2024屆湖南省部分學(xué)校高三下學(xué)期一起考大聯(lián)考模擬（二）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2湖南省部分學(xué)校2024屆高三下學(xué)期一起考大聯(lián)考模擬（二）數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，，從而是的子集.故選：C.2.設(shè)為復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，若，，則z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗設(shè)，則∴∴∴z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在第一象限.故選：A.3.已知平面向量，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)與的夾角為，則在上的投影向量為.故選：B.4.經(jīng)過圓錐的軸的截面是面積為2的等腰直角三角形，則圓錐的側(cè)面積是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，則，由題可知，∴，側(cè)面積為，故選：C.5.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減且其最小正周期為，則函數(shù)的一個零點為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為函數(shù)的最小正周期為，所以，解得或，當(dāng)時，由，可得，顯然在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，不符合題意，當(dāng)時，由，可得，顯然在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，符合題意，所以，令，解得，即的零點為，當(dāng)時為.故選：D6.如圖，設(shè)拋物線的焦點為，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點，其中點在該拋物線上，點在軸上，若，則（）A. B. C. D.3〖答案〗D〖解析〗設(shè),，由，根據(jù)拋物線定義可得，故，，過，分別作軸的垂線，過作軸的垂線，垂足為，明顯，所以故選：D7.有一枚質(zhì)地均勻點數(shù)為1到4的特制骰子，投擲時得到每種點數(shù)的概率均等，現(xiàn)在進行三次獨立投擲，記X為得到最大點數(shù)與最小點數(shù)之差，則X的數(shù)學(xué)期望（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗的所有可能取值為，記三次得到的數(shù)組成數(shù)組，滿足的數(shù)組有：，共4個，所以，滿足數(shù)組有：，，共18個，所以，滿足的數(shù)組有：，，，，共24個，所以，滿足的數(shù)組有：，，，，，，共18個，所以，所以X的數(shù)學(xué)期望.故選：D.8.已知函數(shù)滿足，，當(dāng)時，，則函數(shù)在內(nèi)的零點個數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意，函數(shù)的周期為8，圖象關(guān)于點對稱，又，所以函數(shù)的圖象也關(guān)于點對稱，由，，，，，令，解得，令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，在同一個坐標(biāo)系中，作出函數(shù)與圖象，如圖，由圖可得，函數(shù)與在上有兩個交點，因為函數(shù)與圖象均關(guān)于點對稱，所以函數(shù)與在上有兩個交點，又，所以函數(shù)在內(nèi)的零點個數(shù)為5.故選：C.二、選擇題9.設(shè)，是兩個平面，，是兩條直線，下列命題正確的是（）A.如果，，那么.B.如果，，那么.C.如果，，，那么.D.如果內(nèi)有兩條相交直線與平行，那么.〖答案〗ABD〖解析〗對于A，由線面垂直的性質(zhì)知A正確對于B，由面面平行的性質(zhì)知B正確對于C，若，，，可得或，而位置關(guān)系不確定，故C錯誤對于D，由面面平行的判定定理知D正確，故選：ABD10.已知，雙曲線C：，則（）A.可能是第一象限角 B.可能是第四象限角C.點可能在C上 D.點可能在C上〖答案〗BD〖解析〗根據(jù)題意，可得，即，即且，所以在第三象限或第四象限.故A錯誤，B正確；當(dāng)在第三象限時，有，，，雙曲線方程為，當(dāng)即，時，方程為，所以點在雙曲線上，故D正確；當(dāng)在第四象限時，有，，，雙曲線方程為，因為，所以點不在雙曲線上，故C錯誤.故選：BD.11.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，等差數(shù)列的前項的和為，數(shù)列的前n項的和為.