，nα，則mn D.αγ，βγ，則αβ〖答案〗D〖解析〗A：m⊥l，n⊥l，則相交、平行、異面均有可能，錯(cuò)；B：α⊥γ，β⊥γ，則平行、相交都有可能，錯(cuò)；C：mα，nα，則相交、平行、異面均有可能，錯(cuò)；D：αγ，βγ，根據(jù)面面平行的傳遞性，則αβ，對(duì).故選：D.6.已知，則（）A. B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，即，所以.故選：B.7.如圖，小明欲測(cè)校內(nèi)某旗桿高M(jìn)N，選擇地面A處和他所在教學(xué)樓四樓C處為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)（其中A處、他所在的教學(xué)樓、旗桿位于同一水平地面）．從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角，C點(diǎn)的仰角以及，從C點(diǎn)測(cè)得．已知C處距地面10m，則旗桿高（）A.12m B.15m C.16m D.18m〖答案〗B〖解析〗由題意可知，，，，所以，在中，，，所以，由正弦定理可知，，即，解得：，在直角三角形中，，，則.故選：B.8.在中，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)滿足，與的交點(diǎn)為．有下列四個(gè)命題：甲：；乙：；丙：；?。?，如果只有一個(gè)是假命題，則該命題為（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁〖答案〗D〖解析〗若甲為真命題，，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，由可得，，因?yàn)槿c(diǎn)共線，故可得，即，由三點(diǎn)共線，可得，所以，得，即，所以，故乙為真命題；故，可知命題丙為真命題；由共線，故可設(shè)，即，因?yàn)槿c(diǎn)共線，故可設(shè)，所以，得，即，故命題丁為假命題，綜上，甲乙丙為真命題，丁為假命題.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)把〖答案〗填涂在答題卡相應(yīng)位置上．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，不選或有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)z，，，是z的共軛復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A. B.若，則C. D.若，則的最小值為1〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，設(shè)，則，故A正確；對(duì)于B，令，滿足，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，，則，所以，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，則，即，表示以為圓心，半徑為1的圓，表示圓上的點(diǎn)到的距離，故的最小值為，故D正確.故選：ACD.10.若向量，，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.當(dāng)時(shí)，，的夾角為銳角D.當(dāng)時(shí)，在上的投影向量為〖答案〗ABD〖解析〗A：若，則，得，A正確；B：若，則，得，B正確；C：由B知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)夾角不是銳角，C錯(cuò)誤；D：當(dāng)時(shí)，，，在上的投影向量為，D正確.故選：ABD.11.已知中，，，，D在AC上，BD為∠ABC的角平分線，E為BC中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A.的面積為 B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，在中，，，，則，因?yàn)椋?，所以，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，所以，所以，所以，所以B正確；對(duì)于D，因?yàn)锽D為∠ABC的角平分線，所以，所以，所以D錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋裕谥杏捎嘞叶ɡ淼?，所以，所以C正確.故選：BC.12.已知正四棱錐的所有棱長(zhǎng)均為，E，F(xiàn)分別是PC，AB的中點(diǎn)，M為棱PB上異于P，B的一動(dòng)點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是（）A.直線平面APDB.異面直線EF、PD所成角的大小為C.直線EF與平面ABCD所成角的正弦值為D.存在點(diǎn)M使得平面MEF〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A，取PD中點(diǎn)N，連接EN，AN，因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以且，又因?yàn)樗倪呅问钦叫?，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，所以且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以就是異面直線EF、PD所成的角（或其補(bǔ)角），因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的正三角形，點(diǎn)N是PD中點(diǎn)，所以，所以異面直線EF、PD所成角的大小為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，連接交于點(diǎn)，連接，則為四棱錐的高，取中點(diǎn)，連接.