則下列各項的兩個命題中，是的必要條件的是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗AD〖解析〗選項A：因為為等差數(shù)列，所以，得，因函數(shù)是上的奇函數(shù)，，所以是的必要條件，故A正確；選項B：若，則時滿足，此時，故不是的必要條件，故B錯誤；選項C：若，滿足，但，故不是的必要條件，故C錯誤；選項D：由且為等差數(shù)列可得，因函數(shù)是上的奇函數(shù)，所以，故，故是的必要條件，故D正確；故選：AD.三、填空題12.的展開式中的系數(shù)是___________.〖答案〗40〖解析〗因為，所以的展開式中的系數(shù)是40.故〖答案〗為：40.13.設(shè)函數(shù)圖象上任意一點處的切線為，總存在函數(shù)圖象上一點處的切線，使得，則實數(shù)的最小值為_________.〖答案〗〖解析〗設(shè)函數(shù)在點處的切線為，函數(shù)在點處的切線為，因為，則，因為，所以，所以，而，所以，依題意可知，對，總，使得，所以，所以且，解得所以實數(shù)的最小值為，故〖答案〗為：14.過橢圓C：（）上的動點P向圓O：引兩條切線．設(shè)切點分別是A，B，若直線與x軸、y軸分別交于M，N兩點，則面積的最小值是______.〖答案〗〖解析〗設(shè)點，則以為直徑的圓的方程為，與圓O的方程相減得，即是過切點的直線方程，，令，得，所以，令，得，所以，所以，所以點到直線的距離，所以，因為點在橢圓C：（）上，所以，即，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，綜上所述，面積的最小值是.故〖答案〗：.四、解答題15.在中，角的對邊分別是，且．（1）求；（2）若的角平分線交于點，且，求的周長．解：（1）在中，，由正弦定理可化簡得，又，所以，化簡得到，又在中，，所以，得到，即，所以，即，又，所以，得，即（2）由（1）知，又的角平分線交于點，且，所以，得到整理得到①，又在中，，得到②，聯(lián)立①②解得所以的周長為.16.如圖，已知圓臺的高為，母線長為2，AB，CD分別是上、下底面的直徑，．（1）求該圓臺的體積；（2）點E在圓上，且，求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）因為，，所以四邊形為平行四邊形，又，在中，，，所以，則，所以圓臺的體積為；（2）在圓上過點作的垂線作為軸，以為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則則，設(shè)，則，由點E在圓上和，可得，得，由于圓錐的對稱性，不妨取，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則.17.已知點，，點A滿足，點A的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）若直線與雙曲線：交于M，N兩點，且（O為坐標(biāo)原點），求點A到直線l距離的取值范圍.解：（1）設(shè)，因為，所以，平方化簡，得；（2）直線與雙曲線：的方程聯(lián)立，得，設(shè)，所以有且，所以，，因為，所以，化簡，得，把，代入，得，化簡，得，因為且，所以有且，解得，圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以點A到直線距離的最大值為，最小值為，所以點A到直線距離的取值范圍為，18.將保護區(qū)分為面積大小相近的多個區(qū)域，用簡單隨機抽樣的方法抽取其中15個區(qū)域進行編號，統(tǒng)計抽取到每個區(qū)域的某種水源指標(biāo)和區(qū)域內(nèi)該植物分布的數(shù)量（，2，…，15），得到數(shù)組．已知，，．（1）求樣本（，2…，15）的相關(guān)系數(shù)；（2）假設(shè)該植物的壽命為隨機變量X（X可取任意正整數(shù)）．研究人員統(tǒng)計大量數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn)：對于任意的，壽命為的樣本在壽命超過k的樣本里的數(shù)量占比與壽命為1的樣本在全體樣本中的數(shù)量占比相同，均等于0.1，這種現(xiàn)象被稱為“幾何分布的無記憶性”．（?。┣螅ǎ┑谋磉_式；（ⅱ）推導(dǎo)該植物壽命期望的值．附：相關(guān)系數(shù)．解：（1）由，，，得相關(guān)系數(shù).（2）（?。┮李}意，，又，則，當(dāng)時，把換成，則，兩式相減，得，即，又，于對任意都成立，從而是首項為0.1，公比為0.9的等比數(shù)列，所以；

（ⅱ）由定義知，，而，顯然，于是，兩式相減得，因此，當(dāng)足夠大時，，，則，可認為．所以該植物壽命期望的值是10.19.超越數(shù)得名于歐拉，它的存在是法國數(shù)學(xué)家劉維爾（JosephLiouville）最早證明的．一個超越數(shù)不是任何一個如下形式的整系數(shù)多項式方程的根：（，，…，，）．?dāng)?shù)學(xué)家證明了自然對數(shù)的底數(shù)e與圓周率是超越數(shù)．回答下列問題：已知函數(shù)（）只有一個正零點．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）（ⅰ）構(gòu)造整系數(shù)方程，證明：若，則為有理數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)．（ⅱ）數(shù)列中是否存在不同的三項構(gòu)成等比數(shù)列？若存在，求出這三項的值；否則說明理由．（1）解：若只有一個正零點，可得令，，令，，令，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得在處取得最大值，且最大值為，而當(dāng)時，，當(dāng)時，，由題意得，當(dāng)最大時，符合題意，故，即.（2）（?。┳C明：若，則為有理數(shù)；若正整數(shù)，假設(shè)為有理數(shù)，則，則方程的根中有有理數(shù)，又在方程中，發(fā)現(xiàn)是它的根，而已知是超越數(shù)，故不是方程的根，與矛盾，即不為有理數(shù)；綜上所述：，為有理數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)；（ⅱ）解：若數(shù)列中存在不同的三項構(gòu)成等比數(shù)列，則，可得，由方程右邊是有理數(shù)知左邊是有理數(shù)，由上問知當(dāng)且僅當(dāng)時成立，故，則，設(shè)，則，，則，將，代入進行化簡，可得，故，故，構(gòu)造函數(shù)，而，知在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，又，故若，則有，即成立，當(dāng)且僅當(dāng)時成立.即數(shù)列中不存在不同的三項構(gòu)成等比數(shù)列，湖南省部分學(xué)校2024屆高三下學(xué)期一起考大聯(lián)考模擬（二）數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，，從而是的子集.故選：C.2.設(shè)為復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，若，，則z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗設(shè)，則∴∴∴z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在第一象限.故選：A.3.已知平面向量，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)與的夾角為，則在上的投影向量為.故選：B.4.經(jīng)過圓錐的軸的截面是面積為2的等腰直角三角形，則圓錐的側(cè)面積是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，則，由題可知，∴，側(cè)面積為，故選：C.5.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減且其最小正周期為，則函數(shù)的一個零點為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為函數(shù)的最小正周期為，所以，解得或，當(dāng)時，由，可得，顯然在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，不符合題意，當(dāng)時，由，可得，顯然在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，符合題意，所以，令，解得，即的零點為，當(dāng)時為.故選：D6.如圖，設(shè)拋物線的焦點為，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點，其中點在該拋物線上，點在軸上，若，則（）A. B. C. D.3〖答案〗D〖解析〗設(shè),，由，根據(jù)拋物線定義可得，故，，過，分別作軸的垂線，過作軸的垂線，垂足為，明顯，所以故選：D7.有一枚質(zhì)地均勻點數(shù)為1到4的特制骰子，投擲時得到每種點數(shù)的概率均等，現(xiàn)在進行三次獨立投擲，記X為得到最大點數(shù)與最小點數(shù)之差，則X的數(shù)學(xué)期望（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗的所有可能取值為，記三次得到的數(shù)組成數(shù)組，滿足的數(shù)組有：，共4個，所以，滿足數(shù)組有：，，共18個，所以，滿足的數(shù)組有：，，，，共24個，所以，滿足的數(shù)組有：，，，，，，共18個，所以，所以X的數(shù)學(xué)期望.故選：D.8.已知函數(shù)滿足，，當(dāng)時，，則函數(shù)在內(nèi)的零點個數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意，函數(shù)的周期為8，圖象關(guān)于點對稱，又，所以函數(shù)的圖象也關(guān)于點對稱，由，，，，，令，解得，令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，在同一個坐標(biāo)系中，作出函數(shù)與圖象，如圖，由圖可得，函數(shù)與在上有兩個交點，因為函數(shù)與圖象均關(guān)于點對稱，所以函數(shù)與在上有兩個交點，又，所以函數(shù)在內(nèi)的零點個數(shù)為5.故選：C.二、選擇題9.