又因?yàn)辄c(diǎn)N是PD中點(diǎn)，所以，且，即平面，又因?yàn)?，所以就是直線EF與平面ABCD所成的角，，所以，在中，，所以.又，所以在中，，即直線EF與平面ABCD所成角的正弦值為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，要使存在點(diǎn)M使得平面MEF，需滿足，但與不垂直，所以不存在點(diǎn)M使得平面MEF，下面用反證法證明與不垂直.假設(shè)，則，又因?yàn)?，，，平面，所以平?又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，而在中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，所以，矛盾，所以假設(shè)不成立，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)把〖答案〗填涂在答題卡相應(yīng)位置．13._________．〖答案〗〖解析〗由誘導(dǎo)公式得，所以.故〖答案〗為：.14.在中，，，，則______．〖答案〗〖解析〗由的三邊分別為，，，則，所以，得，則，，所以．故〖答案〗為：．15.如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，的中點(diǎn)是P，過直線作與平面平行的截面，則該截面的面積為______．〖答案〗〖解析〗取，的中點(diǎn)分別為，連接，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)樗运倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，所以，所以四邊形是平行四邊形，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，同理可證平面，因?yàn)?，平面，所以平面平面，因此過點(diǎn)作與平面平行的截面，即是平行四邊形，連接，作于點(diǎn)，由，，可得，所以，所以平行四邊形的面積為，故〖答案〗為：.16.天文學(xué)家設(shè)計(jì)了一種方案可以測(cè)定流星的高度．如圖，將地球看成一個(gè)球，半徑為，兩個(gè)觀察者在地球上，兩地同時(shí)觀察到一顆流星，仰角分別是和（，表示當(dāng)?shù)氐牡仄骄€），由平面幾何相關(guān)知識(shí)，，，，設(shè)弧長(zhǎng)為，，，則流星高度為______．（流星高度為減去地球半徑，結(jié)果用表示）〖答案〗〖解析〗由題意知，的弧長(zhǎng)，所以，因?yàn)?，所以為等腰直角三角形，所以，所以，在中，，，所以，由正弦定理：，得：，在中，，由余弦定理：，所以，所以流星的高度為?故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6個(gè)小題，共70分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知是復(fù)數(shù)，為實(shí)數(shù)，為純虛數(shù)（為虛數(shù)單位）．（1）求復(fù)數(shù)；（2）復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）設(shè)復(fù)數(shù)，是實(shí)數(shù)，所以，則，所以，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以且，解得，所以.（2）由（1）知，，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，又已知在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以，解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為.18.已知向量，滿足，，且．（1）若，求實(shí)數(shù)k值；（2）求與的夾角．解：（1）因?yàn)?，，，即，解得：，，，解得?（2），，，∴，∵，∴.19.已知．（1）求的周期；（2）若，其中，求．解：（1）

，所以的周期為.（2），∴，由，得，由，得，∴，∴.20.如圖，在中，，，，P為內(nèi)一點(diǎn)，．（1）若，求PA的長(zhǎng)；（2）若，求PA長(zhǎng)．解：（1）由已知得，，，∴，，在中，由余弦定理得，∴.（2）設(shè)，由已知得，，中，由正弦定理得，化簡(jiǎn)得，又由，，得，所以.21.如圖，四棱錐中，底面，底面為菱形，且有，，，為中點(diǎn)．（1）證明：面；（2）求二面角的平面角的正弦值．解：（1）證明：設(shè)與交于點(diǎn)，連接，因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)榈酌?，且、底面，所以，，又因?yàn)?，所以，，，所以底面，又四邊形為菱形，所以，則，，且，，平面，所以平面.（2）過作于，連接，由（1）知底面，且、底面，所以，，又，、平面，所以平面，又平面，所以，即為二面角的平面角，因?yàn)榈酌鏋榱庑危?，，所以是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，則，，又，則，在直角三角形中，，則，所以，故所求二面角的正弦值為．22.如圖，已知是邊長(zhǎng)為2的正三角形，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)．（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）求的最小值；（3）求周長(zhǎng)的取值范圍．解：（1）由題意，即，故，因?yàn)镼為線段AP上一點(diǎn)，設(shè)，又，，即，又不共線，所以，解得，所以.（2），由（1）知，，，所以，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為.（3）在△ABP中，，，在△QPC中，設(shè)，，，在△ABP中，，即，，，中，，即，，所以的周長(zhǎng)，代入上式得：，令，，而，在中，，，，，，，即，又，，設(shè)，則，即，，得，即，，設(shè)，則，即，，得，即，，，所以，因此的周長(zhǎng)的取值范圍是．江蘇省南京市六校聯(lián)合體2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期第二次聯(lián)合調(diào)研（5月）數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把〖答案〗填涂在答題卡相應(yīng)位置上．1.已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，.故選：C.2.若，i是虛數(shù)單位，是z的共軛復(fù)數(shù)，則（）A.2 B.1 C.－1 D.－2〖答案〗A〖解析〗由題可知，，，所以.故選：A.3.下列說法中正確的是（）A.若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn)B.若直線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則直線l與平面平行C.若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的任意一條直線都平行D.若兩條平行直線中的一條直線與一個(gè)平面平行，那么另一條直線也與這個(gè)平面平行〖答案〗A〖解析〗根據(jù)線面平行的定義，可知A正確；若直線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則直線l與平面平行或相交，故B錯(cuò)誤；若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的任意一條直線都平行或異面，故C錯(cuò)誤；若兩條平行直線中的一條直線與一個(gè)平面平行，那么另一條直線與這個(gè)平面平行或在平面內(nèi)，故D錯(cuò)誤.故選：A.4.已知角，滿足，，則（）A. B.1 C.－3 D.3〖答案〗C〖解析〗.故選：C.5.已知m，n，l為不重合的直線，α，β，γ為不重合的平面，則下列說法正確的是（）A.m⊥l，n⊥l，則mn B.α⊥γ，β⊥γ，則α⊥βC.mα，nα，則mn D.αγ，βγ，則αβ〖答案〗D〖解析〗A：m⊥l，n⊥l，則相交、平行、異面均有可能，錯(cuò)；B：α⊥γ，β⊥γ，則平行、相交都有可能，錯(cuò)；C：mα，nα，則相交、平行、異面均有可能，錯(cuò)；D：αγ，βγ，根據(jù)面面平行的傳遞性，則αβ，對(duì).故選：D.6.已知，則（）A. B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，即，所以.故選：B.7.如圖，小明欲測(cè)校內(nèi)某旗桿高M(jìn)N，選擇地面A處和他所在教學(xué)樓四樓C處為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)（其中A處、他所在的教學(xué)樓、旗桿位于同一水平地面）．從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角，C點(diǎn)的仰角以及，從C點(diǎn)測(cè)得．已知C處距地面10m，則旗桿高（）A.12m B.15m C.16m D.18m〖答案〗B〖解析〗由題意可知，，，，所以，在中，，，所以，由正弦定理可知，，即，解得：，在直角三角形中，，，則.故選：B.8.在中，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)滿足，與的交點(diǎn)為．有下列四個(gè)命題：甲：；乙：；丙：；?。海绻挥幸粋€(gè)是假命題，則該命題為（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁〖答案〗D〖解析〗若甲為真命題，，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，由可得，，因?yàn)槿c(diǎn)共線，故可得，即，由三點(diǎn)共線，可得，所以，得，即，所以，故乙為真命題；故，可知命題丙為真命題；由共線，故可設(shè)，即，因?yàn)槿c(diǎn)共線，故可設(shè)，所以，得，即，故命題丁為假命題，綜上，甲乙丙為真命題，丁為假命題.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)把〖答案〗填涂在答題卡相應(yīng)位置上．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，不選或有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)z，，，是z的共軛復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A. B.若，則C. D.若，則的最小值為1〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，設(shè)，則，故A正確；對(duì)于B，令，滿足，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，，則，所以，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，則，即，表示以為圓心，半徑為1的圓，表示圓上的點(diǎn)到的距離，故的最小值為，故D正確.故選：ACD.10.若向量，，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.當(dāng)時(shí)，，的夾角為銳角D.