設(shè)，是兩個平面，，是兩條直線，下列命題正確的是（）A.如果，，那么.B.如果，，那么.C.如果，，，那么.D.如果內(nèi)有兩條相交直線與平行，那么.〖答案〗ABD〖解析〗對于A，由線面垂直的性質(zhì)知A正確對于B，由面面平行的性質(zhì)知B正確對于C，若，，，可得或，而位置關(guān)系不確定，故C錯誤對于D，由面面平行的判定定理知D正確，故選：ABD10.已知，雙曲線C：，則（）A.可能是第一象限角 B.可能是第四象限角C.點可能在C上 D.點可能在C上〖答案〗BD〖解析〗根據(jù)題意，可得，即，即且，所以在第三象限或第四象限.故A錯誤，B正確；當(dāng)在第三象限時，有，，，雙曲線方程為，當(dāng)即，時，方程為，所以點在雙曲線上，故D正確；當(dāng)在第四象限時，有，，，雙曲線方程為，因為，所以點不在雙曲線上，故C錯誤.故選：BD.11.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，等差數(shù)列的前項的和為，數(shù)列的前n項的和為.則下列各項的兩個命題中，是的必要條件的是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗AD〖解析〗選項A：因為為等差數(shù)列，所以，得，因函數(shù)是上的奇函數(shù)，，所以是的必要條件，故A正確；選項B：若，則時滿足，此時，故不是的必要條件，故B錯誤；選項C：若，滿足，但，故不是的必要條件，故C錯誤；選項D：由且為等差數(shù)列可得，因函數(shù)是上的奇函數(shù)，所以，故，故是的必要條件，故D正確；故選：AD.三、填空題12.的展開式中的系數(shù)是___________.〖答案〗40〖解析〗因為，所以的展開式中的系數(shù)是40.故〖答案〗為：40.13.設(shè)函數(shù)圖象上任意一點處的切線為，總存在函數(shù)圖象上一點處的切線，使得，則實數(shù)的最小值為_________.〖答案〗〖解析〗設(shè)函數(shù)在點處的切線為，函數(shù)在點處的切線為，因為，則，因為，所以，所以，而，所以，依題意可知，對，總，使得，所以，所以且，解得所以實數(shù)的最小值為，故〖答案〗為：14.過橢圓C：（）上的動點P向圓O：引兩條切線．設(shè)切點分別是A，B，若直線與x軸、y軸分別交于M，N兩點，則面積的最小值是______.〖答案〗〖解析〗設(shè)點，則以為直徑的圓的方程為，與圓O的方程相減得，即是過切點的直線方程，，令，得，所以，令，得，所以，所以，所以點到直線的距離，所以，因為點在橢圓C：（）上，所以，即，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，綜上所述，面積的最小值是.故〖答案〗：.四、解答題15.在中，角的對邊分別是，且．（1）求；（2）若的角平分線交于點，且，求的周長．解：（1）在中，，由正弦定理可化簡得，又，所以，化簡得到，又在中，，所以，得到，即，所以，即，又，所以，得，即（2）由（1）知，又的角平分線交于點，且，所以，得到整理得到①，又在中，，得到②，聯(lián)立①②解得所以的周長為.16.如圖，已知圓臺的高為，母線長為2，AB，CD分別是上、下底面的直徑，．（1）求該圓臺的體積；（2）點E在圓上，且，求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）因為，，所以四邊形為平行四邊形，又，在中，，，所以，則，所以圓臺的體積為；（2）在圓上過點作的垂線作為軸，以為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則則，設(shè)，則，由點E在圓上和，可得，得，由于圓錐的對稱性，不妨取，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則.17.已知點，，點A滿足，點A的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）若直線與雙曲線：交于M，N兩點，且（O為坐標(biāo)原點），求點A到直線l距離的取值范圍.解：（1）設(shè)，因為，所以，平方化簡，得；（2）直線與雙曲線：的方程聯(lián)立，得，設(shè)，所以有且，所以，，因為，所以，化簡，得，把，代入，得，化簡，得，因為且，所以有且，解得，圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以點A到直線距離的最大值為，最小值為，所以點A到直線距離的取值范圍為，18.將保護區(qū)分為面積大小相近的多個區(qū)域，用簡單隨機抽樣的方法抽取其中15個區(qū)域進行編號，統(tǒng)計抽取到每個區(qū)域的某種水源指標(biāo)和區(qū)域內(nèi)該植物分布的數(shù)量（，2，…，15），得到數(shù)組．已知，，．（1）求樣本（，2…，15）的相關(guān)系數(shù)；（2）假設(shè)該植物的壽命為隨機變量X（X可取任意正整數(shù)）．研究人員統(tǒng)計大量數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn)：對于任意的，壽命為的樣本在壽命超過k的樣本里的數(shù)量占比與壽命為1的樣本在全體樣本中的數(shù)量占比相同