當(dāng)時(shí)，在上的投影向量為〖答案〗ABD〖解析〗A：若，則，得，A正確；B：若，則，得，B正確；C：由B知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)夾角不是銳角，C錯(cuò)誤；D：當(dāng)時(shí)，，，在上的投影向量為，D正確.故選：ABD.11.已知中，，，，D在AC上，BD為∠ABC的角平分線，E為BC中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A.的面積為 B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，在中，，，，則，因?yàn)?，所以，所以，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，所以，所以，所以，所以B正確；對(duì)于D，因?yàn)锽D為∠ABC的角平分線，所以，所以，所以D錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，在中由余弦定理得，所以，所以C正確.故選：BC.12.已知正四棱錐的所有棱長(zhǎng)均為，E，F(xiàn)分別是PC，AB的中點(diǎn)，M為棱PB上異于P，B的一動(dòng)點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是（）A.直線平面APDB.異面直線EF、PD所成角的大小為C.直線EF與平面ABCD所成角的正弦值為D.存在點(diǎn)M使得平面MEF〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A，取PD中點(diǎn)N，連接EN，AN，因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以且，又因?yàn)樗倪呅问钦叫危現(xiàn)是AB的中點(diǎn)，所以且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)椋跃褪钱惷嬷本€EF、PD所成的角（或其補(bǔ)角），因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的正三角形，點(diǎn)N是PD中點(diǎn)，所以，所以異面直線EF、PD所成角的大小為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，連接交于點(diǎn)，連接，則為四棱錐的高，取中點(diǎn)，連接.又因?yàn)辄c(diǎn)N是PD中點(diǎn)，所以，且，即平面，又因?yàn)椋跃褪侵本€EF與平面ABCD所成的角，，所以，在中，，所以.又，所以在中，，即直線EF與平面ABCD所成角的正弦值為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，要使存在點(diǎn)M使得平面MEF，需滿足，但與不垂直，所以不存在點(diǎn)M使得平面MEF，下面用反證法證明與不垂直.假設(shè)，則，又因?yàn)?，，，平面，所以平?又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，而在中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，所以，矛盾，所以假設(shè)不成立，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)把〖答案〗填涂在答題卡相應(yīng)位置．13._________．〖答案〗〖解析〗由誘導(dǎo)公式得，所以.故〖答案〗為：.14.在中，，，，則______．〖答案〗〖解析〗由的三邊分別為，，，則，所以，得，則，，所以．故〖答案〗為：．15.如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，的中點(diǎn)是P，過直線作與平面平行的截面，則該截面的面積為______．〖答案〗〖解析〗取，的中點(diǎn)分別為，連接，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)樗运倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，所以，所以四邊形是平行四邊形，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，同理可證平面，因?yàn)?，平面，所以平面平面，因此過點(diǎn)作與平面平行的截面，即是平行四邊形，連接，作于點(diǎn)，由，，可得，所以，所以平行四邊形的面積為，故〖答案〗為：.16.天文學(xué)家設(shè)計(jì)了一種方案可以測(cè)定流星的高度．如圖，將地球看成一個(gè)球，半徑為，兩個(gè)觀察者在地球上，兩地同時(shí)觀察到一顆流星，仰角分別是和（，表示當(dāng)?shù)氐牡仄骄€），由平面幾何相關(guān)知識(shí)，，，，設(shè)弧長(zhǎng)為，，，則流星高度為______．（流星高度為減去地球半徑，結(jié)果用表示）〖答案〗〖解析〗由題意知，的弧長(zhǎng)，所以，因?yàn)?，所以為等腰直角三角形，所以，所以，在中，，，所以，由正弦定理：，得：，在中，，由余弦定理：，所以，所以流星的高度為?故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6個(gè)小題，共70分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知是復(fù)數(shù)，為實(shí)數(shù)，為純虛數(shù)（為虛數(shù)單位）．（1）求復(fù)數(shù)；（2）復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）設(shè)復(fù)數(shù)，是實(shí)